摘 要：2023年高考數(shù)學新課標Ⅰ卷第12題創(chuàng)設(shè)“將幾何體放入正方體容器”的情境，考查了立體幾何基礎(chǔ)知識和邏輯推理基本能力，落實了基礎(chǔ)性；將截面作為連接平面幾何和立體幾何的橋梁，體現(xiàn)了認知結(jié)構(gòu)的綜合性；用數(shù)學方法解決實際問題，展現(xiàn)了應(yīng)用性；設(shè)問新穎，強調(diào)以探究性思維解題，突出了創(chuàng)新性。由此得到教學啟示：重視立體幾何“基本圖形”的教學，落實“立體幾何初步”的單元整體教學，增強現(xiàn)實問題“幾何本質(zhì)”的教學，實施激活幾何思維的探究性教學。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；立體幾何；高考試題；“四翼”要求

2019年，教育部考試中心發(fā)布了“一核四層四翼”中國高考評價體系，為科學構(gòu)建中國高考評價體系提出了明確目標和基本原則。［1］數(shù)學作為高考必考科目，考查過程中應(yīng)體現(xiàn)“四翼”，即“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性”的要求。［2］立體幾何是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，在高考數(shù)學客觀題與主觀題中均有考查。正方體是立體幾何中簡單而重要的幾何體，高考數(shù)學題多次以正方體為載體命制。［3］2023年高考數(shù)學新課標Ⅰ卷第12題再次借助正方體，創(chuàng)設(shè)“將幾何體放入正方體容器”的情境，高度契合“四翼”要求，從基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性四個維度回答了“怎么考”的問題。本文以此題為例，從“四翼”視角剖析高考立體幾何題的命題導向，并探討其對高中立體幾何教學的啟示。

一、 試題及解答

該題是試卷選擇題的壓軸題，為多選題。題目及解答如下：

下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（ ）

A. 直徑為0.99m的球體

B. 所有棱長均為1.4m的四面體

C. 底面直徑為0.01m、高為1.8m的圓柱體

D. 底面直徑為1.2m、高為0.01m的圓柱體

棱長為1m的正方體內(nèi)切球的直徑為1m，1gt;0.99，所以A正確。棱長為1m的正方體最大能放入棱長為2m的正四面體，2gt;1.4，所以B正確。棱長為1m的正方體的體對角線長為3m，3lt;1.8，所以C不正確。對于D選項，正方體截面為正六邊形時，有最大內(nèi)切圓，如圖1，此時內(nèi)切圓半徑為2/2×3/2=6/4≈0.612，0.612×2gt;1.2，因此直徑為1.2m的圓可以放入棱長為1m的正方體容器中；假設(shè)底面直徑為1.2m的圓柱體放入正方體容器中，剛好與正方體上下底面相切，其橫截面如圖2，此時圓柱體高的一半為FO=3/2-0.6×2≈0.018gt;0.01，因此底面直徑為1.2m、高為0.01m的圓柱體可以放入棱長為1m的正方體容器中，即D正確。綜上，答案為A、B、D。

二、 “四翼”分析

（一） 基礎(chǔ)性——考查基礎(chǔ)知識與基本能力

基礎(chǔ)性的基本內(nèi)涵包括基礎(chǔ)知識、基本方法、基本能力、基本態(tài)度和價值觀。［4］

上述試題的基礎(chǔ)性，首先體現(xiàn)在A選項來源于教材中的練習題。人教A版高中數(shù)學必修第二冊“8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積與體積”練習第3題：將一個棱長為6cm的正方體塊磨制成一個球體零件，求可能制作的最大零件體積。這一練習題的解決也要用到（蘊含著）“正方體的內(nèi)切球（即正方體內(nèi)最大的球）直徑等于正方體的棱長”的立體幾何基礎(chǔ)知識。

邏輯思維能力是數(shù)學學科具有基礎(chǔ)性、可持續(xù)性的關(guān)鍵能力。［5］上述試題的基礎(chǔ)性，還體現(xiàn)在A、B、C選項僅需簡單的邏輯推理，根據(jù)棱長，就能判斷所給球體、四面體和圓柱體是否能夠放入正方體中。學生只要掌握了簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特點，具備立體幾何相關(guān)基本邏輯思維能力，就能夠拿到基礎(chǔ)分。

（二） 綜合性——考查整體認知結(jié)構(gòu)

增強命題內(nèi)容綜合性，要求學生注重認識數(shù)學整體知識結(jié)構(gòu)、功能和相互作用，分析理解事物變化發(fā)展的過程，鼓勵學生從整體上分析各種現(xiàn)象背后的本質(zhì)和規(guī)律，促進學生形成更加全面、完整的認知結(jié)構(gòu)。［6］

上述試題的A、B、C選項考查了正方體與球體、四面體、圓柱體的關(guān)系，并且，難度最大的D選項涉及了平面幾何與立體幾何的融合：學生不僅要綜合考慮幾何組合體在空間中整體的位置關(guān)系，還要結(jié)合生活實際剖析圓柱體放入正方體后的截面圖，通過截面分析幾何體之間局部的位置關(guān)系，來解決問題。

作為對比，2022年高考數(shù)學新課標Ⅰ卷第9題如下：

已知正方體ABCD－A1B1C1D1，則（ ）

A. 直線BC1與DA1所成的角為90°

B. 直線BC1與CA1所成的角為90°

C. 直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°

D. 直線BC1與平面ABCD所成的角為45°

此題也是以正方體為載體考查空間中線線、線面之間位置關(guān)系的多選題，但僅涉及異面直線所成角以及線面所成角。即此題屬于立體幾何基本圖形位置關(guān)系的考查，但考查的范圍較小，綜合性較弱。

相比之下，2023年高考數(shù)學新課標Ⅰ卷第12題的綜合性有所提升，重點考查了立體幾何相關(guān)認知結(jié)構(gòu)的綜合性。立體幾何主干知識包括基本立體圖形與基本圖形位置關(guān)系［7］，上述試題在這兩個部分均有涉獵。只有熟知基本立體圖形，如正方體、球體、四面體、圓柱體的結(jié)構(gòu)，才能在頭腦中想象、作出立體幾何組合體的直觀圖。學生不僅要對基礎(chǔ)知識點掌握透徹，還需要充分意識到立體幾何主干知識之間的聯(lián)系，形成概念網(wǎng)絡(luò)。

（三） 應(yīng)用性——關(guān)注生活中的立體幾何

應(yīng)用性要求學生體驗數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程，并運用數(shù)學知識、思想方法對實際問題進行分析研究。［8］

上述試題從生活實際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)每一位學生都遇到過的“將一個物體放入容器內(nèi)”的情境，要求學生充分利用掌握的立體幾何知識作出解釋，恰當運用作圖、推理、計算等數(shù)學方法解決“能不能放得下？何時放得下？”的問題，引導學生應(yīng)用立體幾何知識解決現(xiàn)實問題。

以往同樣考查正方體截面的試題大多局限在數(shù)學情境內(nèi)，主要以數(shù)學語言設(shè)問。［9］例如2018年高考數(shù)學全國Ⅰ卷第12題：

已知正方體的棱長為1，每條棱所在的直線與平面α所成的角都相等，則平面α截此正方體所得截面面積的最大值為（ ）

A. 33/4 B. 23/3

C. 32/4 D.3/2

此題作為試卷單選題的壓軸題，更多地承擔著“選拔”的功能。動截面位置的尋找、形狀的判斷、最大截面位置的猜想、最大面積的求解這四大難點會難倒很多學生——經(jīng)過比較復雜的計算和推理可以證明，當截面為正六邊形時，不僅與每條棱所成的角都相等，而且面積最大，選項A正確。［10］同時，此題純數(shù)學的問題情境顯得有些乏味，難以讓學生體會到數(shù)學的應(yīng)用性。

相比之下，2023年高考數(shù)學新課標Ⅰ卷第12題的設(shè)問從生活中來，充分展現(xiàn)了立體幾何的應(yīng)用價值。選項設(shè)置中存在具有挑戰(zhàn)性的問題，學生需要在符合生活實際的情況下，對立體幾何問題進行恰當?shù)谋碚鞣治?，在解決問題的過程中進一步理解各種幾何體之間、立體圖形與平面圖形之間的關(guān)系，思考立體幾何知識和現(xiàn)實世界之間的聯(lián)系。

（四） 創(chuàng)新性——考查探究性思維

創(chuàng)新性要求試題有新穎的呈現(xiàn)和設(shè)問方式，引導學生在情境中主動思考，完成開放、探究性任務(wù)，發(fā)現(xiàn)新問題、新規(guī)律、新結(jié)論。［11］創(chuàng)新性考查要求的核心在于通過命題創(chuàng)新，增強試題的探究性，培養(yǎng)創(chuàng)新型人才。［12］

上述試題的D選項在2018年高考數(shù)學全國Ⅰ卷第12題的基礎(chǔ)上（都考查了正方體的最大截面）深挖了一層，通過創(chuàng)新性命制，增強了試題的探究性。一方面，不僅探討正方體截面的形狀，而且延伸出截面內(nèi)接圓的性質(zhì)（截面的面積最大時，內(nèi)接圓的面積也最大）。另一方面，不僅以生活實踐情境為背景，要求學生正確表征已知條件，自行擬定解決方案，而且在判斷A、B、C選項的基礎(chǔ)上，引導學生歸納經(jīng)驗，對D選項的正確性進行猜想和檢驗（論證）。

實際上，《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課標”）附錄2中的案例11［13］就是與正方體截面相關(guān)的探究活動，強調(diào)探究性思維的培養(yǎng)。其核心問題是：用一個平面截正方體，截面形狀將會是什么樣的？由此，可以引導學生進一步按照邊數(shù)分類，提出具體問題，研究截面形狀。如：（1） 如果截面是三角形，可以截出幾類不同的三角形？為什么？（2） 如果截面是四邊形，可以截出幾類不同的四邊形？為什么？（3） 還能截出哪些多邊形？……學生如果在課堂上經(jīng)歷過“正方體截面”的探究活動，就會積累截面圖形的相關(guān)經(jīng)驗，也就可以運用類似的探究性思維，深入挖掘上述試題D選項的已知條件，轉(zhuǎn)化出一系列數(shù)學問題，然后運用基本圖形的知識解決。

此外，上述試題沒有通過復雜的向量計算或幾何推理來提升題目難度，因為在高考有限的時間內(nèi)，學生難以對選擇題進行復雜而嚴密的論證。“要不要考慮C、D選項中的0.01m？何時考慮？運用極限法將其考慮為無限小？還是按照0.01進行計算？”需要學生運用所學，創(chuàng)造性地擬定自己認為最適合的解題方案。這樣的開放性也很好地體現(xiàn)了對探究性思維的考查。

總之，上述試題考查了立體幾何基礎(chǔ)知識和邏輯推理基本能力，落實了基礎(chǔ)性；將截面作為連接平面幾何和立體幾何的橋梁，體現(xiàn)了認知結(jié)構(gòu)的綜合性；用數(shù)學方法解決實際問題，展現(xiàn)了應(yīng)用性；設(shè)問新穎，強調(diào)以探究性思維解題，突出了創(chuàng)新性。

三、 教學啟示

（一） 基礎(chǔ)性：重視立體幾何“基本圖形”的教學

上述試題的A、B、C選項涉及幾何體組合的結(jié)構(gòu)特征，包含正方體、正四面體、球體、圓柱體，是對立體幾何基礎(chǔ)知識的考查。如果學生對簡單幾何體的認識不充分，對幾何體組合的位置關(guān)系不熟悉，則很容易產(chǎn)生錯誤的想象和作圖，導致錯誤的判斷。

在立體幾何“基本圖形”的教學中，教師特別要重視“正方體”的教學。正方體是空間圖形中特殊且具有豐富內(nèi)涵的幾何體［14］，可以分解出多種柱體、錐體、臺體等，能夠讓學生充分感受到不同類型幾何體之間的關(guān)系。

例如，教學中可以讓學生求棱長為1的正四面體的體積。學生解決此題的常規(guī)思路是直接套用三棱錐的體積公式。但是，教師評講時可以增加將正四面體補全為正方體的方法：如圖3所示，通過VA-BCD=V正方體-4VA-GCD求解。讓學生意識到正四面體可以補全為正方體，割補法在立體幾何中同樣適用。

（二） 綜合性：落實“立體幾何初步”的單元整體教學

上述試題涉及幾何體的組合、正方體的截面等問題，遵循教材“立體幾何初步”部分“整體→局部”的研究路徑［15］：從現(xiàn)實世界出發(fā)，抽象出各類幾何體，先學習各類幾何體的特征，再進一步抽象出組成空間圖形的基本元素——點、線、面，最后研究點、線、面的位置關(guān)系。

因此，教師在教學中，也要重視幾何體相關(guān)知識的整體結(jié)構(gòu)，帶領(lǐng)學生在充分認識幾何體的特征后，充分辨析平面圖形與空間圖形的關(guān)系，促進學生多角度理解立體幾何主干知識（核心概念），以落實“立體幾何初步”的單元整體教學。

例如，折疊是從平面圖形到立體圖形的轉(zhuǎn)化手段，教學中可以出示如下題目：

如下頁圖4所示，在邊長為2的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，將△AED、△BEF、△CDF分別沿DE、EF、DF折起，使A、B、C三點重合于點A′。

（1） 求證A′D⊥EF；

（2） 求三棱錐A′-DEF的體積。

然后，針對不同的學生，采用不同的教學方式：針對空間想象能力較弱的學生，鼓勵他們用手邊的正方形草稿紙，按題目所說動手折疊，經(jīng)歷“正方形→三棱錐”的過程；針對空間想象能力較強的學生，只展示平面圖形，讓他們想象折疊后的立體圖形，并畫出三棱錐的草圖。由此，不同的學生都能夠體驗平面幾何和立體幾何的區(qū)別與聯(lián)系，從而增強對“點—線—面—體”的綜合把握，完善整體認知結(jié)構(gòu)，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)。

（三） 應(yīng)用性：增強現(xiàn)實問題“幾何本質(zhì)”的教學

上述試題不僅是教材習題、課標案例和以往試題的變化與融合，更緊密地聯(lián)系了生活實際。因此，教師在教學中，可以考慮融入數(shù)學情境外的現(xiàn)實情境以及社會生產(chǎn)生活中遇到的實際問題，引導學生探索其中的幾何本質(zhì)。

例如，建筑中的榫卯結(jié)構(gòu)是利用榫頭和卯眼的形狀、大小和位置，使兩個構(gòu)件緊密地連接在一起。其本質(zhì)是幾何體的分解與組合。基于這一現(xiàn)實事物，可以編制如下情境問題：

榫卯結(jié)構(gòu)是中國古代建筑、家具及其他木制品中常用的一種連接方式。它是一種凹凸結(jié)合的結(jié)構(gòu)，通過凸出的部分（榫頭）和凹進的部位（卯眼）相互咬合，從而實現(xiàn)兩個或多個木構(gòu)件的連接。圖5中榫卯結(jié)構(gòu)的三個部分A、B、C均由6cm×2cm×2cm的木質(zhì)長方體改造而成。

（1） 若B部分的卯眼在中間，且尺寸為

2cm×0.5cm，C部分的榫頭長為1cm，請畫出C部分的三視圖。

（2） 榫卯結(jié)構(gòu)的最大特點是靈活性和適應(yīng)性。通過調(diào)整榫頭和卯眼的形狀

、大小和位置，可以實現(xiàn)各種不同的連接方式，滿足各種不同的設(shè)計需求。請設(shè)計連接處榫頭及卯眼的尺寸并標注在圖中，使三者恰好能凹凸連接。（注意：為了榫卯結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，木塊最薄處不得少于0.3cm）

問題（1）中已設(shè)置好B部分卯眼的尺寸，學生在讀題后應(yīng)意識到該卯眼尺寸與C部分榫頭的尺寸相同，從而快速得到C部分的三視圖。問題（2）的答案是開放的，因此可以采用小組合作的方式解決問題，讓學生不僅發(fā)揮主動性給出自己的設(shè)計方案，而且根據(jù)限定條件判斷同伴設(shè)計方案的合理性。在此過程中，學生能夠深刻地認識到空間幾何體的組合與變換，感受立體幾何在生活中的應(yīng)用。

（四） 創(chuàng)新性：實施激活幾何思維的探究性教學

上述試題并非常規(guī)的立體幾何設(shè)問方式，需要學生將已知條件轉(zhuǎn)化為恰當?shù)臄?shù)學問題，通過開放性的探索，完成結(jié)論的猜想與檢驗。因此，教師在立體幾何教學中，也要設(shè)計具有開放性和挑戰(zhàn)性的問題或任務(wù)，引導學生充分展開探究，從而激活幾何思維。

例如課標附錄2中的“正方體截面”探究活動，其關(guān)鍵問題有三：（1） 截面存在哪些形狀？（2） 如何對截面的所有形狀分類？（3） 如何用數(shù)學語言證明？前兩個問題指向猜想（發(fā)現(xiàn)“是什么”），后一個問題指向檢驗（說明“為什么”）。對于前兩個問題，有些教師直接讓學生觀看教師操作幾何畫板，然后進行猜測。［16］筆者認為，利用幾何畫板操作確實便捷、高效，但是，教師演示更多的是一種講授，主導性過強，沒有讓學生（按自己的想法）充分展開探究，主體性不足。因此，應(yīng)該借助實物學具，給學生更充分的探究空間。

對于問題（1），如果讓學生切割正方體橡膠或海綿模型，則因為操作具有不可逆性，需要準備很多模型，效率較低。對此，可以小組為單位，發(fā)放如圖6所示的正方體透明盒子，讓學生往盒內(nèi)注水，將“正方體有多少種截面？”的問題轉(zhuǎn)化為“水面可以變?yōu)槟男┬螤睿俊钡膯栴}。由于不同小組注水的量不同，旋轉(zhuǎn)盒子的角度不同，會得到不同的答案。教師收集所有小組的答案，若仍有截面形狀被遺漏，可通過幾何畫板演示來補充。

對于問題（2），有些學生會根據(jù)自己得到截面形狀的順序展示；有些學生會按邊數(shù)來分類，得到三角形、四邊形等；另一些學生可能作出更細致的分類，得到三角形中還有特殊的等邊三角形等，四邊形中還有特殊的正方形、矩形、平行四邊形、梯形……對學生不同的、有理由的結(jié)論與分類，教師應(yīng)當給予肯定，因為這些都是學生（對有一定開放性和挑戰(zhàn)性的問題）的探究成果。在此基礎(chǔ)上，教師需要引導學生進一步思考：為什么水面形狀沒有直角三角形？水面形狀中的四邊形有什么特征？水面形狀可能是五邊形、六邊形或其他多邊形嗎？幫助學生進一步發(fā)現(xiàn)，水面形狀不僅沒有直角三角形，而且沒有鈍角三角形；水面形狀中的四邊形至少有一組對邊平行……由此，學生不僅能分析、解決問題，還能夠發(fā)現(xiàn)、提出問題，從而自然過渡到問題（3），思考“為什么會這樣”。

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*本文系湖南省哲學社會科學基金一般項目“中學教師數(shù)學英才教育觀研究”（編號：21YBA039）的階段性研究成果。謝圣英為本文通訊作者。