摘" 要：全反射是幾何光學(xué)中涉及界面處光線傳輸問題的重要知識點(diǎn)。本文通過“水流導(dǎo)光”實(shí)驗(yàn)生動再現(xiàn)了光的全反射現(xiàn)象，并且基于平拋水柱導(dǎo)光簡化模型，研究了小孔與液面的高度差、小孔面積、不同液體介質(zhì)、入射光的頻率等因素對“水流導(dǎo)光”全反射實(shí)驗(yàn)的影響。

關(guān)鍵詞：水流導(dǎo)光；全反射；影響因素

通訊作者：許士通（1990—），男，副教授，研究方向?yàn)樘掌澆ǘ喂δ芷骷约拔锢斫虒W(xué)研究。

基金項(xiàng)目：本文系國家自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目“基于液晶填充的微結(jié)構(gòu)太赫茲可調(diào)諧偏振控制器件研究”（課題編號：62005143）的研究成果。

1" 引言

1841年，瑞士物理學(xué)家Daniel Colladon提出了水流導(dǎo)光，并實(shí)現(xiàn)了用水流傳導(dǎo)光，開創(chuàng)了通過光傳輸信息的想法，為后來光導(dǎo)纖維的發(fā)明奠定了基礎(chǔ)。1966年，“光纖之父”高錕提出了光纖的構(gòu)想，并用硅基玻璃（SiO2）制造出最初的光纖，把光波約束在光纖內(nèi)部，從而使光可以沿著光纖軸線方向傳播。光纖通信技術(shù)具有帶寬大、誤碼率低、傳輸距離長等優(yōu)點(diǎn)。目前光纖已在通信領(lǐng)域、醫(yī)學(xué)、傳感等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。

幾何光學(xué)中，光的全反射理論是光導(dǎo)纖維應(yīng)用的理論基礎(chǔ)。［1］為了模擬光的全反射現(xiàn)象和鞏固光的全反射的授課內(nèi)容，本文采用水流導(dǎo)光簡易裝置進(jìn)行光的全反射實(shí)驗(yàn)，并從小孔與液面的高度差、小孔面積、不同液體介質(zhì)、入射光的頻率等角度討論實(shí)現(xiàn)“水流導(dǎo)光”的影響因素。

2" “水流導(dǎo)光”實(shí)驗(yàn)

2.1" 實(shí)驗(yàn)裝置

所需材料有激光器（紅色、綠色、紫色各1只）、礦泉水瓶（3個）、黑色幕布、水盆、水、鹽水、牛奶、錄像機(jī)等。在制作裝置時(shí)，先將一段鐵絲在火上加熱，然后將鐵絲對準(zhǔn)塑料瓶身底部平整處，并燙出一個直徑約為1cm的圓形小洞。水流導(dǎo)光實(shí)驗(yàn)簡易裝置圖如圖1所示。將水盆置于塑料瓶右下方用于接水，調(diào)整激光器的位置，使得激光能夠?qū)?zhǔn)瓶身的小孔出射。隨著水流流出，觀察水流導(dǎo)光的現(xiàn)象。

2.2" 實(shí)驗(yàn)原理

當(dāng)激光射向透明塑料瓶上的小孔時(shí)，如果沒有水流，則光將在均勻介質(zhì)中沿著水平方向向前傳播；當(dāng)水流呈拋物線流出時(shí)，光由光密介質(zhì)（

水）射向光疏介質(zhì)（空氣）。設(shè)光在水中的折射率為n1，入射角為i1，在空氣中的折射率為n2，折射角為i2。由折射定律n1sini1＝n2sini2，當(dāng)入射角增至i1＝arcsinn2n1時(shí)，折射角i2達(dá)到90°，折射光線消失，只剩下反射光線。

此時(shí)的入射角i1為全反射臨界角。當(dāng)入射角大于全反射臨界角時(shí)，光只會在兩介質(zhì)交界面上發(fā)生反射，無折射光線；經(jīng)過多次全反射，光便沿著水流從一端傳到另一端，形成了“光沿水流走”的現(xiàn)象。其中，水流可看作類似光導(dǎo)纖維纖芯的物質(zhì)，空氣類似包層。

3" “水流導(dǎo)光”實(shí)驗(yàn)影響因素研究

“水流導(dǎo)光”實(shí)驗(yàn)可以很好地詮釋光的全反射現(xiàn)象，體現(xiàn)光導(dǎo)纖維可以使光信號沿著曲線傳播的原理。［2］為了對本實(shí)驗(yàn)進(jìn)行進(jìn)一步創(chuàng)新研究，下文基于自由平拋水柱的導(dǎo)光模型，從小孔與液面的高度差、小孔面積、不同液體介質(zhì)、入射光的頻率等角度討論實(shí)現(xiàn)“水流導(dǎo)光”的影響因素。

3.1" 小孔與液面的高度差

通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，小孔與液面的高度差越大，水流的曲率越小，即入射光線到A點(diǎn)的入射角越大時(shí)，更易發(fā)生全反射現(xiàn)象實(shí)現(xiàn)“水流導(dǎo)光”，其平拋水柱光線路徑示意圖如圖2所示

。

下文對“水流導(dǎo)光”實(shí)驗(yàn)進(jìn)行定量分析。由于水從瓶身小孔處流出后，在下落的過程中速度越來越快，而水流量不變，故水柱直徑隨著水流速度增大而減小。為了防止較大的水流速度導(dǎo)致水柱分散，本研究選擇在水柱下落高度較小時(shí)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。這樣可以忽略空氣阻力、粘滯力等影響［3］，近似認(rèn)為水柱直徑保持不變，研究光在近似平拋水柱中的全反射受到小孔與液面高度差的影響程度。［4］

基于自由平拋水柱的導(dǎo)光模型，根據(jù)圖2坐標(biāo)，水流上界面的路徑方程為

x＝v0t，①

y＝－12gt2。②

由式①②可得路徑方程為y＝－gx22v20，③

所以第一個入射點(diǎn)A所在位置的斜率為

k＝dydx＝－gxv20。 ④

A點(diǎn)的坐標(biāo)為v0dg，－d2，代入式④可得在A點(diǎn)的斜率為

kA＝－gdv0，⑤

根據(jù)圖2可得，kA＝－tanπ2－θ＝－cot θ，⑥

由式⑤⑥可得v0＝gdcot θ。 ⑦

假設(shè)水流從瓶口流入的橫截面積為S1，流動速度為v1，水流自瓶身底部小孔流出的橫截面積為S2，流動速度為v2，考慮到水流穩(wěn)定，可得連續(xù)性方程

S1v1＝S2v2，⑧

即水流量保持不變。

由伯努利方程可得

ρgh1＋p1＋12ρv21＝ρgh2＋p2＋12ρv22。⑨

設(shè)瓶身小孔處水平線為零勢能面，小孔與液面的高度差為h（見圖3），則可以得到

v2＝2gh＋v21，⑩

結(jié)合式⑦⑩可以得到v1與h之間的關(guān)系公式

h＝gdcot2θ－v2112g，B11

根據(jù)式⑧，可知S1S2＝v2v1。 B12

當(dāng)S1S2，v1趨近于0時(shí)，h＝d2cot2θ，B13

考慮到光線發(fā)生全反射時(shí)，θ≥θc，所以

h≥d2cot2θc。 B14

如果瓶身上的小孔直徑為1cm，代入式B13可以得到液面與小孔的高度差和入射角之間的關(guān)系如表1所示，根據(jù)表1作出的關(guān)系圖如圖4所示。由于空氣的折射率近似為1，水的折射率為1.333，光發(fā)生全反射時(shí)，有11.333＝sin θc，計(jì)算出光在水中的全反射臨界角為θc＝48.6°。當(dāng)液面與小孔的高度差滿足h≥12cot248.6°cm≈0.64cm時(shí)，此時(shí)入射角達(dá)到全反射臨界角，光線達(dá)到全反射狀態(tài)。

3.2" 小孔面積

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)逐次增加小孔面積時(shí)，使光發(fā)生全反射所需水流初速度越大，即越不易發(fā)生光的全反射現(xiàn)象。下面進(jìn)行定量分析，假設(shè)水流從瓶口流入的橫截面積遠(yuǎn)大于水流自瓶身底部小孔流出的橫截面積，即S1S2。由B13式可知d＝2hcot2θ，固定液面高度差h為2cm時(shí)，小孔直徑d與入射角θ的關(guān)系如表2所示，根據(jù)表2作出的關(guān)系圖如圖5所示。

當(dāng)小孔的直徑滿足d≤2hcot2θc，即d≤2×2×cot248.6°≈3.11cm時(shí)，此時(shí)入射角達(dá)到全反射臨界角，光線達(dá)到全反射狀態(tài)。

3.3" 不同液體介質(zhì)

同一單色光在不同介質(zhì)中的傳播速度不同。光在真空中的傳播速度c與介質(zhì)中的傳播速度v的比值，稱為絕對折射率，即n＝cv。因此，同一頻率的光在不同液體介質(zhì)中的折射率不同。設(shè)光在液體中的折射率為n，當(dāng)光由某液體介質(zhì)向空氣中傳播時(shí)，全反射臨界角為i1＝arcsin1n。液體的折射率越大，光的全反射臨界角越小，光更容易達(dá)到全反射狀態(tài)。

鹽水的折射率大于水，且隨著溶液濃度的增加其折射率越大（濃度為12%的NaCl溶液折射率為1.362［5］，牛奶的折射率約為1.34［6］，水的折射率為1.333），故鹽水、牛奶的全反射臨界角大于水，可發(fā)生全反射的角度范圍更大一些。

3.4" 入射光的頻率

不同頻率的光在同一種介質(zhì)中的傳播速度也不同，因此它們在同一種液體介質(zhì)中具有不同的折射率。一般來說，由于折射率n隨著光頻率的減小而減小，再結(jié)合光的全反射臨界角為i1＝arcsin1n，可知全反射臨界角會隨著光的頻率的減小而增大。

例如，紅光的頻率小于綠光、紫光，它們在同一中介質(zhì)中的折射率大小關(guān)系為n紅＜n綠＜n紫，由于光的全反射臨界角為i1＝arcsin1n，可以得出i1紅＞i1綠＞i1紫的結(jié)論，即紫光發(fā)生全反射的角度范圍最大，更容易產(chǎn)生全反射，其次是綠光，范圍最小的是紅光。在實(shí)驗(yàn)過程中，通過改變光的頻率，重復(fù)實(shí)驗(yàn)，會發(fā)現(xiàn)紫光更容易在水流中達(dá)到光的全反射狀態(tài)，即更容易形成“水流導(dǎo)光”的現(xiàn)象。

4" 結(jié)論

綜上所述，本文通過“水流導(dǎo)光”實(shí)驗(yàn)再現(xiàn)了光的全反射現(xiàn)象，分析了小孔與液面的高度差、小孔面積、不同液體介質(zhì)、入射光的頻率等因素對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響。研究結(jié)果表明，小孔與液面的高度差、小孔面積均會對實(shí)驗(yàn)中光的全反射現(xiàn)象產(chǎn)生影響。小孔與液面高度差需要達(dá)到h≥gdcot2θc－v2112g時(shí)才有可能發(fā)生全反射S1S2，v1趨近于0時(shí)，h≥d2cot2θc；小孔面積越大，發(fā)生全反射所需要的水流初速度越大，越不易發(fā)生光的全反射現(xiàn)象，達(dá)到全反射狀態(tài)的小孔面積需滿足S2≤πh2cot4θc（S1S2，v1趨近于0）。

不同液體介質(zhì)、入射光的頻率同樣會對水流導(dǎo)光實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象產(chǎn)生影響。從理論上分析，液體的折射率越大，光的全反射臨界角越小，更易達(dá)到光的全反射狀態(tài)；光的頻率越大，發(fā)生全反射的角度范圍越大，更容易產(chǎn)生全反射，在實(shí)驗(yàn)中綠光相較紅光和紫光更容易達(dá)到全反射狀態(tài)。本文研究結(jié)果能夠加深學(xué)生對光的全反射原理的理解，對學(xué)生進(jìn)行此類實(shí)驗(yàn)具有一定指導(dǎo)意義。

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