摘要：固體壓強(qiáng)中的“切割”問(wèn)題是近年來(lái)重慶中考物理試卷的?？键c(diǎn)，同時(shí)也是重點(diǎn)和難點(diǎn)，傳統(tǒng)公式推導(dǎo)過(guò)程較為復(fù)雜，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高。相比之下，圖像法則只需要畫(huà)出大致圖像即可進(jìn)行判斷，簡(jiǎn)單、高效、實(shí)用。本文以固體壓強(qiáng)的“橫切”問(wèn)題為例，從常規(guī)解法入手，引入了簡(jiǎn)便的圖像法輔助解題。

關(guān)鍵詞：切割；圖像法；創(chuàng)新快捷思路

對(duì)于壓強(qiáng)的“切割”問(wèn)題，本文統(tǒng)計(jì)了2016年至2022年總共7年的重慶中考物理A、B卷試題，發(fā)現(xiàn)2016年、2019年、2021年、2022年的A卷以及2019年、2022年的B卷，分別在試卷難度最高的選擇題、填空題或者計(jì)算題考查固體壓強(qiáng)中的“切割”問(wèn)題。其中“豎切”問(wèn)題較為簡(jiǎn)單，但是試題中更多考查的是較為復(fù)雜的“橫切”問(wèn)題。由此可見(jiàn)，固體壓強(qiáng)中的“切割”變化問(wèn)題是初中物理的一個(gè)?？键c(diǎn)，也是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，同時(shí)還是教師訓(xùn)練和提升學(xué)生邏輯思維能力的有效載體。［1］

1問(wèn)題概括與舉例

固體壓強(qiáng)中的“切割”變化問(wèn)題，以形狀規(guī)則的柱形物體或者裝入液體的柱形容器為主，其特點(diǎn)是質(zhì)量分布均勻、實(shí)心、柱形（包括正方體、長(zhǎng)方體、圓柱體等）。本文主要研究固體壓強(qiáng)的“橫切”問(wèn)題，對(duì)于裝入液體的柱形容器問(wèn)題，可以用類(lèi)似的方法解決。

問(wèn)題舉例如下。

如圖所示，A、B均為質(zhì)量均勻的實(shí)心正方體，置于水平地面上，已知ρA＜ρB。若沿著水平方向切去相同的高度Δh，則A、B剩余部分對(duì)水平地面的壓強(qiáng)關(guān)系是？

2常規(guī)解法對(duì)比評(píng)析

2.1公式推導(dǎo)

根據(jù)題目中所給的條件，A、B均為質(zhì)量均勻的實(shí)心正方體，所以公式p＝ρgh適用，推導(dǎo)過(guò)程如下。

因?yàn)棣袮＜ρB且hA0＜hB0，

所以ρAghA0＜ρBghB0，即pA0＜pB0；

又因?yàn)棣袮＜ρB且Δh＝Δh，

故ρAgΔh＜ρBgΔh，即ΔpA＜ΔpB，

所以pA余＝pA0－ΔpA，pB余＝pB0－ΔpB。

通過(guò)以上分析可以發(fā)現(xiàn)，等式存在“大減大，小減小”，所得的結(jié)果無(wú)法判斷。公式法在此處行不通。

2.2引入極限思想

由于公式法行不通，有的同學(xué)會(huì)引入極限的思想。推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，每次切去相同的高度，A會(huì)被先切完，所以A余下部分的壓強(qiáng)會(huì)小一些。［2］

2.3評(píng)析

公式法雖然邏輯簡(jiǎn)單，但推導(dǎo)難度大，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、邏輯思維能力和綜合思考能力要求較高，而且不一定能夠得到正確的答案。極限法快捷，但要取到極限，比較特殊，且不確定極限能否代表一般情況，所以也不一定正確。兩種常規(guī)思路都存在一定缺陷。

3創(chuàng)新思路——圖像法

圖像法是一種有效的解題方法，它通過(guò)結(jié)合數(shù)字函數(shù)畫(huà)出對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)略圖像，實(shí)現(xiàn)化難為易，從而輔助解題。

3.1第一步，利用壓強(qiáng)公式，寫(xiě)出相應(yīng)解析式

假設(shè)原來(lái)的壓強(qiáng)為p0，切去的厚度為Δh，根據(jù)p＝ρgh可得

3.2第二步，與數(shù)學(xué)一次函數(shù)y＝kx＋b對(duì)應(yīng)后畫(huà)出p余-Δh圖像

切割之后余下部分的壓強(qiáng)p余＝－ρgΔh＋p0，可以與數(shù)學(xué)中的一次函數(shù)y＝kx＋b一一對(duì)應(yīng)，如表1所示。物體余下部分的壓強(qiáng)p余隨著切去高度Δh的變化而變化，p余隨著Δh的增大而均勻減小。其中，hA0、hB0表示A、B物體還沒(méi)有被切割時(shí)的高度，pA0、pB0分別表示A、B物體還沒(méi)有被切割時(shí)的壓強(qiáng)。ρg表示斜率，也就是壓強(qiáng)變化的快慢程度，密度越大，壓強(qiáng)減小得越快，圖像越陡，即B物體余下部分對(duì)地面的壓強(qiáng)減小得更快。

于是可以在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出A、B物體余下部分的壓強(qiáng)p余隨切去高度Δh變化的圖像（見(jiàn)圖1）。

由圖1很容易就可以發(fā)現(xiàn)：在整個(gè)切割過(guò)程中，A余下部分的壓強(qiáng)pA余始終在B余下壓強(qiáng)pB余的下方，即pA余＜pB余。

這樣便通過(guò)畫(huà)圖像的方法解決了此類(lèi)“切割”問(wèn)題。此方法簡(jiǎn)單、快捷、容易理解，同時(shí)也引導(dǎo)學(xué)生對(duì)跨學(xué)科知識(shí)的遷移運(yùn)用，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

4拓展應(yīng)用

核心母題如圖所示，C、D均為質(zhì)量均勻的實(shí)心正方體，將其置于水平地面上，它們對(duì)地面的壓強(qiáng)相等。請(qǐng)回答下列問(wèn)題（均選填下列選項(xiàng)前的序號(hào)）。

A. pC＞pD

B. pC＝pD

C. pC＜pD

D. 無(wú)法確定

①若沿水平方向分別切去相同厚度，則剩余部分對(duì)水平地面的壓強(qiáng)關(guān)系是（）。

②若沿水平方向分別切去相同體積，則剩余部分對(duì)水平地面的壓強(qiáng)關(guān)系是（）。

③若沿水平方向分別切去相同質(zhì)量，則剩余部分對(duì)水平地面的壓強(qiáng)關(guān)系是（）。

變式1：若C、D對(duì)地面的壓力相等（或質(zhì)量相同）。

④若沿水平方向分別切去相同厚度，則剩余部分對(duì)水平地面的壓強(qiáng)關(guān)系是（）。

⑤若沿水平方向分別切去相同體積，則剩余部分對(duì)水平地面的壓強(qiáng)關(guān)系是（）。

⑥若沿水平方向分別切去相同質(zhì)量，則剩余部分對(duì)水平地面的壓強(qiáng)關(guān)系是（）。

4.1對(duì)問(wèn)題①進(jìn)行分析

由pC0＝pD0，可知ρCghC0＝ρDghD0，且hC0＜hD0，故ρC＞ρD。

結(jié)合p余＝－ρgΔh＋p0，C、D初始?jí)簭?qiáng)相等。因?yàn)棣袰g＞ρDg，所以C余下部分的壓強(qiáng)減小得更快，C對(duì)應(yīng)的圖像坡度更陡。且hC0＜hD0，C會(huì)先被切完?？傻妙}①中C、D余下部分壓強(qiáng)變化圖像如圖2所示，由此可得，整個(gè)“橫切”過(guò)程中，pC余＜pD余。

4.2對(duì)問(wèn)題②進(jìn)行分析

首先分析得出表達(dá)式p余＝－ρgSΔV＋p0，p余與ΔV是一次函數(shù)關(guān)系，p0相同；因?yàn)棣袰gSC＞ρDgSD，故C余下部分的壓強(qiáng)變化更快，圖像更陡；且C的體積小，C先被切完；可以畫(huà)出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像如圖3所示，可以很快捷地得出C、D剩余部分對(duì)水平地面的壓強(qiáng)關(guān)系是pC＜pD。

4.3對(duì)問(wèn)題③進(jìn)行分析

首先分析得出表達(dá)式p余＝－gSΔm＋p0，p余與Δm是一次函數(shù)關(guān)系，p0相同；因?yàn)間SC＞gSD，C余下部分的壓強(qiáng)變化更快，圖像更陡；根據(jù)G＝F＝p0S且SC＜SD，可得mC0＜mD0，C先被切完；可以畫(huà)出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像如圖4所示，可以很快捷地得出C、D剩余部分對(duì)水平地面的壓強(qiáng)關(guān)系是pC＜pD。

4.4對(duì)變式1中問(wèn)題④進(jìn)行分析

如果采用常規(guī)公式法，推導(dǎo)過(guò)程如下。

根據(jù)p＝FS，由FC0＝FD0且SC＜SD，

可知pC0＞pD0。

又因?yàn)閔C0＜hD0，

可得ρC＞ρD，

故ρCgΔh＞ρDgΔh。

根據(jù)p余＝p0－Δp＝p0－ρgΔh，

可知pC余＝pC0－ρCgΔh與pD余＝pD0－ρDgΔh，

故存在“大減大，小減小”，兩者無(wú)法比較。

而采用圖像法，首先得出對(duì)應(yīng)的表達(dá)式p余＝－ρgΔh＋p0，p余與Δh是一次函數(shù)關(guān)系。根據(jù)前面的分析，已推出pC0＞pD0。根據(jù)ρC＞ρD，可得ρCg＞ρDg，所以C余下部分的壓強(qiáng)變化更快，圖像更陡。且hC0＜hD0，C先被切完，可以畫(huà)出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像如圖5所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，在Δh＜hx時(shí)，pC余＞pD余；在Δh＝hx時(shí)，pC余＝pD余；在Δh＞hx時(shí)，pC余＜pD余。這也可以解釋為什么常規(guī)公式法無(wú)法直接比較，更不能盲目使用極限法的原因。

4.5對(duì)變式1中⑤⑥進(jìn)行分析

根據(jù)相同的思路，可以得到⑤⑥對(duì)應(yīng)的圖像如圖6、圖7所示，壓強(qiáng)大小的判斷就很簡(jiǎn)單了。

5總結(jié)

在解題過(guò)程中，學(xué)生能否寫(xiě)出具體的函數(shù)解析式并不是關(guān)鍵。學(xué)生只需要大致得出p余與對(duì)應(yīng)變量的關(guān)系圖像，就能對(duì)各選項(xiàng)做出判斷。該方法降低了對(duì)學(xué)生的思維能力要求，普遍適用于大多數(shù)學(xué)生，值得推廣。

參考文獻(xiàn)

［1］劉建.提升邏輯思辨能力培養(yǎng)物理核心素養(yǎng)——以“壓強(qiáng)變化”主題復(fù)習(xí)為例［J］.物理通報(bào)，2022（7）：72-75，100.

［2］眭萍萍.巧用物理圖像 延伸思維觸角——以“固體壓強(qiáng)切割問(wèn)題”為例［J］.中學(xué)物理教學(xué)參考，2022，51（18）：57-58.