編者按：單元小結是單元整體教學中的重要環(huán)節(jié)，其設計與實施直接關系到學生對知識的系統(tǒng)掌握與深化理解. 為了深入探討單元小結課的有效教學策略，本期我們特別策劃了“單元整體視角下的單元小結課”專題，集中刊出三篇文章，包括對單元小結課的主要結構與設計要點的思考，以及實踐基礎上的反思、評價等，對落實單元整體教學具有啟發(fā)性. 希望這些研究能對廣大讀者有所啟發(fā)，引發(fā)更廣泛而深刻的相關討論，產生更多的研究成果. 歡迎廣大讀者就“單元整體視角下的單元小結課”專題踴躍投稿，本刊將擇優(yōu)繼續(xù)刊登.

摘 要：基于課例，對初中數(shù)學單元小結課的主要結構與設計要點進行研討，提出一種單元小結課的主要結構，包括知識體系再建構、簡單情境的技能練習、綜合情境的問題解決、課堂小結，并對每部分的設計要點進行具體而深入的闡述.

關鍵詞：單元小結課；知識體系；技能練習；問題解決

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）08-0004-06

引用格式：林祥華. 初中數(shù)學單元小結課的主要結構與設計要點：基于兩節(jié)課例的研討［J］. 中國數(shù)學教育（初中版），2024（8）：4-9.

單元小結課是教師普遍感到較難把握的課型. 單元小結課的設計之“難”是多方面的. 單元小結課的內容多、任務重，那么如何“溫故”而不單調重復，甚至還要“知新”？如何考慮到不同水平學生的需要？同時，單元小結課不同于新課教學，新課教學有教材可以作為設計藍本. 這些難點都需要教師自己把握.

為了探究較適宜、可操作的單元小結課的主要結構與設計要點，我們組織了一個教研團隊開展基于課例的研討活動.

一、活動程序

1. 第一次集中研討

通過學習和討論，對單元小結課的基本任務達成以下共識.

（1）回顧、梳理本單元知識. 重點是：核心知識的再理解，知識體系的再建構，對知識體系建構過程中蘊含的核心思想和一般觀念的再領悟.

（2）復習、鞏固本單元技能. 重點是：重要技能的復習與鞏固，易錯技能的糾正.

（3）提升關鍵能力. 重點是：以本單元內容為載體的關鍵能力的提升，核心思想、一般觀念的遷移運用，綜合運用本單元知識、技能、思想方法分析問題和解決問題的能力，最好還有發(fā)現(xiàn)問題并提出問題的機會.

2. 分頭進行設計

結合教學進度，教研團隊安排了兩節(jié)九年級上學期的單元小結研討課，如表1所示.

基于第一次集中研討，兩位執(zhí)教教師根據各自的理解與思考分別進行教學設計，團隊其他教師也對這兩節(jié)課進行獨立構思.

3. 第二次集中研討

兩位執(zhí)教教師分別授課，團隊其他教師觀課、研討，嘗試提煉單元小結課的主要結構和設計要點，并對兩節(jié)課提出優(yōu)化設計的建議.

二、“圓”單元小結課

對于“圓”的單元小結課，執(zhí)教教師A的教學設計思路是：將等腰三角形與圓進行疊加創(chuàng)設新的情境，以不同的疊加方式為主線設計問題，讓學生探究疊加后的圖形的特征. 在此過程中，關聯(lián)等腰三角形的對稱性來復習圓的有關性質，并有意識地引導學生探究圓中與弦有關的軸對稱結構. 設計一道有難度且有梯度的例題來體現(xiàn)本單元的知識及本節(jié)課探究的與弦有關的軸對稱結構，培養(yǎng)學生的幾何直觀及推理能力，達到讓學生遷移運用所學知識的目的.

1. 復習定義，建立關聯(lián)

問題1：圓是如何定義的？

追問1：圓被稱為最美的平面圖形. 你是如何理解圓的“美”的？

追問2：在數(shù)學學習中，我們常常將有共同特征的數(shù)學對象聯(lián)系起來展開研究. 圓是軸對稱圖形，在學過的平面圖形中，哪些圖形也具有軸對稱性？哪個最基本？說說你的想法.

追問3：如果將等腰三角形與圓進行關聯(lián)，從圖形要素的角度，你認為有哪些關聯(lián)方式？

學情反饋：對圓的定義和前兩個追問，學生都能高度參與，積極回答問題，但對追問3沒有回應.

2. 互動探究，動態(tài)建構

問題2：以圓心為等腰三角形的頂點，如何快速畫出等腰三角形？

問題3：如何用尺規(guī)作等腰三角形，使其三個頂點都在圓上？你是如何思考的？

問題4：通過前面的研究，我們發(fā)現(xiàn)圓及圓中任意一條弦所組成的圖形具有軸對稱性. 對于問題3中的圖形，若僅留下圓中的兩條弦使其與該圓構成軸對稱圖形，你認為應該留下哪兩條弦？

學情反饋：對于以上問題，學生參與的熱情較高，基本都能通過自己的觀察和思考進行復習或探究. 但整個過程中，需要學生動手操作、思考的問題比較多，有的問題思維量大，導致學生思考、反饋的用時及教師分析講解的用時都較多.

3. 例題精講，變式練習

例 如圖1，△ABC的三個頂點A，B，C在⊙O上.

（1）在⊙O上求作點D，使得△BAD ≌ △ABC. （要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡.）

（2）在（1）的條件下，連接OA，OC，CD，若∠AOC = 120°，AB = a，CD = b，求BC的長（用含a，b的式子表示）.

第（1）小題需要先根據全等三角形與圓的軸對稱性直觀猜想點的位置，再通過推理明確作圖方法. 第（2）小題需要整體觀察圖形，發(fā)現(xiàn)BC與AD這一組等弦（設交點為P）構成軸對稱圖形，進而猜想△PAB和△PCD是等邊三角形，獲得解題思路.

學情反饋：由于課堂上所剩時間不夠充分，大多數(shù)學生只能完成第（1）小題. 執(zhí)教教師A對第（1）小題進行了簡單講評，并很快地點撥了第（2）小題的解題思路，隨后進入課堂小結. 原計劃的與圓的對稱性相關的兩道變式練習題沒能用上.

4. 課堂小結

問題5：本節(jié)課我們復習了哪些內容？如何體現(xiàn)圓的軸對稱性在圓的各要素之間的關系？

問題6：我們是如何借助圓的軸對稱性解決問題的？

學情反饋：在教師的追問和啟發(fā)下，學生基本能回答上述問題. 其中，提到了要整體觀察圖形的結構特征，以及本節(jié)課提煉的與弦有關的軸對稱結構.

三、“直線和圓的位置關系”單元小結課

對于“直線和圓的位置關系”單元小結課，執(zhí)教教師B的教學設計思路是：先梳理類比點和圓的位置關系研究本單元內容的過程，再進行核心知識和技能的練習，最后以一道例題讓學生綜合運用本單元的知識和數(shù)形結合思想，并設計開放性的變式與追問，引導學生進一步感悟“位置變化中蘊含著數(shù)量（關系）的變化，特殊的數(shù)量關系蘊含著特殊的位置關系，反之亦然”.

1. 知識梳理，構建網絡

問題1：本章我們學習了與圓有關的位置關系. 同學們回憶一下，我們研究了哪些內容？

追問1：在與圓有關的位置關系中，最簡單的是什么圖形和圓的位置關系？它有哪些情況？如何判斷？

追問2：點和圓的位置關系、直線和圓的位置關系這兩者在研究思路、研究方法、研究結論上有怎樣的關系？

師生活動：在復習直線和圓的位置關系后，學生進行了如下的技能練習. 在直角三角形中，已知兩條直角邊的長，判定以直角頂點為圓心的不同半徑長的圓與斜邊的位置關系. 教師追問：“為什么要過直角頂點作斜邊的垂線段？兩者的判定方法中的‘d’有何區(qū)別？”對部分學生在識別“d”上出現(xiàn)的錯誤進行辨析、糾正，執(zhí)教教師B以問題“我們深入研究了哪一種位置關系？為什么？”引出對圓的切線的判定與性質的復習.

學情反饋：在追問2中，教師帶領學生回憶“如何得到切線的判定”用時較多. 本環(huán)節(jié)的課堂氛圍略顯沉悶，但對于“兩者的判定方法中‘d ’的區(qū)別”，學生回答問題的踴躍程度明顯較高.

本環(huán)節(jié)中，隨著師生互動，黑板上逐漸呈現(xiàn)了如圖2所示的思維導圖.

2. 例題精講，變式遷移

例 如圖3，在[?ABCD]中，∠ABC = 70°，半徑為r的⊙O經過A，B，D三點，[AD]的長是[πr2]，延長CB至點P，使得PB = AB. 試判斷直線PA與⊙O的位置關系，并說明理由.

師生活動：在學生獨立思考、交流展示的基礎上，教師強調要緊扣“d與r的數(shù)量關系”的目標對條件進行轉化，并對例題進行如下變式后再追問.

變式：直線和圓的位置關系中，相切是最為特殊的一種. 如果改變其中一個條件，使得直線PA與⊙O相切，可以怎樣改？

追問1：關于∠ABC或∠AOD的度數(shù)的兩種改法之間有聯(lián)系嗎？你能否發(fā)現(xiàn)一般性的結論？

追問2：當∠ABC和∠AOD之間滿足什么樣的數(shù)量關系時，直線PA與⊙O相切？

學情反饋：學生在改變條件時思維過于發(fā)散，教師用了較長時間引導學生逐一辨析. 沒有學生自主發(fā)現(xiàn)“要使直線PA與⊙O相切，條件中的∠ABC和∠AOD之間要滿足特殊的數(shù)量關系”. 在教師對追問2的明確啟發(fā)之下，少數(shù)學生才回頭思考. 但由于課堂所剩時間不足，教師直接進行題后總結：特殊的數(shù)量關系中蘊含著特殊的位置關系，反之亦然；而定量描述圖形位置關系的方式是多元的，是可以相互轉化的.

3. 課堂小結

問題2：在直線和圓的位置關系中，我們深入研究了哪一種情況？為什么？

問題3：我們學習了用圓心到直線的距離d和半徑r之間的數(shù)量關系量化描述直線和圓的位置關系，在幾何學習中，還有其他類似的內容嗎？

問題4：位置關系和數(shù)量關系是幾何研究的重要內容，你是怎樣理解這兩者之間的聯(lián)系的？

學情反饋：學生回答問題的積極性較高. 但對于問題4，只有個別學生能說出“由特殊的位置關系可以聯(lián)想到其中有特殊的數(shù)量關系，數(shù)量關系可以是線段長或角度的關系”.

四、課例研討

1. 研討內容

（1）比較兩節(jié)課的結構及教學處理，分別評析兩節(jié)課的亮點和有待改進之處，并提出修改建議.

（2）提煉比較適宜的單元小結課結構，基于該結構提出明確的設計要點.

2. 研討結論

基于對兩個課例的深度研討，教研團隊認為單元小結課可以分為四大部分，具體如下.

（1）知識體系再建構：互動探究，動態(tài)建構.

顯然，單元小結課對知識的復習應該立足于知識體系而非零散的知識點.

所謂“再建構”，有兩個層面的意義. 一是單元小結課對知識體系的建構是總覽和概括性的，而新課學習時的建構是隨著新知的學習經過多個課時不斷推進的. 因此，單元小結課對知識體系及其育人價值的體現(xiàn)更清晰、完整，邏輯性更強. 二是建構活動的主體是學生，因此教師需要設計問題、活動等引導學生主動、自然地生成知識體系. 在這一點上，課例1中，執(zhí)教教師A設計了等腰三角形與圓關聯(lián)的新情境，穿插問題思考、作圖操作、觀察猜想、論證推理等探究活動，與課例2中學生單調回答問題的學習方式相比，課例1更能提高學生的學習積極性.

因此，知識體系再建構的過程最好能基于新情境. 設計這樣的情境需要考慮以下三個方面.

一是情境要蘊含問題或活動任務，使學生在思考問題、完成活動的過程中經歷知識體系的再建構. 例如，根據要求作圖，而作圖原理中蘊含了所學的知識、方法；根據已有的條件嘗試提出問題，而提出問題的思路中蘊含了所學的知識或數(shù)學思想；等等. 顯然，這樣的問題或活動具有一定的思辨性和探究性，基于師生、生生互動，指向理解知識、感悟數(shù)學思想、掌握研究數(shù)學對象的一般思路，而不是傳統(tǒng)的解題，因而也更能激發(fā)學生的學習興趣.

二是情境要有自然生長性，能通過不斷變式、追問，將知識體系再建構的全過程有邏輯地融合其中（根據內容特點和具體情況，情境也可以不止一個）. 當然，情境與再建構過程的融合應該是自然的，有助于學生理解知識本質的聯(lián)系和方法的來龍去脈.

例如，課例1中，執(zhí)教教師A通過將等腰三角形與圓疊加的方式進行關聯(lián)，略顯生硬，系列問題在反映本單元知識之間的內在聯(lián)系上體現(xiàn)得不夠充分，主線不夠清晰. 事實上，兩者之間進行關聯(lián)的本質是：軸對稱圖形的性質是對稱軸垂直平分任意一對對應點所連線段，由于等腰三角形是軸對稱圖形中的基本圖形，能直觀且集中反映圖形的軸對稱性，而對應點所連線段即為等腰三角形的底邊. 在圓中，圓上任意兩點都可以是一對對應點，這兩點所連線段可以作為等腰三角形的底邊，則對稱軸是該條弦的垂直平分線，而當?shù)妊切雾斀堑捻旤c是圓心或對稱軸與圓的交點時比較特殊.

因此，建議教師在提出問題“在學過的平面圖形中，哪些圖形也具有軸對稱性？哪個最基本？”之后，可以用問題“為什么等腰三角形最基本？”進行追問，通過軸對稱的性質，揭示等腰三角形“基本”的意義所在. 再設計活動讓學生在圓中作出能反映軸對稱性的等腰三角形，并說明作圖依據. 這樣，就能體現(xiàn)等腰三角形是反映軸對稱性的基本圖形，借助等腰三角形的性質，從與新課學習不同的角度理解圓的軸對稱性和其中蘊含的圖形要素之間的關系，以及理解圓的定義與軸對稱性之間的聯(lián)系，從而使情境下的系列問題更有系統(tǒng)性和邏輯性，關注其核心和本質，削枝強干.

三是情境不宜復雜，否則易將學生的思維都牽制到解題上來，失去知識體系建構的載體功能，偏離重心. 事實上，能承載“再建構”任務的情境，越簡單、靈動越好.

值得提出的是，課例2中，執(zhí)教教師B在“再建構”過程中有動態(tài)形成的反映知識體系與核心思想的結構化板書，使學生有俯瞰的機會，效果更好. 當然，若在揭示位置關系的研究思路時，教師在板書的“數(shù)量關系”邊標注“圓的要素（圓心、半徑）與直線”，則更能直觀地體現(xiàn)基于要素之間的關系研究圖形關系的一般觀念.

（2）簡單情境的技能練習：復習鞏固，反饋矯正.

在單元小結課中，若沒有技能練習，沒有核心知識的簡單應用，對于一部分還需要夯實基礎知識和基本技能的學生來說“不太友好”. 教師對技能練習的設計應關注單元的重要技能及其易錯點. 事實上，學生在經歷了整個單元的學習后，認知水平與對知識的理解逐漸加深，這個時候進行技能矯正是大有可為的.

技能練習可以在知識體系再建構完成后單獨作為一個環(huán)節(jié)，也可以采用課例2中的方式，將知識體系建構分為若干模塊，復習完每個模塊即進行相應的技能練習. 當然，還可以將其融合在知識體系再建構中. 例如，情境中的問題或活動就是本單元的某個技能；在生成知識方法的情境中添加具體條件和設問，成為簡單的技能練習；等等. 也可以根據具體情況選擇不同的方式，使“雙基”有機融合.

（3）綜合情境的問題解決：典例精析，變式拓展.

學生通過一個單元的學習往往要完成“知識理解—技能掌握—能力素養(yǎng)發(fā)展”的過程. 單元小結課中需要有檢驗、發(fā)展學生能力素養(yǎng)的例題. 這樣的例題通常有一定的思維挑戰(zhàn)性，在有限的課堂時間內不能貪多堆砌，以免削減學生獨立思考、教師析題揭示的時間，使例題的價值大打折扣. 這無疑對例題的設計提出了更高的要求.

一是例題要有所聚焦. 單元小結課的例題既要考慮綜合性，又要聚焦本單元的核心知識和思想方法，能體現(xiàn)對本單元的關鍵能力或核心素養(yǎng)的考查. 甚至在適當?shù)那闆r下，還可以考慮借助例題遷移本單元研究數(shù)學對象的一般觀念. 例如，“直線與圓的位置關系”單元小結課中，教師可以設計例題讓學生研究兩邊都與圓相交的角和圓的位置關系，從定義到判定（定量描述），基于圖形要素的關系探究定量描述的方式.

二是例題情境要新、設問要活. 熟悉情境的問題往往考查的是學生的解題記憶，而在新情境中解決問題，沒有現(xiàn)成的對策，需要學生理解情境，分析問題，探尋解決問題的思路，使學生經歷獨立的思維過程，積累思維經驗.

設問是情境的重要組成部分，對例題的思維價值有很大影響. 例如，“證明點P在直線l上”有明確的方向性，但若改為“判斷點P與直線l的位置關系”，顯然對問題的分析能力要求更高；“證明AB = 2CD”有很強的暗示性，但若改為“探究線段AB與CD的數(shù)量關系”，顯然后者的思維含量更高；“分別求選擇三種方式獲得成功的概率”有明確的指向性，但若改為“你認為選擇哪種方式最合理？試說明理由”，或是“你先選出其中最合理的方式，并在此基礎上提出一種改進方案，使得……”，則要求學生能在實際情境中知道用概率作出合理判斷或決策，顯然改后的問題對學生的能力素養(yǎng)要求更高. 總的來說，探究性、評價性、創(chuàng)造性的設問具有一定的開放性，對學生自己發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力要求更高. 當然，設計開放性問題需要特別注意避免漫無目的或偏離重點的發(fā)散. 例如，課例2中，若將例題的變式“改變一個條件”改為“改變∠ABC，∠AOD其中一個角的度數(shù)”，則會使學生的思考更能集中到教師的設計意圖上來.

三是例題要有引申或變式的余地. 課堂上考查學生能力的題不宜過多，否則情境切換，往往沒有充分的時間讓學生閱讀和理解. 比較高效的做法是精心選擇一道例題，挖掘這道例題中蘊含的思維引申拓展的價值，設計變式或追問，使學生在一個情境下經歷思考的逐步進階.

例題的變式設計需要與原題形成一定的思維邏輯，體現(xiàn)數(shù)學思考、數(shù)學發(fā)現(xiàn)的一種自然邏輯. 例如，對原題進行特殊化、一般化、類比聯(lián)系等，使學生從中感悟研究和遷移的一般方法，未來也可以讓學生獨立思考，更重要的是讓學生能基于一個問題的解決發(fā)現(xiàn)和提出有價值的新問題.

事實上，單元小結課的例題要能很好地承載“例”的功能. 往往很難找到現(xiàn)成的題目，通常需要根據教學目標、設計意圖等對已有題目進行改編，有時甚至需要原創(chuàng). 這對教師的命題能力有一定的要求.

需要注意的是，學生的“做”和教師的“析”對于充分發(fā)揮例題的價值缺一不可. 對于學生的思維難點，如何分析條件和設問，如何探求解決問題的思路等，都需要輔以結構化的析題板書充分呈現(xiàn)，引導學生反思、提煉，使學生有向、有序、有法和有據地進行思維活動.

例如，課例2中關于例題變式的教學，若能結合學生的回答設計結構化板書逐步呈現(xiàn)思維過程（如圖4），學生則能自然地發(fā)現(xiàn)無論改變哪一個角的度數(shù)，都要使∠ABC = ∠AOD，從而感受到直線和圓的特殊位置關系中蘊含著兩個角度之間特殊的數(shù)量關系，進一步引導學生嘗試提出問題“當這兩個角滿足什么條件時，直線PA與⊙O是相交的？”甚至還可以先合理猜想角度之間的大小關系. 這樣，使學生對核心思想的理解和知識的遷移運用就能水到渠成，得到落實.

（4）課堂小結：凝練概括，內化遷移.

單元小結課的課堂小結不僅是對本節(jié)課的小結，也是對本單元的概括總結，既要對本單元的知識體系及其蘊含的思想方法、一般觀念進行凝練概括，又要盡可能基于一般觀念提出后續(xù)可以研究的對象、內容、思路、方法，甚至可能的結論. 這樣使單元小結課與單元引入形成呼應，讓學生經歷有過程、有結果、有生長的結構化學習過程. 例如，對于課例2的課堂小結，教師可以提出問題“我們學習了點和直線、直線和直線、點和圓、直線和圓的位置關系，積累了豐富的學習經驗，那么要研究圓和圓的位置關系，你會研究哪些內容？如何研究？可能會有什么樣的結論？”甚至可以讓學生自己提出后續(xù)可以研究的內容. 這樣的問題能觸發(fā)學生的探究欲和創(chuàng)造力，體現(xiàn)知識整體性的價值和一般觀念的強大力量.

雖然課堂小結的主體是學生，但是仍然需要教師通過問題來引導學生，盡量避免流于簡單復述和空泛的名詞. 例如，在提出問題“我們在研究直線和圓的位置關系中運用了什么數(shù)學思想？”之后，還應該再問：“你能舉例說明我們怎么用數(shù)形結合思想研究直線和圓的位置關系嗎？”甚至可以直接問：“你是如何理解數(shù)學思想在研究直線和圓的位置關系中的作用的？”當然，對于這樣比較宏觀的問題，如果學生回答起來有困難，可以通過追問給予適當?shù)呐_階或提示.

單元小結課的課堂小結問題內涵豐富，思想性強，涵蓋的內容范圍也比較大，學生很難僅靠在頭腦中的復盤作出回答，教師通常需要借助板書幫助學生回顧和凝練. 因此，單元小結課的板書需要呈現(xiàn)什么、用什么方式呈現(xiàn)能做到結構清晰、簡明易懂，是要經過精心設計的. 從這一點來看，那種“一個課件搞定一節(jié)課”“把一體機當黑板，把黑板當草稿”的教學方式顯然與單元小結課的教學任務相去甚遠.

五、結語

在研討活動后，兩位執(zhí)教教師對教學設計進行了修改和再實踐. 限于篇幅，本文不再贅述.

事實上，單元小結課的設計方式有很多，即使教研團隊基于課例的研討提出了一些結論或觀點，也還有諸多問題需要后續(xù)進一步研究. 例如，如何設計單元小結課前測、課堂檢測和課后作業(yè)？如何體現(xiàn)差異化教學，以滿足不同水平學生的學習需求？各部分的設計要點能否通過實踐研究使其可操作性更強？等等. 總的來說，對數(shù)學、學生、教學的理解是做好教學設計的重要前提. 高質量的實踐和研討是優(yōu)化教學設計的有效途徑.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］曹才翰，章建躍. 中學數(shù)學教學概論：第3版［M］. 北京：北京師范大學出版，2012.