摘 要：數(shù)學(xué)習題課教學(xué)模式是在分析數(shù)學(xué)習題課教學(xué)中存在的問題的基礎(chǔ)上，在教學(xué)理論的指導(dǎo)下，以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促進學(xué)生深度學(xué)習、主動發(fā)展為目的，將啟發(fā)式、探究式、體驗式和對話式教學(xué)融為一體并在實踐中取得成效后建構(gòu)的. 它是由教學(xué)目標、理論基礎(chǔ)、教學(xué)程序、實施條件等要素構(gòu)成的習題課教學(xué)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，其指導(dǎo)思想為：使學(xué)生在對話中學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考，在變式中把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，在實踐中提高解題能力，在反思中積累解題經(jīng)驗.

關(guān)鍵詞：習題課；教學(xué)模式；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）08-0028-05

引用格式：王富英，王占娟，吳立寶，陳婷婷. 數(shù)學(xué)習題課教學(xué)模式的建構(gòu)［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2024（8）：28-32.

一、模式的提出

數(shù)學(xué)習題課是教師以幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識、形成技能、提高解題能力、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目的，根據(jù)學(xué)生學(xué)習內(nèi)容的教學(xué)要求和學(xué)習需要，在課堂上進行的以范例的研究、講解和變式訓(xùn)練為主要形態(tài)的一種課型. 習題課在培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識分析問題和解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中有著重要的地位與作用.

在現(xiàn)實教學(xué)中，習題課的主要教學(xué)方式是教師分析、講解例題的解題思路，其中穿插一些啟發(fā)性的提問，但不等學(xué)生回答，教師就直接講解或者只讓學(xué)生回答一些簡單的問題，講解完例題后再讓學(xué)生做一些同類型的習題. 從教學(xué)設(shè)計的角度來看，這種教學(xué)方式是教師以自己如何“好教”而不是學(xué)生如何“好學(xué)”的角度進行設(shè)計的，導(dǎo)致教與學(xué)分離；從教學(xué)方式的角度來看，采用的仍是傳授式教學(xué)，即教師在課堂上獨占話語權(quán)，不給學(xué)生留獨立思考的時間和交流表達的機會，學(xué)生被動聽講，其主體性嚴重缺失，學(xué)習的積極性較低；從教學(xué)結(jié)果的角度來看，學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解局限在工具性理解，而沒有進入關(guān)系性理解和價值性理解，因而也就缺乏對數(shù)學(xué)知識內(nèi)容本質(zhì)的理解，導(dǎo)致解題能力得不到提高，面對具體問題時不能靈活運用知識分析并解決問題，只能死記硬背各種題型，模仿、套用模板進行解題. 研究發(fā)現(xiàn)，僅有40%的學(xué)生能跟上這樣的教學(xué)進度，教學(xué)效率低下，導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習成為缺乏深度理解的淺層學(xué)習，這對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)極為不利. 針對習題課中存在的問題，本研究從學(xué)生的“學(xué)”出發(fā)，以激發(fā)學(xué)生主動參與，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促進學(xué)生深度學(xué)習、主動發(fā)展為目的，將啟發(fā)式、探究式、體驗式、對話式等多元化的教學(xué)方式融為一體，建構(gòu)了數(shù)學(xué)習題課教學(xué)模式，在教學(xué)實踐中取得了很好的教學(xué)效果.

二、模式的構(gòu)建

教學(xué)模式是為了完成特定的教學(xué)任務(wù)，并在一定教學(xué)理論的指導(dǎo)下，將教與學(xué)的諸多要素融為一體而形成的，以穩(wěn)定的教學(xué)程序為表征的教學(xué)活動結(jié)構(gòu)體系. 一個成熟的教學(xué)模式至少應(yīng)該包括以下四個基本要素：教學(xué)目標、理論基礎(chǔ)、教學(xué)程序、實施條件. 本研究正是基于對教學(xué)模式的以上理解進行的數(shù)學(xué)習題課教學(xué)模式的建構(gòu).

1. 教學(xué)目標

教學(xué)目標是完成教學(xué)任務(wù)的指南，是構(gòu)成教學(xué)模式的核心要素. 數(shù)學(xué)習題課教學(xué)的總體教學(xué)目標是由鞏固知識、形成技能、學(xué)會解題、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)四個子目標構(gòu)成的. 它們之間是由低到高、逐級遞進的關(guān)系. 其中，“鞏固知識”和“形成技能”的目的是夯實“雙基”，是習題課教學(xué)的基本目標.“學(xué)會解題”是指學(xué)會用數(shù)學(xué)知識和思想方法觀察、思考、分析、解決實際問題（數(shù)學(xué)內(nèi)部和現(xiàn)實世界），并能用準確的數(shù)學(xué)語言表達出來.“學(xué)會解題”是習題課的主要目的，即習題課教學(xué)的核心目標.“發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”是指在運用數(shù)學(xué)知識與思想方法解決問題的過程中逐漸形成的學(xué)生發(fā)展所需要的必備數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力，以及正確的情感、態(tài)度和價值觀. 因此，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是習題課教學(xué)的最高目標. 其中，基本目標是核心目標達成的基礎(chǔ)和前提. 核心目標是基本目標的進一步發(fā)展，是習題課教學(xué)的重點. 最高目標是核心目prREJm97aTIjfFS49VAYsA==標的升華，它是在實現(xiàn)基本目標和核心目標的過程中逐漸達成的. 只有達成了基本目標和核心目標，才能實現(xiàn)最高目標.

2. 理論基礎(chǔ)

理論基礎(chǔ)是教學(xué)模式諸多要素賴以建立的依據(jù)與基礎(chǔ)，決定著教學(xué)模式的方向性和獨特性. 因此，它是構(gòu)成教學(xué)模式諸多要素的核心. 教學(xué)模式的理論基礎(chǔ)滲透在教學(xué)模式的各個環(huán)節(jié)中，并制約著它們之間的關(guān)系. 數(shù)學(xué)習題課教學(xué)模式的理論基礎(chǔ)是導(dǎo)學(xué)講評式教學(xué)理論. 導(dǎo)學(xué)講評式教學(xué)是指在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生根據(jù)學(xué)案進行自主學(xué)習、對話性講解和學(xué)習內(nèi)評價，以達到學(xué)會學(xué)習、主動發(fā)展的教與學(xué)活動方式. “導(dǎo)學(xué)”“講解”“評價”是其核心要素，故取“導(dǎo)”“講”“評”的漢語拼音首字母，簡稱“DJP教學(xué)”. DJP教學(xué)遵循的是回歸自然的教育觀. 它包括三個部分：回歸人的自然屬性，回歸教育的自然規(guī)律，回歸學(xué)生的自然生活. 人的自然屬性包括以下三個方面：求知欲與學(xué)習是人的生存屬性，交往與對話是人的社會屬性，獲得尊重與實現(xiàn)自我需求是人的生命價值屬性. 回歸人的自然屬性要求在教學(xué)中“要把自主權(quán)還給學(xué)生，把話語權(quán)交給學(xué)生”“要高度尊重學(xué)生，充分信任學(xué)生”. 回歸教育的自然規(guī)律是指教學(xué)要遵循規(guī)律，不能憑經(jīng)驗進行教學(xué)，這樣才能提高教學(xué)的有效性. 回歸學(xué)生的自然生活是指學(xué)習的內(nèi)容要與學(xué)生的現(xiàn)實生活有密切聯(lián)系. DJP教學(xué)的基本教學(xué)理念是讓知識在對話中生成，讓能力在活動中提升，讓情感在評價中升華.

基于數(shù)學(xué)習題課的教學(xué)目標和相關(guān)理論，本研究確定習題課教學(xué)的指導(dǎo)思想為：在對話中學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考，在變式中把握數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)，在實踐中提高解題能力，在反思中積累解題經(jīng)驗.

3. 教學(xué)程序

任何成熟的教學(xué)模式都有一套相對穩(wěn)定的操作程序. 本研究建構(gòu)的數(shù)學(xué)習題課教學(xué)模式的操作程序分為課前“兩準備”、課中“五步驟”和課后“三行為”. 課前“兩準備”是指教師準備和學(xué)生準備，課中“五步驟”為組內(nèi)交流、全班講解、回顧評析、變式練習、反思總結(jié)，課后“三行為”為鞏固、反省和調(diào)整. 具體結(jié)構(gòu)如圖1所示.

（1）課前“兩準備”.

教師和學(xué)生在課前都要做好充分的準備. 教師的準備是在研究教材和分析學(xué)情的基礎(chǔ)上編制學(xué)案. 學(xué)生的準備是明確學(xué)習目標，在學(xué)案的引導(dǎo)下獨立完成學(xué)案中典型例題的解答，總結(jié)解題規(guī)律. 為了提高習題課的教學(xué)質(zhì)量，在學(xué)案設(shè)計中選配的例題一定要具有目的性、典型性、研究性和發(fā)展性. 例如，在學(xué)習平行線的性質(zhì)的習題課中，教師可以在學(xué)案中設(shè)計以下典型例題.

例 如圖2，AB∥CD，∠PAB，∠APC和∠PCD之間有什么數(shù)量關(guān)系？試用不同的方法證明你的結(jié)論.

此例題可以運用平行線的性質(zhì)定理解答，解法很多，并且可以進行引申、推廣，具有目的性、典型性、研究性和發(fā)展性.

（2）課中“五步驟”.

在課堂教學(xué)中，教學(xué)過程按“組內(nèi)交流—全班講解—回顧評析—變式練習—反思總結(jié)”五個步驟進行.

步驟1：組內(nèi)交流.

組內(nèi)交流是指在學(xué)生根據(jù)學(xué)案自主學(xué)習后，上課時先讓學(xué)生在小組內(nèi)交流，分享自己對典型例題的解題思路與求解方法，對于不能解答的問題尋求組內(nèi)同伴的幫助，力求在組內(nèi)解決存在的問題. 組內(nèi)交流為學(xué)生提供了交流、分享的機會與平臺，讓學(xué)生充分展示并與他人分享自己的思想觀點及解題智慧. 對于組內(nèi)討論不能解決的問題，小組代表在全班講解時提出以尋求他人幫助. 這時，教師要深入?yún)⑴c到學(xué)生的交流討論之中，進行巡視指導(dǎo). 教師的巡視指導(dǎo)既可以幫助學(xué)生解決一些學(xué)習中的困難，也可以掌握學(xué)生的學(xué)習情況，便于在講解和點評時更有針對性.

步驟2：全班講解.

全班講解是指在小組交流、討論后由小組推薦的代表在全班進行的交流講解. 具體講解內(nèi)容為：我是如何想到的？我有哪些新發(fā)現(xiàn)？我還有哪些不能解決的問題. 學(xué)生的講解對學(xué)習者分享他人解題智慧、學(xué)習他人經(jīng)驗、建構(gòu)知識意義具有重要的價值和作用. 這里的講解是對話性講解，是指學(xué)生個體或?qū)W習小組圍繞某個學(xué)習主題，面向全班展示、表達、解釋自己或小組討論的觀點、想法與發(fā)現(xiàn)，教師與其他學(xué)生通過傾聽、提問、質(zhì)疑、評價等與之互動對話的學(xué)習活動過程. 以下是針對例題的師生對話講解的實錄.

師：同學(xué)們已經(jīng)獨立完成了學(xué)案上例題的解答，剛才各小組也進行了交流，現(xiàn)在請各小組代表與大家分享你們解決此題的思路與方法.

生1：我們小組的解題思路是過點P向左邊作直線AB的平行線構(gòu)造內(nèi)錯角，利用平行線的性質(zhì)定理，將∠A與∠C集中在一起，與∠APC一起構(gòu)成一個周角（如圖3）. 可得∠PAB + ∠APC + ∠PCD = 360°.

生2：我們小組由AB∥CD聯(lián)想到平行線的性質(zhì)定理. 為了使∠PAB，∠APC和∠PCD之間產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，我們過點P向右作PE∥AB（如圖4），利用平行線的性質(zhì)定理可以得到∠PAB + ∠APC + ∠PCD = 360°.

生3：我們小組的解題思路是把分散的三個角集中到兩個平角中，采用的方法是延長AP與DC，交于點E（如圖5）. 因為AB∥CD，所以∠PAB = ∠6. 在△EPC中，因為∠6 = ∠3 + ∠4，所以∠PAB = ∠3 + ∠4. 因為∠1 + ∠3 = 180°，∠2 + ∠4 = 180°，所以∠PAB + ∠APC + ∠PCD = ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°.

生4：我們小組的思路是連接AC，把∠APC，∠PAB和∠PCD的和轉(zhuǎn)化為一個三角形的內(nèi)角和一對同旁內(nèi)角（如圖6），可得這五個角的和為360°.

師：非常好！這里點A和點C分別是射線AB和射線CD的端點，比較特殊. 如果將線段AC沿AB方向移動，使點A和點C的對應(yīng)點分別落在射線AB和射線CD的任意位置（如圖7），還能解決這個問題嗎？[A][B][C][D]

生5：可以，此時構(gòu)成了一個五邊形，五邊形內(nèi)角和為540°，然后再減去一對同旁內(nèi)角的和180°，仍然是360°.

生6：我們小組認為既然是落在任意位置，還有可能構(gòu)成四邊形（如圖8），這樣就可以用內(nèi)錯角和四邊形內(nèi)角和為360°來進行轉(zhuǎn)化.

這是一道沒有給出結(jié)論的探究題. 學(xué)生在經(jīng)過獨立思考和小組交流討論后在全班交流講解各種解題的思路與方法. 通過師生的對話交流，充分展示了學(xué)生的解題智慧，并使學(xué)生學(xué)習了如何進行數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)表達. 同時，激活了傾聽者的思維，使之產(chǎn)生了新的解題方法，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，促進了習題課教學(xué)目標的達成.

步驟3：回顧評析.

回顧評析是在完成典型例題的分析解答后對解題中用到的知識及解題的策略方法進行回顧、評析與總結(jié)，在此基礎(chǔ)上對例題進行深入研究. 在評析解題策略和方法時，教師要引導(dǎo)學(xué)生對各種解法的優(yōu)劣進行分析，揭示解決問題的核心思想和關(guān)鍵，總結(jié)解題的規(guī)律與方法，傳播學(xué)生的解題智慧. 回顧評析可以在學(xué)案或課堂上通過以下問題引導(dǎo)學(xué)生進行：解決此題的關(guān)鍵是什么？還有其他解法嗎？哪種解法具有一般性？它們之間有何內(nèi)在聯(lián)系？解題中用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？能否把此問題推廣到一般？學(xué)生通過解題回顧和評析過程，總結(jié)、提煉解題規(guī)律與數(shù)學(xué)思想方法，積累解題經(jīng)驗，從而發(fā)展抽象能力、直觀想象和推理能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)解題能力，促進習題課教學(xué)目標的達成.

以下是針對例題進行回顧評析的教學(xué)實錄節(jié)選.

師：剛才幾個小組的同學(xué)依據(jù)不同思路解答了此題，展示了同學(xué)們的解題智慧，很好. 現(xiàn)在大家思考：這幾種解法用到的核心思想是什么？這幾種解法的內(nèi)在聯(lián)系是什么？

生7：我認為此題的幾種解法中蘊含的核心思想是轉(zhuǎn)化. 前兩種解法是通過過點P作AB的平行線，利用平行線的性質(zhì)定理將所求問題轉(zhuǎn)化成一個周角或兩對同旁內(nèi)角的和；第三種解法是通過延長AP，DC，將所求的三個角之和轉(zhuǎn)化為兩個平角的和；第四至第六種解法是連接AC或者AB，CD上兩點將問題轉(zhuǎn)化為一個多邊形內(nèi)角和一對同旁內(nèi)角的和. 因此，轉(zhuǎn)化思想是這幾種解法的核心.

師：講得很好！抓住了問題的本質(zhì). 轉(zhuǎn)化思想是解決此問題的精髓與靈魂. 大家認為哪種方法比較好？為什么？

生8：我覺得過點P作AB平行線的方法比較好. 因為這種方法非常容易想到，而且可以將此類問題進行推廣. 例如，若把點P叫作“折點”，則當折點的個數(shù)增加到n個時有何結(jié)論？此時，就可以利用這種方法很快解決問題.

師：生8能夠透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，抓住解決此問題的關(guān)鍵，找到問題與解法之間的內(nèi)在聯(lián)系，思維深刻，極具創(chuàng)新性，很了不起！

步驟4：變式練習.

變式練習是在對典型例題的解題規(guī)律和方法進行總結(jié)提煉后讓學(xué)生再做一組相關(guān)的變式練習題. 變式練習題可以由教師提供，也可以讓學(xué)生自己編制，做完練習題后可以組織學(xué)生相互交流評析. 通過變式練習，使學(xué)生進一步鞏固此類問題的解題規(guī)律，掌握這類問題的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì). 以下是解決例題后出示的一組變式練習題.

變式1：如圖9，已知直線AB∥CD，點E，F(xiàn)在直線BD的左側(cè)，BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE. 則∠E和∠F之間有什么數(shù)量關(guān)系？

變式2：如圖10，已知直線AB∥CD，點E，F(xiàn)在直線BD的兩側(cè)，BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，則∠E和∠F之間有什么數(shù)量關(guān)系？

變式3：如圖11，已知直線AB∥CD，點E，F(xiàn)在直線AB的上方，BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，則∠F和∠E之間有什么數(shù)量關(guān)系？

變式4：如圖12，已知直線AB∥CD，點E，F(xiàn)在直線AB的上方，BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，則∠F和∠E之間有什么數(shù)量關(guān)系？

步驟5：反思總結(jié).

反思總結(jié)是整節(jié)課結(jié)束后師生共同對整節(jié)課進行全面回顧和總結(jié). 通過反思總結(jié)提煉解題規(guī)律，積累解題經(jīng)驗，形成并完善解題認知結(jié)構(gòu). 一般地，可以在學(xué)案或課堂上通過以下問題引導(dǎo)學(xué)生進行反思總結(jié)：本節(jié)課用到了哪些知識？在問題解決中主要運用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？這些知識方法與前面學(xué)習的哪些知識方法有聯(lián)系？從本節(jié)課的學(xué)習中你有何體會與感悟？

（3）課后“三行為”.

這里的“三行為”是指鞏固、反省和調(diào)整.

鞏固：針對習題課上的重點和存在的問題，教師要布置適當?shù)淖鳂I(yè)進行練習，使學(xué)生鞏固解題策略方法，形成解題技能，提高解題能力.

反?。航處熀蛯W(xué)生都要反省自己在課堂教學(xué)活動中的思想與行為. 教師要反省自己的學(xué)案設(shè)計是否符合學(xué)生的認知需要和認知規(guī)律，組織的對話性講解是否有效，對學(xué)生各種解決問題的方法是否點評到位，對隱藏在數(shù)學(xué)知識和方法背后的思想、規(guī)律是否有效揭示，等等. 學(xué)生要反省自己對解題中涉及的哪些知識有缺漏，解題的策略方法有哪些不當，學(xué)習探究的策略有何不足. 反省是學(xué)會學(xué)習的重要途徑. 教師在教學(xué)中要指導(dǎo)學(xué)生有效反省自己的學(xué)習策略和方法，讓學(xué)生在反省中逐漸積累解題活動經(jīng)驗，提高解題能力.

調(diào)整：教師和學(xué)生要對在反省中發(fā)現(xiàn)的不恰當思想和行為及時進行調(diào)整. 教師要在反省后對教學(xué)設(shè)計與教學(xué)過程中的不足及時作出調(diào)整；學(xué)生要在反省后根據(jù)存在的問題及時作出學(xué)習策略和方法的調(diào)整，以提高今后的學(xué)習效率.

4. 實施條件

任何一種教學(xué)模式都不是萬能的，它都是在一定條件下才能起作用. 由于本教學(xué)模式在師生關(guān)系、教學(xué)過程、教學(xué)方式、價值追求等方面都不同于傳統(tǒng)教學(xué)，它要求教師掌握相關(guān)理論、改變教學(xué)觀念，能有效進行學(xué)案設(shè)計，具有較高的課堂組織調(diào)控能力，特別是剛實施該教學(xué)模式的教師可能會產(chǎn)生不適應(yīng)和抵觸情緒. 為了避免和消除教師在運用該教學(xué)模式過程中產(chǎn)生的不適應(yīng)和抵觸情緒，教研組要組織教師進行相關(guān)理論的學(xué)習和學(xué)案設(shè)計的培訓(xùn)與研討，幫助教師轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，提高其對相關(guān)理論的認識，提高教師編制學(xué)案的能力和教學(xué)組織能力.

三、模式的價值

實踐表明，該教學(xué)模式將教、學(xué)、評有機融為一體，可消除教、學(xué)、評分離的現(xiàn)狀，有利于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，將《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》提出的發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求落到了實處. 該教學(xué)模式的運用不僅改變了教師的教學(xué)行為，而且轉(zhuǎn)變了教師的教學(xué)觀念，提高了教師的教學(xué)設(shè)計水平和研究能力.

參考文獻：

［1］王富英. 論中學(xué)數(shù)學(xué)習題課教學(xué)［J］. 數(shù)學(xué)通報，2020，59（7）：35-39.

［2］王富英，王新民. 讓知識在對話交流中生成：DJP教學(xué)中知識生成的過程與理解分析［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2013（11）：3-6.

［3］胡定榮.“兩分析－三備－四步－兩循環(huán)”教學(xué)模式的構(gòu)建與實踐［J］. 課程[?]教材[?]教法，2011，31（5）：27-32.

［4］王富英，朱遠平.“導(dǎo)學(xué)講評式教學(xué)”的理論與實踐：王富英團隊DJP教學(xué)研究［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2019.

［5］曹一鳴. 中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式及其發(fā)展研究［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2007.

［6］王富英，王新民，黃祥勇，等. 數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)講評式教學(xué)論［M］. 北京：科學(xué)出版社，2020.

［7］王富英，王新民. 數(shù)學(xué)學(xué)案及其設(shè)計［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2009，18（1）：71-74.