摘 要：數(shù)學(xué)文化課不同于一般的課程，它以深淺適當(dāng)?shù)闹R為載體，以明暗兩線交錯的形式在課堂中展開，傳授數(shù)學(xué)的思想、精神和方法. 弦圖是滲透數(shù)學(xué)文化的代表之一，由弦圖出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生探尋弦圖的歷史、結(jié)構(gòu)和應(yīng)用，感悟數(shù)學(xué)文化對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響，推動學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

關(guān)鍵詞：復(fù)習(xí)課；數(shù)學(xué)文化；弦圖

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）08-0042-05

引用格式：趙鋒，黃瑞華. 傳承·發(fā)展·創(chuàng)新：數(shù)學(xué)文化教學(xué)的思考［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2024（8）：42-46.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)文化，在教材編寫中建議介紹數(shù)學(xué)文化，拓寬學(xué)生視野，增強(qiáng)民族自豪感，且試題命制應(yīng)適當(dāng)引入數(shù)學(xué)文化作為試題情境. 由此可見，數(shù)學(xué)文化在教、學(xué)、評中越來越受到重視. 如何在課堂中滲透數(shù)學(xué)文化值得深思. 筆者以“弦圖”為背景開設(shè)了一節(jié)中考復(fù)習(xí)課，引導(dǎo)學(xué)生深度探尋“弦圖”的幾何結(jié)構(gòu)，并帶領(lǐng)學(xué)生應(yīng)用探尋的結(jié)論解決深層次的問題，使其感悟數(shù)學(xué)文化. 現(xiàn)將本節(jié)課整理并撰寫成文，與各位同行交流.

一、備課思考與分析

1. 教學(xué)目標(biāo)的思考

弦圖是中國古代數(shù)學(xué)中一顆璀璨的明珠. 它利用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來證明代數(shù)恒等式，利用它證明勾股定理簡潔而富有創(chuàng)意，為中國古代“形數(shù)統(tǒng)一”的獨(dú)特風(fēng)格樹立了典范. 因此，本節(jié)課有必要讓學(xué)生了解弦圖的相關(guān)歷史，感受中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的成就，樹立學(xué)生的文化自信.

弦圖的結(jié)構(gòu)簡潔，是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的中心對稱圖形. 將弦圖去掉一半，剩下的圖形便是常用的基本圖形（“三垂直”或“K字型”）. 將弦圖和基本圖形相關(guān)聯(lián)可以有效減少學(xué)生記憶基本圖形所花費(fèi)的時間. 這個簡單的結(jié)構(gòu)背后存在著重要的面積關(guān)系. 善用圖形的面積關(guān)系能幫助學(xué)生巧妙地解決與弦圖相關(guān)的問題. 在一些條件不明晰（弦圖結(jié)構(gòu)不明顯或正方形內(nèi)出現(xiàn)以它的邊長為斜邊的直角三角形等）的題目中，這類問題的解決對學(xué)生來說難度較大，但是根據(jù)已知條件構(gòu)造弦圖后，便能快速利用其內(nèi)部的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化相關(guān)圖形、線段間的關(guān)系，從而快速找到解決問題的方法.

因此，將本節(jié)復(fù)習(xí)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下：知道弦圖的相關(guān)歷史資料，了解其幾何特征；掌握弦圖的面積關(guān)系，能夠在合適的背景下構(gòu)造弦圖解決問題，發(fā)展幾何直觀；經(jīng)歷識弦圖、賞弦圖、用弦圖、構(gòu)弦圖和變弦圖的學(xué)習(xí)過程，感受數(shù)學(xué)文化的傳承、發(fā)展和創(chuàng)新，樹立文化自信.

2. 學(xué)情分析

筆者在課前調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，九年級學(xué)生對于弦圖缺少系統(tǒng)化的認(rèn)知，主要停留在“弦圖與勾股定理相關(guān)”的認(rèn)識上. 學(xué)生對于弦圖的認(rèn)識是碎片化的，沒有形成知識體系. 作為中考一輪復(fù)習(xí)課，教師不僅要幫助學(xué)生進(jìn)行基礎(chǔ)知識的查漏補(bǔ)缺，而且要帶領(lǐng)學(xué)生建立知識框架，實現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容從碎片化向整體化的轉(zhuǎn)變. 筆者所授課班級學(xué)生的數(shù)學(xué)平均水平相對較低，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣不高，因此，本節(jié)課從拼弦圖的方式入手，讓學(xué)生經(jīng)歷動手實踐的過程，在完成任務(wù)的過程中增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的信心，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)驅(qū)力. 同時，不設(shè)置難度過大的題目，目的是讓每名學(xué)生都能參與數(shù)學(xué)課堂活動，感受弦圖的幾何結(jié)構(gòu)美.

3. 如何在課堂中滲透數(shù)學(xué)文化

隨著課程改革的深入，數(shù)學(xué)文化的育人價值受到越來越多的關(guān)注. 然而，部分教師把數(shù)學(xué)文化等同于講解數(shù)學(xué)史料、播放數(shù)學(xué)家的故事等（如在勾股定理的教學(xué)中介紹畢達(dá)哥拉斯和趙爽發(fā)現(xiàn)勾股定理的史料）. 在一筆帶過地完成這個環(huán)節(jié)后，教師便回歸到例題講解的環(huán)節(jié)，使得數(shù)學(xué)文化的教學(xué)成為課堂的一個小插曲，對學(xué)生而言只是了解了個故事. 數(shù)學(xué)文化在課堂教學(xué)中可以呈現(xiàn)明暗兩條主線. 明線包含數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)和起源、數(shù)學(xué)家的軼聞趣事等，有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，開闊學(xué)生的視野；暗線是讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)思想對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響，有利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的價值，促進(jìn)學(xué)生科學(xué)精神、應(yīng)用意識和人文素養(yǎng)的發(fā)展. 明暗兩條線在課堂教學(xué)中交錯展開，使課堂中真正有了“數(shù)學(xué)文化味”，更好地彰顯了數(shù)學(xué)育人的教育目標(biāo).

二、教學(xué)過程與說明

1. 從“識”到“賞”，傳承弦圖背后的文化

環(huán)節(jié)1：識弦圖.

問題1：你能用手中的四個全等的直角三角形紙片拼出一個正方形嗎？試試看.

學(xué)生利用手中的三角形紙片動手操作拼出如圖1所示的兩個正方形.

追問1：你是如何思考這個問題的？為什么這樣拼出來的是正方形？

追問2：你熟悉這兩個圖形嗎？你對它們有哪些認(rèn)識？

師生活動：經(jīng)過師生互動，明確圖1（a）是趙爽用以證明勾股定理的圖形（后被稱為“內(nèi)弦圖”），圖1（b）是畢達(dá)哥拉斯用以證明勾股定理的圖形（后被稱為“外弦圖”）. 對于弦圖，學(xué)生利用它證明了勾股定理；它是由四個全等的直角三角形拼接成一個大正方形；弦圖中的面積關(guān)系為S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形；它是中心對稱圖形；等等. 教師將學(xué)生總結(jié)的關(guān)于弦圖的結(jié)論歸納為幾何和代數(shù)兩個領(lǐng)域.

【教學(xué)說明】以動手操作和開放式問題帶領(lǐng)學(xué)生回憶弦圖的相關(guān)知識，促使每名學(xué)生都能參與到課堂互動中，不至于教學(xué)伊始就出現(xiàn)有學(xué)生“掉隊”的現(xiàn)象. 教師引導(dǎo)學(xué)生從幾何和代數(shù)兩個方面認(rèn)識弦圖，為后續(xù)的問題解決作鋪墊.

環(huán)節(jié)2：賞弦圖.

師：圖2中的這兩幅圖分別是2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會徽和2021年在上海召開的第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會的會徽. 這兩次會議的會徽中都出現(xiàn)了弦圖. 弦圖到底有什么魅力能在兩次會議的會徽上出現(xiàn)？今天就讓我們了解弦圖背后的故事，同學(xué)們先自行閱讀關(guān)于弦圖的資料.

【教學(xué)說明】兩次重要的數(shù)學(xué)會議的會徽設(shè)計中都融入了弦圖元素，不由得引發(fā)學(xué)生思考其中的原因，從而激發(fā)學(xué)生對弦圖歷史文化的興趣，使數(shù)學(xué)文化的種子在學(xué)生心中悄然發(fā)芽. 同時，學(xué)生閱讀史料了解弦圖在中國古代數(shù)學(xué)中的重要地位及中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的高度，增強(qiáng)了文化自信.

2. 從“用”到“構(gòu)”，感受數(shù)學(xué)文化的發(fā)展

環(huán)節(jié)3：用弦圖.

題目1 我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅弦圖，后人稱其為“趙爽弦圖（如圖3（a）”. 圖3（b）是由弦圖變化得到的，它是由八個全等的直角三角形拼接而成. 記圖3（b）中正方形ABCD、正方形EFGH和正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1 + S2 + S3 = 10，則S2的值是_______.

師生活動：學(xué)生思考交流. 教師巡視學(xué)生解答的情況，對有困難的學(xué)生加以指導(dǎo)，讓學(xué)生展示思路和解法.

解法1：設(shè)GK = a，HK = b.

則S1 =[a+b2]，S2 = a2 + b2，S3 =[b-a2].

因為S1 + S2 + S3 = 10，

所以[a+b2]+ a2 + b2 +[b-a2]= 10.

化簡，得[3a2+b2]= 10，即3S2 = 10.

所以S2 =[103].

解法2：由圖3（b），可知S1 = S2 + 4SRt△AEH，S3 = S2 - 4SRt△GHK，且SRt△GHK = SRt△AEH.

將兩式相加，整理，得S1 + S3 = 2S2.

因為S1 + S2 + S3 = 10，

所以3S2 = 10，即S2 =[103].

解法3：將直角三角形都特殊化為等腰直角三角形，此時S1 = 8SRt△GHK = 2S2，S3 = 0.

因為S1 + S2 + S3 = 10，

所以3S2 = 10，即S2 =[103].

【教學(xué)說明】給予學(xué)生充分的時間思考問題，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度切入問題，用批判性的眼光看待不同的解法，經(jīng)歷對解法的選擇與優(yōu)化的過程，比較它們的優(yōu)劣之處. 從代數(shù)角度培養(yǎng)學(xué)生的符號意識，發(fā)展學(xué)生的模型思想；從幾何角度讓學(xué)生關(guān)注圖形特征，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀；用特殊化的方法解決問題實現(xiàn)靜態(tài)問題動態(tài)化，為解答選擇題、填空題帶來便利. 在這個環(huán)節(jié)中，教師及時對學(xué)生的解法進(jìn)行追問：“你是怎樣想到的？”通過追問可以將學(xué)生的思維路徑展現(xiàn)出來，再幫助學(xué)生總結(jié)反思，深刻了解弦圖的結(jié)構(gòu)特征，促進(jìn)其對知識的再認(rèn)識.

環(huán)節(jié)4：構(gòu)弦圖.

題目2 如圖4，以Rt△ABC的兩邊AB，AC分別向外作正方形ABGF和正方形ACDE，連接EF. 若△ABC的面積等于6，則△AEF的面積為________.

學(xué)生活動：學(xué)生思考并動筆算一算.

如圖5，學(xué)生容易想到過點(diǎn)E作FA的垂線，交FA的延長線于點(diǎn)M，證明△ABC ≌ △AME，進(jìn)而得到EM = BC，從而計算得到△AEF的面積等于6. 也有學(xué)生構(gòu)造如圖6所示的結(jié)構(gòu)，同樣利用三角形全等得到△ABC和△AEF面積相等的關(guān)系.

問題2：你是怎么想到這樣作圖的呢？

問題3：從圖5和圖6中正方形的結(jié)構(gòu)來看，你能聯(lián)想到什么圖形？你能把缺少的弦圖補(bǔ)全嗎？補(bǔ)全圖形后，你能快速得到這道題的結(jié)果嗎？

師生活動：如圖7，學(xué)生補(bǔ)全弦圖，然后利用弦圖的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)快速得到了△ABC和△AEF的面積相等. 教師總結(jié)歸納弦圖的基本圖形（如圖8），引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平時所說的“K字型”“三垂直”等基本圖形都是來自弦圖. 教師再讓學(xué)生將圖7和圖3（b）作比較，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們都是由八個全等的直角三角形組成的圖形，由于構(gòu)圖方式的不同（圖3（b）中的直角三角形以軸對稱的方式拼接，圖7中的直角三角形以中心對稱的方式拼接），導(dǎo)致出現(xiàn)了不同的圖形內(nèi)部結(jié)構(gòu).

問題4：除了可以基于大正方形構(gòu)造弦圖解決問題，你能在小正方形內(nèi)構(gòu)造弦圖解決問題嗎？

學(xué)生活動：學(xué)生構(gòu)造的弦圖如圖9所示，發(fā)現(xiàn)利用弦圖的結(jié)構(gòu)也可以得到△ABC和△AEF的面積相等.

題目3 如圖10，點(diǎn)O是正方形ABCD對角線AC的中點(diǎn)，以正方形的邊BC為斜邊向內(nèi)作Rt△BCE，若CE = 4，BE = 16，則OE的長度是________.

【教學(xué)說明】以上題目環(huán)環(huán)相扣，難度層層遞進(jìn)，符合知識螺旋式上升的趨勢. 學(xué)生先分析圖形的結(jié)構(gòu)從而構(gòu)造弦圖，將構(gòu)造的弦圖與環(huán)節(jié)2中的圖形進(jìn)行聯(lián)系、對比，發(fā)現(xiàn)將相同的圖形通過不同方式的拼接可以得到不同的內(nèi)部結(jié)構(gòu). 在構(gòu)造弦圖的過程中，帶領(lǐng)學(xué)生重新審視“K字型”“三垂直”等基本圖形，意識到它們都是由弦圖衍生而來的，不僅減輕了學(xué)生記憶基本圖形的負(fù)擔(dān)，而且有利于建構(gòu)弦圖的知識框架. 在學(xué)生完成題目3的解答后，教師追問：“在什么情況下可以構(gòu)造弦圖來解決問題？”由于本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容為弦圖，且題目2已經(jīng)為構(gòu)造弦圖進(jìn)行了鋪墊，因此，解答題目3時，學(xué)生不難想到通過構(gòu)造弦圖來解決問題. 但在沒有弦圖的情境時，恐怕很少有學(xué)生能想到用構(gòu)造弦圖的方法來解決問題. 因此，教師總結(jié)提煉式的追問必不可少，旨在作為解題方法論的指導(dǎo)和引領(lǐng).

3. 創(chuàng)意弦圖，從發(fā)展逐步邁向創(chuàng)新

環(huán)節(jié)5：變弦圖.

師：從“用弦圖”到“構(gòu)弦圖”，體現(xiàn)了弦圖的發(fā)展歷程. 在本節(jié)課的最后，我們試著在圖形結(jié)構(gòu)上對弦圖進(jìn)行創(chuàng)新. 類比以正方形為背景的弦圖，創(chuàng)作出其他圖形背景下的弦圖.

學(xué)生活動：學(xué)生經(jīng)過小組合作交流，紛紛將正方形變成了菱形、三角形等圖形，創(chuàng)作出如圖11所示的弦圖.

【教學(xué)說明】基于學(xué)生對弦圖幾何結(jié)構(gòu)的認(rèn)知與理解，留給學(xué)生無限遐想的空間，突破其思維的局限性，促進(jìn)其創(chuàng)作出不同形狀的弦圖，潛移默化地讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化傳承、發(fā)展和創(chuàng)新的理念，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識. 本環(huán)節(jié)不僅讓學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)作畫圖，而且讓學(xué)生對創(chuàng)作的圖形從幾何結(jié)構(gòu)特征、圖形的作用與價值、新圖形的繼續(xù)創(chuàng)新等角度進(jìn)行多方面、多元化的評價，促使學(xué)生對弦圖有更深層次的認(rèn)識.

4. 深化反思，構(gòu)建數(shù)學(xué)文化地圖

環(huán)節(jié)6：課堂小結(jié).

問題5：你對弦圖有哪些認(rèn)識？

師生活動：學(xué)生圍繞問題5展開交流，教師輔助學(xué)生完善弦圖的知識結(jié)構(gòu)圖（如圖12）.

教師總結(jié)：本節(jié)課，我們沿著“識—賞—用—構(gòu)—變”的路徑再次認(rèn)識了弦圖. 其實，“賞”和“識”就是數(shù)學(xué)文化的傳承，“用”和“構(gòu)”就是數(shù)學(xué)文化的發(fā)展，“變”就是數(shù)學(xué)文化的創(chuàng)新.

【教學(xué)說明】通過完善弦圖在幾何領(lǐng)域和代數(shù)領(lǐng)域的知識框架，并對弦圖在代數(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)行了適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充和展望，讓學(xué)生再次感受弦圖中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想. 在總結(jié)階段，教師將本節(jié)課的學(xué)習(xí)路徑升華為對數(shù)學(xué)文化的傳承、發(fā)展和創(chuàng)新，起到畫龍點(diǎn)睛的作用，達(dá)到立德樹人的教育效果.

三、教學(xué)反思

1. 在教學(xué)中呈現(xiàn)內(nèi)在邏輯，感悟文化力量

數(shù)學(xué)文化課不同于一般的課程，它以深淺適當(dāng)?shù)闹R為載體，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，傳授數(shù)學(xué)的思想、精神和方法，以明暗兩條線交錯的形式展開教學(xué)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響. 數(shù)學(xué)文化不在于教師的講授，更多的在于滲透和感悟. 本節(jié)課以弦圖的“識—賞—用—構(gòu)—變”過程為明線，介紹弦圖的來歷、作用、結(jié)構(gòu)和應(yīng)用，暗線則指在這個過程背后對于數(shù)學(xué)文化的傳承、發(fā)展和創(chuàng)新. 在“賞弦圖”環(huán)節(jié)，學(xué)生通過閱讀資料領(lǐng)略中國古代數(shù)學(xué)家的智慧，增強(qiáng)了民族自豪感和文化自信. 在當(dāng)前的教育背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)充分發(fā)揮數(shù)學(xué)文化教育的優(yōu)勢，對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維進(jìn)行培養(yǎng)，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體作用，推進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展. 教師要通過課堂教學(xué)向?qū)W生滲透、展示數(shù)學(xué)文化的魅力，挖掘數(shù)學(xué)的多元育人價值，讓學(xué)生接觸到火熱的文化數(shù)學(xué)、教育數(shù)學(xué).

2. 在真實思考中體驗文化，回歸知識本質(zhì)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要讓學(xué)生引發(fā)真實的思考，在思考中體驗，在體驗中感悟，在感悟中提高認(rèn)知，在認(rèn)知中回歸本質(zhì). 筆者嘗試實踐小題量的復(fù)習(xí)課. 從教和學(xué)兩個角度來看，有教師為了完成大題量的教學(xué)而對題目淺嘗輒止、就題論題，導(dǎo)致學(xué)生對題目的理解也是蜻蜓點(diǎn)水，缺少本質(zhì)的理解. 而小題量的教學(xué)讓師生都有足夠的時間理解、挖掘題目的本質(zhì)，提煉出核心的知識和方法. 本節(jié)課選取了三道題作為講解重點(diǎn).“識弦圖”環(huán)節(jié)的設(shè)置目的是讓學(xué)生經(jīng)歷動手操作的過程，從圖形結(jié)構(gòu)等方面回憶相關(guān)知識.“用弦圖”環(huán)節(jié)從一題多解的角度使學(xué)生感受圖形面積之間的關(guān)系，在歸納提煉中對方法進(jìn)行選擇與優(yōu)化，實現(xiàn)學(xué)生高階思維的發(fā)展.“構(gòu)弦圖”環(huán)節(jié)旨在讓學(xué)生用整體觀念補(bǔ)全圖形結(jié)構(gòu)，再進(jìn)行遷移與應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，進(jìn)一步落實教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，加深學(xué)生對弦圖本質(zhì)的理解.

3. 在文化熏陶中構(gòu)建知識框架，達(dá)成深度學(xué)習(xí)

郭華教授認(rèn)為，深度學(xué)習(xí)具備聯(lián)想與結(jié)構(gòu)、活動與體驗、本質(zhì)與變式、遷移與應(yīng)用、價值與評價等特征. 深度學(xué)習(xí)中，學(xué)生所學(xué)的知識不是零散的、碎片式、雜亂無章的信息，而是有邏輯、有體系、有結(jié)構(gòu)的知識；學(xué)生也并不是孤立地學(xué)習(xí)知識，而是在教師的引導(dǎo)下，根據(jù)當(dāng)前的學(xué)習(xí)活動去聯(lián)想、調(diào)動、激活以往的經(jīng)驗、知識，以融會貫通的方式組織學(xué)習(xí)內(nèi)容，從而建構(gòu)出自己的知識結(jié)構(gòu). 本節(jié)課的環(huán)節(jié)1和環(huán)節(jié)2，旨在讓學(xué)生參與動手操作拼圖的活動，使學(xué)生在這個過程中全身心體驗弦圖的結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步了解面積關(guān)系和圖形的對稱性；環(huán)節(jié)3和環(huán)節(jié)4中，通過經(jīng)歷對不同解法的歸納、提煉的過程，去除非本質(zhì)屬性的干擾，把握題目背后最本質(zhì)的核心知識；環(huán)節(jié)5中，通過改變弦圖的正方形背景，形成等邊三角形、平行四邊形 + 矩形、平行四邊形 + 平行四邊形等創(chuàng)新弦圖，將前面的知識轉(zhuǎn)化為綜合實踐能力，培養(yǎng)了學(xué)生的遷移能力、應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識；環(huán)節(jié)6中，在師生相互的總結(jié)評價中構(gòu)建弦圖的知識框架，以達(dá)成深度學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)：

［1］趙鋒. 融合數(shù)學(xué)文化 彰顯學(xué)科價值［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2022（8）：52-55.

［2］顧沛. 從美育的角度看南開大學(xué)的數(shù)學(xué)文化課［J］. 中國大學(xué)教學(xué)，2016（6）：12-14，30.

［3］趙士元，張國棣. 從中學(xué)的視角看數(shù)學(xué)文化觀念下的數(shù)學(xué)教學(xué)［J］. 數(shù)學(xué)通訊，2010（20）：9-12.

［4］郭華. 深度學(xué)習(xí)及其意義［J］. 課程·教材·教法，2016，36（11）：25-32.