摘 要：為了幫助教師正確理解和使用啟發(fā)式教學(xué)，分析了“多邊形的定義”一課導(dǎo)入設(shè)計失敗的原因，并給出改進的建議. 教師實施啟發(fā)式教學(xué)時，只有充分理解數(shù)學(xué)才能恰當?shù)卮_定啟發(fā)處，充分了解學(xué)生才可以確定啟發(fā)時，數(shù)學(xué)化地思考問題是啟發(fā)的方向.

關(guān)鍵詞：引導(dǎo)；啟發(fā)；理解；數(shù)學(xué)化

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）08-0047-04

引用格式：林勝威. 為什么啟而不發(fā)？：以“多邊形的定義”的教學(xué)為例［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2024（8）：47-50.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）在“教學(xué)建議”中指出，選擇能引發(fā)學(xué)生思考的教學(xué)方式，改變單一講授式教學(xué)方式，注重啟發(fā)式、探究式、參與式、互動式等. 啟發(fā)式教學(xué)是常用的教學(xué)方式，但如果教師沒能處理好“在何處啟發(fā)、在何時啟發(fā)、往何方向啟發(fā)”三個問題，會出現(xiàn)啟而不發(fā)的現(xiàn)象. 下面以一節(jié)新授課的導(dǎo)入設(shè)計為例，探究其啟而不發(fā)的原因，并提出解決啟而不發(fā)問題的建議與策略.

一、課堂教學(xué)片斷

一位新聘教師在執(zhí)教北師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級上冊第四章第5節(jié)“多邊形和圓的初步認識”一課時，以展示生活中熟悉的平面圖形作為引入，目的是讓學(xué)生觀察圖形，然后通過教師的啟發(fā)引導(dǎo)，讓學(xué)生自主歸納得到多邊形的定義. 下面是該教師啟發(fā)引導(dǎo)過程的對話片斷.

師：如圖1，這些圖形是如何畫的？

生（部分）：用手畫的.

師：老師想問的是這些圖形是如何畫成的？

生1：用直尺一條線段、一條線段地畫成的.

生2：用三角板畫的.

師：數(shù)學(xué)有數(shù)學(xué)的方式，語文有語文的方式，大家要用數(shù)學(xué)的方式去思考這些圖形是如何畫成的.

二、現(xiàn)象成因分析

“啟發(fā)”一詞源于孔子的“不憤不啟，不悱不發(fā)”. 當學(xué)生處于“心求通而未得之意”“口欲言而未能之貌”的“憤”“悱”狀態(tài)時，教師應(yīng)該采取適當?shù)慕虒W(xué)方式進行點撥，從而使學(xué)生“開其意”“達其辭”. 這里的“啟發(fā)”是將教學(xué)作為教師為學(xué)生解惑的過程，是在學(xué)生有問題之后的分析問題和解決問題. 但是隨著時代的變遷和育人目標的變化，當前的教學(xué)中還要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，培養(yǎng)學(xué)生自主探究、自主學(xué)習(xí)和創(chuàng)新的能力. 因此，啟發(fā)式教學(xué)是區(qū)別于傳統(tǒng)的灌輸式教學(xué)、注入式教學(xué)的重要教學(xué)方式和教學(xué)原則. 啟發(fā)式教學(xué)最主要的特點是利用具有啟發(fā)性的教學(xué)方式刺激學(xué)生的思維，使學(xué)生在合理的引導(dǎo)下自主學(xué)習(xí)、自主探索，從而提升學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，促使學(xué)生形成良好的創(chuàng)新能力.

上述課例中，教師的本意是設(shè)置具有啟發(fā)性的教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，探索并歸納多邊形的定義，但展示的圖形未能啟示學(xué)生思考和探索的方向，淺表化的提問也未能引導(dǎo)學(xué)生回歸到數(shù)學(xué)化思考. 課堂上出現(xiàn)尷尬的啟而不發(fā)現(xiàn)象，響應(yīng)者寥寥無幾. 現(xiàn)分析其原因，并提出如下改進建議.

1. 圖形展示需要靜態(tài)與動態(tài)相結(jié)合

基于概念的形成過程和表達方式，數(shù)學(xué)概念可以分為描述性定義、形式化定義、發(fā)生式定義、關(guān)系性定義等幾種. 其中，發(fā)生式定義概念有很強的操作性，教師在教學(xué)時要重視其發(fā)生發(fā)展的過程. 多邊形的定義屬于發(fā)生式定義，定義描述的是多邊形動態(tài)形成的過程，即由若干條不在同一直線上的線段首尾順次相連組成的封閉平面圖形. 但是本節(jié)課從新課導(dǎo)入展示的圖片到學(xué)生觀察的幾何圖形，都是已經(jīng)畫好的靜態(tài)圖形，學(xué)生并未觀察到作圖的過程. 因此，學(xué)生更多地關(guān)注圖形的結(jié)果和特征，如形狀、邊數(shù)等，從而下意識地忽略了圖形的組成過程及構(gòu)成方式. 當教師提問“這些圖形是如何畫的？”時，學(xué)生也只能從語義表面進行理解，難以概括出來與教材中相近的定義. 當前啟發(fā)式教學(xué)中，學(xué)生“憤”“悱”狀態(tài)的形成需要教師主動地引導(dǎo)，“憤”“悱”也是“啟”的目標. 在本節(jié)課的引入階段，學(xué)生未能從教師創(chuàng)設(shè)的情境中得到啟發(fā)而進入到“憤”“悱”狀態(tài)，也未能從圖形的結(jié)構(gòu)特征角度進行思考與探索，出現(xiàn)答非所問的現(xiàn)象就不足為奇了. 若教師在學(xué)生觀察靜態(tài)圖形的同時，輔以多媒體展示圖形的動態(tài)構(gòu)成過程，或者動手畫某個圖形并提示學(xué)生注意觀察，讓學(xué)生從多角度、多情境去觀察，使學(xué)生先明確探索問題的方向，然后從思考問題而進入“憤”“悱”狀態(tài)，進而適時介入進行啟發(fā)，則能夠?qū)崿F(xiàn)學(xué)生在教師引導(dǎo)下的自主學(xué)習(xí).

2. 感性材料需要概念圖形與非概念圖形相結(jié)合

概念的形成過程實質(zhì)上是抽象出某一類對象或事物的共同本質(zhì)特征的過程. 文獻［6］中提出，概念的形成基本上需要兩個條件：一是學(xué)習(xí)者必須能從許多事物、事件或情境中認識或抽象出它們的共有特征，以便進行概括；二是學(xué)習(xí)者能夠辨別與概念相關(guān)或不相關(guān)的標志，以便進行區(qū)別歸類. 因此，為了直觀地理解概念的本質(zhì)屬性，除了提供適量的概念外延之內(nèi)的概念圖形讓學(xué)生進行感知外，還需要同時呈現(xiàn)在概念外延之外的非概念圖形. 通過對比非概念圖形與概念圖形，讓學(xué)生更好地區(qū)分概念的本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性. 本節(jié)課所呈現(xiàn)的圖形是學(xué)生比較熟悉且常見的多邊形，屬于標準的概念圖形. 但是由于缺乏非概念圖形（非多邊形圖形）的對比，導(dǎo)致學(xué)生難以從組成與結(jié)構(gòu)特征的角度對這些概念圖形進行抽象與概括，也就未能進入教師想要啟發(fā)和引導(dǎo)的方向或狀態(tài). 因此，為了突顯多邊形組成與結(jié)構(gòu)的特征，教師可以在呈現(xiàn)如圖1所示的概念圖形的同時，呈現(xiàn)如圖2所示的非概念圖形讓學(xué)生進行對比，從而突出多邊形結(jié)構(gòu)的本質(zhì)特征. 通過對比，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)圖形結(jié)構(gòu)上的異同，為發(fā)現(xiàn)問題、提出問題作鋪墊和準備，因思考問題而進入“憤”“悱”狀態(tài)，使教師進一步啟發(fā)學(xué)生分析問題、解決問題成為可能.

3. 導(dǎo)向語言需要從寬泛籠統(tǒng)走向精準聚焦

教師想引導(dǎo)的方向是“這些圖形是由什么樣的線段、以什么樣的方式構(gòu)成的？”這也是圖形的構(gòu)成要素及構(gòu)成方式. 但是語言表達出來的是“這些圖形是如何畫的？”由于缺乏具體語境，學(xué)生只能根據(jù)字義表面的意思進行解讀，如何畫出這些圖形的，即畫出圖形的工具及方式. 由此可見，教師的教學(xué)語言過于寬泛籠統(tǒng)，未能精準聚焦問題的關(guān)鍵，從而將學(xué)生導(dǎo)向了與教師期望的不同方向. 若將教師的提問改為“這些圖形是由什么樣的線段、按照怎樣的方式組成的？”或者改為指向性更明確的問題串“組成這些圖形的線段是否在同一條直線上？各條線段之間是怎樣連接的？這些線段圍成的圖形是封閉的還是不封閉的？”那么學(xué)生就不會給出“用手畫”的回答了.

三、問題解決策略

綜上所述，實施啟發(fā)式教學(xué)，既要求教師適時地、合理地點撥，使學(xué)生“開其意”“達其辭”，更應(yīng)該創(chuàng)設(shè)具有啟發(fā)性的情境進行問題設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，啟發(fā)學(xué)生思考. 因此，實施啟發(fā)式教學(xué)，不能僅停留在教師個人主觀上的想啟發(fā)，更要把握好啟發(fā)的要求和要領(lǐng)，即要把握好“在何處啟發(fā)、在何時啟發(fā)、往何方向啟發(fā)”.

1. 理解數(shù)學(xué)以確定“啟發(fā)處”

卓有成效的數(shù)學(xué)教學(xué)一定是基于對數(shù)學(xué)本質(zhì)的深刻理解的，而數(shù)學(xué)教學(xué)低效的主要原因是教師不知道理解數(shù)學(xué)要理解什么，也不清楚到底要教會學(xué)生什么. 要實施富有成效的啟發(fā)式教學(xué)，教師既要厘清教學(xué)的難點和學(xué)生的困惑點，也要透過知識表面感悟更深層次的數(shù)學(xué)思想方法.

（1）知識發(fā)生曲折處.

從某種意義上來說，數(shù)學(xué)教學(xué)是在重演其發(fā)生的歷史. 因為生物學(xué)上個體發(fā)展的歷史就是群體發(fā)展歷史的重演，這一規(guī)律對于認知的發(fā)展也是大體適用的. 例如，人類對負數(shù)的認識經(jīng)歷了漫長而曲折的過程，歐洲的數(shù)學(xué)家遲遲不承認負數(shù)，認為0是最小的數(shù)，而比0還小的數(shù)是不可思議的. 直到19世紀，負數(shù)的存在才獲得普遍認可. 對學(xué)生個體而言，對負數(shù)意義的理解是學(xué)習(xí)的難點，此時教師要給予學(xué)生必要的啟發(fā)與引導(dǎo). 因此，教師要基于知識的發(fā)展脈絡(luò)理解知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，基于知識的整體架構(gòu)理解知識的形成過程，基于數(shù)學(xué)知識發(fā)展的曲折歷程理解學(xué)生認識上存在的困難，從而更好地把握學(xué)生的困惑點和難點，明確何處需要啟發(fā).

（2）思想方法顯化處.

《標準》在“課程理念”中指出，課程目標以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，進一步強調(diào)使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗. 因此，數(shù)學(xué)基本思想的重要性和必要性無需多言. 文獻［9］中提出，數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷模仿體驗、明朗化、運用鞏固、聯(lián)系發(fā)展四個基本階段. 模仿體驗階段就是在問題解決的過程中對數(shù)學(xué)思想方法的模仿、應(yīng)用和體會，處于默會階段. 數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要給予學(xué)生適時的啟發(fā)和引導(dǎo)，使學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)從默會階段進入到明朗化階段. 例如，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實際問題建立方程，并通過解方程解決實際問題，使學(xué)生具有列方程解應(yīng)用題的經(jīng)驗，但很多學(xué)生停留在就題解題的水平，不能自覺地從中提煉解方程的通性通法，更不能體會到其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法. 此時，教師就要適時介入，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生不斷總結(jié)解決問題的步驟和方法，并將解決問題過程中的步驟和方法一般化、程序化和模式化，從而將默會的思想方法顯性化、明朗化.

2. 了解學(xué)生以確定“啟發(fā)時”

《標準》在“課程理念”中指出，教學(xué)活動應(yīng)注重啟發(fā)式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生積極思考，鼓勵學(xué)生質(zhì)疑問難，引導(dǎo)學(xué)生在真實情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題. 了解學(xué)生是實施有效教學(xué)的前提，這就要求教師利用各種方法了解學(xué)生當前的知識儲備和認知發(fā)展水平，以便適時地實施啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從已知探索未知，從現(xiàn)有水平跨越到潛在水平.

（1）由“已知”向“未知”探索.

從一般的意義來說，現(xiàn)代學(xué)習(xí)觀就是人們用已經(jīng)知道的和相信的知識去構(gòu)建新知識和理解新知識. 例如，關(guān)于多邊形定義的學(xué)習(xí)，已知的是多邊形的形狀（邊與角）特征，未知的是多邊形的組成結(jié)構(gòu)形式，那么教師就要在已知與未知之間進行啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從對多邊形的靜態(tài)結(jié)果的認識轉(zhuǎn)到對多邊形的動態(tài)組成過程的分析. 如果學(xué)生已知FN94FzCenV70r94Mm4VrVOLEXB9vFClqyGrB37t5rfU=的是進行啟發(fā)的基礎(chǔ)和起點，那么未知的就是進行啟發(fā)的方向和終點. 學(xué)生由已知向未知思考、探索之時，就是實施啟發(fā)的關(guān)鍵時機.

（2）由“現(xiàn)有水平”向“潛在水平”跨越.

維果茨基的最近發(fā)展區(qū)理論認為學(xué)生的發(fā)展有兩種水平：一種是學(xué)生已經(jīng)達到的發(fā)展水平，指學(xué)生獨立活動時所能達到的解決問題的水平；另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平，也就是通過教學(xué)使學(xué)生所獲得的潛力. 兩者之間的差異就是學(xué)生的最近發(fā)展區(qū). 教學(xué)應(yīng)該著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，調(diào)動學(xué)生的積極性，發(fā)揮其潛能，促使學(xué)生的思維從現(xiàn)有水平向潛在水平跨越. 而當思維跨度過大時，就要輔以中間性的啟發(fā)性問題，以降低思維的難度，使思考得以繼續(xù). 例如，本節(jié)課中，七年級學(xué)生雖然在小學(xué)階段已經(jīng)接觸過多邊形，也能直觀地區(qū)分多邊形與非多邊形，但對于多邊形的認識是基于直觀的圖象模式識別，并未達到用數(shù)學(xué)語言或者數(shù)學(xué)符號予以表征的數(shù)學(xué)化描述水平. 要實現(xiàn)從圖象模式識別到數(shù)學(xué)化描述的轉(zhuǎn)化與跨越，教師可以及時拋出啟發(fā)性問題：“這些圖形是由什么樣的線段、按照怎樣的方式組成的？”學(xué)生也許能更好地認識所提問題的本質(zhì)并明晰所要思考的方向.

3. 數(shù)學(xué)化思考是“啟發(fā)方向”

《標準》在“課程總目標”中指出，通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生逐步會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界. 當學(xué)生面對現(xiàn)實情境中的問題時，教師需要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去分析和思考，從現(xiàn)實情境中析取數(shù)量關(guān)系和空間形式，并用數(shù)學(xué)的方法解決問題.

當前的數(shù)學(xué)教學(xué)中有“去數(shù)學(xué)化”的傾向，即數(shù)學(xué)課堂中有許多豐富多彩的活動，但學(xué)生關(guān)注更多的是活動本身，而不是活動所蘊含的數(shù)學(xué)思考. 本節(jié)課中，“啟而不發(fā)”的主要原因是教師沒有引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度進行觀察與思考，使得學(xué)生更多地關(guān)注圖形的畫法. 例如，對函數(shù)圖象單調(diào)性的觀察，通過多媒體的動畫演示，學(xué)生都能直觀地觀察到圖象的升與降，但還不能從變量與變量之間的關(guān)系的角度分析圖象的升與降，那么教師就要進行啟發(fā)性引導(dǎo). 例如，從圖象來看，當變量[x]變化（增大或減小）時，變量[y]如何變化（增大或減?。?？

世界上并不缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛；現(xiàn)實生活中處處有數(shù)學(xué)，缺少的是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的眼睛. 要想實現(xiàn)學(xué)生從現(xiàn)實世界到數(shù)學(xué)世界的跨越，就需要教師從數(shù)學(xué)的角度去啟發(fā)引導(dǎo)，為學(xué)生指引前行的方向.

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