摘 要：借助一道幾何題的分析，以觀察和剖析基本圖形為先手，尋求對(duì)三段論推理依據(jù)的重視和理解；以運(yùn)用符號(hào)語(yǔ)言為抓手，厘清代數(shù)演繹推理與幾何演繹推理的協(xié)同作用及對(duì)思維發(fā)展的不可或缺；以構(gòu)建思維鏈條為推手，重視幾何知識(shí)體系的系統(tǒng)化. 通過(guò)系統(tǒng)與集成達(dá)到思維的高度，強(qiáng)化學(xué)生演繹推理能力的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞：演繹推理；三段論；思維鏈條；基本圖形

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2024）08-0051-07

引用格式：張欽，葉先玖. 關(guān)注演繹推理，筑牢推證硬功底：以一道幾何題的解答分析為例探析演繹推理能力培養(yǎng)策略［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2024（8）：51-57.

從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，在研究對(duì)象的符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型建構(gòu)等抽象過(guò)程中，尤其是在形成數(shù)學(xué)的結(jié)論和方法的過(guò)程中，推理無(wú)處不在. 推理能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的表現(xiàn)之一，分為演繹推理和合情推理. 演繹推理是從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)演繹推理規(guī)則推出其他命題或結(jié)論，體現(xiàn)邏輯在形成數(shù)學(xué)命題和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的重要作用. 筆者以一道典型的幾何題為例，闡述培養(yǎng)演繹推理能力的相關(guān)思考.

一、題目呈現(xiàn)

題目 在矩形[ABCD]中，[E]是邊[AB]上一點(diǎn)，[BE=][BC]，[EF⊥CD]，垂足為點(diǎn)[F]. 將四邊形[CBEF]繞點(diǎn)[C]順時(shí)針旋轉(zhuǎn)[α][0°°<α<90°°°]，得到四邊形[CB′E′F′]. [B′E′]所在的直線分別交直線[BC]于點(diǎn)[G]，交直線[AD]于點(diǎn)[P]，交[CD]于點(diǎn)[K]. [E′F′]所在的直線分別交直線[BC]于點(diǎn)[H]，交直線[AD]于點(diǎn)[Q]，連接[B′F′]交[CD]于點(diǎn)[O].

（1）如圖1，求證：四邊形[CBEF]是正方形.

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)[Q]和點(diǎn)[D]重合時(shí)，

① 求證：[GC=DC]；

② 若[OK=1]，[CO=2]，求線段[GP]的長(zhǎng).

（3）如圖3，若[BM∥F′B′]交[GP]于點(diǎn)[M]，[tanG=][12]，求[S△GMBS△CFH]的值.

此題集中考查學(xué)生的演繹推理功底. 解題時(shí)不需要特殊技巧，只需從常規(guī)常法入手即可. 然而學(xué)生的答題情況卻并不樂(lè)觀. 因此，筆者認(rèn)為值得以該題為載體展開(kāi)分析，以期對(duì)初中階段演繹推理的教學(xué)進(jìn)行有益的思考.

二、解答分析

第（1）小題考查特殊四邊形成為正方形的條件，具體證明不贅述. 下面，筆者從觀察聯(lián)想、基本圖形、推理依據(jù)、符號(hào)語(yǔ)言等演繹推理所必需的要素入手，著重分析第（2）（3）小題.

1. 識(shí)別基本圖形，多途徑轉(zhuǎn)化角

對(duì)于第（2）小題第①問(wèn)，觀察圖形發(fā)現(xiàn)[GC⊥DC]，且線段[GC]，[DC]分別是兩個(gè)直角三角形的邊. 要證明[GC]=[DC]，有兩個(gè)思路，即證明[△B′GC≌△F′DC]或者[△KGC≌△HDC].

證明：如圖2，由[∠GE′H=∠DCH=90°]，

可得[∠F′DC+∠H=90°]，[∠B′GC+∠H=90°].

則[∠B′GC=∠F′DC].

再由[∠GB′C=∠DF′C=90°]，[B′C=F′C]，

得到[△B′GC≌△F′DC].

于是[GC=DC].

從目標(biāo)線段[GC和DC]出發(fā)，觀察并發(fā)現(xiàn)相關(guān)的基本圖形，由條件、結(jié)論和圖形結(jié)構(gòu)出發(fā)展開(kāi)合理聯(lián)想，借助旋轉(zhuǎn)變換多種方法轉(zhuǎn)化角，通過(guò)證明三角形全等證得[GC=DC]. 以上僅展示一種證法，可類(lèi)似得到其他證法.

2. 洞察基本圖形，合理轉(zhuǎn)化線段比

研讀第（2）小題第②問(wèn)的條件，觀察發(fā)現(xiàn)點(diǎn)[D]和點(diǎn)[Q]重合是特殊特征，直觀感受到：當(dāng)矩形的長(zhǎng)寬比一定時(shí)，旋轉(zhuǎn)角度[α]是個(gè)特定角度，且[∠G]與[α]互余. 觀察條件[OK=1]和[CO=2]，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)[O]恰為[CK]的三等分點(diǎn)，從點(diǎn)[O]的特殊位置感知此時(shí)[∠G]是個(gè)特定的角度，且矩形的長(zhǎng)與寬應(yīng)是確定的比例. 因此，條件[OK=1]和[CO=2]蘊(yùn)含著深刻的邊角之間的數(shù)量關(guān)系. 換言之，在旋轉(zhuǎn)背景下該問(wèn)看似是一個(gè)動(dòng)態(tài)情形，在條件得到強(qiáng)化后，圖形便被鎖定成一個(gè)定圖. 洞察基本圖形，充分挖掘條件[OK=1]和[CO=2]，可以找到推理的突破口.

因?yàn)閇CK]在正方形[CB′E′F′]內(nèi)，且與[OK]和[CO]的長(zhǎng)度有明顯的比例關(guān)系，由正方形的性質(zhì)出發(fā)，自然可以聯(lián)系平行線分線段成比例的性質(zhì). 由[B′E′]∥[CF′]可產(chǎn)生相似三角形，其中最簡(jiǎn)單的就是“X”型相似，即[△OB′K∽△OF′C]. 于是得[B′K=12CF′]. 由[CF′=][B′E′]，推理出“點(diǎn)[K]為[B′E′]的中點(diǎn)”這一重要特征.

回到所求線段[GP]的長(zhǎng)度. 觀察發(fā)現(xiàn)，[GP]在兩條平行線之間，自然的想法是將[GP]“放”在某個(gè)三角形甚至特殊三角形中（如直角三角形）中，并作為其邊長(zhǎng)來(lái)求. 如圖4，過(guò)點(diǎn)[P]作[PM⊥BC]，交[BC]的延長(zhǎng)線于點(diǎn)[M]，得到思路1；在思路1中捕捉到[PG=2KG]，發(fā)現(xiàn)不必作輔助線，在[Rt△CGK]中求得[KG]的長(zhǎng)，得到思路2；或在[Rt△CGK]中，由[∠G]的正切值，果斷想到[∠G]是一個(gè)確定的角，繼而發(fā)現(xiàn)圖中三邊比值為[1∶2∶5]這一類(lèi)直角三角形，得到思路3. 思路概要如下.

思路1：如圖4，過(guò)點(diǎn)[P]作[PM⊥GH]于點(diǎn)[M].

由[OK=1]，[CO=2]，可得點(diǎn)[K]為[B′E′]的中點(diǎn).

于是[△CB′K≌△DE′K].

則[DC=2KC=PM]，得[CK]是[△GPM]的中位線.

于是[GM=2CG].

因此[PM=6]，[GM=2DC=12].

在[Rt△PMG]中，由勾股定理，可得[PG=65].

思路2：如圖2，由思路1中的[△CB′K≌△DE′K]，

可得[△CKG≌△DKP]，于是[PG=2GK].

由已知可得點(diǎn)[K]為[B′E′]的中點(diǎn)，[B′K=12B′C]，且[OK=1]，[CO=2].

在[Rt△B′KC]中，由勾股定理，可得[B′C=655]，[B′K=355].

由[△GB′C∽△CB′K]，可得[B′C2=GB′ · B′K].

于是可得[GB′=1255].

所以[GB′+B′K=][GK=35]，則[PG=65].

思路3：由思路2可得[B′K=12B′C].

則在[Rt△B′KC]中，由勾股定理，得[B′K∶B′C∶]

[CK=1∶2∶5].

由[△CGK∽△B′CK]，且[CK=3]，可得[GKCK=CKB′K.]

所以[GK=35].

則[PG=65].

3. 剝離基本圖形，靈動(dòng)探求面積比

第（3）小題中，矩形[ABCD]及正方形[CB′E′F′]這兩種基本圖形本身就具備兩組相互垂直的平行線，此時(shí)增加[BM∥F′B′]，如此多的平行線組使得第（3）小題比第（2）小題第②問(wèn)有更多的相似三角形. 根據(jù)相似三角形面積比的性質(zhì)，猜測(cè)面積比值可能為不變量.

由[tanG=12]，可知[∠G]的度數(shù)是確定的，即旋轉(zhuǎn)的角度[α]是確定的. 回想在第（2）小題第②問(wèn)中，出現(xiàn)了不少三邊比值為[1∶2∶5]的直角三角形. 因?yàn)闆](méi)有約束矩形[ABCD]的長(zhǎng)寬比，圖形是可以變化的，所以點(diǎn)[D]和點(diǎn)[Q]不一定重合. 這樣說(shuō)來(lái)，第（3）小題是比第（2）小題第②問(wèn)更一般的情況. 為了求[S△GMBS△CFH]的值，自然的想法是可以利用相似三角形的性質(zhì)考慮兩個(gè)相似三角形的面積比，或者分開(kāi)求出[S△GMB]和[S△CFH]的值然后作比. 然而，題設(shè)條件中沒(méi)有給出任何線段的長(zhǎng)，因此[S△GMB]和[S△CFH]的值不可能是具體的數(shù)量，會(huì)含某個(gè)參數(shù). 從分析圖形的運(yùn)動(dòng)變化感知，設(shè)元為矩形的寬比較合適，用此參數(shù)來(lái)表示[S△GMB]和[S△CFH]的值并計(jì)算比值，以此來(lái)說(shuō)明[S△GMBS△CFH]的值不受矩形長(zhǎng)和寬的影響.

回顧幾何知識(shí)體系，判定兩個(gè)三角形相似，對(duì)應(yīng)角相等是關(guān)鍵. 平行線構(gòu)成的“三線八角”模型能自然地帶來(lái)多個(gè)角相等. 觀察[△GMB]和[△CF′H]發(fā)現(xiàn)，雖然這兩個(gè)三角形不相似，但圖中的平行線組還沒(méi)有充分地相交，于是考慮延長(zhǎng)[B′F′]和[CH]，可以在其中一個(gè)三角形的基礎(chǔ)上構(gòu)造三角形與另一個(gè)相似. 得到以下解題思路.

思路1：如圖5，延長(zhǎng)[B′F′]交[CH]的延長(zhǎng)線于點(diǎn)[R].

為避免計(jì)算時(shí)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，設(shè)[B′K=x]，則[B′C=][CF′=2x].

由[∠G=∠B′CK=∠F′CH]，可得[F′H=x].

在[Rt△CF′H]中，由勾股定理，得[CH=5x].

由[△GB′C∽△GE′H]，可得[GCGH=B′CE′H].

于是[GB+2xGB+2x+5x=2x3x].

求得[GB=25-2x].

由[△RF′H∽△RB′C]，可得[CR=2CH]，

于是[S△CFH=12S△CFR]，[CR=25x].

因?yàn)閇S△GMBS△CFR=GBCR2=6-255].

所以[S△GMBS△CFH=12-455].

思路1中構(gòu)造出來(lái)的[△RF′H]與[△CF′H]的面積相等，看似非常巧合. 事實(shí)上，即使它們不相等（即[tanG]取其他值），也可以求出[CH]與[HR]的比. 因?yàn)閇△RF′H]和[△CF′H]等高，同樣可以求出面積比. 當(dāng)然，想不到延長(zhǎng)也可以考慮更為常規(guī)的思路，分別求出[S△GMB]和[S△CFH]的值.

思路2：如圖3，設(shè)[B′K=x]，則[S△CFH=x2].

由思路1知[GB=25-2x].

由[tanG=12]，可得[BL=5-1x].

于是[S△GLB=12GB · BL=6-25x2].

由“X”型相似[△B′KO∽△F′CO]，且[KO=12OC]，[KO+OC=KC]，可得[KO=53x].

觀察平行線組發(fā)現(xiàn)[△MLB∽△B′KO]，有[S△MLBS△BKO=][BLKO2=96-255].

又因?yàn)閇S△BKO=13S△BCK=13x2]，

所以[S△MLB=356-25x2].

所以[S△GMBS△CFH=6-25x2-356-25x2x2=12-455].

思路2是通過(guò)[S△GLB-S△MLB]得到[S△GMB]，還可以考慮過(guò)點(diǎn)[B]作[BN⊥GL]，通過(guò)[S△GBN-S△BMN]來(lái)計(jì)算.

思路3：如圖6，過(guò)點(diǎn)[B]作[BN⊥PG]于點(diǎn)[N].

設(shè)[B′K=x]，可得[S△CFH=x2].

由思路1可得[GB=25-2x].

由[△GBN∽△CHF′]，

可得[S△GBNS△CFH=GBCH2=24-855].

由[tanG=12]，可得Rt△GBN三邊長(zhǎng)度的比值為[1∶2∶5].

因此可得[BN=55GB=10-255x].

再由[△BMN∽△B′F′C]，

得[S△BMNS△BFC=BNB′C2=6-255].

于是[S△BMN=12-455x2].

因此可得[S△GMBS△CFH=12-455].

雖然思路1～思路3都能很好地展示學(xué)生的邏輯推理能力，然而涉及兩次運(yùn)用三角形相似的相關(guān)知識(shí). 事實(shí)上，更為細(xì)致地觀察圖形，運(yùn)用正方形的對(duì)角線性質(zhì)，捕捉到特殊角度，可以有如下簡(jiǎn)潔、自然的思路4.

思路4：如圖6，過(guò)點(diǎn)B作[BN⊥PG]于點(diǎn)N，設(shè)[B′K=x].

由思路1可得[GB=25-2x].

由[tanG=12]，

可得[BN=10-255x]，[GN=20-455x].

由[BM∥F′B′]，可得[∠NMB=∠E′B′F′=45°].

則[△MNB]為等腰直角三角形.

因此[MN=BN=10-255x].

于是[GM=10-255x].

因此可得[S△GMB=12-455x2].

所以[S△GMBS△CFH=12-455].

為活躍解題思路，還可以嘗試考慮在[△GMB]中作不同底的高，即為以下兩種思路.

思路5：如圖7，過(guò)點(diǎn)[M]作[MY⊥GB]于點(diǎn)[Y]，利用[∠B′MB=45°]補(bǔ)形得到矩形[STIY]，則有[△MYB≌△BIT].

設(shè)[B′K=x]，由思路1可得[GB=25-2x].

設(shè)[MY=y]，則[GY=2y]，且[ST=YI=YB+y].

由[∠STM=∠G]，可得[ST=2SM].

則[YB+y=2YB-y]，求得[YB=3y].

則[GB=GY+YB=5y=25-2x].

可得[y=25-25x].

因此[S△GMB=12GB · MY=12-455x2].

所以[S△GMBS△CFH=12-455].

思路6：閱卷時(shí)發(fā)現(xiàn)有學(xué)生過(guò)點(diǎn)[G]作[GJ⊥BM]于點(diǎn)[J]，如圖8所示，此時(shí)[S△GMB=12BM · GJ]，但卻未能成功解答.

事實(shí)上，思路5中已經(jīng)求出[YB=3MY，] 即[tan∠MBG=][13]. 對(duì)于思路6，要得到這個(gè)關(guān)鍵結(jié)論，可以回顧教材，聯(lián)想正方形的網(wǎng)格情境. 如圖9，設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，可以得到以下結(jié)論.（此法僅作為教師教研的思考.）

觀察圖9，發(fā)現(xiàn)[EAEC=224=22]，[EGEA=222=22].

由[∠AEG=∠CEA]，且[EAEC=EGEA]，得[△EAG∽△ECA]. 于是[∠1=∠5=∠3]. 又觀察到[∠1+∠2=45°]，[tan∠2=12].

此時(shí)有[tan∠1=tan∠3=tan∠5=13].

這個(gè)結(jié)論中有三個(gè)與[∠2]相加等于[45°]的角，其正切值都等于[13].

以上網(wǎng)格屬性顯示，若兩銳角的和為[45°]，其中一角的正切值為[12]，另一個(gè)角的正切值為[13]（有學(xué)者將此結(jié)論總結(jié)為一類(lèi)幾何模型）. 回到圖8，設(shè)[GJ=][JM=y]，則由[tan∠JBG=13]，可得[JB=3y]，[BM=2y]. 在[Rt△JBG]中，由勾股定理可以求出[y]與[x]的關(guān)系，從而求出[S△GMB]含[x]的表達(dá)式，以打通思路.

三、教學(xué)啟示

培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力，首先要從情感態(tài)度上堅(jiān)信推理證明是必要的. 一方面，眼見(jiàn)未必為實(shí)，直觀并不一定可靠，測(cè)量也有誤差；另一方面，人類(lèi)有限的精力并不能窮舉和測(cè)量所有的同類(lèi)圖形，唯有數(shù)學(xué)的思維能一勞永逸地得到一般性結(jié)論. 通過(guò)數(shù)學(xué)推理驗(yàn)證，教師要幫助學(xué)生充分認(rèn)可推理證明的必要性，從“步步講理，言之有據(jù)”開(kāi)始培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)構(gòu)建推理思路；還要讓學(xué)生逐步地認(rèn)可、熟悉并熟練使用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)推理，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的推理素養(yǎng).

1. 演繹推理的精髓是思維鏈條

演繹推理之所以能得到正確的結(jié)論，一方面要求推理的起點(diǎn)是正確的，另一方面是其論證的基本規(guī)則——三段論推理是符合邏輯的. 在三段論推理的起點(diǎn)（條件）、終點(diǎn)（結(jié)果）和依據(jù)三個(gè)要素中，推理依據(jù)是核心，往往是幾何中的定義、定理或推論. 因此，幾何教學(xué)需要高度重視學(xué)生對(duì)幾何定理、定義或推論等的理解，尤其是結(jié)合各種具體問(wèn)題情境的圖形來(lái)認(rèn)識(shí)定理的條件、結(jié)論，并深刻理解定理的來(lái)龍去脈和內(nèi)涵、外延，清楚定理運(yùn)用時(shí)的限定條件，從而使其擔(dān)當(dāng)合適而正確的推理依據(jù). 幾何演繹推理的每一步是三段論推理. 若干步三段論推理之所以能成為一個(gè)完整的演繹推理過(guò)程，是因?yàn)槿握撏评砭哂袀鬟f性. 基于傳遞性，推理過(guò)程是一個(gè)起點(diǎn)（題設(shè)條件、定理等已知結(jié)論）和終點(diǎn)（問(wèn)題所求所證）明確，步步有理、環(huán)環(huán)相扣的單向鏈條. 該鏈條往往呈現(xiàn)一個(gè)“倒樹(shù)狀”結(jié)構(gòu)，如圖10所示.

如果僅僅是類(lèi)似于圖11的單鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)的證明，往往是相對(duì)比較容易想到的推理，但大多數(shù)情況下并非如此. 在解決題目的第（2）小題第②問(wèn)和第（3）小題時(shí)，大量學(xué)生不知如何思考，更無(wú)法得到完整解答. 可見(jiàn)，演繹推理的精髓是思維，以問(wèn)題為載體構(gòu)建和編織解決問(wèn)題的完整思維鏈條. 演繹推理的鏈條必須是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，推理的語(yǔ)言又是抽象的，但演繹推理絕不是枯燥的. 幾何教學(xué)中，教師要讓學(xué)生感悟推理背后有思維探究的樂(lè)趣和理性思想的精彩. 對(duì)于較復(fù)雜的幾何推理問(wèn)題，無(wú)論是解題中的思考還是解題后的反思，都要鼓勵(lì)學(xué)生梳理思路線條或歸納思維導(dǎo)圖，以更清晰地展現(xiàn)思維過(guò)程，并凸顯推理過(guò)程中無(wú)法繞過(guò)的關(guān)鍵結(jié)論（如本文例題第（2）小題第②問(wèn)中的關(guān)鍵結(jié)論“K為[B′E′]的中點(diǎn)”和第（3）小題中的[GB=][25-2x]），這些結(jié)論是思維鏈條構(gòu)建過(guò)程中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，更好地抓住節(jié)點(diǎn)就把握了全鏈條思維的核心.

2. 思維培養(yǎng)的廣度——觀察與聯(lián)系

思維能形成鏈條還有賴于知識(shí)（結(jié)論）間能產(chǎn)生聯(lián)系. 雖然“圖形與幾何”領(lǐng)域的知識(shí)在教材中是分章節(jié)、分課時(shí)呈現(xiàn)的，但不能把教材的知識(shí)體系割裂開(kāi)來(lái)教學(xué)，而要以大單元教學(xué)的理念為依據(jù)，站在整個(gè)初中幾何體系的高度聯(lián)系地教、類(lèi)比地學(xué)、整體地探. 在解題教學(xué)中，為了尋找推理思維鏈條的起點(diǎn)，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察問(wèn)題，觀察幾何圖形和數(shù)量關(guān)系的特征并聯(lián)系相關(guān)性質(zhì). 例如，觀察例題圖形中的平行與垂直，感悟圖形旋轉(zhuǎn)中的變與不變. 通過(guò)觀察平行線組識(shí)別相似三角形，抓住關(guān)鍵條件信息（如中點(diǎn)、三等分點(diǎn)等）. 在初中幾何知識(shí)體系中，重要定理往往是刻畫(huà)基本圖形的典型特征的，為聯(lián)系和運(yùn)用這些定理，要善于從復(fù)雜的圖形中識(shí)別和剝離出基本圖形，充分挖掘圖形的結(jié)構(gòu)特征. 有時(shí)為了能運(yùn)用某些典型特征作為推理依據(jù)，還需要主動(dòng)構(gòu)造基本圖形（如第（3）小題的思路5的“補(bǔ)形”，是為了將[45°]角融入等腰直角三角形這一工具之中），針對(duì)問(wèn)題的特征聯(lián)系相關(guān)知識(shí)工具（如第（2）小題第②問(wèn)中從[OK=1]，[CO=2]的數(shù)量關(guān)系和正方形典型性質(zhì)敏銳地聯(lián)系“X”型相似找到解決問(wèn)題的突破口），串聯(lián)起思維鏈條.

3. 思維培養(yǎng)的高度——系統(tǒng)與集成

幾何綜合問(wèn)題往往需要運(yùn)用多種幾何工具綜合地理解、整體地探究. 以銳角三角函數(shù)的教學(xué)為例，如果停留于記住三個(gè)比例定義及三個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，會(huì)發(fā)現(xiàn)并無(wú)太大用處. 因?yàn)楹琜30°]，[45°]角的直角三角形的邊角關(guān)系可以直接通過(guò)三角形的性質(zhì)得到. 人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“人教版教材”）中還提到當(dāng)A，B均為銳角時(shí)，若[A≠B]，則A與B的三角函數(shù)值不相等，即這種函數(shù)（限于銳角時(shí)）是一一對(duì)應(yīng)的. 具體地，當(dāng)[tanα=12]時(shí)，雖然[α]不是特殊角，但卻是一個(gè)確定的銳角，以[α]作內(nèi)角的直角三角形的三邊之比是確定的. 另外，對(duì)于任何一個(gè)直角三角形，只要其中一個(gè)銳角的度數(shù)確定了，其在相似意義下是唯一的. 某個(gè)銳角度數(shù)可以作為其所在的直角三角形相似意義下分類(lèi)的不變量，銳角的三角函數(shù)值（正弦、余弦、正切）也可以擔(dān)當(dāng)這個(gè)不變量. 三角函數(shù)的定義之所以是科學(xué)的，就是由相似的性質(zhì)確保的. 初中數(shù)zWypXUSIAZ32RLPAuhLhBA==學(xué)中很多能用三角函數(shù)解決的問(wèn)題也能由相似工具來(lái)解決. 銳角三角函數(shù)的內(nèi)容被安排在人教版教材的第28章，正是因?yàn)槠浼闪说?1章、第12章、第17章、第20章和第27章的相關(guān)內(nèi)容. 本文題目的第（3）小題中的題設(shè)[tanG=12]，從集成的高度審視此條件，會(huì)頓感圖中出現(xiàn)很多三邊長(zhǎng)為[1∶2∶5]的直角三角形，再看此題的解題思路和輔助線會(huì)更加自然. 正所謂：線線成角，見(jiàn)角思比，比比皆是，數(shù)形有路. 如若研究此題的變式，可以考慮[tanG]的值還可以取何值.

4. 思維培養(yǎng)的效度——意識(shí)與素養(yǎng)

筆者曾問(wèn)學(xué)生：“你們覺(jué)得哆啦A夢(mèng)厲害嗎？”學(xué)生回答：“哆啦A夢(mèng)的口袋厲害！因?yàn)檫@個(gè)口袋里再多的東西也放得下，里面有很多神奇的道具.”但筆者認(rèn)為，更厲害的其實(shí)是哆啦A夢(mèng)自己，因?yàn)槊看闻龅嚼щy時(shí)他都具備借用道具的意識(shí)和選用合適道具的素養(yǎng). 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是如此. 當(dāng)九年義務(wù)教育完成時(shí)，面對(duì)一道只需要運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和常規(guī)方法就可以解決的數(shù)學(xué)題時(shí)，每名學(xué)生都能選用合適的數(shù)學(xué)工具解決嗎？為什么多種解法都能走通時(shí)，部分學(xué)生可能一種解法都想不到？解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有想法才能得到解法. 秉承“思考要發(fā)散，方法要靈活”的理念，本文例題的解答分析盡可能呈現(xiàn)了多角度的探索. 在解題教學(xué)中，教師在講解法前應(yīng)先講讀題時(shí)的想法，重點(diǎn)關(guān)注“是怎么想到的、怎樣能想到”.

本文在例題的解答中盡可能地?cái)⑹鲂穆窔v程. 數(shù)學(xué)教學(xué)更應(yīng)如此，讓聯(lián)想運(yùn)用數(shù)學(xué)工具的意識(shí)和數(shù)學(xué)思路的產(chǎn)生成為自然，努力向“知其然，知其所以然，何由以知其所以然”的方向前進(jìn).

演繹推理并非獨(dú)指幾何，還包括代數(shù)演繹推理. 代數(shù)的演繹推理常常是通過(guò)符號(hào)或數(shù)字運(yùn)算得出數(shù)量關(guān)系，以此結(jié)果為依據(jù)作出數(shù)學(xué)結(jié)論的判斷. 例如，對(duì)于一元二次方程[ax2+bx+c=0][a≠0]，通過(guò)計(jì)算[Δ=b2-4ac]的值，由其正、負(fù)判斷方程根的存在情況. 代數(shù)演繹推理更突出代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等運(yùn)算的一面. 代數(shù)運(yùn)算的功底在演繹推理問(wèn)題的解決中非常重要. 在題目第（2）小題的第②問(wèn)，三角形相似性質(zhì)下的邊與邊的比例關(guān)系的推導(dǎo)是代數(shù)推理. 第（3）小題中體現(xiàn)得更明顯，無(wú)論是六種思路方法中的哪一種，都不僅要用到幾何推理判斷全等或相似，也需要用到代數(shù)的符號(hào)意識(shí)和方程思想合理設(shè)元，運(yùn)用勾股定理或相似的性質(zhì)列方程求解. 現(xiàn)代腦科學(xué)研究表明，空間觀念與代數(shù)運(yùn)算的認(rèn)知在大腦中激活的是同一區(qū)域. 兩者本就是數(shù)學(xué)問(wèn)題認(rèn)知過(guò)程的兩個(gè)側(cè)面，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的過(guò)程中起著相輔相成的作用. 所以不能人為地割裂代數(shù)和幾何兩個(gè)側(cè)面. 若沒(méi)有真正重視代數(shù)演繹推理和幾何演繹推理的協(xié)同與融合，不算真正建立了演繹推理功底.

演繹推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至關(guān)重要. 由本文例題的解答分析所引出的關(guān)于重視思維鏈條構(gòu)建、善于觀察運(yùn)用基本圖形、系統(tǒng)化領(lǐng)悟幾何知識(shí)、代數(shù)與幾何協(xié)同推理并培養(yǎng)解決問(wèn)題的綜合素養(yǎng)等方面的教學(xué)建議，希望教師能引導(dǎo)學(xué)生深悟本質(zhì)、把握聯(lián)系，嚴(yán)謹(jǐn)推證、準(zhǔn)確運(yùn)算、夯實(shí)功底.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］史寧中. 數(shù)學(xué)思想概論：數(shù)學(xué)中的演繹推理［M］. 長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2009.

［3］馬復(fù)，凌曉牧. 新版課程標(biāo)準(zhǔn)解析與教學(xué)指導(dǎo)：初中數(shù)學(xué)［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［4］朱文芳. 數(shù)學(xué)教育心理學(xué)［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2015.

［5］徐方瞿，徐雯. 透明的幾何：互聯(lián)網(wǎng)+平面幾何的新實(shí)踐［M］. 上海：上海教育出版社，2017.

［6］王利. 教育神經(jīng)科學(xué)視域下空間能力與代數(shù)學(xué)習(xí)的關(guān)系研究［M］. 上海：經(jīng)濟(jì)日?qǐng)?bào)出版社，2021.

［7］曹一鳴，馮啟磊，陳鵬舉，等. 基于學(xué)生核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)學(xué)科能力研究［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2017.

［8］錢(qián)德春. 關(guān)于初中代數(shù)推理的理解與教學(xué)思考［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2020（4）：2-4.

［9］胡愛(ài)斌. 邏輯推理核心素養(yǎng)水平層次測(cè)評(píng)模型探索［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2020（1 / 2）：28-30，36.