摘 要：高品位的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)思想和方法. 從一道代數(shù)式求值測(cè)試題入手，基于理解教材的視角分析試題、診斷歸因、改進(jìn)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型分析和求解試題，感悟數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；數(shù)學(xué)思想方法；代數(shù)式求值；試題評(píng)析

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2024）08-0033-04

引用格式：孫凱. 建構(gòu)數(shù)學(xué)模型 感悟數(shù)學(xué)思想：一道測(cè)試題的評(píng)析、求解及教學(xué)啟示［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2024（8）：33-36.

一節(jié)數(shù)學(xué)課若能夠使學(xué)生體會(huì)到其中的數(shù)學(xué)思想和方法，則屬于高品位的數(shù)學(xué)教學(xué).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，教學(xué)活動(dòng)應(yīng)促進(jìn)學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想與方法，獲得數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).《標(biāo)準(zhǔn)》在“教學(xué)建議”中指出，通過(guò)豐富的教學(xué)方式，讓學(xué)生在實(shí)踐、探究、體驗(yàn)、反思、合作、交流等學(xué)習(xí)過(guò)程中感悟基本思想、積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的落實(shí)，更要關(guān)注基本思想和方法的教學(xué)，以幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

一、問(wèn)題呈現(xiàn)

在七年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)學(xué)科的一次調(diào)研測(cè)試中，學(xué)生普遍反映有一道代數(shù)式求值問(wèn)題的求解比較困難，批閱后發(fā)現(xiàn)，答題正確率僅為35.6%. 該題有什么特點(diǎn)？與教材內(nèi)容有什么聯(lián)系？學(xué)生的困惑點(diǎn)在哪里？教師的教學(xué)是否存在問(wèn)題？帶著這些問(wèn)題，筆者從題目、教師、學(xué)生三個(gè)維度分析和診斷成因，基于建構(gòu)模型的視角呈現(xiàn)題目求解的方法，并給出教學(xué)建議. 題目如下.

題目 若[a+b=3]，則代數(shù)式[a2+ab+3b]的值為 .

二、題目評(píng)析

1. 基于理解教材的題目分析

該題屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中代數(shù)式的求值問(wèn)題.蘇科版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱(chēng)“教材”）七年級(jí)上冊(cè)的第3章“代數(shù)式”中給出“代數(shù)式的值”的定義為：根據(jù)問(wèn)題的需要，用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，計(jì)算所得的結(jié)果叫作代數(shù)式的值. 而求代數(shù)式的值是指用具體的數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，把代數(shù)式變成數(shù)式，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的有理數(shù)運(yùn)算.

教材七年級(jí)上冊(cè)出現(xiàn)直接涉及求代數(shù)式的值的例題或習(xí)題共計(jì)42道. 從代數(shù)式的呈現(xiàn)形式來(lái)看，有39道題是先給出代數(shù)式再給出字母的取值，只有3道題是先給出字母或代數(shù)式的值再求一個(gè)代數(shù)式的值. 從代數(shù)式的特征來(lái)看，有19道題中的代數(shù)式無(wú)需計(jì)算或化簡(jiǎn)，只需要將字母的取值直接代入求值；有23道題中的代數(shù)式需要先計(jì)算或化簡(jiǎn)后，再將具體的數(shù)值代入求值. 從代數(shù)式涉及的知識(shí)來(lái)看，有12道題屬于有理數(shù)運(yùn)算，有30道題涉及整式的加減、整式的乘法與因式分解等. 從代數(shù)式涉及的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)看，涉及整體思想的有3道題，涉及函數(shù)思想、對(duì)應(yīng)思想的有40道題，涉及數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想的有2道題.

這些例題或習(xí)題中與題目最接近的是教材七年級(jí)上冊(cè)第3章復(fù)習(xí)題的第17題（以下統(tǒng)稱(chēng)“題1”）. 題1為：如果代數(shù)式[5a+3b]的值為-4，那么代數(shù)式[2a+b+42a+b]的值是多少？題目與題1分別以符號(hào)、文字?jǐn)⑹龅男问匠尸F(xiàn). 本質(zhì)上都是給出一個(gè)代數(shù)式的值，求另一個(gè)代數(shù)式的值. 能否建立已知代數(shù)式和要求代數(shù)式之間的關(guān)聯(lián)是學(xué)生分析求解的關(guān)鍵.

2. 基于教學(xué)取向的診斷歸因

作為一道常規(guī)的代數(shù)式求值問(wèn)題，題目反映出的正確率偏低是不正常的. 分析發(fā)現(xiàn)，造成答題正確率異常的原因涉及三個(gè)方面：試題特點(diǎn)、教師教學(xué)和學(xué)生思維.

從試題特點(diǎn)來(lái)看，題目主要考查學(xué)生運(yùn)用整體思想求代數(shù)式的值. 由于條件中并沒(méi)有直接給出字母a，b的具體數(shù)值，而是給出了a，b兩個(gè)字母之間存在的數(shù)量關(guān)系[a+b=3]，需要將代數(shù)式[a2+ab+3b]變形后，整體代入求值. 學(xué)生能否將代數(shù)式[a2+ab+3b]正確變形是求解的關(guān)鍵. 從教師教學(xué)來(lái)看，教師在代數(shù)式的求值教學(xué)中，受教材中例題或習(xí)題內(nèi)容特點(diǎn)的影響，只聚焦于代數(shù)式的計(jì)算或化簡(jiǎn)，往往忽略對(duì)條件的分析引導(dǎo)，尤其是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的滲透. 學(xué)生一旦無(wú)法將要求的代數(shù)式進(jìn)行正確的恒等變形，就會(huì)陷入解題困境. 從學(xué)生思維來(lái)看，學(xué)生之前經(jīng)歷了一定數(shù)量的直接代入求值和化簡(jiǎn)后代入求值的過(guò)程，積累了代數(shù)式求值的經(jīng)驗(yàn)，而這種經(jīng)驗(yàn)僅僅是淺顯的計(jì)算層面的. 這些求值過(guò)程對(duì)代數(shù)式的變形要求不高，簡(jiǎn)化運(yùn)算是求值的主要目的. 當(dāng)學(xué)生遇到給定條件為數(shù)量關(guān)系時(shí)，與之前的求值經(jīng)驗(yàn)形成認(rèn)知沖突，短時(shí)間內(nèi)無(wú)法破解，思維陷入困境.

基于以上分析，導(dǎo)致題目得分異常的根本原因是教師的教學(xué)站位不高，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累重視程度不夠，缺乏發(fā)掘數(shù)學(xué)思想方法的意識(shí)和策略，導(dǎo)致教學(xué)“失位”現(xiàn)象的出現(xiàn). 學(xué)生在遇到新的問(wèn)題情境時(shí)，思維容易受阻，陷入困頓. 數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象和概括. 因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要注重引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

三、題目求解

1. 代數(shù)式模型視角下的轉(zhuǎn)化思想

對(duì)于什么是代數(shù)式，教材中沒(méi)有給出規(guī)范的定義，而是采用了“像……這樣的式子都是代數(shù)式”的定義方式. 一般認(rèn)為，用基本的運(yùn)算符號(hào)把數(shù)、表示數(shù)的字母連接起來(lái)的式子叫作代數(shù)式，單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式. 因此，已知條件[a+b=3]中的[a+b]是一個(gè)代數(shù)式模型，表達(dá)的是a與b的和. 題目可以理解為當(dāng)代數(shù)式[a+b]取值為3時(shí)，求代數(shù)式[a2+ab+3b]的值. 未知的代數(shù)式[a2+ab+3b]也是一個(gè)代數(shù)式模型，表達(dá)的是字母a，b之間相對(duì)復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系. 顯然，運(yùn)用基本的數(shù)學(xué)思想方法探尋兩個(gè)代數(shù)式模型之間的關(guān)系是求解問(wèn)題的關(guān)鍵.

轉(zhuǎn)化是分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本策略之一，也是求代數(shù)式的值的基本思想方法之一. 用轉(zhuǎn)化思想求代數(shù)式的值是指運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、公式、原理等，把未知代數(shù)式轉(zhuǎn)化為可知或已知代數(shù)式（分析法），或把已知代數(shù)式轉(zhuǎn)化為未知代數(shù)式（綜合法），最終在未知代數(shù)式和已知代數(shù)式之間建立聯(lián)系，從而求得未知代數(shù)式的值. 思路如下.

思路1（分析法）：先把[a2+ab+3b]恒等變形為[aa+b+3b]，代入代數(shù)式[a+b]的值，得到[3a+3b]. 再次變形為[3a+b]，再代入[a+b]的值計(jì)算即可.

思路2（綜合法）：由已知代數(shù)式[a+b]的值為3，可得[aa+b=3a]，即[a2+ab=3a]. 用[3a]代替要求代數(shù)式中的[a2+ab]，得到代數(shù)式[3a+3b]，再次變形為[3a+b]，代入[a+b]的值計(jì)算即可.

2. 方程模型視角下的消元思想

方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型. 已知條件[a+b=3]表達(dá)的是含未知數(shù)的相等關(guān)系，可以看成方程模型，也就是關(guān)于a，b的二元一次方程模型. 代入消元法是求解二元一次方程組的基本思想方法，具體是指將方程組的一個(gè)方程中的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示，并代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，從而把解二元一次方程組轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的方法.

用消元的方法求代數(shù)式的值，就是用方程模型的觀點(diǎn)來(lái)審視已知條件，將其中某個(gè)字母用含有另一個(gè)字母的代數(shù)式表示，再代入代數(shù)式，消去一個(gè)字母，從而實(shí)現(xiàn)求代數(shù)式的值的方法. 思路如下.

思路3（消元法）：由[a+b=3]，得[b=3-a]. 把[b=3-a]代入所要求值的代數(shù)式，得[a2+ab+3b=][a2+a3-a+33-a]. 進(jìn)一步化簡(jiǎn)計(jì)算即可求得結(jié)果.

3. 圖形模型視角下的數(shù)形結(jié)合思想

某些代數(shù)式可以用幾何圖形的方式表達(dá)出來(lái). 也就是說(shuō)，代數(shù)式的求值問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何圖形的相關(guān)計(jì)算問(wèn)題. 由數(shù)想形，是一種數(shù)形結(jié)合意識(shí)，是基于數(shù)形結(jié)合思想的良好思維習(xí)慣和行為表征. 數(shù)形結(jié)合思想是在數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)基本對(duì)象“數(shù)”和“形”之間建立聯(lián)系的基本方法. 數(shù)形結(jié)合是將數(shù)的抽象性、精確性與形的形象性、直觀性有效結(jié)合，實(shí)現(xiàn)“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”的目的. 用數(shù)形結(jié)合思想求代數(shù)式的值，就是對(duì)有關(guān)的數(shù)或式（已知或未知）進(jìn)行幾何直觀解釋?zhuān)脠D形表征其幾何意義，從而將數(shù)式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形的問(wèn)題，然后再根據(jù)圖形的性質(zhì)或直觀性求解. 思路如下.

思路4（圖形法）：如圖1，把代數(shù)式[a2+ab+3b]先用圖形表示出來(lái)，并將圖1補(bǔ)成如圖2所示的長(zhǎng)方形，再用圖形面積表示代數(shù)式. 如圖2，[a2+ab+3b=][3a+3-3a][=3a+9-3a][=9].

四、教學(xué)啟示

1. 立足概念，在求值體驗(yàn)中感悟數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的核心. 教材中求代數(shù)式的值的內(nèi)容中蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想方法. 教師在教學(xué)中應(yīng)該注意挖掘和滲透. 例如，在學(xué)習(xí)將字母的取值直接代入代數(shù)式求值時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生在計(jì)算中體驗(yàn)不同的字母取值會(huì)使代數(shù)式的值發(fā)生哪些變化，當(dāng)字母取值確定時(shí)代數(shù)式的值唯一確定，使學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中感受數(shù)量的變化規(guī)律和對(duì)應(yīng)關(guān)系，感悟函數(shù)模型、函數(shù)思想、對(duì)應(yīng)思想. 又如，在題1的教學(xué)中，如果教師在引導(dǎo)學(xué)生分析條件[5a+3b=-4]時(shí)，回顧基本的數(shù)學(xué)概念，將其看成二元一次方程，那么無(wú)法確定字母a，b的取值，這與學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)歷和計(jì)算經(jīng)驗(yàn)形成沖突，會(huì)激發(fā)學(xué)生積極投入到問(wèn)題探究活動(dòng)中；如果看成是“代數(shù)式[5a+3b]的值”，就要基于學(xué)生固有的思維方式，引發(fā)學(xué)生思考怎么使用這個(gè)代數(shù)式的值，探尋求解策略. 最終指向先將要求的代數(shù)式化簡(jiǎn)，再將已知代數(shù)式的值整體代入求值，或者運(yùn)用等式的性質(zhì)，先對(duì)代數(shù)式進(jìn)行恒等變形，整理成可代入的形式，實(shí)現(xiàn)求值的目的，讓學(xué)生感悟整體思想.

2. 精設(shè)問(wèn)題，在模型建構(gòu)中感悟數(shù)學(xué)思想方法

求代數(shù)式的值是感悟函數(shù)思想的良好載體. 在求值中感受數(shù)量的變化關(guān)系、對(duì)應(yīng)關(guān)系，幫助學(xué)生體悟函數(shù)模型，能為后續(xù)函數(shù)概念的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ). 但是這種體驗(yàn)大多源于直接代入的求值運(yùn)算，一旦條件發(fā)生變化，給出的條件無(wú)法直接代入或整體代入實(shí)現(xiàn)求值目的時(shí)，就會(huì)陷入困境，此時(shí)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型就顯得尤為重要了. 下面從教材七年級(jí)下冊(cè)第九章復(fù)習(xí)題中擷取一例，談一談指向數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施.

案例1：已知[a+b2=7]，[a-b2=3]. 求[a2+b2]，[ab]的值.

問(wèn)題1：已知條件是什么？由已知可以知道什么？未知是什么？你能想到什么？

問(wèn)題2：兩個(gè)已知條件之間有什么關(guān)系？

問(wèn)題3：已知條件與所求代數(shù)式之間有什么關(guān)系？

這道代數(shù)式求值問(wèn)題給出了兩個(gè)復(fù)雜的條件，條件與待求代數(shù)式之間的關(guān)系不明朗，需要深入思考挖掘已知與未知之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián). 學(xué)生具備的認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)僅僅停留在將已知條件直接代入求值，或者將要求的代數(shù)式恒等變形后整體代入求值的水平上. 對(duì)于一部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，該問(wèn)題的求解具有一定的挑戰(zhàn)性. 問(wèn)題1旨在引導(dǎo)學(xué)生先弄清題意，分析已知和可知，挖掘已知條件中的潛在信息，嘗試將已知與未知建立聯(lián)系；問(wèn)題2旨在引導(dǎo)學(xué)生嘗試在已知條件之間搭建橋梁，同時(shí)發(fā)揮兩個(gè)條件的作用；問(wèn)題3旨在引導(dǎo)學(xué)生探究所求代數(shù)式與已知條件之間的關(guān)系，明確求解路徑，制訂求解計(jì)劃.

此題的求解方法具有多樣性. 在教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)式模型、方程模型的視角解析題目，建構(gòu)方程求解，使學(xué)生感悟方程思想、整體思想、模型思想，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考. 從整體上看，兩個(gè)條件、兩個(gè)未知，類(lèi)似于二元一次方程組的求解問(wèn)題，從方程模型的視角來(lái)看條件，可得[a2+2ab+b2=7，a2-2ab+b2=3.] 此時(shí)將[a2+b2]，[ab]分別看成一個(gè)整體，采用加減消元法求值. 也可以將已知條件變形為[a2+b2=7-2ab]，[a2+b2=][3+][2ab]，以此建立方程模型[7-2ab=3+2ab]，再運(yùn)用整體思想求得[ab]的值，接下來(lái)再求[a2+b2]的值就比較容易了. 當(dāng)然，也可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)兩個(gè)條件的形式特征建構(gòu)乘法公式模型，將兩個(gè)已知條件直接用平方差公式求值，建立方程模型，則有[a+b2-a-b2=][a+b+a-b][a+b-a+b=4]，即[4ab=4]，求得[ab]的值后再完成其他求值即可.

3. 精準(zhǔn)選題，在講題教學(xué)中習(xí)得數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法由于其隱形化的特質(zhì)而不同于一般意義上的數(shù)學(xué)知識(shí)，因此有其特定的教學(xué)方法. 教材注重科學(xué)性、整體性、過(guò)程性、可讀性、基礎(chǔ)性，尤為注重學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的理解和掌握. 因此，教材上呈現(xiàn)的代數(shù)式求值問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，占比約為95.2%，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法有一定局限性. 這就要求教師適當(dāng)拓展教學(xué)內(nèi)容，引入一些具有潛在價(jià)值的代數(shù)式求值類(lèi)試題，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分析、抽象、建構(gòu)、感悟、顯化等思維活動(dòng)過(guò)程，促使學(xué)生習(xí)得基本的數(shù)學(xué)思想方法.

案例2：若[a+1a=3]，則代數(shù)式[a2+1a2]的值為 .

此題中蘊(yùn)含由已知到未知的升冪思想. 把已知條件的左右兩邊同時(shí)平方（升冪），可以將已知條件與未知代數(shù)式建立關(guān)聯(lián)，再整體代入求值. 問(wèn)題的本質(zhì)是已知代數(shù)式[a+b]的值，求代數(shù)式[a2+b2]的值. 特殊性在于這里的a與b互為倒數(shù)，旨在幫助學(xué)生從更高視角審視問(wèn)題，明晰相應(yīng)的解題策略和思想方法.

案例3：若[2a-3b=-1]，則代數(shù)式[4a2-6ab+3b]的值為（ ）.

（A）[-1] （B）[1]

（C）[2] （D）[3]

由已知條件出發(fā)，把[2a-3b=-1]兩邊都乘[2a]，將已知條件變形為[4a2-6ab=-2a]，整體代入得到[-2a+][3b]，再次變形為[-2a-3b]求值. 意在引導(dǎo)學(xué)生感悟方程思想、整體思想、升冪思想、消元思想等. 或者從未知代數(shù)式出發(fā)，將其恒等變形后，再整體代入求值，讓學(xué)生感悟降冪思想、整體思想等.

總之，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該注重引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中感悟數(shù)學(xué)思想方法，增強(qiáng)以數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)運(yùn)算的意識(shí)，以數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的視角審視實(shí)際問(wèn)題，在數(shù)學(xué)模型生成、生長(zhǎng)、應(yīng)用的過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生掌握分析和解決問(wèn)題的方法，提高數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

［1］張奠宙，宋乃慶. 數(shù)學(xué)教育概論（第二版）［M］. 北京：高等教育出版社，2009.

［2］中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［3］張琳. 初中數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（下旬），2019（6）：19-20.

［4］于鴻麗，楊渭清. 核心素養(yǎng)視域下對(duì)數(shù)學(xué)思想方法教與學(xué)的思考：兼談?wù)n本一道習(xí)題的引申［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2018，57（5）：25-26，56.

［5］孫凱. 發(fā)展符號(hào)意識(shí) 凸顯思想方法：以“平方差公式”教學(xué)為例［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2018（4）：26-29.