摘 要：通過(guò)對(duì)一道經(jīng)典“母題”的深入思考，將題設(shè)及結(jié)論多方位、多視角地進(jìn)行變式，把線(xiàn)段（比）、角、面積（比）等重要的幾何元素及路徑與最值等常見(jiàn)的幾何問(wèn)題融會(huì)貫通，深刻體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想，促進(jìn)了深度學(xué)習(xí)及深度教學(xué)的發(fā)生，使學(xué)生觸類(lèi)旁通，達(dá)到舉一反三、事半功倍的教學(xué)效果.

關(guān)鍵詞：一題多變；多題歸一；轉(zhuǎn)化與化歸；深度教學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2024）08-0058-06

引用格式：段廣猛. 由一道經(jīng)典“母題”引發(fā)的若干思考：談數(shù)學(xué)中無(wú)處不在的“轉(zhuǎn)化”［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2024（8）：58-62，64.

數(shù)學(xué)解題教學(xué)的本質(zhì)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生鞏固知識(shí)技能，激活探究興趣，培養(yǎng)思維品質(zhì)，獲取活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，習(xí)得數(shù)學(xué)思想，發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論. 在解決一個(gè)問(wèn)題后，應(yīng)注重及時(shí)進(jìn)行相應(yīng)的拓展遷移和變式訓(xùn)練. 本文在一道經(jīng)典“母題”的基礎(chǔ)上進(jìn)行多方位、多視角的深度思考，深入挖掘習(xí)題的功效，以達(dá)到“解一題、會(huì)一類(lèi)、通一片”之效.

一、經(jīng)典呈現(xiàn)

題目 如圖1，已知二次函數(shù)[y =-34x+1x-4]的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，P為該圖象在第一象限內(nèi)的一點(diǎn). 作PG⊥Ox于點(diǎn)G，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)Q，求PQ的最大值.

二、變式拓展

這是一道經(jīng)典的二次函數(shù)最值問(wèn)題，可以采取設(shè)坐標(biāo)法，建立二次函數(shù)模型來(lái)解決. 解題思路如下.

由題意，可知點(diǎn)[A-1，0]， [B4，0]， [C0，3]， 直線(xiàn)BC的解析式為y =[-34]x + 3，二次函數(shù)[y=-34x+1 ·]

[x-4]=[-34x2]+[94x]+ 3. 設(shè)點(diǎn)[Pt，-34t2+94t+3]，[Qt，-34t+3]，其中0 < t < 4，則PQ = yP - yQ =[-34]t2 +[94]t + 3 +[34]t - 3 = -[34]t2 + 3t =[-34t-22+3]. 故當(dāng)t = 2時(shí)，PQ取得最大值，最大值為3.

以上解題思路體現(xiàn)了“主動(dòng)設(shè)元，函數(shù)建?！钡姆椒? 雖然問(wèn)題看似已經(jīng)解決，但是對(duì)其的深入思考與探究才剛剛開(kāi)始.

轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)中無(wú)處不在. 筆者在這道“母題”的基礎(chǔ)上，提出一些對(duì)相關(guān)“子題”的思考，以體現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化思想.

1. 關(guān)于面積轉(zhuǎn)化的思考

變式1：如圖2，已知二次函數(shù)[y =-34x+1x-4]的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，P為該圖象在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接PB，PC，求△PBC面積的最大值.

面積與線(xiàn)段之間的相互轉(zhuǎn)化十分常見(jiàn). 這里由“母題”中的線(xiàn)段最值問(wèn)題自然聯(lián)想到面積最值問(wèn)題. 關(guān)于面積轉(zhuǎn)化，給出如下三種常見(jiàn)的解題思路.

思路1（寬高法）：如圖3，作PG⊥Ox于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥PQ于點(diǎn)H，則S△PBC = S△PQC + S△PQB =[12PQ · CH+12PQ · BG=12PQ · CH+BG=12PQ ·][OG+BG=12PQ · OB=2PQ]. 設(shè)點(diǎn)[Pt，-34t2+94t+3]，其中0 < t < 4. 由原題可知，當(dāng)t = 2時(shí)，S△PBC取得最大值，最大值為6.

思路2（割補(bǔ)法）：如圖4，設(shè)點(diǎn)[Pt，-34t2+94t+3]，其中0 < t < 4. 連接OP，則S△PBC = S四邊形OBPC - S△OBC = S△OBP + S△OCP - S△OBC = 2[-34t2+94t+3]+[32]t - 6 = -[32]t2 + 6t = -[32][t-22]+ 6. 故當(dāng)t = 2時(shí)，S△PBC取得最大值，最大值為6.

思路3（平移法）：如圖5，過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線(xiàn)l，當(dāng)直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P時(shí)，△PBC的面積最大. 可以設(shè)直線(xiàn)l的解析式為y = -[34]x + b. 將其與拋物線(xiàn)聯(lián)立，可得[-34]x2 + [94]x + 3 =[-34]x + b，即[-34]x2 + 3x + 3 - b = 0. 令[Δ]= 9 + 3[3-b]= 18 - 3b = 0，解得b = 6. 則有[-34]x2 + 3x - 3 = 0，即x2 - 4x + 4 = 0. 所以[x-22=0]. 解得x = 2. 此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為[2， 92]，然后求此時(shí)△PBC的面積即可. 以下略.

【評(píng)析】以上三種思路是處理面積最值問(wèn)題的常見(jiàn)方法. 思路1與思路2都屬于割補(bǔ)策略. 思路1是將目標(biāo)三角形沿著豎直線(xiàn)（或水平線(xiàn)）進(jìn)行分割，將問(wèn)題巧妙地遷移到“母題”上來(lái)，這也是有關(guān)面積的一個(gè)常見(jiàn)公式，即所謂的“寬高公式”；思路2是將目標(biāo)三角形先補(bǔ)成一個(gè)四邊形，再將四邊形分割成另外兩個(gè)含“水平邊”（或“豎直邊”）的三角形面積之和. 思路3可以理解為一種動(dòng)態(tài)策略，即將直線(xiàn)BC向上平移，直至其與拋物線(xiàn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)得到的△PBC的面積最大. 至于求得點(diǎn)P的坐標(biāo)后如何求得△PBC的面積，既可以采取前兩種方法，也可以采取平移法等.

2. 關(guān)于距離轉(zhuǎn)化的思考

變式2：如圖6，已知二次函數(shù)[y =-34x+1x-4]的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，P為該圖象在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，作PH⊥BC于點(diǎn)H，求PH的最大值.

[圖6][A][O][B][P][C][x][y] [H]

轉(zhuǎn)化可以是線(xiàn)段與角之間的相互轉(zhuǎn)化，也可以是線(xiàn)段與面積之間的相互轉(zhuǎn)化，還可以是線(xiàn)段之間的相互轉(zhuǎn)化. 總之，轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)中無(wú)處不在. 關(guān)于變式2的轉(zhuǎn)化，給出如下兩種解題思路.

思路1（定角定比）：如圖7，作PG⊥Ox于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)Q. 易證cos∠1 = cos∠2 =[45]，即[PHPQ=45]. 故PH =[45]PQ. 設(shè)點(diǎn)[Pt，-34t2+94t+3]，其中0 < t < 4. 由原題可知，當(dāng)t = 2時(shí)，PH取得最大值，最大值為[125].

思路2（面積轉(zhuǎn)化）：如圖8，連接PB，PC，則S△PBC =[12]BC·PH =[52]PH. 要使PH最大，只要使S△PBC最大，故變式1中的三種思路都可行. 以下略.

【評(píng)析】線(xiàn)段PH的長(zhǎng)度可以看成點(diǎn)P到直線(xiàn)BC的距離，屬于平面直角坐標(biāo)系中的“斜距離”，其常規(guī)處理方法是“化斜為直”策略. 思路1通過(guò)構(gòu)造橫平、豎直輔助線(xiàn)，抓住不變角，利用比例式進(jìn)行線(xiàn)段的轉(zhuǎn)化，即所謂的“定角定比”；思路2通過(guò)構(gòu)造三角形，將距離最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為面積最值問(wèn)題（即變式1）進(jìn)行求解.

在變式2的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步提出如下系列追問(wèn).

追問(wèn)1：在圖7中，求線(xiàn)段HQ的最大值.

追問(wèn)2：在圖7中，求△PHQ周長(zhǎng)的最大值.

追問(wèn)3：在圖7中，求△PHQ面積的最大值.

對(duì)于以上追問(wèn)，只要抓住“定角定比”，均可將其轉(zhuǎn)化到“母題”上去（即線(xiàn)段PQ的最值問(wèn)題）.

3. 關(guān)于比值轉(zhuǎn)化的思考

變式3：如圖9，已知二次函數(shù)[y =-34x+1x-4]的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，P為該圖象在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接OP，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)K，求[PKOK]的最大值.

對(duì)于幾何中的轉(zhuǎn)化，除了可以考慮線(xiàn)段、角、面積等元素之間的相互轉(zhuǎn)化外，還經(jīng)常涉及線(xiàn)段比值的相互轉(zhuǎn)化. 關(guān)于變式3的比值轉(zhuǎn)化，給出如下兩種解題思路.

思路1（豎直轉(zhuǎn)化）：如圖10，作PG⊥Ox于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)Q. 易證△PQK ∽ △OCK，則[PKOK=PQOC=][PQ3]. 設(shè)點(diǎn)[Pt，-34t2+94t+3]，其中0 < t < 4. 由原題可知，當(dāng)t = 2時(shí)，[PKOK]取得最大值，最大值為1.

思路2（水平轉(zhuǎn)化）：如圖11，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線(xiàn)，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)Q. 易證△PQK ∽ △OBK，則[PKOK=][PQOB=PQ4]. 設(shè)[Pt，-34t2+94t+3]，其中0 < t < 4，則[Qt2-3t，-34t2+94t+3]. 故PQ = xP - xQ = -t2 +4t = -[t-22+4]. 當(dāng)t = 2時(shí)，PQ取得最大值，且最大值為4，從而得[PKOK]的最大值為1.

【評(píng)析】以上兩種思路均是通過(guò)構(gòu)造橫平、豎直輔助線(xiàn)，利用“8”字型（或“A”字型）相似三角形轉(zhuǎn)化線(xiàn)段之間的比，達(dá)到“化斜為直”之效. 通常情況下，思路1中的豎直（線(xiàn)段）轉(zhuǎn)化比思路2中的水平（線(xiàn)段）轉(zhuǎn)化更簡(jiǎn)便些，計(jì)算量更小些.

在此基礎(chǔ)上，可以提出如下追問(wèn).

追問(wèn)1：如圖12，在原題的基礎(chǔ)上，連接AP，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)K，求[PKAK]的最大值.

該追問(wèn)的處理方式與變式3如出一轍，緊緊圍繞“化斜為直”策略解決問(wèn)題. 如圖13，過(guò)點(diǎn)A，P作y軸的平行線(xiàn)，分別交直線(xiàn)BC于點(diǎn)E，Q，PQ交x軸于點(diǎn)G. 易證[PKAK=PQAE]. 注意AE是一個(gè)定值，從而將問(wèn)題再次轉(zhuǎn)化到“母題”上來(lái). 以下略.

若考慮到面積比與線(xiàn)段比之間的相互轉(zhuǎn)化，可以進(jìn)一步提出如下追問(wèn).

追問(wèn)2：如圖14，在原題的基礎(chǔ)上，連接AP，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)K，再連接AC，PC，求[S△PCKS△ACK]的最大值.

4. 關(guān)于路徑與最值轉(zhuǎn)化的思考

變式4：如圖15，在原題的基礎(chǔ)上，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)BC的平行線(xiàn)，交x軸于點(diǎn)M. 隨著點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿著第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為 .

這是一個(gè)路徑類(lèi)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，關(guān)鍵的條件是平行，學(xué)生可以利用直尺動(dòng)手操作，借助平移感知問(wèn)題的合理性，從而發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)M自起點(diǎn)B出發(fā)沿x軸先向右運(yùn)動(dòng)至最遠(yuǎn)處，然后向左直至到達(dá)點(diǎn)B才停下來(lái)，故點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)等于線(xiàn)段BM的最大值的2倍. 只需要想辦法求出BM的最大值即可. 圖16給出了關(guān)于平行可以聯(lián)想的主要方向.

由此，對(duì)于變式4給出如下五種解題思路.

思路1（平移法）：由題意，可設(shè)直線(xiàn)PM的解析式為y =[-34]x + b. 顯然，當(dāng)直線(xiàn)PM與拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，BM取得最大值. 將直線(xiàn)PM的解析式與拋物線(xiàn)的解析式聯(lián)立，可得[-34]x2 +[94]x + 3 =[-34]x + b，即[-34]x2 +3x + 3 - b = 0. 令[Δ]= 9 + 3[3-b]= 0. 解得b = 6. 所以直線(xiàn)PM的解析式為y =[-34]x + 6. 令y = 0，可得[-34]x + 6 = 0. 解得x = 8. 故線(xiàn)段BM的最大值為8 - 4 = 4. 從而點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為8.

思路2（函數(shù)建模）：同思路1，可設(shè)直線(xiàn)PM的解析式為y =[-34]x + b，點(diǎn)[Pt，-34t2+94t+3]，其中0 < t < 4. 將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線(xiàn)PM的解析式，得[-34]t2 +[94]t + 3 =[-34]t + b. 則b =[-34]t2 + 3t + 3. 故直線(xiàn)PM的解析式為y =[-34]x -[34]t2 + 3t + 3. 令y = 0，可得xM = -t2 + 4t + 4. 則BM = xM - xB = -t2 + 4t = -[t-22+4]. 當(dāng)t = 2時(shí)，BM取得最大值，最大值為4. 從而點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為8.

思路3（面積法）：如圖17，連接CM，PB，PC.易證S△MBC = S△PBC. 要使BM最大，只要使S△MBC最大，即S△PBC最大. 從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變式1. 利用前述的三種思路均可求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo). 以下略.

思路4（斜直轉(zhuǎn)化）：如圖18，作BN⊥PM于點(diǎn)N，作PH⊥BC于點(diǎn)H. 易得sin∠BMN = sin∠OBC =[35]，即[BNBM=35]. 則BM =[53]BN. 易證四邊形PNBH是矩形，故BN = PH，得BM =[53]PH. 要使BM最大，只要使PH最大，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變式2，利用前述的幾種思路均可求出PH的最大值，從而可得BM的最大值，以下略.

思路5（構(gòu)造平行四邊形）：如圖19，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線(xiàn)，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)Q. 易證四邊形BMPQ是平行四邊形，則BM = PQ. 要使BM最大，只需PQ最大. 利用變式3中的思路2，借助設(shè)坐標(biāo)法，可求得PQ的最大值為4，故BM的最大值也為4. 從而點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為8.

【評(píng)析】路徑與最值問(wèn)題常常可以相互轉(zhuǎn)化. 在變式4中，先通過(guò)動(dòng)手操作讓學(xué)生直觀(guān)感知，將動(dòng)點(diǎn)M的路徑長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段BM的最大值問(wèn)題. 然后借助平行聯(lián)想，提供了五種常見(jiàn)的思考方向，并且同前面的“母題”及變式產(chǎn)生聯(lián)系，再次演繹了轉(zhuǎn)化的力量. 上述思路彼此交織，相互印證，如前兩種思路都與平面直角坐標(biāo)系中的解析思想有關(guān)，思路2與思路5都涉及“主動(dòng)設(shè)元，函數(shù)建?！钡乃枷敕椒ǎ悸?的面積轉(zhuǎn)化與思路4的斜、直轉(zhuǎn)化也都有密切的聯(lián)系等. 在解決問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)反復(fù)琢磨、層層比較，學(xué)生提升了解題技能，發(fā)展了幾何直觀(guān)、推理能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

三、幾點(diǎn)思考

1. 轉(zhuǎn)化與化歸思想

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是解決問(wèn)題的“航標(biāo)燈”. 轉(zhuǎn)化與化歸是一種基本的數(shù)學(xué)思想，其作用在于可以把問(wèn)題不斷地進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，如將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將不熟悉的問(wèn)題熟悉化，將未知的問(wèn)題已知化等. 著名數(shù)學(xué)家和教育家G.波利亞曾言，要不斷變換你的問(wèn)題，必須一再變化它，重新敘述它，變換它，直到最后成功地找到一些有用的東西為止. 可以說(shuō)，轉(zhuǎn)化思想是一切數(shù)學(xué)思想方法的核心，是解決問(wèn)題的通性通法.

本文通過(guò)對(duì)一道“母題”的深入思考，從四個(gè)方面不斷演變，提出了系列“子題”，而這些“子題”最終都可以轉(zhuǎn)化到“母題”上來(lái)或者相互轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問(wèn)題得以解決. 在這種轉(zhuǎn)化和深入思考的過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生將待解決的問(wèn)題歸結(jié)為已解決或比較容易解決的一類(lèi)問(wèn)題，然后拓展延伸、類(lèi)比反思，從而提升其思維品質(zhì).

2. 一題多解與多題歸一

解題教學(xué)中，對(duì)同一數(shù)學(xué)問(wèn)題的多角度審視可以引發(fā)不同的聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)不同的解題路徑，這樣既有利于問(wèn)題的解決，又能使思維的起點(diǎn)和過(guò)程都具有高度的靈活性，從而發(fā)現(xiàn)解題的捷徑. 系統(tǒng)論指出，整體功能大于部分功能之和. 這啟示我們，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要將“一題多解”“一題多變”“多解歸一”“多題歸一”等方法組成一個(gè)相互聯(lián)系、相互作用的整體，從而加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的鞏固與深化，提高學(xué)生解題技能及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性、變通性和創(chuàng)新性.

本文以一道經(jīng)典“母題”為背景，通過(guò)對(duì)題設(shè)及結(jié)論的諸多變化，使之變?yōu)楦嘤袃r(jià)值的、有新意的問(wèn)題，使更多的知識(shí)與方法得到應(yīng)用，從而獲得“一題多練”“一題多得”的教學(xué)效果，激發(fā)學(xué)生思維的靈活性. 在每一個(gè)變式問(wèn)題中提倡“一題多解”，鼓勵(lì)學(xué)生從多角度、多途徑尋求解決問(wèn)題的方法，開(kāi)拓解題思路，激活學(xué)生思維的發(fā)散性. 尤其是變式4，幾乎將初中階段關(guān)于平行的常見(jiàn)處理策略融于其中. 另外，上述四種變式對(duì)應(yīng)的四個(gè)思考方向，最終都可以轉(zhuǎn)化到“母題”上來(lái)，這種“多題歸一”的訓(xùn)練是培養(yǎng)學(xué)生聚合性思維的重要途徑. 有研究表明，任何一個(gè)創(chuàng)造的過(guò)程，都是發(fā)散性思維和聚合性思維的完美結(jié)合. 在教學(xué)中，教師可以將這些“型異質(zhì)同”或“型近質(zhì)同”的問(wèn)題歸類(lèi)分析，引領(lǐng)學(xué)生探尋其本質(zhì)特征，方能使學(xué)生觸類(lèi)旁通，達(dá)到舉一反三、事半功倍的教學(xué)效果，從而真正擺脫“題海泛舟”的苦惱.

3. 深度學(xué)習(xí)與深度教學(xué)

文獻(xiàn)［3］指出，深度學(xué)習(xí)是指在理解學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)者能夠批判性地學(xué)習(xí)新的思想和事實(shí)，并將它們?nèi)谌朐械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中，能夠在眾多思想間進(jìn)行聯(lián)系，并能夠?qū)⒁延械闹R(shí)遷移到新的情境中，作出決策和解決問(wèn)題的學(xué)習(xí). 學(xué)生的學(xué)離不開(kāi)教師的教，深度教學(xué)與深度學(xué)習(xí)是相輔相成的. 教師的深度教學(xué)可以將學(xué)生的學(xué)習(xí)引向深入，學(xué)生的深度學(xué)習(xí)可以推動(dòng)教師的教學(xué)向深度發(fā)展. 其核心問(wèn)題是能否引起深入思考和深入探究. 能夠引起深入思考和深入探究的教學(xué)就是深度教學(xué)，進(jìn)行了深入思考和深入探究的學(xué)習(xí)就是深度學(xué)習(xí). 如何促進(jìn)深度教學(xué)與深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，值得一線(xiàn)教師思考與實(shí)踐.

本文通過(guò)對(duì)一道“母題”中基本圖形結(jié)構(gòu)的深度研究，多方位、多視角的變式重組與拓展遷移，將線(xiàn)段（比）、角、面積（比）等常見(jiàn)幾何元素及路徑與最值等常見(jiàn)問(wèn)題融會(huì)貫通，啟發(fā)學(xué)生在深入思考的過(guò)程中學(xué)會(huì)整合思路和深度挖掘，不斷逼近問(wèn)題的本質(zhì)，從而促進(jìn)深度教學(xué)，引發(fā)深度學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體悟具有普適性的數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)而形成一定的數(shù)學(xué)思維.

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