摘 要：以“三角形”章起始課的教學(xué)片斷為例，利用尺規(guī)作圖的方式創(chuàng)設(shè)確定三角形形狀的情境，探討培養(yǎng)學(xué)生有序思考問(wèn)題，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的途徑和方法. 利用五個(gè)問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生將三角形形狀的確定從“形”的感性理解到“數(shù)”的理性認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生構(gòu)建確定三角形形狀的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生體會(huì)從“位置的變換”到“線段長(zhǎng)度的變化”的過(guò)程，提升學(xué)生辯證思考問(wèn)題的能力.

關(guān)鍵詞：尺規(guī)作圖；三角形的形狀；教學(xué)意義

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2024）09-0029-04

引用格式：袁曉婷. 尺規(guī)作圖在確定三角形形狀中的教學(xué)意義［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2024（9）：29-32.

一、提出問(wèn)題

學(xué)生對(duì)三角形形狀的認(rèn)識(shí)過(guò)程經(jīng)歷了不同的階段. 在幼兒時(shí)期，學(xué)生能從不同形狀的圖形中辨別出三角形的形狀；在小學(xué)階段，學(xué)生會(huì)根據(jù)邊或角的特征對(duì)三角形進(jìn)行分類. 幾何教學(xué)中，學(xué)生通常會(huì)經(jīng)歷“直觀感知—操作證實(shí)—辨析論證—度量計(jì)算”的過(guò)程. 在不同的學(xué)習(xí)階段，教師應(yīng)該關(guān)注學(xué)生不同層次的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與學(xué)習(xí)能力的積累. 在七年級(jí)幾何入門(mén)的教學(xué)中，教師應(yīng)該關(guān)注直觀感知與操作證實(shí)，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生自己動(dòng)手，通過(guò)折紙、度量、拼接等方式積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 而尺規(guī)作圖是一種學(xué)習(xí)情境的創(chuàng)設(shè)，是學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)際操作的活動(dòng)，具有不可替代的直觀性，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的創(chuàng)造性. 同時(shí)，尺規(guī)作圖是問(wèn)題解決不可或缺的一部分. 例如，對(duì)于“邊邊角”不能判定三角形全等，可以利用尺規(guī)作圖的方式舉出反例. 直觀的論證不僅思路清晰，還具有很強(qiáng)的說(shuō)服力. 但是在實(shí)際教學(xué)中，教師更注重辨析論證或者是以辨析論證為基礎(chǔ)的計(jì)算，對(duì)學(xué)生的直觀感知和尺規(guī)作圖缺少重視.

滬教版《九年義務(wù)教育課本·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“滬教版教材”）七年級(jí)第二學(xué)期“14.1 三角形的有關(guān)概念”一課主要通過(guò)讓學(xué)生動(dòng)手操作感受能構(gòu)成三角形時(shí)三根細(xì)棒長(zhǎng)度的特征. 在幾何入門(mén)階段關(guān)注學(xué)生動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)積累，為探索構(gòu)成三角形三邊的條件作準(zhǔn)備. 在利用三根細(xì)棒圍三角形的過(guò)程中，學(xué)生能直觀地發(fā)現(xiàn)三條線段構(gòu)成三角形的條件. 在人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)“11.1 與三角形有關(guān)的線段”中，探究三角形的三邊關(guān)系的活動(dòng)：任意畫(huà)一個(gè)△ABC，從點(diǎn)B出發(fā)，沿三角形的邊到點(diǎn)C，有幾條線路可以選擇？各條線路的長(zhǎng)有什么關(guān)系？學(xué)生可以利用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決三角形三邊之間的關(guān)系.

基于以上對(duì)教材的研究，本文將從以尺規(guī)作圖的方式確定三角形形狀的視角進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).

二、運(yùn)用尺規(guī)作圖確定三角形形狀的教學(xué)片斷設(shè)計(jì)

運(yùn)用尺規(guī)作圖確定三角形形狀的教學(xué)主要分為三個(gè)過(guò)程，如圖1所示.

1. 探究三條線段能構(gòu)成三角形的條件

問(wèn)題1：現(xiàn)在有長(zhǎng)度分別為2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，6 cm的五條線段，從中任意挑選三條線段構(gòu)成三角形，用尺規(guī)作圖，共有哪幾種選法？

師生活動(dòng)：教師和學(xué)生共同作圖、討論得出如下結(jié)論.

結(jié)論：給出的五條線段中，選擇其中三條共有10種選法.

【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題1旨在引導(dǎo)學(xué)生有序思考，將教材例題中的實(shí)物操作改為尺規(guī)作圖，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生理解三角形三邊之間的關(guān)系. 圖形形狀的多樣性為學(xué)生對(duì)三角形形狀的認(rèn)識(shí)提供了更為豐富的素材.

問(wèn)題2：這10種選法都能圍成三角形嗎？如何來(lái)研究呢？

師生活動(dòng)：教師示范用尺規(guī)畫(huà)三邊長(zhǎng)為2 cm，3 cm，4 cm的三角形的作法. 學(xué)生小組合作，分工作圖，探究三條線段可以構(gòu)成三角形的條件. 其他9種選法的作圖如下.

根據(jù)上述作圖，我們猜測(cè)可以構(gòu)成三角形的三條線段的條件是：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題2激發(fā)學(xué)生的好奇心. 教師示范選法為2 cm，3 cm，4 cm的三條線段畫(huà)三角形，喚醒學(xué)生尺規(guī)作圖的記憶. 學(xué)生在七年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)了圖形的運(yùn)動(dòng). 在學(xué)生用尺規(guī)作圖的同時(shí)滲透“畫(huà)一條線段等于已知線段”的本質(zhì)是線段的平移運(yùn)動(dòng)，“以線段的某個(gè)端點(diǎn)為圓心，已知線段長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓”是點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng).

通過(guò)讓學(xué)生小組合作，分工畫(huà)圖，相互分享，幫助學(xué)生鞏固了尺規(guī)作圖. 學(xué)生經(jīng)歷了其他9種選法的作圖、觀察及分析的過(guò)程，將教材中4種情況下的推理猜測(cè)增加為9種情況. 雖然學(xué)生在作圖上要花費(fèi)一定的時(shí)間，但是這對(duì)學(xué)生推測(cè)能構(gòu)成三角形的三條線段的條件起到了較好的效果，也為后續(xù)學(xué)生選擇長(zhǎng)度不同的三條邊所形成的三角形形狀的判斷提供了生成性資源素材.

問(wèn)題3：對(duì)探究活動(dòng)進(jìn)行小結(jié)，試歸納三條線段可以構(gòu)成三角形的條件.

師生活動(dòng)：師生共同總結(jié)歸納，概括出“三角形任意兩邊之和大于第三邊”；運(yùn)用不等式的性質(zhì)，還可以得到“三角形任意兩邊之差小于第三邊”. 同時(shí)，教師強(qiáng)調(diào)，在作圖的過(guò)程中，需要關(guān)注所選的三條線段是否能構(gòu)成三角形，即為對(duì)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的確認(rèn). 在畫(huà)出第一條線段后就確定了三角形中的兩個(gè)頂點(diǎn)，再利用尺規(guī)作圖畫(huà)剩下的兩條線段，則為判斷是否有三角形在第三個(gè)頂點(diǎn)處產(chǎn)生，所以將三條線段能否構(gòu)成三角形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為是否能通過(guò)尺規(guī)作圖找到三個(gè)確定的三角形的頂點(diǎn)的問(wèn)題.

2. 給定三條線段對(duì)三角形形狀的影響

問(wèn)題4：圖11至圖13分別是三組已知三邊長(zhǎng)度的三角形的兩種不同畫(huà)法. 圖11中的三角形三邊長(zhǎng)分別為2，4，5，圖12中的三角形三邊長(zhǎng)分別為3，4，5，圖13中的三角形三邊長(zhǎng)分別為4，5，6. 觀察這三組三角形，它們的形狀一樣嗎？

師生活動(dòng)：再現(xiàn)學(xué)生所作圖形，探究同樣三條線段的不同作法對(duì)三角形形狀的影響.

【設(shè)計(jì)意圖】教師收集學(xué)生所作圖形中的典型畫(huà)法，引導(dǎo)學(xué)生辨析在已知三邊長(zhǎng)情況下的三角形的形狀是否相同. 可以通過(guò)度量、觀察等方式確定三角形的形狀相同，并揭示形狀看似不同的原因是選擇水平放置的邊的長(zhǎng)度不同，從而導(dǎo)致擺放位置的不同，進(jìn)而引起視覺(jué)上的三角形形狀的差異. 通過(guò)師生共同探究，讓學(xué)生初步體會(huì)已知三條確定的邊時(shí)，三角形的形狀是唯一確定的，不受位置的變化而改變.

3. 線段的不同長(zhǎng)度對(duì)三角形形狀的影響

問(wèn)題5：圖14中的三角形三邊長(zhǎng)分別為2，4，5，圖15中的三角形三邊長(zhǎng)分別為3，4，5，圖16中的三角形三邊長(zhǎng)分別為4，5，6. 觀察下列三個(gè)三角形，它們的形狀一樣嗎？猜測(cè)影響三角形形狀的元素.

師生活動(dòng)：學(xué)生指出影響三角形形狀的元素是邊的長(zhǎng)度，并發(fā)現(xiàn)：當(dāng)[22+42-52<0]時(shí)，三角形的形狀是鈍角三角形；當(dāng)[32+][42-52=0]時(shí)，三角形的形狀是直角三角形；當(dāng)[42+52-62>0]時(shí)，三角形的形狀是銳角三角形. 從而得到結(jié)論：通過(guò)計(jì)算較小兩邊的平方和減去較長(zhǎng)邊的平方，將所得結(jié)果與0進(jìn)行比較，能夠判斷出三角形的形狀. 教師利用幾何畫(huà)板軟件，通過(guò)改變?nèi)切蔚倪叺拈L(zhǎng)度，讓學(xué)生直觀地看到三角形形狀的變化情況.

【設(shè)計(jì)意圖】選擇三個(gè)不同形狀的三角形（鈍角三角形、直角三角形與銳角三角形）進(jìn)行觀察，使學(xué)生初步感知三角形的形狀受三角形三邊的長(zhǎng)度所影響，并發(fā)現(xiàn)三邊的長(zhǎng)度是如何影響三角形的形狀變化的，為后續(xù)學(xué)習(xí)勾股定理、余弦定理埋下伏筆.

三、尺規(guī)作圖的教學(xué)意義

尺規(guī)作圖是只能用直尺和圓規(guī)為工具作圖的一種作圖方式. 其中，直尺的作用是用到了其“直”這個(gè)元素，不可以使用刻度；圓規(guī)就是用來(lái)畫(huà)弧線或者截取相等長(zhǎng)度的線段. 利用尺規(guī)作圖進(jìn)行幾何圖形研究的過(guò)程，是讓學(xué)生從操作體驗(yàn)提升到理論認(rèn)識(shí)的重要途徑，是學(xué)生動(dòng)手操作和幾何推理相結(jié)合的結(jié)果. 在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的幾何直觀、推理能力、空間想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到發(fā)展，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生重要的意義.

1. 從小學(xué)階段的實(shí)驗(yàn)幾何向初中階段的演繹幾何過(guò)渡

小學(xué)階段，學(xué)生從一年級(jí)第二學(xué)期開(kāi)始認(rèn)識(shí)“度量”這個(gè)概念，并學(xué)會(huì)用直尺度量，認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)度單位；角的概念出現(xiàn)在二年級(jí)第一學(xué)期，角的度量出現(xiàn)在四年級(jí)第一學(xué)期. 學(xué)生在度量線段長(zhǎng)和角度時(shí)，認(rèn)識(shí)了刻度尺和量角器. 小學(xué)階段通過(guò)“畫(huà)一畫(huà)”“量一量”“折一折”“拼一拼”等操作活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力、自主探究能力、空間觀念等.

“畫(huà)一個(gè)角等于已知角”是滬教版教材六年級(jí)第二學(xué)期第七章“線段與角的畫(huà)法”第4節(jié)的內(nèi)容，這部分內(nèi)容是基本的尺規(guī)作圖內(nèi)容之一，讓尺規(guī)作圖與演繹推理之間產(chǎn)生聯(lián)系. 在這個(gè)階段，學(xué)生對(duì)作圖的掌握停留在機(jī)械操作層面，知其然而不知其所以然，其證明要到七年級(jí)第二學(xué)期，利用“邊邊邊”證明三角形全等，再利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行證明. 該部分內(nèi)容將“會(huì)作”前置，探索作法扎根在體驗(yàn)中，讓實(shí)驗(yàn)幾何中的直觀先行，為說(shuō)理埋下種子，將“明理”后置，以“理”再生“法”，使學(xué)生帶著原有的知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)去主動(dòng)思考、反思，對(duì)原先的“會(huì)作”能進(jìn)行說(shuō)理，構(gòu)建新的知識(shí)體系. 這是對(duì)事物本質(zhì)特征的進(jìn)一步探索，進(jìn)而提升學(xué)生的邏輯思維能力.

滬教版教材七年級(jí)第二學(xué)期第十四章“三角形”是實(shí)驗(yàn)幾何的最后一章. 此時(shí)，教師既要注意把握實(shí)驗(yàn)幾何階段的學(xué)習(xí)要求，又要把握好從實(shí)驗(yàn)幾何逐步向演繹幾何過(guò)渡的要求. 基于此，本節(jié)課設(shè)計(jì)探究三角形三邊關(guān)系活動(dòng)時(shí)，通過(guò)將實(shí)物操作抽象為尺規(guī)作圖的過(guò)程，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)三角形三邊關(guān)系的內(nèi)在感悟，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行理性思考與分析，歸納得到三角形的三邊關(guān)系. 本節(jié)課利用“尺”“規(guī)”讓學(xué)生進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)對(duì)象的產(chǎn)生，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，由具象思維過(guò)渡到抽象思維.

2. 直觀理解確定一個(gè)三角形的條件

數(shù)學(xué)教學(xué)需要重視對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)和內(nèi)涵的挖掘，需要教師研究某節(jié)課、某一單元、某個(gè)章節(jié)，甚至初中階段的整體知識(shí)結(jié)構(gòu)的特征，體現(xiàn)數(shù)學(xué)教師對(duì)所教內(nèi)容的整體思考. 在本節(jié)課問(wèn)題2的探究中，不僅探究了確定一個(gè)三角形的條件，也將尺規(guī)作圖與圖形運(yùn)動(dòng)這兩塊割裂的知識(shí)建立起了聯(lián)系，為后續(xù)已知三邊畫(huà)三角形、全等三角形“邊邊邊”判定的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ). 教材中給出的用細(xì)棒圍三角形的探究活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷了動(dòng)手度量、拼湊、疊合等幾何操作過(guò)程，這具有不可替代的直觀性. 尺規(guī)作圖是人類理性思維的瑰寶，它簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確、理性、實(shí)用. 在尺規(guī)作圖過(guò)程中，留給學(xué)生更多自主探究、思考分析的空間．為了促進(jìn)學(xué)生能力的發(fā)展、知識(shí)的建構(gòu)，教師應(yīng)該細(xì)致分析教學(xué)內(nèi)容，將零散的知識(shí)系統(tǒng)化，由傳輸知識(shí)技能的“魚(yú)”向提升思維的“漁”轉(zhuǎn)變，著力將蘊(yùn)含在教學(xué)內(nèi)容“暗線”中的思想方法以“明線”的方式揭示出來(lái)，尋找一個(gè)好的學(xué)習(xí)載體，發(fā)展學(xué)生從實(shí)驗(yàn)操作到推理論證的邏輯思維.

3. 初步感知“數(shù)”與“形”的關(guān)聯(lián)

在七年級(jí)，學(xué)生對(duì)“形”的認(rèn)識(shí)與“數(shù)”的認(rèn)識(shí)是分開(kāi)的，幾何的學(xué)習(xí)系統(tǒng)與代數(shù)的學(xué)習(xí)系統(tǒng)的關(guān)系建立直到學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系后才有所感悟，而將三角形的形狀與代數(shù)系統(tǒng)建立起聯(lián)系是在學(xué)習(xí)了直角三角形、銳角三角函數(shù)后才有所體會(huì)的，真正地運(yùn)用代數(shù)系統(tǒng)推理證明三角形形狀的認(rèn)識(shí)是缺失的. 解決問(wèn)題5的過(guò)程中，利用三角形三邊的特殊數(shù)值及幾何畫(huà)板軟件的演示，使學(xué)生感受到了邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系對(duì)三角形形狀的影響. 而高中階段是直接解斜三角形. 為什么可解？可解的條件是什么？這是建立在初中畫(huà)三角形的認(rèn)知基礎(chǔ)上的. 本節(jié)課的設(shè)計(jì)讓學(xué)生從畫(huà)三角形初步感知“數(shù)”與“形”的關(guān)聯(lián)，為高中階段學(xué)習(xí)正、余弦定理作鋪墊，也是對(duì)三角形“形”的認(rèn)識(shí)上升到運(yùn)用“數(shù)”的推理證明.

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