摘 要：數學實驗教學可以有效改變學生學習數學的方式，與幾何直觀這一關鍵能力的發(fā)展緊密相關. 在“最短路徑之造橋選址問題”的教學中，通過幾何畫板軟件、折紙操作、動手作圖開展不同形式的數學實驗教學，發(fā)現實驗教學對提高學生基于幾何直觀的感性認識、理性思考和表達應用具有積極的促進作用. 由此受到啟示，依據學生的認知發(fā)展規(guī)律，有序開展數學實驗教學能有效促進學生幾何直觀能力的發(fā)展.

關鍵詞：數學實驗；幾何直觀；造橋選址

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）09-0037-05

引用格式：章源，劉永東. 有序開展數學實驗，發(fā)展幾何直觀能力：以“最短路徑之造橋選址問題”的教學為例［J］. 中國數學教育（初中版），2024（9）：37-41.

一、問題提出

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）指出，數學課程要培養(yǎng)的核心素養(yǎng)，主要包括會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界三個方面，體現出對學生正確價值觀、必備品格和關鍵能力的培養(yǎng)要求. 關鍵能力是學生通過學習數學獲得的，是支撐學生數學核心素養(yǎng)發(fā)展的必備能力，是數學核心素養(yǎng)培養(yǎng)實踐落地的抓手. 從數學核心素養(yǎng)組成要素的角度看關鍵能力，在初中階段，數學核心素養(yǎng)具體表現為抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數據觀念、模型觀念、應用意識和創(chuàng)新意識. 其中，幾何直觀是一種形成對圖形的認識并利用圖形描述和分析數學問題的能力，與學生學習的自主性和探究性密切相關，需要通過主動參與、樂于研究、勤于動手的學習方式得以獲得和發(fā)展. 數學實驗是運用有關工具（如紙張、剪刀、模型、直尺、圓規(guī)、計算機等），在數學思維參與下進行的一種以學生人人參與的實際操作為特征的數學驗證或探究活動. 由此可見，數學實驗教學是培養(yǎng)幾何直觀關鍵能力的有效手段和途徑. 對此，筆者以人教版《義務教育教科書·數學》八年級上冊“13.4 課題學習 最短路徑問題”的第2課時“造橋選址問題”為例開展數學實驗教學，并進行教學過程簡析，揭示有序開展數學實驗教學能有效發(fā)展學生幾何直觀關鍵能力的三個視角.

二、教學過程簡析

1. 復習回顧，類比遷移

活動1：回顧上節(jié)課學習的“將軍飲馬”問題，其中最主要的解決問題的方法是什么？

師生活動：教師引導學生回顧“將軍飲馬”問題的解決過程與方法，讓學生再次感悟解決問題時“化折為直”的轉化思想.

【設計意圖】通過類比解決“造橋選址”問題，幫助學生整合已有的認知結構，不僅簡單易行，而且符合學生的認知發(fā)展規(guī)律.

2. 小組交流，提出猜想

活動背景（造橋選址）：如圖1，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN. 橋造在何處可以使從A地到B地的路徑AM + MN + NB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直，且測量時人正面對著河的兩岸.）

活動2：呈現對“造橋選址”問題的猜想和發(fā)現，并在小組內交流與思考猜想的合理性.

師生活動：學生先自己繪圖，然后與其他學生的繪圖進行比較，小組內交流，猜想最短路徑. 教師巡視指導.

下面為部分學生給出的作圖方案.

方案1：如圖2（a），連接AB，交直線a于點M，過點M作MN垂直于直線b，垂足為點N，連接BN.

方案2：如圖2（b），連接AB，交直線b于點N，過點N作MN垂直于直線a，垂足為點M，連接AM.

方案3：如圖2（c），過點A作直線a的垂線，分別交直線a，b于點M，N，連接BN.

方案4：如圖2（d），過點B作直線b的垂線，分別交直線a，b于點M，N，連接AM.

【設計意圖】很多情況下，知識的提煉可以借助圖形或圖式進行. 學生自行繪圖并對比不同圖形的過程，能有效促進學生認識各種因素間的聯系，不斷糾正自我理解認知偏差，初步辨析應該選擇哪些因素來加以表現.

實際上，幾何直觀的培養(yǎng)不是一蹴而就的，是需要按照層次，從易到難有序進行的. 若參照《標準》中了解、理解、掌握、應用的四個目標層次來區(qū)分幾何直觀素養(yǎng)的發(fā)展水平，則對比屬于從“了解”層次發(fā)展幾何直觀.

3. 畫板助力，直觀實驗

活動3：利用幾何畫板軟件檢驗以上方案，看看哪個方案符合要求.

師生活動：教師和學生一起操作幾何畫板軟件，變換點M和點N的位置，記錄不同方案中AM，MN，NB三條線段的和.

師：在同學們提出的4種方案中（如圖3），方案2中的三條線段和最小，它是最短路徑嗎？為什么？

生1：我認為方案2不是最短路徑. 連接AB，因為“兩點之間線段最短”，所以此時點A，B之間的距離是最短的. 但是方案2中AM，MN，NB三條線段的和并不等于點A，B之間的距離.

師：生1講解得很有道理. 圖3（b）的確不是最短路徑. 在比對了4種方案后，你還有什么發(fā)現嗎？

生2：我發(fā)現橋長MN其實是不變的，因為平行線間的距離處處相等.

生3：我發(fā)現求三條線段和的最小值，其實只需要求線段AM和BN的和的最小值即可.

師：生2和生3分析得非常好. 他們發(fā)現了解決選址造橋問題的重要突破口，實現了問題的轉換.

【設計意圖】若直接用數學原理解釋學生的猜想是否具備合理性，則無法發(fā)展學生的幾何直觀，學生也會因其抽象性而難以理解數學問題. 利用幾何畫板軟件精準作圖，設置動點，對不同方案進行動態(tài)展示，能讓學生在度量和數據比較中驗證猜想的可行性.

實質上，這是把一個未知事件和已知事件的事實進行比較，具有直觀性和可操作性. 利用學生可以參與、操作、觀察及隨時調整的數學實驗，不僅能有效激發(fā)學生的學習熱情，而且能在動態(tài)演示中增強學生的幾何直觀，從而讓學生發(fā)現問題中的變量和不變量，找到解決問題的突破口. 此處借助圖形在實驗中尋求得到解決問題的方法，屬于從“理解”層次發(fā)展幾何直觀.

4. 折紙操作，啟發(fā)誘導

活動4：類比“將軍飲馬”問題，通過折紙?zhí)骄咳绾谓鉀Q“造橋選址”問題.

問題1：“將軍飲馬”和“造橋選址”兩個問題的區(qū)別和聯系是什么？

問題2：小組合作，思考如何通過折紙將“造橋選址”問題轉化為“將軍飲馬”問題？

問題3：如圖4，在折紙的過程中有什么變化，如何用數學知識進行解釋？

師生活動：在小組合作中，學生經歷了觀察、動手操作、討論交流的過程. 教師巡視，在學生遇到困難時給予啟發(fā)性引導.

【設計意圖】問題1旨在引導學生通過類比學習，發(fā)現“造橋選址”問題也可以“化折為直”，但需要突破學生對模型特征的異同認知. 問題2旨在啟發(fā)學生通過折紙使得兩條直線重合從而成功轉化問題. 問題3旨在進一步引發(fā)學生深度思考，發(fā)現折紙的本質是平移，利用平移的數學知識解釋折紙的過程，并發(fā)現不同的解法. 小組合作折紙活動提升了學生的幾何直觀能力，讓學生在數學交流中產生了頓悟，找到了解決問題的辦法.

數學實驗教學強調學生動手操作的真實感受，強調在交流中參與并生成知識的過程，即強調在操作發(fā)現和交流的全過程中充分理解為什么要平移及怎樣平移的教學關鍵點，使得學生的認知從感性層面上升到理性層面，不僅激發(fā)了學生的探索欲望，啟迪了學生的思維，而且提升了學生解決問題的能力. 模型是一種思維輔助工具. 折紙這一實物模型是學生容易理解的. 引導學生分析研究模型并和已有認知聯系起來，從直觀折紙到認識數學對象之間的聯系，屬于從“掌握”層次發(fā)展幾何直觀.

5. 格點作圖，提升思維

活動5：在格點中作圖，完成下列問題.

（1）如圖5（a），從[A]地到[B]地要經過一條小河（河岸平行），今欲在河上建一座與兩岸垂直的橋[MN]，在格點紙中作圖找到點[M，N]的位置，使得此時從[A]地到[B]地的路徑最短.

（2）如圖5（b），從[A]地到[B]地要經過兩條小河（河岸平行），今欲在兩條河上分別建一座與兩岸垂直的橋[MN]和[PQ]，在格點紙中作圖找到點[M，N，P，Q]的位置，使得此時從[A]地到[B]地的路徑最短.

（3）如圖5（c），從[A]地到[B]地要經過兩條小河（河岸平行），今欲在兩條河上分別建一座與兩岸垂直的橋[MN]和[PQ]，在格點紙中進行作圖找到點[M，N，P，Q]的位置，使得此時從[A]地到[B]地的路徑最短.

師生活動：學生按照要求在格點紙中作圖，教師巡視指導.

【設計意圖】“造橋選址”問題涉及平移橋長，不易作圖進行考查，由此對該問題進行適當改編，放置在格點中進行考查，有利于學生理解平移轉化的作法，方便作圖. 通過變式問題能加深學生理解“造橋選址”問題中的平移、“化折為直”等方法的妙用，并舉一反三，有效提升學生的思維能力.

數學活動形式需要多樣化. 上述活動是在問題的引領下開展的，而數學學習離不開解題，因此筆者將整節(jié)課活動的全過程以“雙題”形式呈現，既有數學問題，又有數學題目. 圖形是數學幾何語言的外在表達方式，根據符號語言或文字語言，進行抽象并畫出圖形，這既是幾何直觀的重要體現，也是幾何直觀能力培養(yǎng)的重要手段.

在新情境下，學生將概念和直觀感受聯系起來，在模型化的過程中，推導各種解釋和預測并產生知識的遷移，是發(fā)展幾何直觀的應用層次.

6. 歸納整理，學后反思

師：前面的每一個活動是如何完成的？在完成過程中遇到了哪些問題或困惑？你是如何解決的？還有哪些疑問或者需要解決的問題？

師生活動：學生發(fā)言歸納總結，教師基于學生的反饋，對整節(jié)課的學習過程進行梳理，包括知識技能，以及方法性知識和價值性知識.

【設計意圖】學習之后的回顧與反思是非常重要的. 本節(jié)課中，圖形的特征變化構成了學生對概念記憶的支撐過程. 學生將已有知識和現有概念或數學實驗聚合在一起內化理解，實現真正意義上的學習，這樣在之后有關內容的學習中，相關的記憶更容易被喚醒.

三、教學啟示

人的認知發(fā)展具備階段性，從感性認識的初級階段，到理性思考的高級階段，再到實踐創(chuàng)新階段，教師的教學應該遵循學生的認知發(fā)展規(guī)律，有序開展數學教學活動. 初中生的思維處于經驗型邏輯思維階段，辯證邏輯思維和創(chuàng)造性思維處在發(fā)展的關鍵期，仍然需要較多感性經驗的支撐. 因此，數學實驗活動中，教師可以先通過直觀演示刺激學生初步形成感性認識，然后采用直觀的實驗操作深化學生的理性思考，最后引導學生對實驗成果進行表達、輸出和應用.

1. 動態(tài)演示指向幾何直觀的感性認識

相比于靜態(tài)的、平面的實物或圖像的直觀演示，利用幾何畫板軟件的動態(tài)演示更能直觀刺激學生初步形成對幾何圖形的感性認識. 例如，對于“造橋選址”問題的講授，在傳統(tǒng)的教學中，教師一般只呈現靜態(tài)的結果圖示，導致學生常常不能理解如何找到最短路徑，甚至很多學生上完課就忘記了解答過程. 數學實驗注重實測和直觀，讓數學知識在實驗的過程中實現“可視化”. 幾何畫板軟件具有強大的交互性和動態(tài)圖像生成功能，能將內容“動態(tài)化”呈現. 教師將學生對“造橋選址”問題的初步思考方案用幾何畫板軟件進行動態(tài)展示，并利用幾何畫板軟件生成路徑的測量數據，有助于學生形成對幾何對象、關系、變換等的直觀和感性認識. 雖然由于自身認知和能力的局限性，學生最初的思考方案并不是正確答案，甚至與正確答案相差甚遠，但正是這種試誤的數學實驗過程，讓學生有了探索發(fā)現、不斷嘗試和猜想檢驗的機會. 學生逐漸能理解“從A地到B地的路徑最短”的幾何直觀含義，并能將其用文字語言、圖形語言和符號語言進行表達.

2. 折紙操作指向幾何直觀的理性思考

在直觀操作的數學活動中，讓學生經歷完整的操作過程是積累理性思考經驗的重要途徑. 折紙是對實物或圖形運動的動手操作過程，具有直觀性，讓學生體驗將圖形語言、文字語言、符號語言轉化為圖形的變換過程，在轉化的過程中深化理性思考. 折紙操作中蘊含著豐富的數學思想方法，尤其是轉化思想. 學生通過折紙發(fā)現了“造橋選址”問題和“將軍飲馬”問題的聯系與區(qū)別，通過將兩條直線折疊重合，成功將未知問題轉化為已知問題. 在折紙的數學實驗中，學生逐步轉化數學問題，將對幾何直觀的感性認識提升為理性思考. 學生思考兩條直線折疊、重合過程中的變與不變，發(fā)現兩條直線的位置關系，以及折疊、重合過程中的平移變換，將問題抽象為兩點在直線異側求最短路徑的數學模型，從而完成數學建模并最終解決問題. 折紙的數學實驗有助于學生形成對幾何直觀的理性思考，不僅對學生數學思維能力的培養(yǎng)有著積極的促進作用，還可以提高學生學習數學的興趣，對培養(yǎng)學生的團隊精神、探究精神和創(chuàng)新精神，觀察能力，以及分析問題和解決問題的能力也會起到積極的促進作用.

3. 幾何作圖指向幾何直觀的實踐創(chuàng)新

實踐創(chuàng)新與應用是能力形成的體現. 幾何直觀能力指對數學研究對象（空間形式和數量關系）進行直接感知、整體把握的能力. 本節(jié)課伊始，學生對“造橋選址”問題的多種試誤，本質上是一種對幾何直覺的感性認知. 通過幾何作圖教學能夠引導學生進行有效的觀察和思考，使學生在活動體驗中不斷進行邏輯推理，從而將幾何直覺轉化為幾何直觀素養(yǎng).“造橋選址”問題要求學生通過邏輯推理和直觀想象，通過數學抽象和數學建模將基本作圖轉化為實際問題的應用作圖. 幾何學是研究空間形式的科學，圖形是其最主要的表征形式. 作圖能力是學生幾何直觀素養(yǎng)的重要體現. 學生在探究“造橋選址”問題后，需要進一步增加應用知識的體驗. 教師將“造橋選址”問題利用格點紙進行呈現，可以加深學生對平移轉化的理解. 學生通過經歷作圖的數學實驗過程，對幾何直觀素養(yǎng)進行“可視化”表達應用. 在作圖中，學生將思維中對幾何直觀的理解轉化為對數量關系和位置關系的理性思考. 變式作圖則引導學生以原有認知和能力為基礎，再次應用幾何直觀能力進行類比、遷移. 動手作圖的數學實驗中，學生運用幾何直觀能力進行數學抽象和數學建模，使智力活動潛能得到充分的啟發(fā)、挖掘和釋放，喚醒了學習的主體意識，促進幾何直觀素養(yǎng)的真正形成.

四、結束語

數學源于現實. 學生需要在“做中學”，以體會知識的內涵. 數學實驗不僅適用于課題學習，也適用于諸如勾股定理、相似三角形、圓等知識的學習. 數學實驗作為數學教學的內容與工具，能有效提升學生學習數學的興趣，提高課堂教學效率. 作為教學內容，數學實驗能引導學生發(fā)現學習數學的樂趣，使學生在課堂上進行實踐操作、自主探索、合作交流. 作為教學工具，數學實驗能促進教師的專業(yè)發(fā)展，自制教具或運用信息技術進行教學創(chuàng)新，改進課堂教學方式，豐富課堂教學形式.

高效的數學實驗教學中，教師要遵循學生的認知發(fā)展規(guī)律，讓學生動手實踐、自主探索與合作交流，將多種恰當、合理、有序的直觀形式相結合. 只有讓學生經歷動手操作與觀察，并參與獨立思考及合作探究的過程，方能顯示數學實驗的價值，從而培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng).

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