摘 要：如何提升復(fù)習(xí)課的價值一直是被關(guān)注和探索的課題. 以“三角形”章復(fù)習(xí)課為例，整體理解三角形的課程設(shè)置、知識聯(lián)系和教學(xué)內(nèi)容，從結(jié)構(gòu)化視角設(shè)計生長式問題串，圍繞“復(fù)習(xí)對象是什么？復(fù)習(xí)什么？如何復(fù)習(xí)？”展開探索，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷三角形學(xué)習(xí)之后，重塑結(jié)構(gòu)，形成更加完善的三角形知識結(jié)構(gòu)及向多邊形知識發(fā)展的結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生整體構(gòu)建知識的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：三角形；復(fù)習(xí)課；結(jié)構(gòu)化

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）09-0046-05

引用格式：楊春霞，諸士金. 整體理解·重塑結(jié)構(gòu)·提升素養(yǎng)：結(jié)構(gòu)化視角下“三角形”章復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計與思考［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2024（9）：46-50.

知識結(jié)構(gòu)化才能形成能力，就像散落在地面上的珍珠顯示不出它特有的價值一樣，只有將散落的珍珠串成珍珠鏈才能讓它大放異彩、發(fā)揮價值. 按照教材編排的順序，以課時為單位進(jìn)行幾何教學(xué)容易造成學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中過度關(guān)注局部知識，而忽視幾何知識之間的內(nèi)在聯(lián)系和圖形研究方法的一致性，導(dǎo)致學(xué)生缺乏對幾何研究對象的整體認(rèn)識. 因此，教師需要加強(qiáng)對單元整體教學(xué)的研究，在幾何起始課和復(fù)習(xí)課中進(jìn)行更多的結(jié)構(gòu)化教學(xué)實(shí)踐. 下面以人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊（以下統(tǒng)稱“人教版教材”）第十一章“三角形”的復(fù)習(xí)課為例，進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的教學(xué)設(shè)計和思考.

一、整體理解“三角形”一章的復(fù)習(xí)內(nèi)容

對于初中階段三角形的學(xué)習(xí)內(nèi)容，要從整體上把握三角形內(nèi)容的產(chǎn)生與來源、結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)、價值與意義；引導(dǎo)學(xué)生從三角形的概念出發(fā)，探尋三角形的邊、角及相關(guān)元素之間的關(guān)系，以及三角形與其他圖形之間的關(guān)系，從而在三角形內(nèi)外建立有意義的知識結(jié)構(gòu). 這樣的整體理解可以看成是一個三維體系，如圖1所示. 原點(diǎn)是研究對象的基本定義，即三角形的基本定義，然后基于三個維度進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，即：復(fù)習(xí)對象是什么（明晰概念）？復(fù)習(xí)什么（厘清關(guān)系）？如何復(fù)習(xí)（選擇方法）？

1. 復(fù)習(xí)對象是什么——明晰概念

學(xué)習(xí)概念不是學(xué)習(xí)一個個孤立的概念，而是同時建立眾多概念之間的聯(lián)系. 本章復(fù)習(xí)的圖形對象是三角形，涉及的概念不只是三角形的定義，還包含構(gòu)成三角形的基本元素（邊和角）和相關(guān)元素（中線、高線和角平分線）. 可以將這些對象分為兩個層次：第一個層次是三角形的概念，第二個層次是三角形元素的概念. 在對這些概念的復(fù)習(xí)中，從內(nèi)涵到外延可以建立定義、表征、特征、類別、例子這個五個維度的結(jié)構(gòu)，即構(gòu)建三角形“概念域”，如圖2所示. 這樣有利于學(xué)生整體把握復(fù)習(xí)對象，明晰概念的來龍去脈，形成一致的語言表征、圖形表征和符號表征體系.

2. 復(fù)習(xí)什么——厘清關(guān)系

明確復(fù)習(xí)對象之后，需要確定復(fù)習(xí)對象中的哪些關(guān)系. 可以分成兩個方向：一個方向是探究三角形的基本元素和相關(guān)元素的關(guān)系，即三角形邊的關(guān)系、角的關(guān)系，以及中線、高線、角平分線的關(guān)系等，這些內(nèi)容是后續(xù)學(xué)習(xí)特殊三角形和三角形全等的基礎(chǔ)；另一個方向是探索圖形之間的關(guān)系，即探索三角形之間的關(guān)系、三角形與其他圖形之間的關(guān)系，如全等三角形、相似三角形、位似三角形等. 本章復(fù)習(xí)內(nèi)容主要涉及全等三角形.

對于幾何元素關(guān)系的研究，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了基本幾何圖形線與角的學(xué)習(xí)過程，積累了一些數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)（如圖3）. 這樣的活動經(jīng)驗(yàn)對學(xué)生研究其他圖形有正遷移作用，即研究對象在變，研究“套路”不變、思想方法不變，為后續(xù)研究其他圖形之間的關(guān)系奠定基礎(chǔ).

3. 如何復(fù)習(xí)——選擇方法

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的要求，初中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化復(fù)習(xí)教學(xué)策略如下：第一，巧設(shè)題組，以題串點(diǎn)成線；第二，橫縱聯(lián)系，知識連線成網(wǎng)；第三，深層發(fā)掘，促進(jìn)深度學(xué)習(xí). 本節(jié)課以學(xué)生的學(xué)情和認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，結(jié)合對“三角形”這一章學(xué)習(xí)內(nèi)容的梳理，基于以上復(fù)習(xí)策略，設(shè)計了如圖4所示的復(fù)習(xí)框架.

以這一框架為基礎(chǔ)展開對三角形相關(guān)概念及元素之間關(guān)系的復(fù)習(xí)，幫助學(xué)生建立概念之間的聯(lián)系，形成知識結(jié)構(gòu)，同時幫助學(xué)生積累研究圖形之間關(guān)系的活動經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，形成圖形關(guān)系研究的一般路徑，并在舊知新用的過程中，再次經(jīng)歷命題發(fā)現(xiàn)和證明的過程，增強(qiáng)學(xué)生的幾何推理能力.

二、教學(xué)實(shí)施過程

1. 課前梳理，建構(gòu)三角形概念域

問題1：展示在課前梳理的“三角形”一章的知識結(jié)構(gòu)圖，并任意畫一個三角形，如何表示這個三角形及三角形的邊和角？

追問1：三角形三邊之間有怎樣的關(guān)系？

追問2：三角形三個內(nèi)角之間有怎樣的關(guān)系？如何證明這個結(jié)論？

【設(shè)計意圖】通過問題1引導(dǎo)學(xué)生回顧“三角形”一章的知識點(diǎn)，并要求學(xué)生能夠基于自己的理解嘗試梳理整章的知識結(jié)構(gòu)，這是一種對單元內(nèi)容的自我建構(gòu)過程. 而追問1和追問2旨在引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注復(fù)習(xí)對象的具體表示及相關(guān)概念之間的關(guān)系，是對學(xué)生自我建構(gòu)的進(jìn)一步完善.

2. 從特殊開始，點(diǎn)在三角形邊上

問題2：已知△ABC和點(diǎn)P，點(diǎn)P與△ABC之間可能的位置關(guān)系有哪些？

預(yù)設(shè)：點(diǎn)P在△ABC的邊上，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部，點(diǎn)P在△ABC的外部.

【設(shè)計意圖】問題2是后面生長式問題的出發(fā)點(diǎn)，從點(diǎn)P和△ABC的位置關(guān)系出發(fā)，先滲透分類思想，為后續(xù)研究點(diǎn)和線、角等位置關(guān)系的分類奠定基礎(chǔ).

追問1：當(dāng)點(diǎn)P在△ABC的邊上時，有哪些特殊的位置？試著畫出圖形，寫出相關(guān)結(jié)論.

預(yù)設(shè)1：如圖5，當(dāng)AP為△ABC的中線時，可以得到的數(shù)量關(guān)系為BP = CP =[1/2]BC，S△ABP = S△ACP =[1/2]S△ABC.

預(yù)設(shè)2：如圖6，當(dāng)AP為△ABC的高線時，可以得到結(jié)論：∠APB = ∠APC = 90°，∠B和∠BAP互余，∠C和∠CAP互余，S△ABP∶S△ACP = BP∶CP.

預(yù)設(shè)3：如圖7，當(dāng)AP為△ABC的角平分線時，可以得到結(jié)論：∠BAP = ∠CAP =[1/2∠BAC]，[S△ABP]∶[S△ACP]= AB∶AC.

追問2：這些結(jié)論有什么共同點(diǎn)？

預(yù)設(shè)：三角形的中線、高線和角平分線都有各自的性質(zhì)，可以從它們與三角形的基本元素（邊、角）之間的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系及所分得圖形面積大小等角度進(jìn)行研究.

追問3：如圖7，當(dāng)AP為△ABC的角平分線時，S△ABP∶S△ACP = AB∶AC. 如何證明這個命題？

預(yù)設(shè)1：如圖8，把邊AC沿著∠BAC的平分線AP翻折. 因?yàn)锳B > AC，所以點(diǎn)C落在邊AB上的點(diǎn)C′處. 則S△ACP = S△AC′P. 而S△ABP∶S△AC′P = AB∶AC′，從而S△ABP∶S△ACP = AB∶AC.

預(yù)設(shè)2：可以過點(diǎn)P向角的兩邊作高線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，由高相等，得S△ABP∶S△ACP = AB∶AC.

【設(shè)計意圖】三個追問引導(dǎo)學(xué)生從點(diǎn)和三角形邊的特殊關(guān)系出發(fā)復(fù)習(xí)了三角形中重要的三條線段，即中線、高線和角平分線的相關(guān)性質(zhì). 其中，對于追問1，引導(dǎo)學(xué)生既要關(guān)注對三條特殊線段的一般性質(zhì)的理解，還要關(guān)注這三條特殊線段在三角形中獨(dú)有的性質(zhì). 追問3以角平分線為例，引導(dǎo)學(xué)生借助三角形的面積來證明命題，證明方法有實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證和演繹推理兩種，有助于學(xué)生進(jìn)一步積累幾何學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn).

3. 從分類研究，點(diǎn)在三角形內(nèi)部

問題3：當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部時，又有哪些結(jié)論呢？

預(yù)設(shè)1（特殊情況）：如圖9，當(dāng)點(diǎn)P為兩條中線的交點(diǎn)時，有S1 = S3，S2 = S4；如圖10，當(dāng)點(diǎn)P為兩條高線的交點(diǎn)時，有∠BPA + ∠C = 180°；如圖11，當(dāng)點(diǎn)P為兩條角平分線的交點(diǎn)時，有∠BPC =[1/2]∠A + 90°.

預(yù)設(shè)2（一般情況）：如圖12，當(dāng)點(diǎn)P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)時，有∠P = ∠C + ∠CAP + ∠CBP.

追問：如何證明一般情況的結(jié)論？

預(yù)設(shè)3：如圖13，延長AP交BC于點(diǎn)Q，可以根據(jù)

“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”，依次得到∠APB = ∠CBP + ∠PQB = ∠CBP + ∠CAP + ∠C.

【設(shè)計意圖】問題3主要是引導(dǎo)學(xué)生從點(diǎn)在三角形內(nèi)部的特殊情況和一般情況展開復(fù)習(xí)研究，也是在問題2的基礎(chǔ)上，從一條特殊線段到兩條特殊線段的進(jìn)一步生長，以此引導(dǎo)學(xué)生探尋相同屬性的兩條特殊線段相交后所得的一些結(jié)論. 這里不僅復(fù)習(xí)了三角形中特殊線段的性質(zhì)，還復(fù)習(xí)了三角形的內(nèi)角和定理及其推論. 其中，對于追問，可以鼓勵學(xué)生采用多種方法嘗試. 如圖14，連接CP并延長交邊AB于點(diǎn)Q，也可以證明. 這樣的多法探究有利于學(xué)生拓展思路，發(fā)展學(xué)生推理能力的同時，滲透轉(zhuǎn)化思想.

4. 從模型變式，點(diǎn)在三角形外部

問題4：當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外部時，又有哪些結(jié)論呢？

預(yù)設(shè)1（特殊情況）：如圖15，當(dāng)點(diǎn)P為兩條外角平分線的交點(diǎn)時，有∠P = 90° -[1/2]∠B；如圖16，當(dāng)點(diǎn)P為一條內(nèi)角平分線和一條外角平分線的交點(diǎn)時，有∠P =[1/2]∠BAC.

預(yù)設(shè)2（一般情況）：如圖17，有∠P + ∠B = ∠1 + ∠2；如圖18，有∠A + ∠ABP = ∠P + ∠ACP.

【設(shè)計意圖】問題4是在研究問題3之后進(jìn)一步開拓學(xué)生的視野，重點(diǎn)研究點(diǎn)在三角形外部的情況，聚焦對角平分線相交形成角的“聚類”復(fù)習(xí)，對于一般情況的處理，建議在課后讓學(xué)生自己嘗試完成證明.

問題5：當(dāng)點(diǎn)P在三角形內(nèi)部時，點(diǎn)P為三角形內(nèi)角的平分線交點(diǎn)，點(diǎn)Q為三角形外角的平分線交點(diǎn)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

預(yù)設(shè)1：如圖19，可以發(fā)現(xiàn)∠BPC + ∠BQC = 180°.

預(yù)設(shè)2：如圖19，猜想A，P，Q三點(diǎn)共線.

追問：如何證明以上兩個結(jié)論？同學(xué)們可以在課后進(jìn)行探究.

【設(shè)計意圖】問題5將三角形內(nèi)角平分線交點(diǎn)和外角平分線交點(diǎn)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，是對三角形內(nèi)、外角平分線相交所成角的統(tǒng)一，體現(xiàn)了對圖形結(jié)構(gòu)的整體理解. 受課堂教學(xué)時間限制，可以作為探究作業(yè)讓學(xué)生在課后完成.

三、結(jié)構(gòu)化視角下幾何復(fù)習(xí)課的教學(xué)建議

1. 整體理解是進(jìn)行結(jié)構(gòu)化設(shè)計的前提

在學(xué)習(xí)本章內(nèi)容之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線、射線、線段、角和兩條直線的位置關(guān)系. 在“三角形”一章的學(xué)習(xí)中，出現(xiàn)的圖形逐漸豐富起來. 在進(jìn)行復(fù)習(xí)課設(shè)計時，需要整體理解三角形的內(nèi)外聯(lián)系，內(nèi)部需要關(guān)注三角形的元素之間的關(guān)聯(lián)，外部需要關(guān)注三角形和其他圖形之間的關(guān)系. 這不僅要求學(xué)生在新課知識的學(xué)習(xí)中獲取經(jīng)驗(yàn)，還要在解題活動中積累素材，從整體視角去發(fā)現(xiàn)一些題目中圖形結(jié)構(gòu)的共性. 這樣的發(fā)現(xiàn)在新授課中受課時的影響難以系統(tǒng)化，但在復(fù)習(xí)課中可以引導(dǎo)學(xué)生基于圖形結(jié)構(gòu)進(jìn)行系統(tǒng)認(rèn)識，幫助學(xué)生從不同的角度進(jìn)行知識和方法的建構(gòu). 例如，本節(jié)復(fù)習(xí)課中以一個點(diǎn)和三角形的位置關(guān)系形成的圖形結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，形成了前后一致、一以貫之的學(xué)習(xí)路徑和方法.

2. 生長式問題串設(shè)計是結(jié)構(gòu)化的體現(xiàn)

發(fā)展推理能力，需要關(guān)注條件變化下指向的結(jié)論的不變性和規(guī)律性.“三角形”章復(fù)習(xí)課的主要能力目標(biāo)是發(fā)展學(xué)生的推理能力. 因此，生長式的問題串為學(xué)生的思維活動提供了“腳手架”，促使學(xué)生借助已有的活動經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行研究. 新課教學(xué)中，如果點(diǎn)P在△ABC的邊BC上，連接頂點(diǎn)A和點(diǎn)P就會產(chǎn)生新的對象：線段AP，線段BP，線段CP，∠BAP，∠CAP，以及△ABP，△ACP等. 如何研究新的對象呢？學(xué)生已經(jīng)初步積累了從特殊到一般的活動研究經(jīng)驗(yàn)，因?yàn)樘厥獾膶傩砸话惚容^容易被發(fā)現(xiàn). 本節(jié)課從特殊的位置關(guān)系進(jìn)行研究復(fù)習(xí)，于是從認(rèn)識三角形的高線、中線、角平分線及它們所形成的三角形面積的大小關(guān)系開始研究. 這些在新授課學(xué)習(xí)中積累的經(jīng)驗(yàn)為點(diǎn)P在三角形內(nèi)部和外部的研究提供了思維路徑，沿著這樣的路徑設(shè)計生長式的問題串，可以體現(xiàn)出復(fù)習(xí)課的清晰脈絡(luò).

在復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握知識和方法，利用結(jié)構(gòu)化的思想設(shè)計教學(xué)過程，有助于學(xué)生厘清已有知識結(jié)構(gòu)，重構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成系統(tǒng)性的知識和一以貫之的認(rèn)知方法，繼而使學(xué)生通過知識的再生長，形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)認(rèn)知，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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