摘 要：數學文化體現了數學的人文價值和科學價值，在培養(yǎng)學生數學核心素養(yǎng)的教育中起著重要作用. 以一道蘊含數學文化的幾何題為例，從特色解讀、解法賞析、教學導向分析等方面闡述該題的價值.

關鍵詞：數學文化；幾何直觀；核心素養(yǎng)；基本圖形

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）09-0056-04

引用格式：李清強. 滲透數學文化 發(fā)展幾何直觀：一道幾何題的解法賞析與教學思考［J］. 中國數學教育（初中版），2024（9）：56-58，64.

在以落實核心素養(yǎng)為教育導向的今天，如何賞析、解讀以數學文化為背景的試題，從而更好地調整教師自身的教學，是一線教師應該做的功課. 下面以一道蘊含數學文化的幾何題為例，談一些自己的思考.

一、題目呈現

題目 由沈康身教授所著，數學家吳文俊作序的《數學的魅力》一書中記載了這樣一個故事：如圖1，三姐妹為了平分一塊邊長為1的祖?zhèn)髡叫蔚靥?，先將地毯分割成七塊，再拼成三個小正方形（陰影部分），則圖中AB的長應是________.

二、特色解讀

1. 立足數學文化，培育人文情懷

數學文化體現了數學的人文價值和科學價值，在培養(yǎng)學生數學核心素養(yǎng)的教育中起著重要作用. 該題以數學名著中記載的故事為素材，以熟悉的正方形為背景命制，形似于傳統(tǒng)的七巧板問題，讓學生有種似曾相識的感覺. 題中巧妙的構圖，使學生既能感受到幾何構圖的優(yōu)美與神奇，又能領略到我們祖先的智慧. 這也使得數學學習過程成為文化傳播的過程和培育人文情懷的過程.

2. 探尋圖形關聯(lián)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識

對于此題，學生需要靈活利用這些分割圖形之間所蘊含的數量關系和位置關系，提取有用信息進行有效重組，然后轉化為常見的數學解題模型，從而正確解題. 學生可以從不同角度提煉幾何圖形中的有用信息，得到有效的解答方法. 通過對基本圖形的靈活運用培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新意識和應用意識.

3. 聚焦核心素養(yǎng)，發(fā)展幾何直觀

數學核心素養(yǎng)是學生在數學學習過程中逐漸形成和發(fā)展的，它具有整體性、一致性和階段性. 幾何直觀是數學核心素養(yǎng)的行為表現之一. 此題以類似于傳統(tǒng)七巧板問題的基本幾何圖形為背景，呈現了較多的已知條件. 線段間的數量關系和位置關系在此題中若隱若現. 因此，發(fā)揮幾何直觀能力，提煉有用信息，構造基本圖形是解決此題的突破口. 此題的解題過程，不僅有對常見幾何圖形基礎知識的積累，而且有方法的掌握和數學思想的內化，是培養(yǎng)學生幾何直觀的有效載體.

三、解法賞析

為了便于下文表述，先在圖1上添加關鍵點的字母，如圖2所示.

解此題的關鍵一步便是根據圖形拼接中的等積變形，求出小正方形的邊長. 如圖2，已知AD = DE = 1，故可求得正方形DFHG的面積為[13]，從而可得DG = DF =[33]. 所以CD =[3]. 現提供以下幾種解題方法.

解法1：如圖2，在Rt△ACD中，AD = 1，CD =[3]，由勾股定理可求得AC =[2].

易得BE∥CD，BC∥DE.

所以四邊形BCDE為平行四邊形.

所以BC = DE = 1.

所以AB = AC - BC =[2-1].

解法2：如圖2，由已知易得△EDG ∽ △EMD.

因此[EGED=DGMD].

因為DE = 1，DG =[33]，

且在Rt△DEG中，由勾股定理可得EG =[63].

所以[631=33MD].

解得MD =[22].

所以AM = 1 -[22].

由△ABM ∽ △DEM，

可得chY4SnOzp6LAWBhTO0641A==[ABAM=DEMD=2].

所以AB =[2]AM =[2-1].

解法3：如圖2，易得Rt△DEG ∽ Rt△DCA.

因此[EDCD=EGAC].

由解法2，知EG =[63]，

所以[13=63AC].

解得AC =[2].

由圖2可知，△EDG和△BCK均由圖形①②拼成，

因此△BCK ≌ △EDG.

所以BC = ED = 1.

所以AB = AC - BC =[2-1].

解法4：如圖2，易知△EDG ≌ △BCK.

所以EG = BK.

所以EB = GK = CD =[3].

又因為EN = AN = AD = 1，

所以在Rt△ENB中，由勾股定理，得NB =[2].

所以AB = NB - AN =[2-1].

此題還有多種解法，但思路均大同小異. 此題作為填空題，應用以上四種解法均可以獲得正確答案. 但以上四種解法均存在漏洞. 那就是∠BAD一定是直角嗎？A，B，C三點共線嗎？這兩點在解題中往往是被忽略的. 圖形的直觀感受讓我們默認∠BAD是直角，并且A，B，C三點是共線的. 這是該題的深層次考查意圖，但由于題型的設置，無法體現出區(qū)分度.

下面就證明∠BAD是直角，且A，B，C三點共線.

證法1：如圖3，過點B作BP⊥ED，交ED的延長線于點P.

由拼圖可知△EDG ≌ △BCK.

所以EG = BK.

所以BE = GK = CD.

又因為BE∥CD，

所以四邊形BCDE是平行四邊形.

所以BC∥ED，且S?BCDE = S矩形DCKG = S正方形ADEN.

所以BP = AD，且BP∥AD，∠BPD = 90°，

所以四邊形ADPB為矩形.

所以∠BAD = 90°，且A，B，C三點共線.

證法2：如圖2，陰影部分圖形③與圖形④一直角邊重合，由拼圖可知AM = RQ.

根據原正方形ADEN的分割，圖形③與圖形⑤⑥的一邊重合，可知CQ = BM.

又因為∠AMB = ∠DMG = ∠RQC，

所以△ABM ≌ △RCQ.

所以∠BAM = ∠CRQ = 90°.

又因為∠KBC = ∠RCQ = ∠ABM，

所以A，B，C三點共線.

證法3：由解法2可求得DG =[33]，MD =[22]，AM = 1 -[22]，BK = EG =[63].

如圖2，在Rt△DMG中，由勾股定理，得GM =[66].

所以BM = GK - GM - BK =[3]-[66]-[63]=[3]-[62].

所以[AMMD=1-2222=2-1]，

如圖2，在Rt△DME中，由勾股定理，得EM =[62].

[BMEM=3-6262=2-1].

所以[AMMD=BMEM].

又因為∠AMB = ∠DME，

所以△AMB ∽ △DME.

所以∠BAM = ∠EDM = 90°，∠ABM = ∠DEM = ∠KBC.

所以A，B，C三點共線.

當然解法2也可以不用證明∠BAM為直角，以及A，B，C三點共線，就可以求得AB的長. 解法2中，由△AMB ∽ △DME，可得[ABDE=AMMD=2-1]. 所以AB =[2-1]DE =[2-1].

以上解法與證法，無外乎從圖形分割與拼接中尋找線段之間的位置關系與數量關系，從而尋找基本圖形求解線段長度. 能否靈活利用題中給出的已知條件，既取決于學生對基本圖形的熟悉程度，又取決于學生的幾何直觀和創(chuàng)新意識等數學核心素養(yǎng). 因此，該題以類似七巧板的圖形為載體命制，立足傳統(tǒng)數學文化，著眼于核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，很好地傳播了數學文化，詮釋了題目的價值.

四、教學導向分析

1. 滲透數學文化，培育人文情懷

中國五千年的文明歷史中，蘊含著燦爛的數學文化，出現過劉徽、祖沖之等偉大的數學家，以及《九章算術》《周髀算經》等經典的數學傳世之作. 浙教版《義務教育教科書·數學》在每章節(jié)都安排了“閱讀材料”欄目. 這些閱讀材料蘊含著豐富的數學文化價值，特別是體現了我國古代在數學方面取得的成就.

該題實質上是七巧板問題，而七巧板在小學數學教材中已經出現過，很多學生也拼玩過. 在初中階段，如果教師以七巧板問題為背景設置綜合與實踐活動課，讓學生進一步探究傳統(tǒng)七巧板問題的內涵，并延伸到七巧板相關問題，如日本七巧板問題、沈康身教授著作中的“地毯分割問題”及四巧板問題等，那么不僅可以讓學生不再懼怕這類背景的題目，更重要的是可以激發(fā)學生的探究熱情，發(fā)展學生的思維能力，陶冶學生的情操，使學生進一步感受數學文化的價值，受到深刻的人文教育.

2. 提高識圖能力，培養(yǎng)幾何直觀

識圖能力是求解幾何問題的基本功. 幾何直觀是學生解決幾何問題的必備能力. 文獻［3］指出，幾何直觀是指借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關系，對數學的研究對象（空間形式和數量關系）進行直接感知、整體把握的能力. 例如，該題中蘊含的直角三角形、相似三角形、平行四邊形、圖形之間的全等關系、線段之間的等量關系及位置關系等，都需要學生有直觀的感受和直觀的預判. 在平時的教學中，教師不僅要讓學生觀察、分析圖形各元素之間的關系，更要鼓勵學生多畫圖，強調基本圖形和幾何直觀的重要性，培養(yǎng)學生的直觀意識和識圖能力，多給學生提供訓練和糾錯的機會，注重總結和提煉幾何圖形的特征和使用條件，為學生遷移知識和后續(xù)發(fā)展奠定認知基礎，積累解題經驗.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］李清強. 滲透數學文化 活用基本圖形［J］. 中學數學教學參考（中旬），2019（11）：45-47.

［3］孔凡哲，史寧中. 關于幾何直觀的含義與表現形式：對《義務教育數學課程標準（2011年版）》的一點認識［J］. 課程·教材·教法，2012，32（7）：92-97.