“種瓜得瓜，種豆得豆”這句話在幾何問(wèn)題中，尤其是動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題中，被形象地描述為“瓜豆模型”。在這一類動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（從動(dòng)點(diǎn)）隨另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（主動(dòng)點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，它們的軌跡是一致的，即所謂“種瓜得瓜，種豆得豆”。如定直線上的主動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，引起的從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線；定圓上的主動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，引起的從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓……因此，“瓜豆模型”通常也叫“主從聯(lián)動(dòng)模型”。從幾何條件上看，如果兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離比是定值，且它們與定點(diǎn)連線的夾角是定角時(shí)，那么這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡相同。

【模型理解】如圖1，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°，且AP=2AQ。當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡肯定也是一個(gè)圓。因?yàn)樵谶@個(gè)問(wèn)題中，有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P和Q（兩動(dòng)），一個(gè)定點(diǎn)A（一定）。動(dòng)點(diǎn)P和Q到定點(diǎn)A的距離比是定值（二定），夾角∠PAQ=90°是定角（三定），所以這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡相同。在這個(gè)模型中，關(guān)鍵要找到“兩動(dòng)三定”。

【模型初試】如圖2，點(diǎn)P（3，4），圓P半徑為2，A（2.8，0），B（5.6，0），點(diǎn)M是圓P上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是MB的中點(diǎn)，則AC的最小值是 。

【解析】在這個(gè)問(wèn)題中，有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M和C（兩動(dòng)），一個(gè)定點(diǎn)B（一定）。動(dòng)點(diǎn)M和C到定點(diǎn)B的距離比是定值（二定），且?jiàn)A角∠MBC=0°是定角（三定），那么這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡相同。點(diǎn)M在圓P上運(yùn)動(dòng)是主動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)軌跡是圓。點(diǎn)C隨著點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C是從動(dòng)點(diǎn)，因此它的運(yùn)動(dòng)軌跡也是圓。

如圖3，點(diǎn)M繞著點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，連接定點(diǎn)B和P，以及定點(diǎn)P和主動(dòng)點(diǎn)M，形成△BMP。點(diǎn)C是BM的中點(diǎn)，取BP的中點(diǎn)Q，連接QC，則易知△BCQ∽△BMP，且QC=1。因此，從動(dòng)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以Q為圓心，QC為半徑的圓。

利用圓的“穿心線”求最值。如圖4，當(dāng)A、C、Q三點(diǎn)共線且點(diǎn)C在線段QA上時(shí)，AC取到最小值。利用兩點(diǎn)間距離公式求得QA=2.5，再減去QC的長(zhǎng)即可。

【模型實(shí)戰(zhàn)1】（2023·山東泰安）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB的一條直角邊OB在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，4）；Rt△COD中，∠COD=90°，OD=[43]，∠D=30°，連接BC，點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，連接AM。將Rt△COD以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段AM的最小值是（ ）。

A.3 B.[62]-4

C.[213]-2 D.2

【解析】在這個(gè)問(wèn)題中，有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M和C（兩動(dòng)），一個(gè)定點(diǎn)B（一定）。動(dòng)點(diǎn)M和C到定點(diǎn)B的距離比是定值（二定），且?jiàn)A角∠MBC=0°是定角（三定），那么這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡相同。如圖6，點(diǎn)C是主動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)軌跡是隱圓O。點(diǎn)M隨著點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，是從動(dòng)點(diǎn)，因此它的運(yùn)動(dòng)軌跡也是圓，這個(gè)圓的圓心Q是OB的中點(diǎn)，半徑QM=[12]OC=2。再由“穿心線”可知，當(dāng)A、M、Q三點(diǎn)共線且點(diǎn)M在線段AQ上時(shí)，線段取到最小值。此時(shí)QA=5，QM=2，AM=QA-QM=3。故選A。

【模型實(shí)戰(zhàn)2】（2023·四川宜賓）如圖7，M是正方形ABCD邊CD的中點(diǎn)，P是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接BP，線段BP以點(diǎn)B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BQ，連接MQ。若AB=4，MP=1，則MQ的最小值為 。

【解析】在這個(gè)問(wèn)題中，有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P和Q（兩動(dòng)），一個(gè)定點(diǎn)B（一定）。動(dòng)點(diǎn)P和Q到定點(diǎn)B的距離比是1為定值（二定），且?jiàn)A角∠PBQ=90°是定角（三定），那么這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡相同。如圖8，點(diǎn)P是主動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)軌跡是隱圓B。點(diǎn)Q隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，是從動(dòng)點(diǎn)，因此它的運(yùn)動(dòng)軌跡也是圓，這個(gè)圓的圓心E是點(diǎn)M繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，半徑EQ=MP=1。再由“穿心線”可知，當(dāng)M、Q、E三點(diǎn)共線且點(diǎn)Q在線段ME上時(shí)，線段MQ取到最小值。易得ME=[2]BM=[210]，則MQ的最小值為[210]-1。

【模型歸納】瓜豆模型與隱圓是幾何問(wèn)題中兩個(gè)重要的概念，它們?cè)诮鉀Q一些復(fù)雜的幾何問(wèn)題時(shí)可以相互配合使用，尤其在求解最值問(wèn)題上，可以形成合力，幫助我們找到解題策略。我們?cè)诼?lián)合使用這兩個(gè)概念時(shí)應(yīng)注意：

1.分辨特征，明確結(jié)構(gòu)。識(shí)別題目中的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)，并分析是否滿足“兩動(dòng)三定”的關(guān)系。

2.有圓用圓，無(wú)圓畫(huà)圓。如果題目中的條件暗示了動(dòng)點(diǎn)可能在圓上運(yùn)動(dòng)，即使題目中沒(méi)有明確給出圓，也要假設(shè)可能存在一個(gè)隱圓。

3.畫(huà)出軌跡，分析數(shù)據(jù)。根據(jù)瓜豆原理，明確兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡相同。利用題中條件來(lái)確定隱圓的圓心和半徑等數(shù)據(jù)。

4.“一箭穿心”，確定最值。在圓中常利用“穿心線”尋找最長(zhǎng)或最短的弦、弧、線段等，解決最值問(wèn)題。

瓜豆模型和隱圓的結(jié)合，給我們?cè)诮鉀Q幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)提供了一種直觀且有用的方法，不僅揭示了動(dòng)點(diǎn)的潛在軌跡，還使問(wèn)題更易于理解和解決。在提高解題速度的同時(shí)，也增強(qiáng)了對(duì)幾何圖形的空間想象力和理解能力。它為解決幾何“雙動(dòng)點(diǎn)”問(wèn)題提供了一種清晰的通用性策略，是非常有用的工具。

（作者單位：江蘇省南京方山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）