要學(xué)好平面幾何，學(xué)會添加輔助線是解題關(guān)鍵。添加合適的輔助線對于解決圓的問題至關(guān)重要。輔助線的添加方法有很多，我們平時除了要關(guān)注圖形結(jié)構(gòu)，還要總結(jié)經(jīng)驗。

圓的有關(guān)計算

關(guān)于弦長、弦心距、半徑的計算，我們通常利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理求解。求圓中角的度數(shù)，主要利用圓中有關(guān)角的定理來求解。

例1 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點A、C分別在x軸、y軸上，以AB為弦的⊙D與y軸相切。若點A的坐標(biāo)為（4，0），則點D的坐標(biāo)為 。

解：如圖2，設(shè)⊙D與y軸相切于點M，連接MD并延長，交AB于點N，連接BD。易得OM=2。設(shè)圓D的半徑是r，∴DB=r，DN=4-r。∵BD2=DN2+NB2，∴r2=（4-r）2

+22?！鄏=[52]?！郙D=[52]。∴點D的坐標(biāo)為（[52]，2）。

點、直線與圓的位置關(guān)系

點與圓的位置關(guān)系有：點在圓上、點在圓內(nèi)、點在圓外；直線與圓的位置關(guān)系有：相離、相切、相交。

例2 如圖3，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，過點A作AC∥PB交⊙O于點C，連接BC，若∠P=α，則∠PBC的度數(shù)為（ ）。

A.90°+[12]α B.90°-[12]α

C.180°-α D.180°-[12]α

解：如圖4，連接OA、OB。∵PA、PB是⊙O的切線，∴∠OAP=∠OBP=90°。

∵∠AOB+∠P+∠OAP+∠OBP=360°，

∴∠AOB=180°-α。∴∠ACB=[12]∠AOB=90°-[ 12]α。∵AC∥PB，∴∠PBC+∠ACB=180°?！唷螾BC=180°-（90°-[12]α）=90°+[12]α。故選A。

正多邊形與圓

把一個圓n等分，依次連接各等分點所得的多邊形是該圓的內(nèi)接正多邊形，該圓是該正多邊形的外接圓。正多邊形外接圓的圓心叫作正多邊形的中心。正多邊形是對稱圖形，當(dāng)n為奇數(shù)時，是軸對稱圖形；當(dāng)n為偶數(shù)時，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。

例3 如圖5，⊙O與正六邊形ABCDEF的邊CD、EF分別相切于點C、F。若AB=2，則⊙O的半徑長為 。

解：如圖6，連接CF、OC、OF，過點D作DG⊥CF于點G，過點E作EH⊥CF于點H。易知△CDG≌△FEH，進而可以得到四邊形EHGD是矩形?！郒G=DE=2。∵EF=CD=2，∠DCG=∠EFH=60°，∴FH=CG=[12]EF=1?！郈F=4。

過點O作OM⊥CF于點M。∴CM=[12]CF=2。∴OC=[433]。

圓的綜合題

圓的綜合題包括了圓的基本性質(zhì)、重要定理、切線的判定與性質(zhì)以及圓的應(yīng)用等方面的內(nèi)容。

例4 如圖7，⊙O是△ABC的外接圓，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為點F。（1）求證：AC=BC；（2）連接AO并延長，交BC于點E，若AO=5，OF=3，求OE的長。

（1）證明：∵CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴[AC]=[BC]?！郃C=BC。

（2）解：如圖8，延長AE交⊙O于點G，連接BG?！逜G為直徑，∴∠ABG=90°?！逤D⊥AB，∴∠AFC=90°。∴∠ABG=∠AFC。

∴FC∥BG?！唷鰿OE∽△BGE。∴[OCGB]=[OEGE]。

∵CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴AF=BF，即點F為AB的中點?！唿cO為AG的中點，∴OF為△ABG的中位線?！郞F=[12]BG。

∵OF=3，∴GB=6?！逜O=5，∴OC=OG=5。∴[56]=[OE5-OE]?！郞E=[2511]。

（作者單位：江蘇省南京東南實驗學(xué)校）