摘要： 連接結(jié)構(gòu)在工程應(yīng)用領(lǐng)域廣泛存在，連接位置處的局部非線性特征對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模與特性預(yù)示具有重要影響。針對(duì)非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)局部連接參數(shù)未知或難以測(cè)量的問題，本文從結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)反問題的角度出發(fā)，提出一種基于頻響函數(shù)變換的局部線性連接剛度辨識(shí)方法，通過與時(shí)域非線性子空間辨識(shí)方法相結(jié)合，可進(jìn)一步獲取非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的局部線性和非線性連接剛度。設(shè)計(jì)并搭建三自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的數(shù)值算例和實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，開展辨識(shí)方法的數(shù)值和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果表明，所提方法能夠分離并辨識(shí)得到非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的標(biāo)稱線性系統(tǒng)頻響函數(shù)和非線性參數(shù)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)局部線性和非線性連接剛度的聯(lián)合辨識(shí)。

關(guān)鍵詞： 連接剛度辨識(shí)； 連接結(jié)構(gòu)； 非線性系統(tǒng)； 非線性子空間辨識(shí)方法

中圖分類號(hào)： O327；O322 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1004-4523（2024）10-1698-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.10.007

引 言

在機(jī)械、土木、航空航天等工程領(lǐng)域，大型結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中廣泛存在著各種各樣的連接形式，例如螺栓、鉚接、焊接、楔環(huán)等［1?4］。由于加工、裝配誤差和使用磨損等因素，連接位置不可避免地存在局部非線性特征，給系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模與特性預(yù)示帶來挑戰(zhàn)，甚至影響其工作性能，威脅結(jié)構(gòu)的整體運(yùn)行安全［5?7］。針對(duì)含局部連接的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題，一方面需要進(jìn)行非線性機(jī)理研究，探索局部連接的精細(xì)化建模方法［8?12］；另一方面需要開展數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的局部連接特性辨識(shí)，對(duì)正向建模中難以精確表征的內(nèi)部機(jī)理進(jìn)行捕捉，進(jìn)而準(zhǔn)確獲取真實(shí)工作條件下連接結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，是本文的研究重點(diǎn)。

關(guān)于系統(tǒng)辨識(shí)的研究始于20世紀(jì)50年代［13］，早期多以線性系統(tǒng)為研究對(duì)象，隨著工程應(yīng)用需求的日益拓展，辨識(shí)理論與方法研究不斷深入，非線性系統(tǒng)辨識(shí)已逐漸成為當(dāng)前工程應(yīng)用研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題［14?18］。非線性系統(tǒng)辨識(shí)方法可分為線性化方法、時(shí)域方法、頻域方法、時(shí)頻分析、非線性模態(tài)分析、黑箱建模和模型更新等幾大類［17?20］，近年來已在不同領(lǐng)域的工程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)辨識(shí)中得以應(yīng)用，例如螺栓連接結(jié)構(gòu)［21?23］、太陽能電池板［24］、衛(wèi)星結(jié)構(gòu)［25］、飛行器舵面［26?29］等，表現(xiàn)出了較大的發(fā)展前景。

在眾多非線性系統(tǒng)辨識(shí)方法中，基于輸出反饋思想的辨識(shí)方法近年來得到了較多關(guān)注。Adams等［30］最先提出輸出反饋思想，其核心在于將非線性恢復(fù)力視為內(nèi)部反饋力，令其與外部激勵(lì)共同作用于標(biāo)稱線性系統(tǒng)以產(chǎn)生原始非線性系統(tǒng)的響應(yīng)，并發(fā)展了基于輸出反饋思想的頻域非線性系統(tǒng)辨識(shí)（NIFO）方法［31］。Marchesiello等［32］基于輸出反饋思想提出了時(shí)域非線性子空間辨識(shí)（Time?domain Nonlinear Subspace Identification，TNSI）方法，并應(yīng)用于機(jī)械系統(tǒng)非線性參數(shù)辨識(shí)。Marchesiello等［33］提出消除辨識(shí)模型階數(shù)過估計(jì)導(dǎo)致虛假極點(diǎn)的策略，提高了TNSI方法的辨識(shí)精度。Zhang等［34］分兩步估計(jì)標(biāo)稱線性系統(tǒng)頻響函數(shù)（Frequency Response Function，F(xiàn)RF）和非線性參數(shù)，在保證辨識(shí)精度的前提下，降低了TNSI方法的計(jì)算復(fù)雜度。Liu等［35］引入分離策略在不同激勵(lì)幅值下分別辨識(shí)標(biāo)稱線性系統(tǒng)和非線性參數(shù)，降低了TNSI方法同步處理線性部分和非線性部分時(shí)由于兩者數(shù)值量級(jí)相差較大而引起的耦合誤差。Ma等［36］提出了一種僅輸出的TNSI方法，在標(biāo)稱線性系統(tǒng)的特征矩陣或狀態(tài)空間矩陣已知的前提下，只需測(cè)量輸出數(shù)據(jù)即可對(duì)非線性參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。孫玉凱等［29］采用TNSI方法對(duì)含間隙非線性的二元翼段進(jìn)行辨識(shí)，得到了標(biāo)稱線性系統(tǒng)和非線性參數(shù)，并與條件逆向路徑法進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證。Zhu等［37］引入相似系數(shù)和距離函數(shù)對(duì)標(biāo)稱線性系統(tǒng)的模態(tài)信息進(jìn)行聚類，實(shí)現(xiàn)了TNSI方法的自適應(yīng)模型定階。

基于輸出反饋思想的辨識(shí)方法提供了一類重要的非線性系統(tǒng)辨識(shí)框架，以TNSI方法為例，通過將非線性恢復(fù)力視為內(nèi)部反饋力，可有效辨識(shí)標(biāo)稱線性系統(tǒng)和非線性參數(shù)。但需要說明的是，當(dāng)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)某一位置同時(shí)存在線性和非線性連接剛度時(shí)，TNSI方法會(huì)將線性部分的連接參數(shù)歸入標(biāo)稱線性系統(tǒng)中，導(dǎo)致局部連接參數(shù)的辨識(shí)結(jié)果中僅包含非線性部分，從而與真實(shí)情況產(chǎn)生嚴(yán)重偏差。與此同時(shí)，這類方法在估計(jì)標(biāo)稱線性系統(tǒng)時(shí)，可獲得其頻響函數(shù)以及固有頻率、阻尼比等模態(tài)信息，但不能直觀地獲取局部連接位置的物理參數(shù)。因此，針對(duì)很多工程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的局部連接參數(shù)未知或難以測(cè)量的問題，仍需進(jìn)一步研究能夠準(zhǔn)確獲取局部連接參數(shù)的非線性系統(tǒng)辨識(shí)方法，以期為工程連接結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模與特性預(yù)示提供技術(shù)支撐。

綜上所述，本文旨在發(fā)展非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的局部連接剛度辨識(shí)方法。首先，利用結(jié)構(gòu)系統(tǒng)剛度矩陣的性質(zhì)，提出一種基于頻響函數(shù)變換的局部線性連接剛度辨識(shí)方法；其次，將局部線性連接剛度辨識(shí)方法與TNSI方法相結(jié)合，以實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)局部線性和非線性連接剛度的聯(lián)合辨識(shí)；最后，基于數(shù)值算例和振動(dòng)實(shí)驗(yàn)對(duì)所提結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的局部連接剛度辨識(shí)方法進(jìn)行驗(yàn)證。

1 局部連接剛度辨識(shí)方法

1.1 局部線性連接剛度辨識(shí)

基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程的一般形式，本節(jié)對(duì)局部線性連接剛度辨識(shí)理論進(jìn)行推導(dǎo)。對(duì)于一個(gè)自由度線性時(shí)不變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，假設(shè)其質(zhì)量矩陣為，阻尼矩陣為，剛度矩陣為，位移響應(yīng)為，外激勵(lì)為，則其動(dòng)力學(xué)方程可用以下微分方程表示：

（1）

將式（1）變換到頻域?yàn)椋?/p>

（2）

式中 ；和分別為位移響應(yīng)和外激勵(lì)的傅里葉變換。由式（2）可得位移頻響函數(shù)的表達(dá)式為：

（3）

對(duì)線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)而言，其頻響函數(shù)可基于輸入?輸出數(shù)據(jù)，采用時(shí)域線性子空間辨識(shí)（Time?domain Linear Subspace Identification，TLSI）方法進(jìn)行估計(jì)。如在該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)第個(gè)自由度與邊界之間附加線性連接剛度，則其位移頻響函數(shù)的表達(dá)式為：

（4）

式中 為附加線性連接后的位移頻響函數(shù)；為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)與邊界之間附加的線性連接剛度矩陣，其第行第列的元素為，其余元素均為零。

由式（3）和（4）可知，通過位移頻響函數(shù)逆矩陣做差的方式可求得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)與邊界之間附加的線性連接剛度矩陣：

（5）

進(jìn)一步，取矩陣的第行第列的元素即可得到結(jié)構(gòu)系統(tǒng)與邊界之間附加的線性連接剛度。當(dāng)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的響應(yīng)信號(hào)為速度或加速度時(shí)，可先計(jì)算得到速度或加速度頻響函數(shù)，再變換得到相應(yīng)的位移頻響函數(shù)，具體變換關(guān)系為：

（6）

式中 ，和依次為位移、速度和加速度頻響函數(shù)。為敘述方便，后文僅針對(duì)位移頻響函數(shù)進(jìn)行討論。

假設(shè)式（3）中結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的第個(gè)自由度與邊界之間原本無線性彈簧連接，則其維剛度矩陣在第列上的元素之和為零：

（7）

式中 為剛度矩陣第列的元素之和。顯然，當(dāng)在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的第個(gè)自由度與邊界之間附加線性連接剛度后，如式（4）所示，此時(shí)新系統(tǒng)的剛度矩陣變?yōu)?，其第列的元素之和不再為零，而是恰好等于?/p>

將式（4）中頻響函數(shù)逆矩陣第列元素的實(shí)部相加，可得：

（8）

式中 表示頻響函數(shù)逆矩陣第列元素的實(shí)部之和，是一個(gè)以頻率為自變量的二次曲線，其常數(shù)項(xiàng)部分恰好為。由此結(jié)合式（7）可知，用形式的二次曲線對(duì)進(jìn)行擬合，取其常數(shù)項(xiàng)即可辨識(shí)得到局部線性連接剛度。

綜上所述，基于頻響函數(shù)變換的局部線性連接剛度辨識(shí)方法可歸納如下：首先采用TLSI方法估計(jì)頻響函數(shù)，其次對(duì)頻響函數(shù)逆矩陣列元素的實(shí)部進(jìn)行求和，最后用形式的二次曲線對(duì)求和結(jié)果進(jìn)行擬合，取其常數(shù)項(xiàng)即為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)與邊界之間的局部線性連接剛度。

1.2 局部非線性連接剛度辨識(shí)

上一節(jié)中的局部線性連接剛度辨識(shí)方法不僅適用于線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，對(duì)非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的標(biāo)稱線性部分同樣適用，但前提是需要首先得到標(biāo)稱線性系統(tǒng)的頻響函數(shù)。因此，針對(duì)非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，可采用TNSI方法分離其標(biāo)稱線性系統(tǒng)和非線性參數(shù)，在辨識(shí)得到非線性參數(shù)的同時(shí)，獲取標(biāo)稱線性系統(tǒng)的頻響函數(shù)，進(jìn)而完成局部線性連接剛度的辨識(shí)，具體過程如下。

對(duì)于非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程為：

（9）

式中 非線性恢復(fù)力為個(gè)分量的總和，其中每個(gè)分量取決于表示非線性類型的描述函數(shù)；為需要辨識(shí)的非線性參數(shù)；表示非線性的位置向量。

將式（9）中的非線性恢復(fù)力視作內(nèi)部反饋力，可進(jìn)行如下變換：

（10）

引入狀態(tài)向量和輸出向量，并將式（10）的右側(cè)視為廣義輸入向量，則式（10）可改寫為如下狀態(tài)空間模型：

（11）

式中 ，，和分別為系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣和反饋矩陣，具體形式如下：

（12）

在已知結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的輸入?輸出數(shù)據(jù)的情況下，可采用TNSI方法辨識(shí)得到式（12）中的各個(gè)矩陣［32，36，38］，進(jìn)而得到非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。進(jìn)一步可計(jì)算得到非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的擴(kuò)展頻響函數(shù)，如下：

（13）

式中 為非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的標(biāo)稱線性系統(tǒng)頻響函數(shù)，其形式與式（3）類似，具體為：

（14）

通過式（13）可對(duì)擴(kuò)展頻響函數(shù)進(jìn)行分離，得到非線性參數(shù)和標(biāo)稱線性系統(tǒng)頻響函數(shù)。進(jìn)一步地，基于分離出的，通過采用第1.1節(jié)中提出的基于頻響函數(shù)變換的局部線性連接剛度辨識(shí)方法，可辨識(shí)得到非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的局部線性連接剛度。

1.3 局部連接剛度辨識(shí)流程

基于上述過程，可歸納出結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的局部連接剛度辨識(shí)流程，如圖1所示。對(duì)于線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，首先基于時(shí)域的輸入?輸出數(shù)據(jù)，采用TLSI方法估計(jì)頻響函數(shù)，其次對(duì)頻響函數(shù)逆矩陣列元素的實(shí)部進(jìn)行求和，最后用形式的二次曲線對(duì)求和結(jié)果進(jìn)行擬合，取其常數(shù)項(xiàng)即為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)與邊界之間的局部線性連接剛度。對(duì)于非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，首先采用TNSI方法估計(jì)擴(kuò)展頻響函數(shù)，再將其進(jìn)行分離可得到局部非線性連接剛度和標(biāo)稱線性系統(tǒng)頻響函數(shù)，最后基于分離出的標(biāo)稱線性系統(tǒng)頻響函數(shù)對(duì)局部線性連接剛度進(jìn)行辨識(shí)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)局部線性和非線性連接剛度的聯(lián)合辨識(shí)。

2 數(shù)值驗(yàn)證

2.1 局部線性連接剛度辨識(shí)算例

為驗(yàn)證所提辨識(shí)方法的有效性，本節(jié)考慮一個(gè)三自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)數(shù)值算例，如圖2所示。在第二個(gè)自由度處附加一個(gè)與邊界相連的線性彈簧，其剛度為。三自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣如下所示：

（15）

在3個(gè)自由度上均施加白噪聲激勵(lì)，同時(shí)在得到的位移響應(yīng)中加入信噪比為20 dB的噪聲信號(hào)?；诩?lì)和含噪聲的位移時(shí)域數(shù)據(jù)，采用TLSI方法辨識(shí)得到三自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的頻響函數(shù)H11如圖3所示，其中紅色虛線為理論值，藍(lán)色實(shí)線為辨識(shí)值。

圖4給出了頻響函數(shù)逆矩陣第一列到第三列的列元素實(shí)部的求和曲線，進(jìn)一步用形式的二次曲線對(duì)其進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如表1所示，其中常數(shù)項(xiàng)為相應(yīng)自由度與邊界之間的線性連接剛度，二次項(xiàng)系數(shù)反映的是相應(yīng)自由度的質(zhì)量大小。對(duì)比擬合值與理論值的偏差可知，基于頻響函數(shù)變換的辨識(shí)方法具有準(zhǔn)確獲取局部線性連接剛度的能力。

將附加彈簧的剛度分別改為和，對(duì)各自頻響函數(shù)逆矩陣的第二列元素的實(shí)部進(jìn)行求和，得到不同連接剛度下的曲線擬合結(jié)果如表2所示，結(jié)果表明，對(duì)于不同量級(jí)的連接剛度，所提出的辨識(shí)方法均具有較高的辨識(shí)精度。

2.2 局部非線性連接剛度辨識(shí)算例

在第二個(gè)自由度處同時(shí)附加一個(gè)線性彈簧和一個(gè)單側(cè)間隙非線性彈簧，如圖5所示。單側(cè)間隙非線性彈簧的描述函數(shù)如圖6所示。

非線性恢復(fù)力的具體表達(dá)式如7式所示：

（16）

式中 d為間隙值；為間隙非線性剛度。

取線性彈簧剛度為，間隙非線性彈簧剛度為，間隙值為d=0.001 m。將間隙的理論值0.001 m代入非線性描述函數(shù)，采用TNSI方法對(duì)三自由度非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)，分離出的標(biāo)稱線性系統(tǒng)頻響函數(shù)如圖7所示，同時(shí)可得到間隙非線性剛度的辨識(shí)結(jié)果如圖8所示。

對(duì)分離出的標(biāo)稱線性系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣求逆，圖9給出了頻響函數(shù)逆矩陣第二列元素實(shí)部的求和曲線及其擬合表達(dá)式，其中紅色圓圈為列元素實(shí)部的求和結(jié)果，藍(lán)色實(shí)線為其擬合后的二次曲線，可發(fā)現(xiàn)擬合曲線的常數(shù)項(xiàng)與線性連接剛度的理論值基本一致。綜合圖8和9的辨識(shí)結(jié)果可知，對(duì)于非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，將基于頻響函數(shù)變換的辨識(shí)方法與TNSI方法相結(jié)合，可實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)局部線性和非線性連接剛度的聯(lián)合辨識(shí)。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

對(duì)所提出的局部連接剛度辨識(shí)方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。對(duì)應(yīng)上一節(jié)中的數(shù)值算例，搭建三自由度結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，其原理圖和實(shí)物圖分別如圖10和11所示。在第二層質(zhì)量塊m2處可附加線性和非線性彈簧，其中線性彈簧剛度可由測(cè)力計(jì)事先測(cè)量得出。為獲取實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)完整的頻響函數(shù)矩陣，在每層質(zhì)量塊處均施加激勵(lì)，同時(shí)布置加速度傳感器以拾取響應(yīng)信號(hào)。開展不同條件下的振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，然后基于輸入?輸出實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，采用基于頻響函數(shù)變換的辨識(shí)方法和TNSI方法，對(duì)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的局部附加連接剛度進(jìn)行辨識(shí)。

3.1 局部線性連接剛度辨識(shí)實(shí)驗(yàn)

在第二層質(zhì)量塊處附加一個(gè)剛度為的線性彈簧，采用移動(dòng)力錘法分別對(duì)3層質(zhì)量塊進(jìn)行連續(xù)錘擊激勵(lì)，采樣頻率為2048 Hz，采樣時(shí)間為8 s，其中敲擊第二層質(zhì)量塊時(shí)的激勵(lì)?加速度的時(shí)域數(shù)據(jù)如圖12所示。

基于實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的輸入?輸出數(shù)據(jù)，采用TLSI方法辨識(shí)得到的頻響函數(shù)曲線如圖13所示，其中紅色虛線為經(jīng)典H1估計(jì)結(jié)果，藍(lán)線實(shí)線為辨識(shí)結(jié)果。由圖可知，二者吻合良好。

對(duì)頻響函數(shù)逆矩陣第二列元素的實(shí)部求和，用形式的二次曲線對(duì)其進(jìn)行擬合，如圖14所示，可以發(fā)現(xiàn)擬合結(jié)果的常數(shù)項(xiàng)與真實(shí)的連接剛度基本吻合。如將附加彈簧的剛度改為，擬合結(jié)果依舊吻合良好。

圖15給出了不同附加彈簧下基礎(chǔ)固定端與m3之間的連接剛度辨識(shí)結(jié)果，該結(jié)果由頻響函數(shù)逆矩陣第三列元素的實(shí)部求和得出。對(duì)比可知，在不同附加彈簧連接剛度下，曲線擬合結(jié)果基本一致，這是由于附加彈簧并不會(huì)改變基礎(chǔ)固定端與m3之間的連接剛度，也進(jìn)一步證明了上述辨識(shí)方法及流程的合理性。綜合圖14和15的辨識(shí)結(jié)果可知，基于頻響函數(shù)變換的辨識(shí)方法具有獲取線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)局部連接剛度的能力。

3.2 局部非線性連接剛度辨識(shí)實(shí)驗(yàn)

在第二層質(zhì)量塊處同時(shí)附加一個(gè)線性彈簧和一個(gè)單側(cè)間隙非線性彈簧，其中線性彈簧的剛度為。在原有實(shí)驗(yàn)裝置中加入激光位移傳感器測(cè)量第二層質(zhì)量塊的位移，圖16給出了第二層質(zhì)量塊處激勵(lì)?位移的時(shí)域數(shù)據(jù)，基于位移數(shù)據(jù)可構(gòu)造間隙非線性描述函數(shù)。

采用三線性函數(shù)法確定間隙值［28，32，38］，將uwP2ssMbZn9LJe6YJluvJw==假定的間隙區(qū)間［0.314 mm，0.319 mm］劃分為5個(gè)等距的間隔，圖17給出了區(qū)間內(nèi)非線性恢復(fù)力的分布情況，可知，間隙值主要集中在0.316 mm附近。

進(jìn)一步將間隙值d=0.316 mm代入單側(cè)間隙非線性描述函數(shù)中，基于非線性實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的輸入?輸出實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，采用TNSI方法對(duì)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的線性部分和非線性部分進(jìn)行分離。圖18給出了標(biāo)稱線性系統(tǒng)頻響函數(shù)H22的辨識(shí)結(jié)果，其中紅色虛線為實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)未觸發(fā)間隙時(shí)的H1估計(jì)結(jié)果，藍(lán)色實(shí)線為TNSI的辨識(shí)結(jié)果。

非線性彈簧連接剛度的辨識(shí)結(jié)果如圖19所示。該結(jié)果在低頻段較為穩(wěn)定，可觀察到辨識(shí)結(jié)果接近，基本符合真實(shí)的非線性連接剛度特性?；赥NSI分離出的標(biāo)稱線性系統(tǒng)頻響函數(shù)，可得線性連接剛度的辨識(shí)結(jié)果如圖20所示，綜合圖19和20的辨識(shí)結(jié)果可知，所提出的辨識(shí)方法能夠?qū)Ψ蔷€性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中局部線性和非線性連接剛度進(jìn)行聯(lián)合辨識(shí)。

4 結(jié) 論

面向工程應(yīng)用研究領(lǐng)域中的連接結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題，本文提出了一種非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的局部連接剛度辨識(shí)方法。一方面，根據(jù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)剛度矩陣的性質(zhì)，提出了基于頻響函數(shù)變換的局部線性連接剛度辨識(shí)方法，同時(shí)結(jié)合TNSI方法可實(shí)現(xiàn)局部線性和非線性連接剛度的聯(lián)合辨識(shí)；另一方面，分別基于三自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的數(shù)值算例和實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)方法驗(yàn)證。結(jié)果表明，所提方法能夠?qū)Ψ蔷€性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的局部線性和非線性連接剛度進(jìn)行有效辨識(shí)，可用于獲取非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的局部連接剛度參數(shù)，服務(wù)工程連接結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模與特性預(yù)示。

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Local connection stiffness identification for nonlinear structural systems

REN Yan-song1，2，MA Zhi-sai1，2，LI Ya-nan3，YU Jia-hui3，ZHANG Zhong3，DING Qian1，2

（1.School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300350，China； 2.Tianjin Key Laboratory of Nonlinear Dynamics and Control，Tianjin 300350，China； 3.Beijing Institute of Structure and Environment Engineering，Beijing 100076，China）

Abstract： Jointed structures are widely used in engineering applications，and local nonlinear characteristics at the connection interface have an important influence on their dynamic modeling and characteristic prediction. Aiming at the problem that local connection parameters of nonlinear structural systems are unknown or difficult to measure，this paper proposes an identification method of local linear connection stiffness based on the FRF transformation from the perspective of inverse dynamic problems. By further combining with the time-domain nonlinear subspace identification method，the local linear and nonlinear connection stiffness of nonlinear structural systems can be finally obtained. The numerical example and experimental setup of the three degrees-of-freedom structural system are designed and further built to validate the proposed method. The results demonstrate that the proposed method can separate and identify the underlying linear FRF and nonlinear parameters of the nonlinear structural system，and subsequently realize the joint identification of the local linear and nonlinear connection stiffness.

Key words： connection stiffness identification；jointed structure；nonlinear system；nonlinear subspace identification method

作者簡(jiǎn)介： 任彥松（1999―），男，碩士研究生。E-mail： renystju@163.com。

通訊作者： 馬志賽（1988―），男，博士，副教授。E-mail： zhisai.ma@tju.edu.cn。