摘要： 本文針對(duì)電動(dòng)力繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的長(zhǎng)期離軌問(wèn)題，研究離軌過(guò)程中系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)建模以及離軌控制設(shè)計(jì)方法?；趩♀從Ｐ图僭O(shè)，進(jìn)行系統(tǒng)的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)建模。為提高動(dòng)力學(xué)建模精度，計(jì)入電動(dòng)力、大氣阻力和地球J2攝動(dòng)等動(dòng)力學(xué)載荷對(duì)系統(tǒng)軌道運(yùn)動(dòng)的影響，采用修正的非奇異軌道要素描述系統(tǒng)的軌道動(dòng)力學(xué)。針對(duì)離軌的動(dòng)力學(xué)控制問(wèn)題，提出了常值電流輸入、方向可變的電流輸入和最優(yōu)控制三種電流控制設(shè)計(jì)方法，通過(guò)系繩電流設(shè)計(jì)調(diào)節(jié)電動(dòng)力載荷實(shí)現(xiàn)離軌機(jī)動(dòng)。在最優(yōu)控制設(shè)計(jì)方法中，構(gòu)建了帶非線性約束的動(dòng)力學(xué)反問(wèn)題，基于非線性規(guī)劃算法求解該反問(wèn)題，得到最優(yōu)控制參考軌跡，通過(guò)閉環(huán)反饋跟蹤修正電流進(jìn)行離軌。另外，提出了一種基于能量的電流開(kāi)關(guān)控制策略輔助離軌，以保持系統(tǒng)姿態(tài)穩(wěn)定和高效地利用電動(dòng)力。為高效離軌對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)，并通過(guò)仿真算例對(duì)比分析了控制方法的離軌效率，驗(yàn)證了控制方法的有效性。

關(guān)鍵詞： 繩系衛(wèi)星系統(tǒng)； 電動(dòng)力； 最優(yōu)控制； 長(zhǎng)期離軌

中圖分類(lèi)號(hào)： O313.7； V412.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1004-4523（2024）10-1792-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.10.018

引 言

近年來(lái)，由于太空技術(shù)發(fā)展與其成本的下降，世界各國(guó)進(jìn)行了多次太空任務(wù)，產(chǎn)生的太空垃圾飛速增長(zhǎng)，其對(duì)在軌航天器和地球環(huán)境的威脅不可忽視。為清除太空垃圾，學(xué)者們提出了多種解決方案，如太陽(yáng)帆、機(jī)械臂和繩網(wǎng)捕捉等，以實(shí)現(xiàn)太空環(huán)境的清理，降低在軌航天器的碰撞風(fēng)險(xiǎn)［1?3］。其中，電動(dòng)力繩系衛(wèi)星技術(shù)因無(wú)需消耗推進(jìn)劑、綠色環(huán)保、易于實(shí)現(xiàn)和成本低等優(yōu)點(diǎn)受到廣泛關(guān)注。不同于其他需要額外推力的清理方式，電動(dòng)力繩系衛(wèi)星系統(tǒng)利用導(dǎo)電系繩切割地磁場(chǎng)，產(chǎn)生電動(dòng)力作為動(dòng)力實(shí)現(xiàn)空間碎片的離軌機(jī)動(dòng)［4?7］。然而，當(dāng)電動(dòng)力繩系衛(wèi)星系統(tǒng)在傾斜軌道上離軌時(shí)，電動(dòng)力會(huì)不斷向系統(tǒng)注入能量，導(dǎo)致系繩產(chǎn)生大幅度的擺動(dòng)，影響運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性［8?9］。另外，考慮到電?磁耦合、環(huán)境攝動(dòng)影響以及姿態(tài)運(yùn)動(dòng)和軌道運(yùn)動(dòng)間的耦合作用［10?12］，電動(dòng)力繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的在軌運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)出強(qiáng)非線性，給系統(tǒng)的穩(wěn)定離軌機(jī)動(dòng)帶來(lái)困難。

為解決這些問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)電動(dòng)力繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的離軌動(dòng)力學(xué)與控制進(jìn)行了深入研究。Corsi等［13］曾提出一種基于李雅普諾夫/哈密頓函數(shù)的電流開(kāi)關(guān)控制方法來(lái)調(diào)節(jié)電流以限制系繩擺動(dòng)。Williams［14?15］基于能量率反饋機(jī)制設(shè)計(jì)了一種跟蹤控制方法，基于系繩實(shí)際的擺動(dòng)能量速率與參考軌跡進(jìn)行反饋控制，實(shí)現(xiàn)系繩擺動(dòng)的長(zhǎng)期穩(wěn)定；隨后，又提出了時(shí)域差分速度最優(yōu)控制方法以及時(shí)滯擺動(dòng)速率預(yù)測(cè)反饋電流控制，結(jié)合Chebyshev?Gauss?Lobatto偽譜法解決最優(yōu)軌道轉(zhuǎn)移過(guò)程中系統(tǒng)電流的快速調(diào)節(jié)問(wèn)題。Kojima等［16］研究了電動(dòng)力繩系系統(tǒng)在橢圓軌道上的混沌擺動(dòng)，基于系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性提出了時(shí)滯速率反饋電流控制方法，在增強(qiáng)系統(tǒng)魯棒性的同時(shí)減少了控制功耗。張健等［17］針對(duì)電動(dòng)力繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的軌道機(jī)動(dòng)問(wèn)題，設(shè)計(jì)了常值電流控制、Bang?Bang式可變電流控制和傅里葉形式電流控制三種不同的電流控制方法。Li等［18］采用退步控制與滑?？刂葡嘟Y(jié)合的非線性控制方法來(lái)減小系統(tǒng)的擺角，提高系統(tǒng)的魯棒性。Wen等［19］針對(duì)電動(dòng)力繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的離軌問(wèn)題，提出了系繩電流的模型預(yù)測(cè)控制方法和自適應(yīng)增益策略來(lái)穩(wěn)定系繩擺動(dòng)；此外，基于電動(dòng)力繩系衛(wèi)星非奇異動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)了一種基于能量方法的擺動(dòng)抑制控制方法［20］。Luo等［21］提出了一種基于能量率的閉環(huán)跟蹤控制方法，通過(guò)跟蹤軌道周期解來(lái)降低計(jì)算難度，從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的長(zhǎng)期離軌。上述研究大多關(guān)注離軌過(guò)程系繩擺動(dòng)的穩(wěn)定控制，未考慮長(zhǎng)期離軌過(guò)程中控制方案的離軌效率。

本文關(guān)注電動(dòng)力繩系系統(tǒng)長(zhǎng)期高效離軌過(guò)程中的動(dòng)力學(xué)與控制問(wèn)題。為研究電動(dòng)力繩系衛(wèi)星長(zhǎng)期離軌過(guò)程的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，本文基于啞鈴模型假設(shè)建立系統(tǒng)的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型，采用非奇異軌道參數(shù)描述系統(tǒng)軌道運(yùn)動(dòng)，同時(shí)計(jì)入電動(dòng)力、大氣阻力和地球J2攝動(dòng)的影響。針對(duì)系統(tǒng)的長(zhǎng)期離軌控制問(wèn)題，基于電流開(kāi)關(guān)控制和最優(yōu)控制提出了多種控制設(shè)計(jì)方法，并通過(guò)對(duì)比分析研究了不同控制設(shè)計(jì)方法下電動(dòng)力繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的離軌效率。在保證離軌穩(wěn)定性的同時(shí)，通過(guò)設(shè)計(jì)控制參數(shù)，提高離軌效率，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的長(zhǎng)期穩(wěn)定離軌。

1 動(dòng)力學(xué)模型

本文關(guān)注的電動(dòng)力繩系衛(wèi)星系統(tǒng)由主星M、子星S以及連接主星和子星的電動(dòng)力系繩t組成。假設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)行在開(kāi)普勒傾斜軌道上。主星、子星和系繩的質(zhì)量分別為，和，且系繩長(zhǎng)度為?；趩♀從Ｐ图僭O(shè)建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，忽略衛(wèi)星姿態(tài)和系繩柔性。在長(zhǎng)期離軌過(guò)程中，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可分為慢變的軌道運(yùn)動(dòng)及快變的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，下面從這兩方面建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。

1.1 軌道運(yùn)動(dòng)

采用地球地心慣性坐標(biāo)系來(lái)描述系統(tǒng)的軌道運(yùn)動(dòng)。圖1為簡(jiǎn)化后的系統(tǒng)示意圖，其中，表示地球質(zhì)心，X軸指向春分點(diǎn)方向，Z軸為地球自轉(zhuǎn)方向，Y軸方向垂直于X?Z平面。

由于基于經(jīng)典軌道根數(shù)的軌道方程在偏心率為0以及軌道傾角為0°或90°時(shí)會(huì)產(chǎn)生奇異現(xiàn)象，故在描述軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，采用修正的非奇異軌道參數(shù)建立系統(tǒng)的軌道運(yùn)動(dòng)方程。非奇異軌道參數(shù)為：

（1）

式中 軌道半長(zhǎng)軸a、軌道傾角i、軌道偏心率e、升交點(diǎn)赤經(jīng)、近地點(diǎn)輻角和真近點(diǎn)角ν為經(jīng)典軌道根數(shù)。

用高斯變化方程表示系統(tǒng)軌道根數(shù)隨時(shí)間的變化［19］：

（2）

其中：

（3）

式中 “”表示對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)；為攝動(dòng)力引起的系統(tǒng)攝動(dòng)加速度，其中，為電動(dòng)力，為大氣阻力攝動(dòng)，為地球引力場(chǎng)不均勻性導(dǎo)致的攝動(dòng)，各攝動(dòng)力的具體描述見(jiàn)附錄，為系統(tǒng)總質(zhì)量；，，分別為攝動(dòng)加速度在軌道坐標(biāo)系三個(gè)主軸上的投影分量；為地球引力常數(shù)。

1.2 姿態(tài)運(yùn)動(dòng)

采用參考軌道坐標(biāo)系來(lái)描述系統(tǒng)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，如圖2所示。表示系統(tǒng)質(zhì)心，軸和軸分別指向天頂和系統(tǒng)飛行方向，軸與軸和軸形成右手坐標(biāo)系。系統(tǒng)相對(duì)于軌道坐標(biāo)系的瞬時(shí)姿態(tài)可由俯仰角以及滾轉(zhuǎn)角描述。

系統(tǒng)的動(dòng)能由系統(tǒng)牽連運(yùn)動(dòng)動(dòng)能、系統(tǒng)繞質(zhì)心相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能以及系統(tǒng)相對(duì)質(zhì)心徑向運(yùn)動(dòng)動(dòng)能組成，總動(dòng)能表示為：

（4）

其中：

（5）

式中 為軌道坐標(biāo)系角速率；為系統(tǒng)質(zhì)心相對(duì)于地球質(zhì)心的運(yùn)行半徑。

系統(tǒng)的勢(shì)能主要是指重力勢(shì)能Vg。假設(shè)系統(tǒng)由無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)組成，其中任一質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于系統(tǒng)質(zhì)心的位置向量為 ，則系統(tǒng)勢(shì)能為：

（6）

式中 表示向量的二范數(shù)算子。由于繩長(zhǎng)遠(yuǎn)小于軌道半徑，即，對(duì)式（6）展開(kāi)并省略，，的二次以上項(xiàng)，得到系統(tǒng)勢(shì)能的簡(jiǎn)化公式：

（7）

根據(jù)第二類(lèi)拉格朗日Lagrange方程，建立系統(tǒng)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)控制方程［22］：

（8）

式中 Qe和Qφ分別表示電動(dòng)力與大氣阻力在俯仰角方向和滾動(dòng)角方向產(chǎn)生的廣義力炬，且有：

（9）

表示軌道坐標(biāo)系下的局部地磁強(qiáng)度，通過(guò)虛功原理推導(dǎo)出由洛倫茲力引起的廣義扭矩與：

（10）

式中

（11）

其中，為從主星M指向子星S的系繩方向單位矢量，可表示為：

（12）

大氣阻力引起的廣義扭矩與可分別表示為：

（13）

式中 ，與分別為主星、子星與系繩各部分所受大氣阻力；s1，s2可分別表示為：

（14）

基于上述內(nèi)容，式（2）和（8）描述了系統(tǒng)的完整動(dòng)力學(xué)模型。

2 控制設(shè)計(jì)方法

本節(jié)針對(duì)電動(dòng)力繩系衛(wèi)星系統(tǒng)長(zhǎng)期離軌給出三種不同的控制設(shè)計(jì)方案，分別是：包括常值電流輸入與方向可變的電流輸入的直接控制設(shè)計(jì)方案，以及最優(yōu)控制設(shè)計(jì)方案。

2.1 直接控制設(shè)計(jì)方案

在直接控制設(shè)計(jì)方案中，給出一種基于能量的電流開(kāi)關(guān)控制策略，其原理是通過(guò)主動(dòng)控制電動(dòng)力系繩上產(chǎn)生的電動(dòng)力來(lái)實(shí)現(xiàn)系繩上的阻尼注入，控制系繩擺動(dòng)，同時(shí)最大化洛倫茲力對(duì)系統(tǒng)的離軌作用。

引入兩種參數(shù)［23］：

（15）

式中 與表示擺角的方向；為感生電勢(shì)，其中為系統(tǒng)相對(duì)于地球的軌道速度；與表示廣義力相對(duì)于擺角的方向。

電流控制律為：

（16）

當(dāng)且僅當(dāng)系繩擺角均小于固定值或兩種廣義力對(duì)系繩擺動(dòng)的瞬時(shí)總功率為負(fù)時(shí)，打開(kāi)電流。

根據(jù)軌道特性給出常值電流輸入，其電流大小與電流方向均保持恒定，給出電流：

（17）

記該常值電流輸入方案為控制方案1。

電動(dòng)力繩系衛(wèi)星系統(tǒng)離軌機(jī)動(dòng)過(guò)程中由于電動(dòng)力產(chǎn)生的耗散功率［24］為：

（18）

式中 表示電動(dòng)力。當(dāng)感生電勢(shì)與電流同向時(shí)，所產(chǎn)生的耗散功率為負(fù)，即電動(dòng)力對(duì)系統(tǒng)做負(fù)功。據(jù)此，給出方向可變的電流輸入：

（19）

記該可變電流輸入方案為控制方案2。

2.2 最優(yōu)控制設(shè)計(jì)方案

在本節(jié)中，基于兩體電動(dòng)力繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的簡(jiǎn)單啞鈴模型，設(shè)計(jì)離軌過(guò)程中的最優(yōu)控制設(shè)計(jì)方案。在最優(yōu)控制設(shè)計(jì)方案中，將系統(tǒng)的離軌問(wèn)題建立為帶非線性約束的優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)優(yōu)化給定的性能指標(biāo)函數(shù)，規(guī)劃系統(tǒng)狀態(tài)變量和設(shè)計(jì)控制輸入使系統(tǒng)最終達(dá)到期望的目標(biāo)狀態(tài)。最優(yōu)控制設(shè)計(jì)方案通過(guò)控制設(shè)計(jì)調(diào)節(jié)系統(tǒng)特性，屬于動(dòng)力學(xué)反問(wèn)題的范疇［25］。

為簡(jiǎn)化計(jì)算并保持磁場(chǎng)精度，在最優(yōu)控制模型中采用非傾斜偶極子模型描述地磁場(chǎng)，地磁場(chǎng)強(qiáng)度在軌道系中表示為：

（20）

式中 。為地磁場(chǎng)軸的赤經(jīng)；表示格林尼治恒星時(shí)，為地球磁偶極子強(qiáng)度。初始參數(shù)選定為：

（21）

引入狀態(tài)向量：

（22）

引入無(wú)量綱變換，系統(tǒng)的無(wú)量綱姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程可以寫(xiě)成狀態(tài)空間形式：

（23）

與為電動(dòng)力產(chǎn)生的廣義力矩：

（24）

上述方程可以記為：

（25）

定義控制輸入變量：

（26）

將非線性最優(yōu)控制問(wèn)題按照數(shù)學(xué)形式表述為：

（27）

式中 控制周期從到時(shí)刻結(jié)束，為最優(yōu)控制中的最大系繩電流輸入；為目標(biāo)函數(shù)；為拉格朗日形式的性能指標(biāo)函數(shù)?？紤]離軌效率與系統(tǒng)的穩(wěn)定性，設(shè)計(jì)性能指標(biāo)函數(shù)為：

（28）

式中 ，； 表示系統(tǒng)的洛倫茲力所做的離軌功；為系統(tǒng)沿飛行方向的速度；為權(quán)系數(shù)。另外，性能指標(biāo)函數(shù)中的第一和第二項(xiàng)在離軌過(guò)程中對(duì)系繩擺角起抑制作用，第三項(xiàng)用于系統(tǒng)的高效離軌。各項(xiàng)的增益系數(shù)通過(guò)反復(fù)計(jì)算確定，旨在保證姿態(tài)穩(wěn)定性的同時(shí)，獲得較高的離軌效率。在求解過(guò)程中，利用勒讓德?高斯偽譜法將連續(xù)時(shí)間的非線性最優(yōu)控制問(wèn)題離散化為非線性規(guī)劃的離散參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題。得到的離散參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題基于MATLAB的軟件GPOPS進(jìn)行求解。

為簡(jiǎn)化計(jì)算與控制流程，采用時(shí)間尺度分離的概念進(jìn)行最優(yōu)控制方案設(shè)計(jì)，如圖3所示。在較短的時(shí)間域內(nèi)，相對(duì)于系統(tǒng)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的軌道參數(shù)變化非常緩慢從而可以忽略不計(jì)。為提高計(jì)算效率，在計(jì)算最優(yōu)控制軌跡時(shí)，忽略系統(tǒng)的軌道參數(shù)變化，將系統(tǒng)的軌道參數(shù)設(shè)定為常數(shù)，僅考慮系統(tǒng)的姿態(tài)變化。而在計(jì)算整個(gè)離軌過(guò)程時(shí)，考慮系統(tǒng)完整的軌道動(dòng)力學(xué)和姿態(tài)動(dòng)力學(xué)。在進(jìn)行離軌控制時(shí)，基于最優(yōu)控制計(jì)算得到參考軌跡，引入跟蹤控制算法以修正軌道動(dòng)力學(xué)產(chǎn)生的誤差，實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的離軌機(jī)動(dòng)。

將基于最優(yōu)控制設(shè)計(jì)方案得到的參考電流控制輸入應(yīng)用在系統(tǒng)的完整動(dòng)力學(xué)模型上時(shí)，需考慮軌道參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)的影響。當(dāng)軌道參數(shù)變化時(shí)，為保持系統(tǒng)姿態(tài)穩(wěn)定，對(duì)參考的電流輸入進(jìn)行跟蹤修正，所設(shè)計(jì)的電流的跟蹤控制律為：

（29）

且有：

（30）

式中 與為控制增益，與分別表示系繩初始擺動(dòng)角和擺動(dòng)角速度，與表示系繩參考擺動(dòng)角和擺動(dòng)角速度，表示最優(yōu)控制方法得到的參考控制電流，和表示用于對(duì)系繩俯仰角和滾轉(zhuǎn)角方向運(yùn)動(dòng)誤差修正的控制電流，為修正的控制電流輸入，可表示為：

（31）

記最優(yōu)控制設(shè)計(jì)方案為控制方案3。

3 算例研究

本節(jié)通過(guò)對(duì)幾種不同軌道工況進(jìn)行數(shù)值仿真，進(jìn)而分析三種控制設(shè)計(jì)的離軌效果。所有算例均在MATLAB（R2023a）上進(jìn)行，數(shù)值模擬通過(guò)ode45求解。

表1給出了系統(tǒng)的物理參數(shù)，表2給出了兩種不同工況下系統(tǒng)的初始軌道參數(shù)。

在直接控制設(shè)計(jì)方案中，設(shè)置電流數(shù)值均為0.1 A。

另外，在最優(yōu)控制設(shè)計(jì)方案中，控制參數(shù)設(shè)置為：

（32）

三種控制方案的系統(tǒng)初始擺角與擺角速度，即初始狀態(tài)參數(shù)均設(shè)置為0。

在仿真過(guò)程中，將軌道半長(zhǎng)軸下降至450 km視為任務(wù)目標(biāo)。在44°傾角軌道和不同擺角限制情況下，表3給出了系統(tǒng)在控制方案1與控制方案2作用下的離軌時(shí)間。可以發(fā)現(xiàn)，兩種直接控制設(shè)計(jì)方案效果基本相同。圖4給出了不同控制方案的離軌時(shí)間。需要注意的是，最優(yōu)控制設(shè)計(jì)方案中在利用跟蹤控制律控制電流時(shí)，未設(shè)置擺角限制，因此系統(tǒng)在控制方案3作用下的離軌時(shí)間保持定值。關(guān)注控制方案1，表3僅給出了擺角限制從12°增長(zhǎng)至18°時(shí)系統(tǒng)的離軌時(shí)間，這是由于繼續(xù)增大擺角限制，系統(tǒng)會(huì)由于電動(dòng)力作用而失穩(wěn)。將12°擺角限制下控制設(shè)計(jì)方案1所消耗的離軌時(shí)間作為基準(zhǔn)進(jìn)行對(duì)比，如表3所示，效率欄中的數(shù)值表示相應(yīng)工況的效率變化，其中“+”代表效率的提升。

圖5為不同控制方案作用下系統(tǒng)的軌道半長(zhǎng)軸變化曲線，其中控制方案1和控制方案2的擺角限制為18°。可以看出，此時(shí)三種控制方案的效率接近一致。圖6給出了擺角限制增大到21°時(shí)，系統(tǒng)在控制方案1作用下的俯仰角變化曲線?？梢园l(fā)現(xiàn)，系繩擺角迅速增大，導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)。從圖7中可以看出，當(dāng)擺角限制為30°時(shí)，控制方案2作用下的系統(tǒng)發(fā)生翻滾。結(jié)果表明，對(duì)于在相同軌道傾角下的系統(tǒng)，控制方案2較控制方案1有更大的擺角限制閾值。另外可以發(fā)現(xiàn)，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的情況下，增大擺角限制閾值，可以有效提高直接控制設(shè)計(jì)方案的離軌效率。

圖8給出了44°軌道傾角時(shí)，不同控制方案的電流變化對(duì)比，其中控制方案1和2的擺角限制為18°。圖9和10描述了擺角限制分別為18°和25°時(shí)，控制方案2和控制方案3的擺角對(duì)比。在44°傾角的軌道中，控制方案3的離軌時(shí)間為125.92天，相對(duì)于基準(zhǔn)離軌時(shí)間，效率提升13.10%。當(dāng)控制方案2擺角限制為18°時(shí)，控制方案3的系繩擺角相對(duì)于控制方案2更小，且離軌效率更高。當(dāng)控制方案2擺角限制增大至25°時(shí)，系統(tǒng)離軌效率提高，但系繩最大擺角增大至50°左右時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定性較差。基于上述結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)擺角限制大于18°以后，控制方案1的離軌效率優(yōu)于最優(yōu)控制設(shè)計(jì)方案。這是由于最優(yōu)控制設(shè)計(jì)方案綜合考慮了系統(tǒng)穩(wěn)定性和高效離軌。盡管在最優(yōu)控制設(shè)計(jì)方案中未設(shè)置擺角約束，但由于所設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)，得到的電流控制輸入也被用于穩(wěn)定系繩姿態(tài)，不是完全用于系統(tǒng)離軌。從圖9和10中可以發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)控制設(shè)計(jì)方案下的系繩擺角幅值較小，系統(tǒng)穩(wěn)定性較好。因此，最優(yōu)控制設(shè)計(jì)方案可以有效穩(wěn)定系統(tǒng)姿態(tài)并使系統(tǒng)快速離軌，基于該方案得到的離軌天數(shù)是綜合考慮系統(tǒng)穩(wěn)定性和高效離軌得到的離軌時(shí)長(zhǎng)。

考慮位于65°傾角軌道上的系統(tǒng)，表4給出了不同擺角限制下控制方案1與2系統(tǒng)離軌時(shí)間的對(duì)比結(jié)果。另外，圖11中給出了不同控制方案下的離軌時(shí)間曲線。可以發(fā)現(xiàn)，在擺角限制為18°時(shí)，控制方案2有較高的離軌效率。與軌道傾角44°的情況類(lèi)似，當(dāng)擺角限制大于12°時(shí)，在控制方案1作用下系統(tǒng)會(huì)發(fā)生失穩(wěn)，因此表4僅給出了擺角限制12°時(shí)控制方案1的離軌時(shí)間。值得注意的是，控制方案2在擺角限制為18°時(shí)有最高的離軌效率，這是由于系繩姿態(tài)、電流與磁場(chǎng)的非線性耦合關(guān)系，使控制方案2在65°軌道傾角和18°擺角限制情況下有最高的電流利用效率，此時(shí)系繩電流的作用時(shí)間更久，可以更快地使系統(tǒng)離軌。

圖12給出了不同控制方案下系統(tǒng)的軌道半長(zhǎng)軸變化曲線，其中直接控制設(shè)計(jì)方案的擺角限制為12°。可以看出，控制方案2與控制方案3的效率接近一致，相對(duì)控制方案1有明顯的效率提升。圖13給出了控制方案2與控制方案3的軌道半長(zhǎng)軸高度變化。此時(shí)擺角限制為18°，可以發(fā)現(xiàn)控制方案2較控制方案3的離軌效率更高。

如圖14所示，當(dāng)擺角限制增大到15°時(shí)，控制方案1作用下系繩的俯仰角會(huì)急劇增大，表明系繩在俯仰方向形成了旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)姿態(tài)無(wú)法穩(wěn)定。對(duì)比圖4和11可以發(fā)現(xiàn)，降低軌道傾角可以提高不同控制方案下系統(tǒng)的離軌效率。

圖15為不同控制方案下的電流變化對(duì)比，其中直接控制設(shè)計(jì)方案的擺角限制為12°。圖16給出了擺角限制為12°時(shí)，系統(tǒng)在控制方案1和控制方案2下的俯仰角與滾轉(zhuǎn)角變化曲線。結(jié)合表4，控制方案2相對(duì)于控制方案1表現(xiàn)出更好的穩(wěn)定性、更高的離軌效率以及更大的擺角限制閾值。

圖17給出了擺角限制為12°時(shí)，系統(tǒng)在控制方案2和控制方案3下的俯仰角與滾轉(zhuǎn)角變化曲線。在65°傾角的軌道中，控制方案3的離軌時(shí)間為172.74天，相對(duì)于基準(zhǔn)離軌時(shí)間，效率提升25.18%?？梢园l(fā)現(xiàn)，控制方案3在保持系統(tǒng)穩(wěn)定的同時(shí)，有較短的離軌時(shí)間。圖18表明，通過(guò)增大擺角限制閾值，控制方案2可以獲得較高的離軌效率，但系繩擺角會(huì)因此增大。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)電動(dòng)力繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的長(zhǎng)期離軌動(dòng)力學(xué)與控制問(wèn)題，建立了考慮多種攝動(dòng)力的精確動(dòng)力學(xué)模型，提出了多種電流控制設(shè)計(jì)方法用于高效離軌。通過(guò)仿真對(duì)比分析，方向可變的電流控制方法相對(duì)于常值電流控制方法，表現(xiàn)出更好的穩(wěn)定性與更高的離軌效率。在直接控制設(shè)計(jì)方案中，為防止系繩擺角過(guò)大，提出了根據(jù)擺角是否超過(guò)限制閾值判斷電流開(kāi)關(guān)的控制策略，以維持系統(tǒng)穩(wěn)定性。結(jié)果表明，通過(guò)增大擺角限制閾值，可以在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的同時(shí)，有效提高離軌效率。需要注意的是，在增大系繩擺角限制時(shí)，需考慮系統(tǒng)穩(wěn)定性。當(dāng)擺角限制閾值過(guò)高時(shí)，系統(tǒng)可能會(huì)發(fā)生失穩(wěn)，從而導(dǎo)致離軌效率降低。在所提出的控制設(shè)計(jì)方法中，最優(yōu)控制設(shè)計(jì)方案可以有效限制系繩擺角，具有較好的系統(tǒng)穩(wěn)定性，并且具有較高的離軌效率。

本文在進(jìn)行離軌效率分析時(shí)，僅從控制參數(shù)設(shè)計(jì)進(jìn)行考慮，后續(xù)研究可分析主子星質(zhì)量比等物理參數(shù)對(duì)系統(tǒng)離軌效率的影響，針對(duì)系統(tǒng)物理參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，進(jìn)一步提高離軌效率。

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Dynamics modeling and control design method for long?term deorbiting of an electrodynamic tether system

YAN Jia?hui1，CHEN Ti1，WEN Hao1，LUO Cao?qun1，PENG Wen?xuan2，YUN Wei?dong2

（1.State Key Laboratory of Mechanics and Control for Aerospace Structures，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China； 2.Shanghai Institute of Aerospace System Engineering，Shanghai 201108，China）

Abstract： This paper investigates the dynamics and control problems of the long-term deorbiting of an electrodynamic tethered satellite system. The dynamics modeling of the system is carried out based on a dumbbell model assumption. To improve the accuracy of the system model，the orbital dynamics is described using a set of modified equinoctial elements，involving the effects of Lorentz force，atmospheric drag and J2 perturbation force. Three current control strategies are proposed to regulate the electrodynamic forces for achieving a stable long-term deorbiting process，namely，the constant current input，the directionally variable current input，and the optimal control strategies. In the design of the optimal control strategy，the long-term deorbiting problem is formulated as an inverse problem of dynamics with nonlinear constraints，which is further solved via a nonlinear programming method to obtain the optimal reference trajectories. The deorbiting of the system is then achieved using the modified current control input obtained from a tracking feedback control law. Additionally，an energy-based current switch control strategy is adopted to ensure the stability of system and the efficient utilization of Lorentz force. Case studies of the system with designed physical parameters are conducted to analyze the deorbiting efficiency and to validate the effectiveness of the proposed control strategies.

Key words： tethered satellite system；electrodynamic；optimal control；long?term deorbiting

作者簡(jiǎn)介： 顏家慧（2000―），女，碩士研究生。E?mail： 1796723887@nuaa.edu.cn。

通訊作者： 羅操群（1993―），男，博士，助理教授。E?mail： maillcq@nuaa.edu.cn。

附 錄

考慮到系繩長(zhǎng)度遠(yuǎn)小于地球半徑，故近似系統(tǒng)附近各處的磁場(chǎng)強(qiáng)度是相等的。本文考慮絕緣系繩，假設(shè)電流沿電動(dòng)力系繩均勻分布。系繩所受的洛倫茲力為：

（A1）

可表示為：

（A2）

采用IGRF13階模型來(lái)表述地球地磁場(chǎng)，系統(tǒng)周?chē)母魇噶糠较虻拇艌?chǎng)強(qiáng)度表示為：

（A3）

式中 和為IGRF模型的高斯系數(shù)；為地球余緯；為地球經(jīng)度；為地球半徑；為所求磁場(chǎng)點(diǎn)距地球質(zhì)心的距離；為施密特準(zhǔn)歸一化伴隨勒讓德函數(shù)。經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換可以求得軌道坐標(biāo)系下描述的磁場(chǎng)強(qiáng)度［26］。

基于NRLMSISE-00大氣模型得到系統(tǒng)所處位置的大氣密度，并利用經(jīng)驗(yàn)阻力系數(shù)、系統(tǒng)相對(duì)于地球的飛行速度、迎風(fēng)面積（系繩截面面積+端部體截面面積）得到系統(tǒng)所受到的大氣阻力：

（A4）

另外，考慮地球引力場(chǎng)不均勻性導(dǎo)致的攝動(dòng)，其引起的摂動(dòng)加速度在軌道系下的分量為：

（A5）