摘要： 針對艦艇浮筏隔振系統(tǒng)設(shè)計(jì)技術(shù)瓶頸，特別是嚴(yán)格的重量和空間尺寸限制難題，基于非線性能量匯（Nonlinear Energy Sink，NES）的寬頻自適應(yīng)性能，本文提出應(yīng)用NES胞元（NES cell）的浮筏隔振結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)減重方法。NES胞元分別并聯(lián)于浮筏隔振系統(tǒng)的所有子結(jié)構(gòu)。建立4自由度的浮筏隔振系統(tǒng)和耦合NES胞元的減振系統(tǒng)的動力學(xué)模型，應(yīng)用諧波平衡法（Harmonic Balance Method，HBM）推導(dǎo)出非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)滿足的近似解析表達(dá)式，并利用龍格?庫塔法（Runge?Kutta，RK）進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)證。通過力傳遞率響應(yīng)對比了不同的系統(tǒng)總重量與胞元數(shù)目下的振動抑制效果，并分析了胞元數(shù)目和系統(tǒng)總重量對系統(tǒng)振動的影響。結(jié)果表明，NES胞元能夠在系統(tǒng)總重量降低的同時(shí)有效降低浮筏隔振系統(tǒng)全部模態(tài)的振動傳遞率。

關(guān)鍵詞： 浮筏隔振系統(tǒng)； 非線性能量匯胞元； 結(jié)構(gòu)優(yōu)化； 力傳遞率

中圖分類號： TB535； O322 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號： 1004-4523（2024）10-1739-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.10.012

引 言

艦艇在航行過程中一直存在著振動問題，這對其舒適性和隱蔽性有非常大的影響［1］。為了控制船舶和潛艇的振動，浮筏隔振系統(tǒng)被提出。浮筏隔振系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)簡單、可操作性強(qiáng)、減振效果好等優(yōu)點(diǎn)［2?4］，可以有效地抑制動力設(shè)備傳遞到船體的振動和噪聲，已經(jīng)在船艦上得到廣泛應(yīng)用［5］。然而，浮筏隔振裝置的應(yīng)用會占用船舶和潛艇中更多的重量與空間等資源，增加其總體的運(yùn)行負(fù)擔(dān)。因此，降低浮筏隔振系統(tǒng)的總體重量并同時(shí)提高其隔振性能具有非常大的研究意義和實(shí)際工程價(jià)值［6］。

浮筏隔振系統(tǒng)由動力設(shè)備、上層隔振器、中間筏架和下層隔振器組成［7］。所有的動力裝置放置在中間筏架上，通過兩層隔振，傳遞到船體的振動可以被有效抑制。由于動力設(shè)備是提供能量的發(fā)電機(jī)組，其重量優(yōu)化空間有限，因此針對浮筏隔振裝置的結(jié)構(gòu)優(yōu)化大多將中間筏架視為被優(yōu)化的對象。近年來，許多學(xué)者對浮筏隔振系統(tǒng)進(jìn)行了廣泛的研究。徐匡迪等［8］以一種平置板架式浮筏為研究對象，采用APDL語言零階優(yōu)化方法對浮筏隔振結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化。王壯等［9］將桁架結(jié)構(gòu)應(yīng)用于傳統(tǒng)浮筏，形成一種新型桁架箱體浮筏隔振結(jié)構(gòu)，并對其重量進(jìn)行了優(yōu)化。LEI等［10］采用雙層浮筏隔振系統(tǒng)和顆粒阻尼器組成的復(fù)合振動控制裝置來控制系統(tǒng)的劇烈振動。王鋒等［6］利用拓?fù)鋬?yōu)化方法對浮筏隔振系統(tǒng)進(jìn)行了優(yōu)化，并采用功率流的分析方法研究了振動能量在浮筏隔振系統(tǒng)中傳遞的特性。綜上所述，浮筏隔振結(jié)構(gòu)已經(jīng)被廣泛研究并優(yōu)化。然而，要在實(shí)現(xiàn)浮筏隔振系統(tǒng)減重的同時(shí)提升其振動抑制效果還存在困難，降低筏架重量并提高動力系統(tǒng)的振動控制效率仍然是目前研究的熱點(diǎn)問題。

非線性能量匯（NES）在過去幾年得到了廣泛的發(fā)展［11?13］。作為不含線性剛度的非線性系統(tǒng)，NES能夠在很寬的頻率范圍內(nèi)抑制振動響應(yīng)［14］，而且不影響主系統(tǒng)的諧振頻率［15］。主系統(tǒng)的振動能量可以靶向地傳遞到非線性振子，實(shí)現(xiàn)高效減振［16?18］。為了實(shí)現(xiàn)高可靠性和靈活通用性的寬頻自適應(yīng)控制，NES胞元化減振策略被提出［19］。NES胞元的減振性能及其應(yīng)用于不同主系統(tǒng)減振的有效性已被廣泛研究。李猛等［20］分析了由多個NES胞元耦合的遠(yuǎn)大于單個NES重量的振動結(jié)構(gòu)所組成的系統(tǒng)的整體響應(yīng)特征，并研究了胞元數(shù)目對共振區(qū)響應(yīng)狀態(tài)的影響。ZHENG等［21］將NES胞元應(yīng)用在平板平臺上，解決了其多模態(tài)振動控制問題，并通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。NES胞元的數(shù)目可以隨著不同主系統(tǒng)的振動控制需求而改變，用小重量、小尺度的減振胞元的組合替代大重量、大尺度的動力吸振器，能夠分布式應(yīng)用于抑制系統(tǒng)的不同模態(tài)共振，提高NES的適用范圍。而且研究表明，胞元化的減振策略能夠提高NES對不同振動強(qiáng)度的自適應(yīng)性［20］。

本文將NES胞元應(yīng)用于浮筏隔振系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和振動控制中，旨在通過引入NES胞元，在大幅提高中間筏架隔振效果的情況下，減輕系統(tǒng)的總質(zhì)量?？紤]3組動力設(shè)備和筏架系統(tǒng)，建立了4自由度浮筏隔振系統(tǒng)的動力學(xué)模型，并通過模態(tài)分析得到浮筏隔振系統(tǒng)的固有頻率與振型矩陣。采用力傳遞率來評價(jià)系統(tǒng)的減振效果，通過改變胞元數(shù)量與中間筏架重量，比較不同總重量的浮筏隔振系統(tǒng)的振動傳遞效果。

1 系統(tǒng)動力學(xué)模型與模態(tài)分析

船艦或潛艇中的動力設(shè)備是為其提供動力的發(fā)電機(jī)組，也是振動的主要來源。在浮筏隔振系統(tǒng)中，所有動力設(shè)備通過上層隔振器放置在中間筏架上，然后利用下層隔振器將筏架連接到船體上［22］。由此，本文建立了如圖1所示的4自由度浮筏隔振系統(tǒng)動力學(xué)模型。動力設(shè)備的重量一般為固定值，本文考慮的結(jié)構(gòu)減重通過改變中間筏架的質(zhì)量來實(shí)現(xiàn)。

在圖1所示的4自由度浮筏隔振系統(tǒng)力學(xué)模型中，3個動力設(shè)備的質(zhì)量分別為M1，M2和M3，對應(yīng)的位移分別為X1，X2和X3。中間筏架的質(zhì)量為M0，位移為X0。上層隔振器由阻尼C1，C2，C3和線性剛度K1，K2，K3組成，下層隔振器由阻尼C0和線性剛度K0組成。

本文將3個動力設(shè)備運(yùn)行時(shí)由于偏心轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的慣性力視為系統(tǒng)的外激勵，分別作用在動力設(shè)備M1，M2和M3上。實(shí)際浮筏隔振系統(tǒng)中的外激勵形式是多樣的，可能存在相位差和幅值差。然而受限于篇幅，本文僅采用最簡單的激勵形式來證明NES 胞元對多自由度浮筏隔振系統(tǒng)振動控制和結(jié)構(gòu)減重的有效性。將系統(tǒng)的外部激勵取為F = AΩ2sin（ΩT），其中，A為動力設(shè)備偏心質(zhì)量與偏心距離的乘積；Ω為外激勵的圓頻率；T為時(shí)間，用于描述外激勵力隨時(shí)間的周期性變化。

浮筏隔振系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程寫為：

（1）

將式（1）寫為矩陣形式：

（2）

對應(yīng)的無阻尼自由運(yùn)動微分方程為：

（3）

其中，質(zhì)量矩陣與剛度矩陣可分別表示為：

（4）

系統(tǒng)的位移向量表示為：

（5）

簡諧振動的解定義為：

（6）

式中 ω為浮筏隔振系統(tǒng)的固有圓頻率；X*為各節(jié)點(diǎn)的模態(tài)矩陣。

將式（6）代入式（3），得到：

（7）

在自由振動條件下，模態(tài)矩陣X*不全為0，于是得到：

（8）

浮筏隔振系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。未進(jìn)行結(jié)構(gòu)減重前，筏架重量與動力設(shè)備總重量比值為72%［23］，動力設(shè)備和浮筏隔振系統(tǒng)總重量為309.6 kg。此外，動力設(shè)備偏心質(zhì)量與偏心距離的乘積A = 0.1 kg·m。

本文對浮筏隔振系統(tǒng)的安裝模態(tài)進(jìn)行分析，由于NES不含線性剛度，將NES胞元引入浮筏隔振系統(tǒng)后，系統(tǒng)的線性模態(tài)未受影響。通過求解式（8）可以得到浮筏隔振系統(tǒng)的固有頻率，然后將ω代入式（7）可以得到系統(tǒng)的振型向量。計(jì)算得到的浮筏隔振系統(tǒng)的固有頻率如表2所示。

計(jì)算所得模態(tài)矩陣為：

（9）

繪制浮筏隔振系統(tǒng)的模態(tài)振型圖如圖2所示。

根據(jù)模態(tài)分析結(jié)果，將浮筏隔振系統(tǒng)的前3階模態(tài)視為低階模態(tài)（20～60 Hz），第4階模態(tài)視為高階模態(tài)（110～140 Hz）。式（9）所示的模態(tài)矩陣中，低階模態(tài)下，3個動力設(shè)備的位移較大；高階模態(tài)oRh0YJx06HuSnmHHHlzKqER9jKZBt27f9lslwRIwLLk=下，中間筏架的位移較大。為保證NES胞元在系統(tǒng)總重量降低的同時(shí)有效降低浮筏隔振結(jié)構(gòu)全部模態(tài)的振動傳遞率，將NES胞元安置在系統(tǒng)的所有子結(jié)構(gòu)上。

2 NES 胞元減振系統(tǒng)動力學(xué)模型

如圖3所示，建立了耦合NES胞元的浮筏隔振系統(tǒng)減振模型，NES胞元的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參考文獻(xiàn)［21］。NES胞元擺放在系統(tǒng)的所有子結(jié)構(gòu)上，系統(tǒng)所受外激勵的作用位置不變，仍作用在動力設(shè)備M1，M2和M3上。3個動力設(shè)備與中間筏架上所添加的NES胞元的數(shù)目相同，均為n。圖4為單個NES胞元的動力學(xué)模型圖。

3個動力設(shè)備M1，M2和M3上添加的單個NES胞元質(zhì)量分別為MN1，MN2和MN3，阻尼系數(shù)分別為CN1，CN2和CN3，三次非線性剛度系數(shù)分別為KN1，KN2和KN3。中間筏架上所添加的單個NES胞元質(zhì)量、阻尼系數(shù)和三次非線性剛度系數(shù)分別為MN0，CN0和KN0。中間筏架與動力設(shè)備M1，M2和M3上添加的單個NES胞元的位移分別為XNz（z = 1，2，…，n），XNu（u = n+1，n+2，…，2n），XNv（v = 2n+1，2n+2，…，3n）和XNw（w = 3n+1，3n+2，…，4n）。即浮筏隔振系統(tǒng)的每個單獨(dú)子結(jié)構(gòu)上擺放的NES胞元具有相同的附加質(zhì)量、阻尼系數(shù)和非線性剛度系數(shù)。系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為：

（10）

對于本文的非線性系統(tǒng)，可以采用諧波平衡法（HBM）求得近似解析解。假定減振系統(tǒng)的位移響應(yīng)解析解為：

（11）

式中 Ai，j和Bi，j為調(diào)和系數(shù)，i = 0，1，…，3，Nz，Nu，Nv，Nw；諧波階數(shù)表示為j，其中j = 1，2，…，p。

系統(tǒng)的速度與加速度響應(yīng)分別表示為：

（12）

（13）

將式（11）～（13）代入式（10）中，同時(shí)令τ =，并利用伽遼金法，式（10）可寫為：

（14）

式中 δ（τ） =，k通常與近似位移解的諧波階數(shù)相同。Rm的值分別為：

（15）

通過伽遼金法可以表示為：

（16）

式中 S = diag（D，D，D，D，D，D，D，D）； R = diag（R0，R1，R2，R3，R4，R5，R6，R7）。D的值為：

（17）

調(diào)和系數(shù)Ai，j和Bi，j的值可以通過雅可比矩陣得到，然后采用偽弧長法繪制系統(tǒng)的響應(yīng)曲線。中間筏架的幅值響應(yīng)與系統(tǒng)傳遞到船體的力Fb可分別表示為：

（18）

（19）

系統(tǒng)的力傳遞率（dB）定義為［24?25］：

（20）

式中 RMS（Fb）與RMS（F）分別表示傳遞到船體的力與激勵力的均方根值。本文將諧波階數(shù)考慮為3階。

浮筏隔振系統(tǒng)上添加的NES胞元的參數(shù)如表3所示，NES胞元參數(shù)的選取參考文獻(xiàn)［19］。單個NES胞元的附加質(zhì)量與其相連接結(jié)構(gòu)的質(zhì)量比固定為0.2%，即MN0/M0=MN1/M1=MN2/M2=MN3/M3=0.2%。

為了驗(yàn)證文中推導(dǎo)得到的近似解析解的準(zhǔn)確性，可采用龍格?庫塔（RK）數(shù)值法繪制系統(tǒng)的響應(yīng)曲線與之對比。通過HBM與RK獲得的耦合NES胞元的減振系統(tǒng)的中間筏架的幅頻響應(yīng)對比如圖5所示，圖中f=Ω/（2π）；mreft，mpu分別表示中間閥架與動力設(shè)備的質(zhì)量。取中間筏架與動力設(shè)備的質(zhì)量比為72%，胞元數(shù)目n = 20，可以看出兩種分析方法得出的響應(yīng)曲線具有高度的一致性。

3 浮筏隔振系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)減重

在本節(jié)中，通過調(diào)整NES胞元數(shù)量與中間筏架的重量來改變系統(tǒng)的總質(zhì)量，比較了不同總重量下系統(tǒng)的力傳遞率響應(yīng)，并分析了胞元數(shù)目與系統(tǒng)總重量對第1階模態(tài)振動的影響。同時(shí)將未添加NES胞元的浮筏隔振系統(tǒng)的力傳遞率?頻率響應(yīng)繪制在圖6中，可以看出浮筏隔振系統(tǒng)在前3階模態(tài)處的力傳遞率分別為48.0，40.6和34.8 dB。高階模態(tài)處的力傳遞率為32.5 dB?？梢娤到y(tǒng)在第1階模態(tài)處的力傳遞率是最大的。

同時(shí)為了描述中間筏架與3個動力設(shè)備的質(zhì)量比值，定義如下等式：

（21）

式中 Mr和Mp分別表示中間筏架的質(zhì)量和動力設(shè)備的總質(zhì)量。選取4種筏架質(zhì)量對比浮筏隔振系統(tǒng)的不同減振效果，分別取μ1=72%，μ2=60%，μ3=48%和μ4=36%。在筏架重量改變的同時(shí)調(diào)整線性剛度K0的大小，使得筏架的單自由度系統(tǒng)的固有頻率保持不變，即ω0=（K0/M0）1/2=109.2 Hz。

未添加NES胞元時(shí)，為了觀察筏架重量的改變對4種不同重量的浮筏隔振系統(tǒng)振動傳遞的影響，分別繪制低階和高階模態(tài)處的力傳遞率?頻率響應(yīng)對比如圖7所示。未添加NES胞元時(shí)，同比改變筏架的重量和線性剛度K0會略微影響系統(tǒng)低階（前3階）固有頻率，但是對高階（第4階）模態(tài)的固有頻率和共振傳遞率的影響較大。隨著筏架重量的減小，浮筏隔振系統(tǒng)的第4階共振頻率隨之增大，第4階模態(tài)共振區(qū)域向高頻轉(zhuǎn)移，降低了高頻區(qū)的隔振效率，但是第4階模態(tài)共振的最大的力傳遞率略有減小的趨勢。

由于筏架重量降低后系統(tǒng)的減振效果沒有得到有效改善，為了補(bǔ)償振動控制效果，相應(yīng)地增加NES胞元的數(shù)量。對應(yīng)地將NES胞元數(shù)量分別選取為10，15，20和25個。系統(tǒng)的總質(zhì)量等于3組動力系統(tǒng)的總質(zhì)量、筏架的質(zhì)量和各個子結(jié)構(gòu)上NES胞元的總質(zhì)量之和，即表述為：

（22）

于是，不同筏架質(zhì)量與胞元數(shù)量下4種系統(tǒng)的總質(zhì)量分別為：

（23）

4種重量系統(tǒng)與未受NES減振的浮筏系統(tǒng)（Uncontrol）的力傳遞率?頻率響應(yīng)對比如圖8所示。圖8（a）和8（b）分別展示了低階模態(tài)和高階模態(tài)的力傳遞率。需要說明的是，改變筏架重量的同時(shí)，其上放置的單個NES胞元的附加質(zhì)量與筏架的質(zhì)量比保持MN0/M0=0.2%不變。也就是說，對應(yīng)于不同筏架質(zhì)量，并聯(lián)在各個子結(jié)構(gòu)上的NES胞元總重量與各個子結(jié)構(gòu)重量的比值分別為2%，3%，4%和5%。

NES本質(zhì)上作為一個非線性系統(tǒng)，存在不影響主系統(tǒng)共振頻率的特點(diǎn)，所以與圖7的結(jié)果相比，NES胞元數(shù)目的增加未對系統(tǒng)低階和高階模態(tài)的共振頻率產(chǎn)生影響，即圖8中系統(tǒng)共振頻率的變化仍然是由筏架重量和線性剛度K0的改變而引起的。

由圖8（a）可見，對于前3階模態(tài)的低頻共振，較輕重量的筏架展示出更好的減振效果。隨著浮筏隔振系統(tǒng)總重量的減少，為了提高振動控制效果，NES胞元數(shù)目相應(yīng)地增加。另外，由于NES與主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量比增大，系統(tǒng)在低階模態(tài)處的力傳遞率響應(yīng)峰值隨之降低，傳遞到船體的力也對應(yīng)減小，筏架與NES胞元組合控制的減振效果變得更好。未添加NES胞元的原浮筏隔振系統(tǒng)總質(zhì)量為309.6 kg。當(dāng)μ = 36%，胞元數(shù)目n = 25，系統(tǒng)總質(zhì)量為257.0kg，即浮筏隔振系統(tǒng)總質(zhì)量減少52.6 kg時(shí)，系統(tǒng)前3階模態(tài)的力傳遞率響應(yīng)峰值與未受控制的浮筏隔振系統(tǒng)相比分別降低21.1，24.2和27.2 dB。

由圖8（b）可見，對于第4階模態(tài)的高頻共振，較輕重量的筏架也同樣展示出更小的振動傳遞率。隨著NES與主結(jié)構(gòu)質(zhì)量比的增大，第4階模態(tài)共振的力傳遞率響應(yīng)峰值隨之大幅減小，第4階模態(tài)共振的抑制效果變得更好。當(dāng)系統(tǒng)總質(zhì)量為257.0 kg，即浮筏隔振系統(tǒng)總質(zhì)量減少52.6 kg時(shí)，系統(tǒng)第4階模態(tài)共振響應(yīng)的力傳遞率峰值與未受控制的浮筏隔振系統(tǒng)相比降低了29.3 dB。圖9為未受控制浮筏隔振系統(tǒng)與4種不同總質(zhì)量減振系統(tǒng)在全部模態(tài)處的力傳遞率?頻率響應(yīng)對比，清晰地展示出了NES胞元對寬頻范圍內(nèi)的所有共振峰的高效率減振作用。

基于上述分析可以得出結(jié)論，對于浮筏隔振系統(tǒng)全部模態(tài)的振動，利用NES胞元減振可以實(shí)現(xiàn)在更小的系統(tǒng)總質(zhì)量下?lián)碛懈玫恼駝右种菩Ч?，達(dá)到了浮筏隔振結(jié)構(gòu)減重的目的。

4 結(jié) 論

（1）同比改變筏架重量和剛度K0對系統(tǒng)前3階固有頻率影響較小，但對第4階固有頻率影響較大，第4階固有頻率隨著筏架重量的減小而增大。

（2）通過引入NES胞元，可以在降低浮筏隔振系統(tǒng)總重量的同時(shí)降低各階模態(tài)共振的力傳遞率，實(shí)現(xiàn)更好的振動抑制效果。

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Weight reduction design of floating raft vibration isolation structure by using nonlinear energy sink cell

WANG Hong?li1，2，YIN Xue?wen1，DING Hu2

（1.China Ship Scientific Research Center，Wuxi 214082，China； 2. School of Mechanics and Engineering Science，Shanghai University，Shanghai 200444，China）

Abstract： Floating raft vibration isolation systems in the ships or submarines have the requirement of low weight and small volume. To reduce the weight of floating raft vibration isolation systems and improve its vibration suppression effect，nonlinear energy sink cell （NES cell） is applied to the structural optimization of the floating raft vibration isolation system. NES cells are placed on all the substructures of the floating raft system. The mechanical model of the floating raft system with four degrees of freedom and the vibration damping system with NES cell are established. The modal analysis of the floating raft system is carried out. The approximate analytical expression of steady-state response for nonlinear system is derived by Harmonic balance method （HBM） and verified by Runge-Kutta （RK）. The vibration suppression effect under the different total weight and NES cell number is compared by force transitivity response，and the influence of the NES cell number and total weight of the system for the 1st-order mode is analyzed. The results show that NES cell can effectively improve the vibration suppression efficiency of the floating raft system for all the modes while reducing the total weight of the system and realize the structural optimization of the floating raft system effectively.

Key words： floating raft vibration isolation system；nonlinear energy sink cell；structure optimization；force transmissibility

作者簡介： 王紅利（2000―），男，碩士研究生。E?mail： 22723948@shu.edu.cn。

通訊作者： 丁 虎（1978―），男，博士，研究員。E?mail： dinghu3@shu.edu.cn。