摘要： 為了抑制柔性機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)過程中的非線性振動(dòng)，提出一種基于干擾力在線觀測(cè)的無模型軌跡跟蹤和振動(dòng)抑制混合控制策略。采用拉格朗日方程和奇異攝動(dòng)法對(duì)存在未知干擾的柔性機(jī)械臂進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模和解耦，將其分解為表征剛性運(yùn)動(dòng)的慢變子系統(tǒng)和表征柔性振動(dòng)的快變子系統(tǒng)；考慮到建模的復(fù)雜性和模型參數(shù)的不確定性，采用PD控制方法實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤，并提出無模型自適應(yīng)控制算法以實(shí)現(xiàn)柔性臂桿的非線性振動(dòng)控制。針對(duì)未知外界干擾可能引起的控制發(fā)散問題，提出了改進(jìn)的干擾力狀態(tài)觀測(cè)器，用于干擾力矩的在線估計(jì)和實(shí)時(shí)補(bǔ)償，有效提高無模型振動(dòng)控制算法的收斂性能。仿真試驗(yàn)結(jié)果表明，所提算法在存在干擾力的情況下對(duì)柔性機(jī)械臂的振動(dòng)抑制效果顯著，且具有良好的動(dòng)態(tài)性能和魯棒性。

關(guān)鍵詞： 柔性機(jī)械臂； 振動(dòng)控制； 無模型自適應(yīng)控制； 干擾觀測(cè)器

中圖分類號(hào)： O313.7； TB535 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1004-4523（2024）10-1783-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.10.017

引 言

柔性機(jī)械臂具有結(jié)構(gòu)輕、負(fù)載比高、能耗低等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)、軍事、航空航天等領(lǐng)域［1?2］。然而，由于其剛度低、阻尼小，在運(yùn)動(dòng)過程中易產(chǎn)生低頻振動(dòng)，嚴(yán)重影響了機(jī)械臂的定位精度和運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性［3?4］。柔性機(jī)械臂振動(dòng)控制可分為反饋控制和前饋控制兩大類［5］。前饋控制的優(yōu)點(diǎn)是不需要反饋傳感器，但其本質(zhì)屬于開環(huán)控制技術(shù)，在處理各種干擾和參數(shù)變化方面存在局限性。反饋控制充分利用關(guān)節(jié)和柔性臂桿振動(dòng)狀態(tài)信息，具有較強(qiáng)的抗外界干擾能力，可實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定控制。傳統(tǒng)反饋振動(dòng)控制方法大多需要獲得柔性機(jī)械臂精確的模型參數(shù)，即模型類反饋控制。然而，由于末端負(fù)載變化、關(guān)節(jié)非線性摩擦、臂桿柔性等不確定及非線性因素，柔性機(jī)械臂的精確模型參數(shù)難以獲得。為了克服這個(gè)問題，滑?？刂疲?］、魯棒控制［7］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制［8?9］、模糊控制［10?11］等智能控制方法陸續(xù)被提出，以解決模型參數(shù)獲取困難的問題。但這些算法存在計(jì)算量大、實(shí)時(shí)性差等問題。

無模型控制是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)型控制，不需要被控對(duì)象的物理模型參數(shù)，只需要系統(tǒng)的輸入和輸出數(shù)據(jù)。當(dāng)被控系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)時(shí)變或不確定時(shí)，無模型控制可以避免結(jié)構(gòu)參數(shù)辨識(shí)，提高控制效率。PID控制和迭代學(xué)習(xí)控制［12］是相對(duì)成熟且應(yīng)用廣泛的無模型控制方法。近年來，無模型自適應(yīng)控制（Model Free Adaptive Control，MFAC）［13?14］因其僅依靠輸入/輸出數(shù)據(jù)即能夠?qū)崿F(xiàn)未知非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)控制而備受關(guān)注。然而，直接將MFAC算法應(yīng)用于柔性機(jī)械臂控制存在一些挑戰(zhàn)。MFAC算法需要實(shí)時(shí)輸入/輸出數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)據(jù)質(zhì)量要求極高，尤其是在數(shù)據(jù)出現(xiàn)突變的情況下適應(yīng)能力較差。在機(jī)械臂遭遇干擾或碰撞時(shí)，控制力會(huì)出現(xiàn)劇烈波動(dòng)，從而導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間延長(zhǎng)，嚴(yán)重時(shí)甚至可能導(dǎo)致控制系統(tǒng)崩潰。未知外界干擾無法直接測(cè)得或測(cè)量代價(jià)太高。一般情況下，通過設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器來利用可測(cè)量狀態(tài)估計(jì)系統(tǒng)外部干擾，并通過反饋擾動(dòng)估計(jì)提高系統(tǒng)的魯棒性。Liu等［15］利用降階擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器，設(shè)計(jì)自抗擾控制算法，實(shí)現(xiàn)永磁同步電動(dòng)機(jī)電流控制。Shang等［16］提出了一種采用非線性擾動(dòng)觀測(cè)器的自適應(yīng)PI控制策略，實(shí)現(xiàn)柔性機(jī)械臂的振動(dòng)抑制。可見，通過干擾觀測(cè)器進(jìn)行外部干擾估計(jì)，是解決未知外界擾動(dòng)對(duì)MFAC控制算法的影響的可行方案。

綜上所述，柔性機(jī)械臂的精確建模難度較大，模型參數(shù)獲取不易，且在控制過程中容易受到各種干擾。因此，本文提出了一種基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（Extended State Observer，ESO）的無模型混合控制方法。該方法無需系統(tǒng)精確模型參數(shù)，通過無模型PD和MFAC控制算法進(jìn)行混合控制，實(shí)現(xiàn)柔性機(jī)械臂軌跡跟蹤和振動(dòng)控制。針對(duì)未知外界干擾，提出改進(jìn)型擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（Modified Extended State Observer，MESO）對(duì)干擾力矩進(jìn)行在線估計(jì)和實(shí)時(shí)補(bǔ)償，有效提高柔性機(jī)械臂無模型振動(dòng)控制算法的收斂性能。

1 柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)

圖1為雙臂桿柔性機(jī)械臂模型。坐標(biāo)系為固定在關(guān)節(jié)1處的慣性參考系，坐標(biāo)系為固定在關(guān)節(jié)2處的慣性參考系，和分別為機(jī)械臂關(guān)節(jié)1，2處的隨動(dòng)坐標(biāo)系。兩機(jī)械臂關(guān)節(jié)的質(zhì)量分別為，；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為，；關(guān)節(jié)1，2的轉(zhuǎn)角分別為，。機(jī)械臂桿1，2的長(zhǎng)度分別為，；抗彎剛度分別為，；機(jī)械臂桿1，2的彈性位移分別為，。末端負(fù)載的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為和。

1.1 柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)建模

當(dāng)柔性臂桿滿足小變形假設(shè)時(shí)，忽略柔性臂的軸向變形與剪切變形，可將其視為Euler?Bernoulli梁，采用假設(shè)模態(tài)法，柔性機(jī)械臂桿的橫向撓度為：

（1）

式中 為柔性臂桿的橫向撓度；為第i號(hào)臂桿的第j階振型，為對(duì)應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)；s為模態(tài)截?cái)嚯A數(shù)。

假設(shè)關(guān)節(jié)剛度較大，柔性臂振動(dòng)主要取決于柔性臂的結(jié)構(gòu)參數(shù)，故將柔性臂桿根部近似為固定邊界條件。由于柔性臂末端帶有負(fù)載，自由振動(dòng)時(shí)梁的自由端內(nèi)力不再為零。假設(shè)和為柔性臂桿i的末端轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和質(zhì)量，為柔性臂桿i+1轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的偏移量對(duì)質(zhì)量的影響。則柔性臂i末端的剪應(yīng)力和彎矩分別由，和決定［17］，機(jī)械臂桿的邊界條件為：

（2）

由于柔性機(jī)械臂的低階振動(dòng)模態(tài)占主導(dǎo)地位，高階振動(dòng)模態(tài)的貢獻(xiàn)可以忽略［18］，故本文取2階模態(tài)截?cái)唷６x為柔性機(jī)械臂轉(zhuǎn)角向量，為描述柔性機(jī)械臂彈性振動(dòng)的模態(tài)坐標(biāo)向量，利用拉格朗日方程可以推導(dǎo)出柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程為：

（3）

式中 ，，，組成了慣性矩陣；為剛度矩陣的組成部分；，，為包含了科式力和離心力的向量；為關(guān)節(jié)控制驅(qū)動(dòng)力矩；為外部干擾力。

1.2 動(dòng)力學(xué)方程的奇異攝動(dòng)分解

基于動(dòng)力學(xué)方程狀態(tài)變量在時(shí)間尺度上的差異，采用奇異攝動(dòng)法將柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)分解為兩個(gè)低階系統(tǒng)。首先，忽略快變變化現(xiàn)象，得到簡(jiǎn)化解。穩(wěn)態(tài)結(jié)果表示在系統(tǒng)中起主導(dǎo)作用的緩慢變化現(xiàn)象。然后在“拉伸”時(shí)間尺度上計(jì)算邊界層校正項(xiàng)，進(jìn)行誤差校正和補(bǔ)償。

從系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性上來看，其質(zhì)量矩陣是正定對(duì)稱的，因此質(zhì)量矩陣M存在逆矩陣N為：

（4）

方程（3）兩邊左乘矩陣N，動(dòng)力學(xué)方程改寫為：

（5）

為了導(dǎo)出系統(tǒng)奇異攝動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，需要引入奇異攝動(dòng)尺度因子，為一個(gè)很小的正參數(shù)。由于與動(dòng)力學(xué)方程中其他矩陣元素相比，剛度矩陣中的元素具有較大的數(shù)量級(jí)，令，其中為剛度矩陣中的元素。令，并定義奇異攝動(dòng)尺度下新的變量為：

（6）

將式（6）代入式（5），動(dòng)力學(xué)方程可改寫為奇異攝動(dòng)模型：

（7）

令，則式（7）可以化簡(jiǎn)為：

（8）

（9）

從式（9）中解出并代入式（8），適當(dāng)簡(jiǎn)化方程中符號(hào)，可得機(jī)械臂慢變子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

（10）

式中 =，和分別為慢變子系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)力矩和干擾力。

對(duì)于快變子系統(tǒng)，引入邊界層校正變量：

（11）

式中 為慢變子系統(tǒng)中的值，在快變尺度下可以被視為常數(shù)。

在邊界層上引入快變時(shí)標(biāo)，可寫出快變子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

（12）

式中 ，為慢變子系統(tǒng)中的慣性矩陣相應(yīng)子矩陣；和分別為慢變子系統(tǒng)的電機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩和干擾力。

通過奇異攝動(dòng)法，將柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程分解為慢變子系統(tǒng)和快變子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，分別如式（10）和（12）所示?？梢钥闯觯冏酉到y(tǒng)在大時(shí)間范圍內(nèi)代表剛性運(yùn)動(dòng)，快變子系統(tǒng)在小時(shí)間范圍內(nèi)代表彈性振動(dòng)。

2 柔性機(jī)械臂的混合控制策略

基于1.2節(jié)中得到的動(dòng)力學(xué)方程（10）和（12），并考慮到柔性機(jī)械臂的精確模型參數(shù)無法獲取，本節(jié)提出一種柔性機(jī)械臂軌跡跟蹤和振動(dòng)抑制無模型混合控制策略?；旌峡刂圃韴D如圖2所示。

控制系統(tǒng)由3部分組成：第1部分采用PD反饋控制，計(jì)算慢變子系統(tǒng)控制力矩，實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤；第2部分設(shè)計(jì)抑制柔性機(jī)械臂振動(dòng)的MFAC算法，計(jì)算快變子系統(tǒng)控制力矩；第3部分設(shè)計(jì)MESO進(jìn)行干擾觀測(cè)，并計(jì)算干擾補(bǔ)償力矩，提高無模型控制算法的魯棒性。總控制力矩如下：

（13）

2.1 慢變子系統(tǒng)PD反饋控制算法

PD反饋控制是一種簡(jiǎn)單有效的無模型控制方法，不需要獲取控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，降低了控制器設(shè)計(jì)的難度，易于實(shí)現(xiàn)。慢變子系統(tǒng)采用PD算法進(jìn)行機(jī)械臂軌跡跟蹤控制，如下式所示：

（14）

式中 和分別為期望轉(zhuǎn)角和角速度；和分別表示PD控制律的比例增益和差分增益。

2.2 快變子系統(tǒng)MFAC控制算法

2.2.1 離散非線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)線性化

根據(jù)無模型自適應(yīng)控制理論，對(duì)于離散時(shí)間非線性系統(tǒng)：

（15）

式中 和分別表示控制系統(tǒng)在k時(shí)刻的輸入向量和輸出向量；表示一個(gè)未知的動(dòng)態(tài)非線性函數(shù)；，分別為系統(tǒng)使用的輸入、輸出向量的長(zhǎng)度。滿足如下假設(shè)：

假設(shè)1：非線性函數(shù)對(duì)控制輸入的偏導(dǎo)數(shù)是連續(xù)可微的。

假設(shè)2：系統(tǒng)滿足廣義Lipschitz條件，即滿足以下條件：

（16）

當(dāng)時(shí)，必存在一個(gè)時(shí)變參數(shù)矩陣，稱為偽雅可比矩陣，將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為以下緊格式動(dòng)態(tài)線性化方法的泛模型：

（17）

其中，任意時(shí)刻是有界的且對(duì)角占優(yōu)，即為中元素，其滿足：

（18）

式中 ，為的有界閾值參數(shù)，且滿足，其中。

原動(dòng)態(tài)非線性系統(tǒng)的復(fù)雜行為特征，如非線性及時(shí)變參數(shù)等，被壓縮融入到時(shí)變的標(biāo)量矩陣中，原系統(tǒng)的復(fù)雜且難以估計(jì)的動(dòng)態(tài)特性可以轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)被嚴(yán)格證明存在的偽雅可比矩陣。這種緊格式動(dòng)態(tài)線性化方法的泛模型僅與閉環(huán)系統(tǒng)的I/O測(cè)量數(shù)據(jù)相關(guān)，不顯含結(jié)構(gòu)模型參數(shù)，本質(zhì)為數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法，因此可以適用于大多數(shù)時(shí)變非線性系統(tǒng)。另外可以被證明是動(dòng)態(tài)有界的，通過設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)牡烙?jì)算法可以保證泛模型的精度。

2.2.2 MFAC控制算法

將機(jī)械臂快變子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程離散化：

（19）

式中 為采樣時(shí)間間隔。則k時(shí)刻機(jī)械臂快變子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可改寫為：

（20）

可見，快變子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程符合MFAC控制所需的離散時(shí)間非線性系統(tǒng)形式?？熳冏酉到y(tǒng)控制力矩可表示為如下緊格式動(dòng)態(tài)線性化模型：

（21）

其中：

。

定義MFAC輸入向量的準(zhǔn)則函數(shù)如下：

（22）

式中 ，其中為機(jī)械臂期望振動(dòng)響應(yīng)，?。粸闄?quán)重因子，用于懲罰控制力矩發(fā)生突變。

將式（21）代入式（22），對(duì)求導(dǎo)，取極值，可得控制信號(hào)的迭代公式如下：

（23）

式中 為迭代步長(zhǎng)，；為防止分母為0，。

在控制過程中，由于輸入控制轉(zhuǎn)矩向量和輸出運(yùn)動(dòng)向量的動(dòng)態(tài)變化，獲得準(zhǔn)確的值難以實(shí)現(xiàn)。可以通過系統(tǒng)輸入和輸出數(shù)據(jù)來估計(jì)。設(shè)計(jì)估計(jì)的準(zhǔn)則函數(shù)：

（24）

式中 為的估計(jì)，為一個(gè)權(quán)重因子，用于懲罰估計(jì)中的較大變化。與式（23）的推導(dǎo)過程類似，的迭代過程如下：

（25）

式中 為迭代步長(zhǎng)，；為小正值。

考慮到需滿足有界性要求，當(dāng)矩陣元素超出閾值時(shí)，按如下規(guī)則進(jìn)行初始化：

（26）

式中 ，為矩陣元素初值。

2.3 MESO設(shè)計(jì)

實(shí)際柔性機(jī)械臂系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)會(huì)受到外界擾動(dòng)影響。設(shè)，對(duì)于柔性機(jī)械臂系統(tǒng)可改寫為：

（27）

式中 為總擾動(dòng)。定義狀態(tài)量的觀測(cè)值為，其中，是對(duì)系統(tǒng)的廣義位移向量的估計(jì)，是對(duì)系統(tǒng)的廣義速度向量的估計(jì)，是對(duì)系統(tǒng)總擾動(dòng)的估計(jì)。

設(shè)計(jì)ESO如下：

（28）

式中 為觀測(cè)誤差；為非線性函數(shù)向量，為非線性狀態(tài)觀測(cè)器的核心部分；，為非線性函數(shù)參數(shù)，在式（28）中有不同取值，分別取值和，分別取值和；為控制力增差矩陣；為觀測(cè)器濾波系數(shù)。通過仿真發(fā)現(xiàn)，對(duì)于低階系統(tǒng)，的選取按照菲波那契數(shù)列可以獲得較好的觀測(cè)效果［19］，參數(shù)選取如下：

（29）

非線性函數(shù)向量可以表示為：

（30）

式中 元素為特殊構(gòu)造的非線性函數(shù)，遵循“小誤差，大增益；大誤差，小增益”的原則［15］，這種設(shè)計(jì)使其在處理系統(tǒng)模型不確定性和內(nèi)外干擾時(shí)表現(xiàn)出色。傳統(tǒng)函數(shù)表達(dá)式為：

（31）

式中 決定函數(shù)的線性長(zhǎng)度，，越大，線性區(qū)間越長(zhǎng)；決定函數(shù)的線性區(qū)間長(zhǎng)度。

然而，由式（31）可知，函數(shù)在時(shí)雖連續(xù)，但其對(duì)誤差e的導(dǎo)數(shù)突變，容易引起振蕩；且時(shí)，系統(tǒng)增益仍可能很大，不滿足“大誤差，小增益”的原則。本節(jié)基于三角函數(shù)和冪函數(shù)組合擬合函數(shù)，提出新型fal函數(shù)，即函數(shù)，如下式所示：

（32）

式中 為增益系數(shù)；為防止誤差較大時(shí)fal函數(shù)增益過大而引入的限制量，。

圖3和4為fal函數(shù)和函數(shù)的性能對(duì)比曲線，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)可實(shí)現(xiàn)曲線連續(xù)可導(dǎo)，避免振蕩。本節(jié)采用函數(shù)設(shè)計(jì)MESO，實(shí)現(xiàn)對(duì)干擾力的估計(jì)后，即可計(jì)算干擾補(bǔ)償力矩：

3 柔性機(jī)械臂仿真試驗(yàn)

為了驗(yàn)證所提控制策略的有效性，對(duì)柔性機(jī)械臂的混合控制進(jìn)行了一系列仿真試驗(yàn)。雙臂桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)參數(shù)如表1所示。

設(shè)置柔性機(jī)械臂兩關(guān)節(jié)的期望運(yùn)動(dòng)軌跡如下：

（34）

式中 和分別為機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)的開始時(shí)間和結(jié)束時(shí)間；和分別關(guān)節(jié)的初始角度和最終角度。

3.1 算例1：機(jī)械臂模型參數(shù)突變振動(dòng)控制

機(jī)械臂在執(zhí)行抓取任務(wù)的過程中，包含被抓取物在內(nèi)的機(jī)械臂系統(tǒng)參數(shù)會(huì)發(fā)生劇烈變化，這給基于模型的控制算法帶來了諸多不便。而本文提出的基于無模型的聯(lián)合控制方法在處理這類問題時(shí)具有很大優(yōu)勢(shì)。在15 s時(shí)，機(jī)械臂抓取物體質(zhì)量為1.5 kg。抓取后，機(jī)械臂系統(tǒng)質(zhì)量參數(shù)發(fā)生突變。本節(jié)通過以下3組試驗(yàn)來體現(xiàn)本文所提出的混合控制器的控制效果：（1）僅有基于PD控制的關(guān)節(jié)軌跡跟蹤，無振動(dòng)控制算法；（2）基于PD控制的關(guān)節(jié)軌跡跟蹤控制和LQR振動(dòng)控制的混合控制算法（PD+LQR）；（3）基于MESO干擾觀測(cè)器的PD控制和MFAC振動(dòng)控制混合控制（PD+MESO?MFAC）。3種算法具有相同PD控制參數(shù)。LQR控制算法選取原則：控制輸入加權(quán)矩陣的值適當(dāng)取小，狀態(tài)加權(quán)矩陣Q適當(dāng)取大，在保證響應(yīng)速度的同時(shí)可以避免響應(yīng)波動(dòng)過大［20］。MFAC控制參數(shù)參考文獻(xiàn)［13］選?。籑ESO參數(shù)按照式（31）以及參考文獻(xiàn)［19］選取。在滿足上述依據(jù)的前提下，對(duì)3種控制算法參數(shù)進(jìn)行了調(diào)試，以確?？刂菩Ч顑?yōu)?？刂茀?shù)設(shè)置如表2所示。

圖5和6為柔性機(jī)械臂桿末端振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果。由圖可知，PD+LQR算法和PD+MESO?MFAC算法都在不同程度上實(shí)現(xiàn)了振動(dòng)的有效抑制。然而，當(dāng)系統(tǒng)在15 s發(fā)生模型參數(shù)突變后，由于基于模型的PD+LQR算法無法實(shí)時(shí)跟蹤系統(tǒng)參數(shù)，導(dǎo)致其振動(dòng)抑制效果大打折扣。而PD+MESO?MFAC算法對(duì)參數(shù)突變具有很強(qiáng)的適應(yīng)性，在參數(shù)突變發(fā)生后可以穩(wěn)定保持其振動(dòng)抑制效果。圖5（b），6（b）為振動(dòng)頻率分析結(jié)果，可以看出，參數(shù)突變前臂桿1（1.3 Hz）、臂桿2（3.2 Hz）的振動(dòng)都得到了有效的抑制。慣性參數(shù)突變后，臂桿1和2的固有頻率分別降低為0.36 Hz和0.39 Hz（見圖5（b）和6（b）虛線框），結(jié)構(gòu)柔性進(jìn)一步增強(qiáng)，但PD+MESO?MFAC算法的抑振效果基本不受干擾影響，表現(xiàn)出很強(qiáng)的魯棒性。

3.2 算例2：機(jī)械臂干擾力突變振動(dòng)控制

機(jī)械臂在任務(wù)過程中受到干擾力的作用，會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)振動(dòng)增強(qiáng)。本節(jié)通過以下4組試驗(yàn)驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)算法在不同干擾力作用下的振動(dòng)控制效果：（1）僅有基于PD控制的關(guān)節(jié)軌跡跟蹤，無振動(dòng)控制算法；（2）基于PD控制的關(guān)節(jié)軌跡跟蹤控制和MFAC振動(dòng)控制的混合控制算法（PD+MFAC）；（3）基于ESO干擾觀測(cè)器的PD控制和MFAC振動(dòng)控制混合控制（PD+ESO?MFAC）。（4）基于MESO干擾觀測(cè)器的PD控制和MFAC振動(dòng)控制混合控制（PD+MESO?MFAC）。

為驗(yàn)證所提出算法的抗擾動(dòng)性，設(shè)置柔性機(jī)械臂在不同類型和不同幅值干擾作用下（見表3）的干擾觀測(cè)和振動(dòng)抑制效果。

4種算法具有相同PD控制參數(shù)，MFAC控制參數(shù)和ESO參數(shù)選取原則與3.1節(jié)一致，控制參數(shù)設(shè)置如表4所示。

如圖7所示，無論關(guān)節(jié)1還是關(guān)節(jié)2，ESO和MESO算法均能有效估計(jì)外部干擾。ESO算法在干擾力突變時(shí)刻具有較大的估計(jì)超調(diào)量，尤其對(duì)于大幅值干擾力更為明顯。相對(duì)而言，MESO快速收斂且無超調(diào)，表現(xiàn)出更好的估計(jì)穩(wěn)定性。由表5可知，在不同類型干擾突變時(shí)刻，MESO干擾估計(jì)準(zhǔn)確率具有明顯優(yōu)勢(shì)，平均辨識(shí)精度達(dá)到94%。并且隨著控制系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，干擾估計(jì)的準(zhǔn)確率進(jìn)一步提升。

圖8和9為柔性機(jī)械臂桿末端振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果。由圖可知，僅僅依賴于軌跡跟蹤的PD控制，柔性臂桿的振動(dòng)抑制速度很慢。尤其是在受到外部干擾時(shí)，臂桿振動(dòng)會(huì)進(jìn)一步被激發(fā)。采用PD+MFAC算法進(jìn)行振動(dòng)抑制后，柔性臂桿振動(dòng)可以被有效地抑制，但受突變干擾力影響明顯。采用PD+ESO?MFAC算法時(shí)，即使系統(tǒng)受到不同類型的突變干擾，振動(dòng)依然得到了有效抑制，說明ESO對(duì)外部干擾進(jìn)行有效估計(jì)并進(jìn)行力矩補(bǔ)償后，干擾對(duì)控制系統(tǒng)的影響被削弱。由于本文提出MESO算法對(duì)不同干擾力具有更加有效的估計(jì)能力，PD+MESO?MFAC算法表現(xiàn)出更強(qiáng)的魯棒性。由圖8（b），9（b）振動(dòng)的頻率分析結(jié)果可以看出，本文提出的PD+MESO?MFAC算法相較于PD+MFAC算法和PD+ESO?MFAC算法，減振效果大大提高（見表6）。

4 結(jié) 論

考慮到柔性機(jī)械臂精確，模型參數(shù)獲取不易，且在控制過程中容易受到外界干擾力。本文提出了一種基于MESO的無模型混合控制方法，用于柔性機(jī)械臂軌跡跟蹤和振動(dòng)控制。所提方法的優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)在以下方面：

（1）與基于精確模型參數(shù)的控制方法相比，所提方法對(duì)模型參數(shù)的精度要求不高。

（2）通過構(gòu)造新型fal函數(shù)，提出MESO算法，對(duì)未知?jiǎng)討B(tài)干擾進(jìn)行更加有效估計(jì)，干擾力估計(jì)準(zhǔn)確率達(dá)94%以上。

（3）與傳統(tǒng)MFAC算法相比，所提算法對(duì)未知突變干擾下的柔性機(jī)械臂具有良好的振動(dòng)控制效果，系統(tǒng)魯棒性強(qiáng)。

綜上所述，所提出的混合控制策略不僅保證了柔性機(jī)械臂較高的軌跡跟蹤精度，而且快速降低了柔性臂桿的振動(dòng)，顯著提高了柔性機(jī)械臂的工作效率。

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Disturb force observation and model-free vibration control of flexible manipulator

Pu Yu-xue1，2，Gu Yan1，ZHANG Chong-feng3，Zou Huai-wu3

（1.College of Civil Engineering，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China； 2.Anhui Key Laboratory of Civil Engineering Structures and Materials，Hefei 230009，China； 3.National Key Laboratory of Aerospace Mechanism，Shanghai 201108，China）

Abstract： In order to suppress the nonlinear vibration during the motion of a flexible manipulator，a model-free hybrid control strategy of trajectory tracking and vibration suppression based on a novel online observation of disturb forces is proposed. The Lagrange equation and singular perturbation method are employed to model and decouple the dynamics of the manipulator，which are decomposed into a slow subsystem representing rigid motion and a fast subsystem representing flexible vibration. Considering the complexity of modeling and uncertainty of model parameters，PD control method is adopted to realize trajectory tracking，and model-free adaptive control algorithm is proposed to realize nonlinear vibration control of flexible links. To solve the control divergence problem caused by unknown external disturb forces，a modified extended state observer is proposed to online estimate and real-time compensate the disturb force，which can improve the convergence performance of model-free vibration control algorithm effectively. The simulation results show that the proposed method can effectively suppress the vibration of the flexible manipulator in the presence of disturb force，and has good dynamic performance and robustness.

Key words： flexible manipulator；vibration control；model free adaptive control；disturb observer

作者簡(jiǎn)介： 浦玉學(xué)（1987―），男，博士，副教授。E-mail： puyuxue@hfut.edu.cn。

通訊作者： 張崇峰（1968―），男，博士，教授。E-mail： robot_zcf@126.com。