摘要： 霍普金森壓桿（split Hopkinson pressure bar，SHPB）實驗中試件的應力不均勻?qū)?應變曲線的彈性階段有顯著影響，而彈性階段是研究混凝土等低聲速材料或高應變率加載條件下某些金屬材料的關鍵。針對一維桿系統(tǒng)，利用一維彈性增量波理論，推導了線性入射波作用時應力應變和楊氏模量的解析式，研究了試件兩端應力差和速度差對試件彈性階段曲線及楊氏模量準確性的影響；進一步給出了任意形狀入射波作用下試件彈性階段曲線和切線楊氏模量的求解方法，分析了入射波斜率和形狀特征對試件應力均勻性及曲線的影響。結(jié)果表明：試件彈性階段曲線及楊氏模量的準確性與試件兩端應力差的變化趨勢有關，但并不完全依賴試件兩端應力差，與入射波斜率、形狀特征以及試件屈服強度等因素耦合相關；線性加載波斜率增大，切線模量和割線模量與實際值的差異均增大，在斜率較大時，割線模量的準確性要高于切線模量；入射波形狀以正弦波為參考，曲線的初始斜率低時，切線模量的準確性高于割線模量，曲線的初始斜率高時則相反。

關鍵詞： SHPB；楊氏模量；應力均勻性；應力波

中圖分類號： O347.4 國標學科代碼： 13015 文獻標志碼： A

分離式霍普金森壓桿（split Hopkinson pressure bar， SHPB）被廣泛應用于材料高應變率下的壓縮力學性能測試[1]，其原理建立在一維應力波假設和應力均勻假設的基礎之上，一維應力波假設忽略彌散效應，可以通過一維彈性波理論來分析問題；而應力均勻假設則將材料的結(jié)構(gòu)慣性效應與應變率效應進行解耦，便于研究所關注材料的應變率效應[2]。通常情況下，應力波彌散效應發(fā)生在彈性桿中，僅涉及彈性波理論，且可通過控制方程進行初步校正[3-4]。與之相比，應力不均勻則對SHPB 實驗有著更加嚴格的限制：一方面，應力不均勻限制了所獲得材料的應變率上限，另一方面，也影響了通過實驗獲取的有效數(shù)據(jù)的范圍。一般而言，當入射波足夠陡峭時，試件到達屈服強度的時間較短，此時試件彈性階段的應力應變不準確，因此，通常學者們不關注SHPB 實驗中材料的彈性階段[5]。然而，仍有部分研究[6-8] 忽略材料彈性階段的應力不均勻性，認為SHPB 實驗給出的彈性階段曲線是準確的，或進一步給出其材料黏彈性特征[9-10]。其次，對于如混凝土、巖石等試件尺寸較大、聲速較低的材料，通常在彈性階段即發(fā)生碎裂[6]，甚至金屬材料在高應變率加載時，其屈服點也很可能處于應力不均勻區(qū)，因而研究試件應力不均勻性對彈性階段應力-應變曲線的影響[11] 是非常必要的。許多研究針對SHPB 實驗中的應力均勻性問題，使用理論或數(shù)值仿真方法分析了應力均勻性的影響因素，并給出了相應的改進措施[12-14]；另有一些研究分析了應力均勻性對SHPB 實驗結(jié)果的影響規(guī)律[15]，但均未闡明應力均勻性與應力-應變曲線的內(nèi)在聯(lián)系與影響機理。

事實上，材料結(jié)構(gòu)慣性效應（即應力波效應）導致的應力不均勻在SHPB 實驗中是客觀存在的，試件在加載過程中的應力-應變關系本身也并無錯誤，僅僅是因為我們使用了應力均勻這一假設，從而導致認為獲得的應力-應變曲線是不準確的。因此，若要確保SHPB 實驗結(jié)果更具科學準確性，或利用SHPB 實驗獲取材料動態(tài)加載下的彈性階段曲線，不應僅試圖通過改善試件的應力均勻性[16] 來達成，而應建立應力均勻性與實驗應力-應變曲線的內(nèi)在聯(lián)系。本文中將在一維應力波假設的前提下，考慮材料的結(jié)構(gòu)慣性效應，利用應力波理論定量分析試件的應力-應變曲線以及應力波效應對應力-應變曲線的影響，建立應力均勻性與應力-應變曲線的關系，給出不同入射波對試件彈性階段曲線以及楊氏模量的影響；分析并得到切線模量和割線模量的相對準確值及適用條件，以期從試件的應力-應變關系中解耦出結(jié)構(gòu)效應的影響，從而獲得材料本身準確的應力-應變曲線，為后續(xù)SHPB 實驗中楊氏模量準確性的分析以及實驗設計提供參考。

1 典型SHPB 試驗數(shù)值模擬

使用ABAQUS 有限元軟件對鋁合金試件的SHPB 實驗進行數(shù)值模擬， SHPB 實驗的二維軸對稱有限元模型如圖1 所示，其中入射桿和透射桿材料均為鋼，直徑為14.5 mm，密度為7 830 kg/m3，楊氏模量為210 GPa，泊松比為0.29；入射桿和透射桿長度分別為2.0 和1.5 m。試件材料為鋁合金，直徑為10 mm，長度為5 mm，密度為2.7 g/cm3，楊氏模量為70 GPa，泊松比為0.33。由于本文的主要關注點在試件的彈性變形階段，因此將鋁合金材料的本構(gòu)模型簡化為雙線性等向硬化塑性模型，如圖2 所示。為了減少計算量，采用二維軸對稱模型進行數(shù)值仿真，網(wǎng)格尺寸為0.25 mm，入射桿與試件、試件與透射桿之間均建立面-面接觸。由于在實際實驗過程中試件與桿之間會添加潤滑劑，因此將摩擦因數(shù)設為0.05。以上參數(shù)的準確性與數(shù)值模擬的有效性均已經(jīng)過驗證[17]。為了更接近實驗的實際波形，將實驗中采集到的入射波電信號轉(zhuǎn)換為應力信號后直接施加在入射桿端面，如圖1 所示。

圖3 為鋁合金SHPB 實驗中的實際入射波。根據(jù)鋁合金屈服強度和試件與桿的橫截面面積之比，可以近似估算出屈服強度對應的入射波強度，以該段入射波作為參考，最終仿真輸入的入射波如圖4 所示，圖中紅色上升沿斜率與圖3 中實際入射波形對應。為了研究加載應變率對試件彈性階段的影響，在保證入射波應力平臺不變的情況下，改變其線性段加載時長，設置1、8、80 μs 三種不同上升沿時長的入射波。

圖5 和圖6 分別為根據(jù)仿真波形結(jié)果求得的不同時長上升沿的線性入射波作用下試件應力-應變曲線的彈性階段。從圖中可以看出，無論是“三波法”還是“二波法”，計算出的彈性階段曲線與理論曲線差異均較大，且增大或減小入射波上升沿時長均無法得出準確的楊氏模量。

定義應力-應變曲線在屈服應變之前部分的擬合斜率為擬合模量，屈服應變點與原點連線的斜率為割線模量，可進一步給出不同入射波上升沿時長下應力-應變曲線的擬合模量和割線模量，如圖7 所示，從圖中可以看出，“三波法”和“二波法”得出的楊氏模量均小于實際輸入值70 GPa，且并無明顯規(guī)律。另外，從圖5 中還可以看出，隨著上升沿時長的減小，應力-應變曲線更加彎曲，出現(xiàn)了唯象的“黏性效應”。以上分析表明，當前使用SHPB 裝置進行材料楊氏模量的測定仍缺乏依據(jù)，楊氏模量結(jié)果的準確性仍無法判斷，其次，材料的“黏性效應”也未必是材料力學性能的真實反映，可能是數(shù)據(jù)處理方法、應力不均勻或應力波彌散等導致的。

2 一維應力波條件下SHPB 實驗楊氏模量分析

通過上節(jié)分析可知，在SHPB 實驗條件下，即考慮桿中應力波彌散、端面摩擦效應等時，使用“三波法”和“二波法”測得的試件的楊氏模量都與實際值存在明顯差異。本節(jié)僅針對應力均勻性這一要素，利用應力波理論，結(jié)合數(shù)值仿真，分析一維應力波假設下使用SHPB 裝置測定的試件楊氏模量的準確性及其影響因素。

2.1 線性入射波作用下試件的楊氏模量理論推導與驗證

考慮一個入射桿與透射桿皆為線彈性細長圓桿、緊密接觸等直徑且共軸的線彈性圓柱形試件的理想SHPB 裝置，假定入射桿和透射桿均為鋼材料，楊氏模量為210 GPa，泊松比為0，密度為7.83 g/cm3，直徑為14.5 mm；試件為線彈性材料，楊氏模量為50 GPa，泊松比為0，密度為4.00 g/cm3，直徑為14.5 mm，長度為6 mm。SHPB裝置整體示意圖如圖8 所示。入射波為線性波，峰值應力σ0 為-15 MPa，入射波長度λ（即桿中波速和加載時長的乘積）為800 mm。

若定義

t = nt0 （1）

式中：

t0 =2ls/cs（2）

2.2 線性入射波作用下試件兩端應力差、速度差及應力-應變曲線分析

針對第1 節(jié)中的鋁合金試件，將其考慮為一維應力波條件下的SHPB 試驗，即忽略桿與試件的泊松比，忽略摩擦效應，鋁合金試件直徑為14.5 mm，長度為6 mm，其余材料屬性與第2.1 節(jié)中相同。通過上述分析，分別給出該理想SHPB 實驗在一維應力波條件下理論與仿真得出的“三波法”和“二波法”的應力-應變曲線計算結(jié)果，如圖9 所示?？梢杂嬎愠鐾ㄟ^理論“三波法”和“二波法”得到的彈性階段的楊氏模量分別為69.63 和79.92 GPa，與實際值的相對誤差分別為0.53% 和14.17%；通過數(shù)值模擬“三波法”和“二波法”得到的彈性階段的楊氏模量分別為69.74 和74.00 GPa，與實際值的相對誤差分別為0.37% 和5.40%；可見，即使在理想條件下，“二波法”計算得到的試件的楊氏模量也不準確，這與“二波法”中所用的應力均勻性假設有關；而“三波法”計算的楊氏模量則相對較準確。

根據(jù)式（6）、（13）～（14） 可以得到試件兩端無量綱應力差、速度差與切線模量的時程曲線，如圖10 所示。從圖中可以看出，無論是“三波法”還是“二波法”計算出的切線楊氏模量均隨著無量綱時間的增大而逐漸趨于穩(wěn)定；但不同的是，“二波法”得出的恒定值本身就已偏離實際值，而“三波法”得出的恒定值最終會趨于實際值，因此，只要在材料彈性階段加載的無量綱時間足夠大，即入射波足夠緩，使用“三波法”可以得出相對準確的實驗楊氏模量。另一方面，由于切線楊氏模量是根據(jù)試件兩端平均應力和應變率計算得到的，因此，從圖中可以看出，試件的切線實驗楊氏模量的振蕩與試件兩端無量綱應力差以及速度差的振蕩基本一致。

圖11 給出了采用“三波法”計算出的試件應力-應變曲線以及無量綱時間，從圖中可以看出，曲線的振蕩與試件兩端無量綱應力差以及速度差的振蕩類似，均隨無量綱時間的增大逐漸趨于穩(wěn)定。圖12 給出了采用“三波法”計算得出的切線、擬合、割線模量的無量綱時程曲線，從圖中可以看出，切線模量和割線模量的變化趨勢不同，切線模量在實際值附近上下振蕩，而割線模量僅在實際值上方振蕩，且振蕩幅度與切線模量相比較小。另一方面，切線模量和割線模量較擬合模量趨于穩(wěn)定值所需的無量綱時間要短。若以實際楊氏模量（70 GPa）的0.1% 相對誤差范圍內(nèi)為準確值，切線和割線模量達到準確值所需的無量綱時間分別為2.265 和2.338，而擬合楊氏模量在彈性階段無法達到穩(wěn)定值。

3 入射波對試件彈性變形階段以及楊氏模量的影響分析

當線性入射波斜率足夠小，使得試件在彈性變形階段加載的無量綱時間足夠大，此時通過“三波法”計算出的楊氏模量能夠趨于準確值。這里僅使用“三波法”，通過理論分析入射波斜率和形狀對試件楊氏模量準確性的影響。參考2.1 節(jié)中的材料參數(shù)與線性入射波參數(shù)，以試件材料的楊氏模量為50 GPa、密度為4.00 g/cm3，桿材料的楊氏模量為210 GPa、密度為7.83 g/cm3，線性入射波的波長為800 mm 作用下，無量綱時間為4 時的應變作為試件的近似屈服應變。

3.1 不同斜率線性入射波

圖13（a）為波長分別為800、400、200、100、40 mm 的線性入射波作用下采用“三波法”計算出的彈性段應力-應變理論曲線，圖中豎點線分別對應每條曲線加載時間為0.5 無量綱時間的位置。從圖中可以看出，隨著線性入射波波長逐漸減小，試件的加載應變率逐漸增大，導致試件彈性變形階段所需的無量綱時間縮短，如40 mm 入射波作用下，試件彈性階段的加載時間僅約0.6 無量綱時間，因此試件彈性階段應力-應變曲線的抖動幅度和范圍均增大。圖13（b）為不同波長線性波作用下試件的擬合模量和割線模量，從圖中可以看出，對于較小波長的線性入射波得出的曲線，無論使用擬合楊氏模量或切線割線楊氏模量，均會與實際值產(chǎn)生較大差異，但隨著入射波波長的增大，割線模量會更快地接近實際值。圖中割線模量或擬合模量在小波長時隨波長的增大而出現(xiàn)振蕩的原因，是割線模量或擬合模量是針對整個彈性段曲線來說的，而不同彈性段曲線的終點位置決定了割線模量和擬合模量的值。

線性入射波波長為40、400 和800 mm 時，采用 “三波法”計算得到的切線楊氏模量、試件兩端無量綱應力差和試件兩端質(zhì)點速度差曲線如圖14～15 所示，從圖中可以看出，切線楊氏模量曲線的振蕩幅度隨應變的增大而逐漸減小，在相同應變范圍內(nèi)，入射波波長減小使得試件兩端應力差和質(zhì)點速度差增大，且試件兩端應力差振蕩幅度也增大，導致得出的切線楊氏模量出現(xiàn)不同幅度的振蕩。圖中不同波長得出的切線楊氏模量曲線的每一次轉(zhuǎn)折對應圖14 中應力-應變曲線的一次振蕩，每一次振蕩的時間恰好是應力波在試件中單趟傳播的時間。

在此例中，若以實際楊氏模量50 GPa 的0.1% 相對誤差范圍為準確楊氏模量值，切線模量到達準確值所需的無量綱時間已經(jīng)超過4，而割線模量達到相對準確值時彈性階段應力-應變曲線對應的無量綱時間約為2。另外，從圖12 中可以看出，對于不同波長的入射波，在加載時間為 0.5 無量綱時間的整數(shù)倍位置處，試件的應力應變點與材料的應力應變點重合，此處的切線模量和割線模量均為準確值。

在一維應力波假設條件下，對于線性入射波而言，若入射波斜率足夠小，采用“三波法”可以給出相對準確的楊氏模量。另一方面，若入射波斜率不滿足切線模量達到恒定值的最小斜率[19]，則割線模量可以給出相對更加準確的楊氏模量。以混凝土試件無整形器的SHPB 實驗為例[20]，實驗中入射桿直徑為80 mm，試件長度為35 mm，直徑為70 mm，密度為2 400 kg/m3，楊氏模量為30 GPa，動態(tài)屈服強度約為60 MPa，等效屈服強度為45.9 MPa，入射波斜率為4 MPa/μs，當入射波斜率減小到原來的1/4 時，試件兩端的無量綱應力差峰值減小了75%，切線模量的相對誤差從19.3% 減小到2.3%，割線模量的相對誤差從6.80% 減小到0.26%；這表明，對于混凝土等大尺寸、低聲速試件，未經(jīng)整形片設計所給出的楊氏模量是不準確的。若以實際楊氏模量30 GPa 的1% 相對誤差為臨界值，則切線模量和割線模量到達準確值的最大入射波斜率分別為0.128 和0.319 MPa/μs，另一方面，上述僅是針對特定試件在特定斜率入射波下的分析，根據(jù)前文所述可知，楊氏模量的準確性也與試件的屈服強度相關，同樣，以上述混凝土試件為例，若僅使入射波斜率為1 MPa/μs，無量綱時間在0.5～1.0 之間，即試件屈服強度在67.0～134.0 MPa 之間時，切線模量和割線模量的最大相對誤差分別為32.7% 和 8.4%。

3.2 不同形狀入射波

根據(jù)線彈性波的透反射理論與線性疊加原理，可以推導出任意入射波形作用下試件兩端無量綱應力與無量綱時間關系的表達式：

由于式（16）～（19）給出的表達式均是遞推疊加形式，在n 未確定時難以給出其簡化表達式，因此計算任意形狀入射波作用下試件的實驗楊氏模量以及應力-應變曲線時，利用式（16）～（19）直接在程序中給出其最終曲線。

仍以試件材料楊氏模量為50 GPa、密度為4.00 g/cm3，桿材料楊氏模量為210 GPa、密度7.83 g/cm3，線性入射波波長為800 mm 作用下，無量綱時間為4 時的應變作為試件的近似屈服應變，按照此強度和應變換算后的應力峰值和波長分別為1.32 MPa 和70.31 mm。將弧形波簡化為正弦曲線，如圖16 所示。

根據(jù)遞推公式特性，分別給出相同應力峰值、上升沿無量綱時間為4 和1 時，入射波為線性波和正弦波時所得出的應力-應變曲線和切線模量曲線，如圖17 所示。從圖17 中可以看出，相較于線性入射波，正弦入射波的應力-應變曲線起始階段抖動不明顯，切線模量趨于穩(wěn)定值的時間從圖17（b）中來看也相對更短。但也由于正弦波斜率逐漸增大的特點，與線性入射波相比，穩(wěn)定階段的切線模量與實際值差異較大，在無量綱時間為4 的入射波作用下，正弦波和線性入射波曲線末端的切線模量分別為49.84 和49.92 GPa，與實際值的相對誤差分別為0.32% 和0.16%；若以試件實際楊氏模量1% 相對誤差范圍為準確值，則正弦波和線性波到達準確值的無量綱時間分別為0.95 和2.50。

為了研究入射波形狀特征對試件實驗楊氏模量的影響，針對正弦入射波，將其等分為4 段，在保證每段波形形狀不變的前提下，將其波長和峰值轉(zhuǎn)換至與初始的正弦波一致，具體波形分段和轉(zhuǎn)換如圖18所示。可以看出，正弦波中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ每一段曲線均在線性波之下，只有Ⅰ段曲線在初始正弦曲線之下；這4 段入射波的斜率均隨著波長逐漸增大，正弦波Ⅳ段已較為接近線性波。

圖19給出了上述6種不同形狀特征的入射波計算出的試件兩端應力差時程曲線，可以看出，在上升沿和峰值一定的情況下，入射波初始斜率越小，試件兩端應力差在初始時刻的振蕩越大；而入射波末段斜率越大，試件兩端應力差在末尾時刻越大。另一方面，從圖中可以看出，Ⅰ段曲線波和初始正弦波得出的試件兩端應力差時程曲線整體呈明顯上升趨勢，而另外4 種曲線表現(xiàn)為由振蕩逐漸趨于平穩(wěn)，可見，入射波形狀特征影響試件兩端應力差的變化特征，不同的曲線波和初始正弦波由于其斜率逐漸增大的特點，導致其得出的試件兩端應力差并不會趨于一個穩(wěn)定值，且斜率變化越大，應力差越無法趨于恒定。

分別給出入射波上升沿時長為4 和1 個無量綱時間時，這4 種入射波作用下試件的應力-應變曲線和切線模量曲線，如圖20～21 所示。從圖中可以看出，在無量綱時間為4 時，4 種入射波得到的應力-應變曲線都較準確，從圖20（b）中可以看出，入射波Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的切線模量曲線較為接近，而入射波Ⅰ的曲線不同于其余3 條曲線在楊氏模量準確值上下振蕩，而是保持在楊氏模量準確值上方振蕩，且從圖中可以看出，振蕩趨于穩(wěn)定的時間明顯小于其余3 條曲線。在無量綱時間為1 時的結(jié)果與無量綱時間為4 時類似，從圖21（a）中可以看出，入射波Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ作用下的應力-應變曲線較為相似，但入射波Ⅰ得出的曲線無明顯轉(zhuǎn)折點，整條應力-應變曲線的斜率呈逐漸減小直至穩(wěn)定的趨勢，如圖21（b）所示。

以初始正弦曲線、正弦曲線的Ⅰ部分和Ⅱ部分作為典型，給出三種波形作用下，無量綱時間為4 時的切線模量和割線模量對比，如圖22 所示。從圖中可以看出，正弦曲線和Ⅰ部分的模量曲線趨勢類似，且此時割線模量趨近于準確值的時間要大于切線模量，而Ⅱ部分的模量曲線則與線性波類似，切線模量的振蕩幅度大于割線模量。結(jié)合圖19 和圖22 來看，切線模量和割線模量的變化趨勢與試件兩端應力差時程曲線的特征相關。

若以試件實際楊氏模量1% 相對誤差范圍為準確值，可以給出圖18（b）中6 種斜率特征入射波作用下試件達到準確的實驗楊氏模量所需的無量綱時間，見圖23?？梢钥闯?，入射波形狀的改變會導致試件的應力-應變以及楊氏模量曲線特征也發(fā)生顯著變化，曲線在初始正弦波越下方，即曲線的初始斜率越低，切線模量和割線模量曲線的振蕩越不明顯，且此時切線模量的準確性要高于割線模量。而若曲線在初始正弦波上方，即曲線的初始斜率較高，則切線模量和割線模量曲線的振蕩越明顯，越接近線性波的結(jié)果，此時割線模量的準確性要高于切線模量。仍以3.1 節(jié)中混凝土試件無整形器的SHPB 實驗為例，入射波形狀分別為等波長和峰值強度的線性入射波和正弦波，其中線性入射波斜率為4 MPa/μs，其余參數(shù)不變，此時正弦波相較線性波得出的試件兩端無量綱應力差提高了12.2%，切線模量的相對誤差分別為6.7%和19.3%，割線模量的相對誤差分別為22.7% 和6.8%，這里也可以看出，楊氏模量的相對準確性和試件兩端應力差相關，但也并不完全依賴試件兩端應力差，而是與入射波斜率、形狀特征等因素耦合相關。

4 結(jié) 論

通過數(shù)值仿真對材料動態(tài)應力-應變曲線中的彈性階段以及楊氏模量進行驗證與分析，證明了在當前實驗條件下，使用SHPB 測定的材料楊氏模量并不一定準確，其次，材料的“黏性效應”也未必是材料力學性能的真實反映。進一步分析在一維應力波條件下SHPB 實驗給出的楊氏模量的準確性以及楊氏模量與應力均勻性、入射波斜率和形狀特征等的關系，得到以下結(jié)論。

（1） 在一維應力波條件下，若入射波斜率足夠小，使得試件在彈性變形階段加載的無量綱時間足夠大，此時通過“三波法”計算出的切線和割線楊氏模量能夠趨于準確值（后續(xù)結(jié)論也均基于“三波法”），且楊氏模量的變化趨勢與試件兩端無量綱應力差相似；但楊氏模量的相對準確性并不完全依賴試件兩端的應力差，而是與入射波斜率、形狀等因素耦合相關。

（2） 線性入射波斜率增大時，試件的加載應變率增大，導致試件彈性變形階段所需的無量綱時間減小，而在無量綱時間較小時，試件兩端的應力差和速度差都處于振蕩階段，使得較小無量綱時間內(nèi)應力-應變曲線的振蕩擴大至整個曲線的彈性階段，表現(xiàn)為試件彈性階段應力-應變曲線的抖動幅度和范圍均增大。若入射波斜率不滿足切線模量達到恒定值的最小斜率，相對切線模量來說，此時割線模量可以給出更加準確的楊氏模量值。針對混凝土試件驗證了入射波斜率對楊氏模量的影響規(guī)律，給出了混凝土試件切線模量和割線模量到達準確值的最大入射波斜率分別為0.128 和0.319 MPa/μs。

（3） 入射波形狀的改變會導致試件兩端的應力差、應力應變以及楊氏模量曲線特征發(fā)生顯著變化，以正弦波為參考，曲線的初始斜率越低，應力-應變曲線以及楊氏模量曲線的振蕩越不明顯，切線模量的準確性要高于割線模量；而若曲線的初始斜率越高，應力-應變曲線以及楊氏模量曲線的振蕩越明顯，此時割線模量的準確性相對更高。以混凝土試件在特定等波長和峰值強度的線性入射波和正弦波作用下為例，正弦波相較于線性波得出的試件兩端無量綱應力差提高了12.2%，切線模量的相對誤差分別為6.7% 和19.3%，割線模量的相對誤差分別為22.7% 和6.8%。

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（責任編輯 曾月蓉）

基金項目： 國家自然科學基金（12172179，11772160，11472008）