摘要： 近年來(lái)，我國(guó)學(xué)者以膜力因子法和飽和分析方法相結(jié)合為理論工具，對(duì)梁、板等結(jié)構(gòu)件在脈沖載荷作用下的塑性大變形行為作了全面深入的研究，為脈沖加載下結(jié)構(gòu)的最終撓度提供了優(yōu)于歷史上各種剛塑性近似解的最佳剛塑性預(yù)測(cè)公式。然而，由于實(shí)際工程應(yīng)用中金屬結(jié)構(gòu)彈塑性動(dòng)力響應(yīng)的復(fù)雜性和數(shù)值模擬的局限性，與考慮材料彈性效應(yīng)的結(jié)果相比，剛塑性解對(duì)脈沖加載下結(jié)構(gòu)所預(yù)測(cè)的最終撓度的誤差有多大，是一個(gè)亟待解決的關(guān)鍵問(wèn)題。對(duì)這個(gè)問(wèn)題的首階段研究成果厘清了材料彈性對(duì)脈沖加載下結(jié)構(gòu)塑性動(dòng)態(tài)大變形的影響，定量評(píng)估了由最佳剛塑性理論解與彈塑性數(shù)值模擬得到的最終撓度預(yù)測(cè)結(jié)果之間的差異。在此基礎(chǔ)上，提出了補(bǔ)償彈性效應(yīng)的策略和方法，即：在已有的最佳剛塑性解預(yù)測(cè)的撓度基礎(chǔ)上添加一個(gè)補(bǔ)償項(xiàng)，將補(bǔ)償項(xiàng)表達(dá)為脈沖載荷強(qiáng)度的效應(yīng)與結(jié)構(gòu)自身剛度的效應(yīng)分離的變量函數(shù)，并盡量減少待定系數(shù)/指數(shù)的數(shù)量，以求表達(dá)式的簡(jiǎn)潔；根據(jù)這些原則在金屬結(jié)構(gòu)的主要工程應(yīng)用領(lǐng)域內(nèi)選定結(jié)構(gòu)剛度和外載參數(shù)的變化范圍，對(duì)固支梁和固支方板的案例實(shí)施擬合與補(bǔ)償，最后得到了對(duì)梁和板增添補(bǔ)償項(xiàng)后的簡(jiǎn)單而實(shí)用的最終撓度預(yù)測(cè)公式，其相對(duì)誤差在3% 的范圍之內(nèi)，很適合工程設(shè)計(jì)應(yīng)用。文末列表給出了符號(hào)與公式的一覽，并對(duì)梁和方板的結(jié)果作了綜合和比較。

關(guān)鍵詞： 結(jié)構(gòu)塑性動(dòng)力響應(yīng)；脈沖載荷；固支梁和固支方板；彈性效應(yīng)補(bǔ)償；最終撓度的最佳預(yù)測(cè)

中圖分類號(hào)： O383 國(guó)標(biāo)學(xué)科代碼： 13035 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

自20 世紀(jì)50 年代創(chuàng)立結(jié)構(gòu)分析的極限原理以來(lái)，采用極限分析方法評(píng)估各種工程結(jié)構(gòu)在準(zhǔn)靜態(tài)加載下的極限載荷和初始坍塌機(jī)理獲得了廣泛的工程應(yīng)用。對(duì)于在脈沖載荷或撞擊加載下結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，絕大部分理論研究也都是基于理想剛塑性的材料假設(shè)，通過(guò)簡(jiǎn)化理論模型來(lái)獲取解析解或半解析解[1-4]。但是，承受脈沖載荷的金屬結(jié)構(gòu)在變形初期必然要經(jīng)歷彈性變形階段，該階段對(duì)結(jié)構(gòu)的變形機(jī)制和失效模式所產(chǎn)生的影響仍有待驗(yàn)證。對(duì)于脈沖載荷下結(jié)構(gòu)的彈塑性動(dòng)力響應(yīng)目前還沒(méi)有適用的解析方法，而相關(guān)的數(shù)值模擬又難以獲得規(guī)律性的認(rèn)知，因此，定量地評(píng)估剛塑性模型所預(yù)測(cè)的結(jié)構(gòu)最終撓度究竟有多大的誤差，是一項(xiàng)極具理論價(jià)值和實(shí)用意義的工作。

這個(gè)問(wèn)題從1980 年代起就引起了沖擊動(dòng)力學(xué)學(xué)者的注意。Symonds 等[5] 把彈塑性結(jié)構(gòu)看成是一個(gè)由彈簧和質(zhì)量組成的單自由度系統(tǒng)，求解了它在矩形脈沖和其他形狀脈沖作用下的響應(yīng)，對(duì)彈簧剛度無(wú)窮大和剛度為有限值的情形加以比較，從而得出了剛塑性預(yù)測(cè)的位移相對(duì)于彈塑性最終位移的誤差。他們的結(jié)論是，若要?jiǎng)偹苄阅Ｐ蛯?duì)承受脈沖載荷的彈塑性系統(tǒng)的變形作出合理預(yù)測(cè)，需要滿足2 個(gè)條件：（1） 外載做的功顯著大于系統(tǒng)所能儲(chǔ)存的最大彈性能（具體地說(shuō)，如果這二者之比為R，則剛塑性模型預(yù)測(cè)的最終變形的誤差約為1/R）；（2） 外載脈沖持續(xù)的時(shí)長(zhǎng)要顯著小于系統(tǒng)彈性振動(dòng)的基本周期，否則剛塑性模型預(yù)測(cè)變形的誤差可能發(fā)生劇烈波動(dòng)。Yu[6] 對(duì)截至1990 年代初的相關(guān)研究作了評(píng)述。

另外，很多研究都揭示出，結(jié)構(gòu)的大變形行為與單自由度的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)有很大不同。以梁和板這些最基本的結(jié)構(gòu)部件為例，它們?cè)谳^強(qiáng)的動(dòng)載作用下，最大撓度將達(dá)到或超過(guò)自身的厚度，而大撓度誘導(dǎo)產(chǎn)生的軸力/膜力將使它們的承載能力大大增強(qiáng)，因而結(jié)構(gòu)對(duì)外載的抵抗力不能簡(jiǎn)單地用線性彈簧來(lái)表征。在這個(gè)領(lǐng)域內(nèi)，過(guò)去30 年來(lái)發(fā)展起來(lái)的膜力因子法（membrane factor method， MFM）和飽和沖量（saturated impulse）的概念與方法為分析結(jié)構(gòu)大撓度動(dòng)力響應(yīng)提供了強(qiáng)有力的理論工具。

自2016 年以來(lái)，余同希等[7-9] 和朱凌等[10] 充分利用飽和分析與膜力因子法相結(jié)合的理論優(yōu)勢(shì)，對(duì)各種支承條件下的梁、方板、矩形板在脈沖載荷作用下的動(dòng)力行為作了透徹的研究，不但獲得了優(yōu)于前人研究的系統(tǒng)理論成果，而且提供了可為工程設(shè)計(jì)所用的最終撓度預(yù)測(cè)公式。

在上述系列研究成果中，Tian 等分別對(duì)簡(jiǎn)支或固支的梁[11] 以及簡(jiǎn)支或固支的方板[12] 作了完整的大變形動(dòng)力分析。分析采用了膜力因子法，所對(duì)應(yīng)的屈服面精確地反映了彎矩與膜力的相互作用，克服了以往的分析中大都采用方形屈服面只能獲得下限解和上限解的局限性。又由于將膜力因子法和飽和分析的應(yīng)用貫徹到包含瞬態(tài)階段的動(dòng)力響應(yīng)全過(guò)程，所得到的已是在脈沖載荷作用下梁和方板動(dòng)力響應(yīng)的最佳剛塑性解。

但是，隨即需要回答一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題：對(duì)于脈沖載荷作用下的結(jié)構(gòu)，與考慮材料彈性的結(jié)果相比，剛塑性模型所預(yù)測(cè)的最終撓度的誤差有多大？這方面的首階段研究成果[13-14] 的分析方法和主要結(jié)論將在本文中首先概述；在此基礎(chǔ)上，將提出從已有的最佳剛塑性解預(yù)測(cè)的撓度出發(fā)、針對(duì)彈性效應(yīng)作出補(bǔ)償?shù)牟呗?；接著，將厘定擬合與補(bǔ)償?shù)膮?shù)范圍；然后，分別以固支梁和固支方板為案例，經(jīng)過(guò)數(shù)值擬合給出補(bǔ)償項(xiàng)的數(shù)學(xué)形式，同時(shí)給出加入補(bǔ)償項(xiàng)后的最終撓度的預(yù)測(cè)公式及相應(yīng)的誤差范圍，可供工程應(yīng)用；最后，對(duì)理論方法作深入討論，并提出下一步研究的方向。

1 梁和板的塑性動(dòng)力響應(yīng)中的彈性效應(yīng)概述

Hu 等[13] 為了定量評(píng)估梁動(dòng)力響應(yīng)中的彈性效應(yīng)，首先考慮了梁在矩形脈沖載荷作用下的極限狀態(tài)，如圖1 所示，將發(fā)生大撓度的梁視為一根發(fā)生大變形的塑性弦。

參照這樣的極限狀態(tài)，對(duì)能量比R≡Up/Uemax（塑性功Up與結(jié)構(gòu)所能存儲(chǔ)的最大彈性應(yīng)變能Uemax的比值）和特征時(shí)間比τ*≡tT/Te（脈沖時(shí)長(zhǎng)tT 與結(jié)構(gòu)基本振動(dòng)周期Te 的比值）作出準(zhǔn)確的定義。然后，將剛塑性解預(yù)測(cè)的最終撓度與有限元法模擬得到的彈塑性最終撓度之間的相對(duì)差異定義為最終撓度預(yù)測(cè)的相對(duì)偏差Dη，即：

Dη =ηrpf-ηepf/ηepf（1）

式中：ηrpf為剛塑性解預(yù)測(cè)的最終撓度，其上標(biāo)rp 代表剛塑性解，下標(biāo)f 表示為最終值，也是飽和值；ηepf為有限元法模擬得到的彈塑性最終撓度，其上標(biāo)ep 代表彈塑性解。

分析計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，Dη 與能量比R 之間的關(guān)聯(lián)如圖2[13] 所示。值得注意的是，對(duì)于簡(jiǎn)支梁和固支梁，最終撓度的相對(duì)偏差Dη 的絕對(duì)值可以分別以1/（3R） 和1/（2R） 作為上界，這顯著地小于從單自由度系統(tǒng)得出的1/R。對(duì)于大多數(shù)工程應(yīng)用的情況，最終撓度剛塑性預(yù)測(cè)的相對(duì)偏差將保持在10% 以內(nèi)。同時(shí)，由于飽和沖量現(xiàn)象的存在，“外載脈沖的時(shí)長(zhǎng)tT 要顯著小于結(jié)構(gòu)振動(dòng)的基本周期Te”這一先前的結(jié)論也不再構(gòu)成對(duì)梁的剛塑性解的適用性的限制。這2 條新結(jié)論都顛覆了業(yè)界過(guò)往的認(rèn)知。

Hu 等[14] 將結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)中彈性效應(yīng)的研究拓展到二維結(jié)構(gòu)部件，把發(fā)生大撓度的方板的極限狀態(tài)視作一塊塑性膜，計(jì)及膜力和彎矩對(duì)能量耗散的影響，定義了能量比R 和特征時(shí)間比τ*，揭示了它們同最終撓度的相對(duì)偏差Dη 的關(guān)聯(lián)。同時(shí)為便于工程應(yīng)用，也可以將最終撓度的相對(duì)偏差Dη 隨無(wú)量綱載荷幅值λ≡p0/pY（定義為矩形脈沖的載荷幅值p0 與準(zhǔn)靜態(tài)坍塌載荷pY 之比）的變化直接表達(dá)出來(lái)，如圖3 所示。與梁的情形相同，由于飽和沖量現(xiàn)象的存在，“外載脈沖的時(shí)長(zhǎng)要顯著小于結(jié)構(gòu)振動(dòng)的基本周期”這一先前的結(jié)論也不再構(gòu)成對(duì)方板的剛塑性解的適用性的限制。

Hu 等[14] 還對(duì)梁和方板的彈性效應(yīng)作了比較。如圖3 所示，板的彈性效應(yīng)要比梁的更顯著，因此在工程設(shè)計(jì)中采用剛塑性預(yù)測(cè)最終變形時(shí)需要進(jìn)行補(bǔ)償，這正是本文的主題。另一個(gè)關(guān)鍵的發(fā)現(xiàn)是，各種情形下的撓度預(yù)測(cè)的相對(duì)偏差都同一個(gè)無(wú)量綱參數(shù)ζ 相關(guān)，它代表了將材料性質(zhì)與結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)揉合在一起的結(jié)構(gòu)剛度。對(duì)于梁和方板，這個(gè)結(jié)構(gòu)剛度參數(shù)分別為：

式中：E、μ 和Y 分別為材料的楊氏模量、泊松比和屈服應(yīng)力；對(duì)于梁，h 和L 分別代表厚度和半長(zhǎng)；對(duì)于方板，h 和a 分別代表板厚和半邊長(zhǎng)。如果一根梁的長(zhǎng)度同一塊方板的邊長(zhǎng)相等，而其他參數(shù)相同，從式（2）和（3） 可知，當(dāng)材料的泊松比μ=0.30 時(shí)，ζplate 比ζbeam 要大20% 左右。

圖4 展示了當(dāng)E/Y=1 000 及a/h=45 時(shí)，不同泊松比下固支方板剛塑性解預(yù)測(cè)的最終撓度的相對(duì)偏差隨無(wú)量綱載荷幅值λ 的變化關(guān)系。從圖4 可以看出，對(duì)于泊松比μ=0.15， 0.30， 0.45，3 條最終撓度相對(duì)偏差曲線之間存在差異，隨著泊松比μ 的增大，最終撓度的相對(duì)偏差減小，表明泊松比μ 對(duì)方板的彈性效應(yīng)存在一定影響。需要說(shuō)明的是，由于μ=0.15， 0.30， 0.45 時(shí)，本例中的ζplate 分別為0.762， 0.840 和0.948，相互較接近，因此3 條偏差曲線間的差異較小，這符合Hu 等[14] 給出的固支方板最終撓度相對(duì)偏差隨ζplate 的變化規(guī)律。

綜上所述，Hu 等[13-14] 分別對(duì)梁和方板這2 種典型的構(gòu)件，定量地評(píng)估了由最佳的剛塑性理論分析與彈塑性數(shù)值模擬得到的最終撓度預(yù)測(cè)結(jié)果之間的相對(duì)偏差，厘清了彈性效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)塑性動(dòng)力響應(yīng)的影響，闡明了剛塑性理論模型在實(shí)際工程應(yīng)用中的適用性。這些結(jié)果不但刷新了對(duì)結(jié)構(gòu)沖擊動(dòng)力學(xué)一些基本問(wèn)題的認(rèn)知，而且可以有望推進(jìn)相應(yīng)理論結(jié)果的工程應(yīng)用。

2 對(duì)剛塑性模型預(yù)測(cè)撓度的補(bǔ)償策略

在引言中已經(jīng)提到，Tian 等[11] 采用將膜力因子法與飽和分析結(jié)合起來(lái)的方法，得出了剛塑性簡(jiǎn)支和固支梁在均布矩形脈沖作用下的完全解，包括得到了飽和撓度（同時(shí)也是剛塑性意義下的最終撓度和最大撓度）、飽和時(shí)間和飽和沖量。由于采用了精確屈服面，并考慮了瞬態(tài)響應(yīng)階段，所以這個(gè)剛塑性解是優(yōu)于先前任何剛塑性解的最佳解。Tian 等[12] 把這套分析方法推廣到方板，同樣獲得了剛塑性的最佳解。

Tian 等[11-12] 的一個(gè)重要發(fā)現(xiàn)是，當(dāng)脈沖幅值較大時(shí)，梁和方板的無(wú)量綱最終撓度與無(wú)量綱脈沖幅值之間呈現(xiàn)線性關(guān)系。這里的無(wú)量綱最終撓度定義為梁/板中點(diǎn)的最終撓度w0f 除以梁/板的厚度h，即ηf≡ w0f=h；而無(wú)量綱脈沖幅值定義為矩形脈沖壓力的幅值 除以梁/板的準(zhǔn)靜態(tài)坍塌壓力pY，即λ≡p0/pY。

根據(jù)Tian 等[11] 的結(jié)果，采用無(wú)量綱脈沖幅值λ（它與Tian 等[11] 采用的p0之間的關(guān)系是：對(duì)于固支梁λ= p0/4，對(duì)于簡(jiǎn)支梁λ=p0/2圖5（a） 顯示了梁在矩形脈沖作用下載荷與最終撓度之間的關(guān)系。當(dāng)對(duì)于固支梁和簡(jiǎn)支梁的λλ≥3時(shí)，ηf與λ 之間的關(guān)系可以用以下直線擬合：

ηrpf = C1λ-Cb （4）

對(duì)于固支梁，式（4） 中的C1 和Cb 分別取為1.10 和0.414；對(duì)于簡(jiǎn)支梁，C1 和Cb 分別取為0.55 和0.183。

類似地，根據(jù)Tian 等[12] 的結(jié)果，采用無(wú)量綱脈沖幅值λ（它與Tian 等[12] 采用的p0 之間的關(guān)系是：對(duì)于固支方板λ=p0/12，對(duì)于簡(jiǎn)支方板λ=p0/6），圖5（b） 顯示了方板在矩形脈沖作用下載荷與最終撓度之間的關(guān)系。當(dāng)對(duì)于固支方板和簡(jiǎn)支方板的λ≥2 時(shí)，ηf與λ 之間的關(guān)系可以用以下直線擬合：

ηrpf = C2λ-Cp （5）

對(duì)于固支方板，式（5） 中的C2 和Cp 分別取為2.16 和1.456。對(duì)于簡(jiǎn)支方板，C2 和Cp 分別取為1.08和0.374。

另一方面，如同第1 節(jié)中介紹的，也采用有限元方法對(duì)梁和方板對(duì)矩形脈沖的動(dòng)力響應(yīng)作了彈塑性模擬，從而得到了梁/板中點(diǎn)在各種條件下的最終撓度ηepf。

值得注意的是，式（4）～（5） 中的ηrpf都僅僅與無(wú)量綱載荷參數(shù)λ 有關(guān)；但將ηrpf同有限元模擬得出的ηepf相比較時(shí)，Hu 等[13-14] 發(fā)現(xiàn)二者之差Δη≡ηepf-ηrpf與2 個(gè)參數(shù)相關(guān)：一個(gè)仍是無(wú)量綱載荷參數(shù)λ，另一個(gè)是結(jié)構(gòu)剛度參數(shù)ζ，對(duì)于梁和方板分別由前面的式（2） 和式（3） 給出。注意，這里所說(shuō)的Δη是絕對(duì)偏差，不同于式（1） 定義的相對(duì)偏差。

依據(jù)上述分析，本文中提出的策略是將梁或板的最終撓度的最佳預(yù)測(cè)η*f表示為2 項(xiàng)之和，即：

η*f = ηrpf （λ）+Δ*η（λ，ζ） （6）

式中：ηrpf （λ）采用已有的結(jié)果，即式（4） 和（5），而補(bǔ)償項(xiàng)Δ*η（λ，ζ）來(lái)自對(duì)Δη≡ηepf-ηrpf離散數(shù)據(jù)所作的、用初等函數(shù)表達(dá)的擬合。為了方便工程設(shè)計(jì)估算，我們的目標(biāo)是，擬合時(shí)盡量采用較簡(jiǎn)單的函數(shù)形式和盡量少的待定系數(shù)（或冪指數(shù)），以求表達(dá)式的簡(jiǎn)潔，同時(shí)將梁或板的最終撓度的最佳預(yù)測(cè)η*f與彈塑性有限元模擬得到的最終位移ηepf的相對(duì)偏差控制在工程應(yīng)用可以接受的3% 之內(nèi)。

3 最終撓度補(bǔ)償?shù)念A(yù)期適用范圍

如同所有的擬合公式一樣，對(duì)最終撓度預(yù)測(cè)的補(bǔ)償所追求的是在某個(gè)參數(shù)域內(nèi)的最優(yōu)。下面將結(jié)合方板的主要工程應(yīng)用領(lǐng)域，來(lái)確定我們需要考慮的參數(shù)域；參照式（6），也就是需要給出λ 和ζ 這2 個(gè)參數(shù)的變化范圍。

在機(jī)械、汽車、航空航天和船舶海洋結(jié)構(gòu)中最常用的金屬材料是低碳鋼和鋁合金。它們的材料性質(zhì)見表1。表2 列出了上述工程領(lǐng)域中金屬板的半邊長(zhǎng)與板厚之比（a/h）的常用范圍?？梢詫⑦@些數(shù)據(jù)代入式（3） 計(jì)算方板的結(jié)構(gòu)剛度ζplate。在5≤a/h≤60 的范圍內(nèi)，ζplate 隨a/h 的變化如圖6 所示。

從圖6 可以看出，隨著a/h 的增大，ζplate 大體上趨近于0.5。因此，對(duì)于最常用到的情形，我們可以按照a/h≥10 的低碳鋼方板和a/h≥5 的6061 鋁合金方板確定ζplate 的取值范圍為0.5≤ζp l a t e≤4。至于梁，適當(dāng)放寬取值范圍到0.5≤ζbeam≤6。

另外，載荷參數(shù)λ 的取值范圍可以簡(jiǎn)單直接地確定。很顯然，λ≡p0/pY≤1屬于低載情形，只產(chǎn)生彈性變形，因而無(wú)須考慮。同時(shí)，從圖5 可以發(fā)現(xiàn)，ηepf與λ 間的線性關(guān)系在λ≡p0/pY≥1.5的范圍內(nèi)都是大致成立的；所以，下面作擬合時(shí)只考慮λ≥1.5。

4 對(duì)剛塑性梁預(yù)測(cè)的撓度的補(bǔ)償

采用第2 節(jié)中設(shè)定的補(bǔ)償策略和第3 節(jié)中給出的參數(shù)ζbeam ≡ h/L根號(hào)下E/Y和λ≡p0/pY的變化范圍，對(duì)承受矩形脈沖的固支梁，按照剛塑性解所預(yù)測(cè)的最終撓度與彈塑性有限元模擬得到的最終撓度之間的絕對(duì)偏差Δη ≡ηepf-ηrpf進(jìn)行擬合，并將擬合得到的、以初等函數(shù)表達(dá)的Δ*η（λ，ζ）作為一個(gè)補(bǔ)償項(xiàng)，對(duì)剛塑性解所預(yù)測(cè)的最終撓度進(jìn)行修正，按式（6） 給出固支梁的最終撓度的最佳預(yù)測(cè)η*f。這一預(yù)測(cè)保證了它同彈塑性模擬得到的最終撓度之間的相對(duì)偏差保持在3% 以內(nèi)，即：

D*η"=η*f-ηepf/ηepf≤3% （7）

為簡(jiǎn)潔起見，本節(jié)中將ζbeam 簡(jiǎn)記為ζ。取補(bǔ)償項(xiàng)Δ*η （λ，ζ）為λ 和ζ 的分離變量函數(shù)，即Δ*η（λ，ζ） = ?（λ）ψ（ζ）；經(jīng)初步擬合之后，發(fā)現(xiàn)可以將ψ（ζ）取為ζ的冪函數(shù)，同時(shí)將 ?（λ）取為λ的一次式。在這些條件下，擬合的結(jié)果為：

Δ*η"= （-0.08λ+0.29）ζ-0.9 （8）

將式（4）、（8）代入式（6），得到補(bǔ)償后固支梁的最終撓度預(yù)測(cè)為：

η*f = 1.10λ-0.414+（-0.08λ+0.29）ζ-0.9 （9）

式（9） 預(yù)測(cè)的最終撓度與彈塑性模擬結(jié)果間的相對(duì)偏差如圖7 所示?？梢钥吹?，它滿足：

D*η"=η*f-ηepf/ηepf≤3%

同彈塑性有限元模擬得到的固支梁最終撓度相比，補(bǔ)償前后的相對(duì)偏差Dη 發(fā)生了顯著的變化，如圖8 所示。很明顯，適當(dāng)?shù)难a(bǔ)償不但使得最終撓度的相對(duì)偏差明顯減小，而且這些偏差都朝著Dη 正值移動(dòng)。這正是我們所希望的，因?yàn)榉?hào)為正的、小的Dη 值意味著把理論預(yù)測(cè)值用于設(shè)計(jì)估算將略偏于安全。

5 對(duì)剛塑性方板預(yù)測(cè)的撓度的補(bǔ)償

采用與第4 節(jié)中對(duì)固支梁最終撓度的補(bǔ)償相類似的方法，將梁的結(jié)構(gòu)剛度ζbeam≡h/L根號(hào)下E/Y替換為板的結(jié)構(gòu)剛度ζbeam≡h/a根號(hào)下E/Y（1-μ），就可以獲得對(duì)固支方板最終撓度的補(bǔ)償結(jié)果。為簡(jiǎn)潔起見，以ζ代表ζplate。

補(bǔ)償方案1。仍取補(bǔ)償項(xiàng)Δ*η （λ，ζ）為λ 和ζ 的分離變量函數(shù)，Δ*η（λ，ζ） = ?（λ）ψ（ζ），其中ψ（ζ）取為ζ 的冪函數(shù)，同時(shí)將?（λ）取為λ 的一次式。在這些條件下，擬合的結(jié)果為：

Δ*η"= （-0.17λ+0.67）ζ-0.4 （10）

將式（5）、（10）代入式（6），得到補(bǔ)償后固支方板的最終撓度預(yù)測(cè)為：

η*f = 2.160λ-1.456+（-0.17λ+0.67）ζ-0.4 （11）

式（11） 預(yù)測(cè)的最終撓度與彈塑性模擬結(jié)果間的相對(duì)偏差如圖9 所示?？梢钥吹剑木_度稍低，只在3.5% 范圍之內(nèi)。

鑒于補(bǔ)償方案1 的相對(duì)偏差Dη 大于預(yù)設(shè)的3%，為了減小相對(duì)偏差Dη，在補(bǔ)償方案2 中，仍然取分離變量的擬合函數(shù) Δ*η（λ，ζ） = ?（λ）ψ （ζ），其中的 ψ （ζ）"取為ζ 的冪函數(shù)，但將 ?（λ）取為λ 的二次式。在這些條件下，擬合的結(jié)果為：

Δ*η"= （0.03λ2 -0.33λ+0：85）ζ-0.4 （12）

將式（5）、（12）代入式（6），得到補(bǔ)償后的最終撓度預(yù)測(cè)為：

η*f = 2.160λ-1.456+（0.03λ2 -0.33λ+0.85）ζ-0.4 （13）

式（13） 預(yù)測(cè)的最終撓度與彈塑性模擬結(jié)果間的相對(duì)偏差如圖10 所示?？梢钥吹剑鼭M足：

D*η"=η*f-ηepf/ηepf≤3%

6 討論與結(jié)語(yǔ)

針對(duì)脈沖載荷作用下梁和方板的最終撓度預(yù)測(cè)，為了對(duì)彈性效應(yīng)引起的偏差進(jìn)行擬合與補(bǔ)償，強(qiáng)調(diào)了必須采用最佳的剛塑性動(dòng)力學(xué)解來(lái)同有限元模擬結(jié)果比較。這是因?yàn)椋瑪?shù)十年來(lái)，對(duì)梁、板等結(jié)構(gòu)已經(jīng)構(gòu)建出了多種多樣的剛塑性近似解，雖然它們也能對(duì)結(jié)構(gòu)的最終變形作出估計(jì)，但是由于這些解采用了多種近似假定，它們對(duì)最終變形的預(yù)測(cè)包含了各種原因引起的誤差，除彈性效應(yīng)引起的誤差外，還可能有來(lái)自近似屈服條件或忽略瞬態(tài)響應(yīng)階段等原因產(chǎn)生的誤差。因此，如果剛塑性解本身就帶有太多近似，那么它們并不適合用來(lái)分析彈性效應(yīng)，也不能夠作為構(gòu)建補(bǔ)償?shù)幕A(chǔ)。

如前文所述，借助了飽和分析和膜力因子法，近年來(lái)獲得了優(yōu)于先前任何剛塑性解的最佳解[11-12]。同彈塑性有限元模擬結(jié)果相比，這些最佳剛塑性解仍然不可避免地顯現(xiàn)出偏差，但這種偏差主要來(lái)自彈性效應(yīng)（對(duì)于低碳鋼等應(yīng)變率敏感材料，剛塑性解通常都未能較準(zhǔn)確地計(jì)入應(yīng)變率效應(yīng)，也會(huì)帶來(lái)偏差），因此所得到的偏差隨參量變化的數(shù)據(jù)集合為補(bǔ)償彈性效應(yīng)奠定了可靠的基礎(chǔ)。本文便是在這樣的基礎(chǔ)上探討了補(bǔ)償?shù)牟呗院头椒ǎ?duì)梁和方板的案例加以實(shí)施。

在對(duì)偏差進(jìn)行擬合與補(bǔ)償?shù)倪^(guò)程中，還注意到彈塑性有限元模擬得到的最終撓度本身的精確度是不容易控制的。影響模擬得到的最終撓度的精確度的因素很多，諸如單元的種類和大小、時(shí)間步長(zhǎng)的選取，尤其是在結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)變形的尾段，塑性變形已經(jīng)飽和但彈性振動(dòng)仍在持續(xù)，如何從彈性振動(dòng)的時(shí)間序列中提取最終撓度，依然具有相當(dāng)大的不確定性。這也反映到文獻(xiàn)[13-14] 畫出的偏差Dη 曲線某些段落顯得并不平順。從文獻(xiàn)[13-14] 的數(shù)據(jù)分析估計(jì)，彈塑性有限元模擬得到的最終撓度本身可能帶有1%～2% 量級(jí)的誤差，因此過(guò)分追求擬合和補(bǔ)償?shù)木_度是沒(méi)有必要的。

能量比R（即塑性耗散能與結(jié)構(gòu)所能儲(chǔ)存的最大彈性能之比）是表征結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的重要力學(xué)量。在對(duì)剛塑性梁和板推導(dǎo)R 表達(dá)式的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)它僅僅與無(wú)量綱載荷參數(shù)λ 和結(jié)構(gòu)剛度參數(shù)ζ 相關(guān)；因此，這2 個(gè)關(guān)鍵參數(shù)完全是從理論推導(dǎo)中自然出現(xiàn)的，在深入分析中聚焦于這2 個(gè)參數(shù)具有充分的力學(xué)依據(jù)。

依據(jù)上述基本分析，合理地選擇了補(bǔ)償策略，它包括以下要素：（1） 補(bǔ)償項(xiàng)只含2 個(gè)無(wú)量綱參數(shù)λ 和ζ，它們的變化范圍根據(jù)工程上常用的材料性質(zhì)和結(jié)構(gòu)尺度加以確定； （2） 選取分離變量的補(bǔ)償函數(shù)Δ*η（λ，ζ） = ?（λ）ψ（ζ），從力學(xué)上看， ?（λ）代表外加載荷的強(qiáng)度的效應(yīng)，而ψ（ζ）反映結(jié)構(gòu)自身的剛度的影響；（3） 為便于在設(shè)計(jì)估算中使用，擬合時(shí)對(duì)?（λ）和ψ（ζ）采用簡(jiǎn)單的函數(shù)形式和盡量少的待定系數(shù)/指數(shù)；（4） 考慮到有限元模擬本身存在一定數(shù)值誤差，結(jié)合工程設(shè)計(jì)的需要，把補(bǔ)償后的最終撓度的相對(duì)精度設(shè)定在3% 之內(nèi)，避免過(guò)度追求精度而犧牲了預(yù)測(cè)公式的簡(jiǎn)明性。

將本文的主要符號(hào)、公式和補(bǔ)償結(jié)果進(jìn)行整理見表3，同時(shí)也對(duì)固支梁和固支方板的結(jié)果作出了對(duì)比。

在本文中，對(duì)脈沖載荷作用下梁和板最終撓度的預(yù)測(cè)僅限于矩形脈沖情形。對(duì)于結(jié)構(gòu)受到非矩形脈沖的情形，需要嘗試結(jié)合不同的脈沖等效技術(shù)[15-18]，先將非矩形脈沖（如三角形脈沖、爆炸脈沖等）等效轉(zhuǎn)化為矩形脈沖，再應(yīng)用本文的結(jié)果。但是，本文的補(bǔ)償策略同脈沖等效相結(jié)合是否確實(shí)能夠合理地預(yù)測(cè)非矩形脈沖載荷作用下結(jié)構(gòu)的最終撓度，是需要仔細(xì)檢驗(yàn)的，并在必要時(shí)作進(jìn)一步的修正。此外，如同上面已提到的，對(duì)于率敏感材料，需要評(píng)估和補(bǔ)償應(yīng)變率效應(yīng)引起的最終變形預(yù)測(cè)上的偏差。這些都將是下一步的研究目標(biāo)。

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（責(zé)任編輯 張凌云）

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