北京師范大學教育學部課程與教學研究院院長，教授、博士生導師；中國教育學會小學數學教學專業(yè)委員會副秘書長，中國教育發(fā)展戰(zhàn)略學會教育教學創(chuàng)新專業(yè)委員會副理事長，中國少數民族教育學會數學教育專業(yè)委員會副理事長；主持的課題有全國教育科學“十一五”規(guī)劃教育部重點課題“新課程小學數學、語文學科能力評價研究”、全國教育科學“十二五”規(guī)劃教育部重點課題“讀懂中小學生數學學習過程的方法研究”，以及國家自然科學基金面上項目“復雜情境下學生數學創(chuàng)造性思維的認知及腦機制研究”等；著有《小學生數學能力評價研究》《小學數學互動式教學》《學習者視角下的學習歷程分析》等專著，發(fā)表學術論文100余篇。

張春莉

變異理論是教學論專家、瑞典哥德堡大學教授馬飛龍（Ference Marton，又譯“馬騰”）創(chuàng)立的教學理論。該理論認為，正是由于變異，我們才能審辨出學習內容的關鍵屬性。基于變異理論的小學數學教學模式通過引入正反對比案例、多樣化的正例，為學生提供具有差異性和多樣性的信息，引導學生通過信息的對比、概括和融合，逐步聚焦概念的關鍵屬性，解決不同情境中的同類問題。這種教學模式有利于培養(yǎng)學生的批判性思維和問題解決能力。本文在闡釋變異理論及其教學應用的基礎上，以人教版數學五年級上冊“多邊形的面積”單元教學內容為例，探析如何應用變異理論設計”一題多變”教學素材，幫助學生掌握知識本質，達到舉一反三、觸類旁通的目的。

一、變異的三種模式

變異理論認為，變異可分為對比、概括和融合三種模式?！皩Ρ取敝冈谀硞€維度上比較兩個或多個事物、概念或現象之間的相似之處和差異之處。這種對比有利于突出事物的關鍵特征，使其更加明顯和清晰，有助于學生更好地認識事物的本質，加深對事物關鍵屬性的理解。這啟示教師，教學新內容時可采取對比先行的教學原則?！案爬ā敝冈谄渌麑傩宰兓耐瑫r，保持某個關鍵屬性不變。這是一種逆向的教學設計思維，旨在引導學生在變化中找不變，進而深刻地理解關鍵屬性。將不變作為背景，將變化的方面作為對象進行考察，屬于對比模式；將變化作為背景，將不變的方面作為對象進行考察，則體現了概括模式（祝錢，《基于“變異理論”的初中化學解題教學實踐——以實驗探究題為例》，《化學教學》2020年第4期）?！叭诤稀敝赶蚨鄠€維度的變化，要求學生辨認并考慮這些維度之間的關系以及它們與學習內容的關系。借助融合多個維度的變化的學習素材，學生能夠更全面地理解和運用新知。

二、不同變異模式在課堂教學中的應用

我們可以基于變異的三種模式將變異理論應用于小學數學教學。其具體表現有如下三種。

一是基于對比模式的正例與反例呈現。在教學新知識時，教師應為學生提供該知識點所對應的正例和反例，使學生通過比較發(fā)現兩個例子的差異，進而把握該知識點的關鍵特征。例如，教學“多邊形的面積”單元中《梯形的面積》時，教師可將一般的平行四邊形、菱形和普通四邊形作為梯形的反例，幫助學生快速找到梯形的關鍵屬性——僅有一組對邊平行。二是基于概括模式的多樣化正例呈現。在找到關鍵屬性之后，我們需要固定關鍵屬性，同時改變其他屬性。在《梯形的面積》教學的這一階段，教師可以呈現梯形平行的一組對邊分別是水平、豎直或傾斜的多樣化情況，也可以從其他屬性出發(fā)，如非平行對邊的傾斜方向相同或不同的情況，讓學生通過多個實例進一步理解已經發(fā)現的關鍵屬性。三是基于融合模式的更加多樣化的正例呈現。后續(xù)教學階段，教師可以同步變化剛剛談及的多個非關鍵屬性，呈現更加“不規(guī)則”的梯形，讓學生從多種變化中找到始終不變的本質屬性，全面、深入地理解新知。

三、依據變異理論設計“一題多變”教學素材

探究多邊形的面積計算，不僅是為了解決實際問題，還有利于增強學生的空間觀念和推理意識。教材中相關內容的編排邏輯是：從長方形的面積公式探究開始，順次安排平行四邊形、三角形、梯形的面積公式探究。這種逐步推進的方式有助于學生建構多邊形面積計算的通理通法，形成整體認知：先通過割補、拆分、拼接等方式將未知面積公式的圖形轉化為已知面積公式的圖形，再通過圖形之間的聯(lián)系推導出新圖形的面積公式。實際教學中，學生常常在圖形面積計算方面出錯，而將變異理論引入教學是提升教學效果的有效策略。下面，筆者基于以下教學路徑，談變異理論指導下的教學素材設計。

1.平行四邊形面積的教學素材設計

首先，教師應采用對比的模式，通過提供清晰的正例和反例幫助學生理解平行四邊形面積計算的核心原則。如圖1所示，典型的正例可以是用底邊a和高？的乘積計算平行四邊形的面積，而反例要展示錯誤做法，如誤認為鄰邊a和b的乘積是面積。這是學生受長方形面積公式影響而形成的常見誤區(qū)。學生結合長方形面積計算的已有認知，對比探析上述正例和反例，就可以明確二者的差異，辨明對錯，進而深入理解平行四邊形面積計算原理。

其次，在概括模式指導下的教學中，教師可引導學生從以下兩點出發(fā)，探析平行四邊形的面積計算方法，形成在不同情境中迅速應用相關知識解決問題的能力。

一是改變高的位置。如圖2所示，高無論是在平行四邊形內部（圖2-1），還是在平行四邊形外部（圖2-2），教師都要引導學生發(fā)現水平底邊a這個“基準”，從而正確“配對”底和高。

二是考慮底邊a的不同方向性。底邊a無論是水平、豎直（圖3-1）還是傾斜（圖3-2），教師都要引導學生找到相應的高？，在正確“配對”的基礎上解決面積問題。

最終，在融合模式指導下，教師要通過提供具有多個變異維度的平行四邊形，引導學生計算面積并總結計算方法，形成更加全面的認識。例如，求圖4所示平行四邊形面積的題目。

該平行四邊形的高需要學生自己尋找，邊長需要學生自己測量，同時底邊是傾斜的，這體現了兩個維度上的變異。這種學習素材不僅有助于學生鞏固測量技能，還有助于學生加深對平行四邊形面積公式的理解，提高解決問題的能力。

2.三角形面積和梯形面積的教學素材設計

參照以上變異模式，教師可以用相似的方式設計三角形、梯形面積教學。筆者以《三角形的面積》教學素材設計為例做具體闡述。

首先，教師基于對比模式設計并呈現正反兩種素材，引導學生精準找到三角形的高，并合理運用面積公式。教學素材如題目①。

①如圖，請在下列四種求三角形面積的方法中，找出哪些方法是正確的，哪些方法是錯誤的。

A.[S=12ah] B.[S=12ab] C.[S=12ah] D.[S=12ah]

然后，教師基于概括模式，確立三種變化屬性：改變三角形的形狀——呈現直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形三種情況；改變底邊與水平面的關系——將作高的底邊傾斜，使之不與水平面平行；改變作高的頂點——過不同頂點作高，再求面積。這三種變化屬性分別對應的教學素材是題目②③④。

②測量圖5中三個三角形的邊長并求出其面積。其中，第一個三角形為直角三角形。

③測量圖6中兩個三角形的邊長并求出其面積。

④寫出求圖7三角形面積的三種方法。

最后，教師在融合模式指導下同時改變三角形的形狀、底邊與水平面關系、作高的頂點，設計素材⑤。

⑤如圖8，請分別以C和D為頂點作高，并通過測量高和對應底邊的長度，分別求出兩個三角形的面積。

通過應用變異理論，教師滿足學生不同層次的認知需求，促使學生在面積計算學習中實現思維進階，形成更加牢固的理解，提高遷移與運用能力。

四、通過“一題多變”教學應“萬變”

在變異理論指導下，我們引入不同形式和結構的題目，呈現多樣化的問題情境，能使學生在解決問題的過程中經歷各種信息的變異，對概念形成更加深刻、全面的認識，同時熟悉同一類型題目的不同變式。

如，教學人教版數學五年級下冊“分數的意義和性質”單元時，我們可以通過“一題多變”教學，幫助學生應對題目的“萬變”。在比較分數大小的教學中，我們可以靈活改變需要比較大小的兩個分數的形式，例如分別選擇分母相同、分子相同，以及分子、分母都不同的分數進行比較；選擇真分數、假分數、帶分數等不同類型的分數放在一起比較。通過體會題目之間的共性與差異，學生能夠迅速定位關鍵信息，辨別題目涉及的核心知識點，進而找到解題的核心要素，即將各種形式的分數化成同分母或同分子的分數后再進行比較。這樣教學有助于學生形成在不同情境下迅速洞察問題的數學本質的能力，從而準確地遷移運用已有的解決問題思路和方法更好地應對各種新情境下的同類問題。

（楊楠、郭睿系北京師范大學教育學部碩士研究生）

責任編輯 劉佳