摘" 要：

針對(duì)混合矩陣估計(jì)算法中傳統(tǒng)的噪聲環(huán)境下基于密度的空間聚類（density-based spatial clustering of applications with noise， DBSCAN）算法需要人為設(shè)定鄰域半徑以及核心點(diǎn)數(shù)這一問(wèn)題，提出雙約束粒子群優(yōu)化（double constrained particle swarm optimization， DCPSO）算法，對(duì)DBSCAN算法的鄰域半徑參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，將得到的最優(yōu)參數(shù)作為DBSCAN算法的參數(shù)輸入，然后計(jì)算聚類中心，完成混合矩陣估計(jì)。針對(duì)基于距離排序的源信號(hào)數(shù)目估計(jì)算法存在依靠經(jīng)驗(yàn)參數(shù)的選取且不具備噪聲點(diǎn)剔除能力的問(wèn)題，提出了最大距離排序算法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提算法較相應(yīng)的對(duì)比算法皆有提升，源信號(hào)數(shù)目估計(jì)準(zhǔn)確率較原算法提高近40%，混合矩陣估計(jì)的誤差較對(duì)比算法提升3 dB以上，且所提算法在收斂速度上優(yōu)于原算法。

關(guān)鍵詞：

欠定盲源分離; 粒子群優(yōu)化; 密度空間聚類; 混合矩陣估計(jì)

中圖分類號(hào)：

TN 911.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A""" DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.07.05

Estimation of mixture matrix of density clustering algorithm based on improved particle swarm optimization algorithm

LIU Chenghao， ZHANG Xiaolin*， SUN Rongchen， LI Ming

（College of Information and Communication Engineering， Harbin Engineering

University， Harbin 150001， China）

Abstract：

Aiming at the problem that the traditional density-based spatial clustering of applications with noise （DBSCAN） algorithm in the mixing matrix estimation algorithm needs to artificially set the neighborhood radius and the number of core points， a double constrained particle swarm optimization （DCPSO） algorithm is proposed. The neighborhood radius parameters of the DBSCAN algorithm are optimized， and the obtained optimal parameters are used as the parameter input of the DBSCAN algorithm， and then the clustering center is calculated to complete the mixing matrix estimation. Aiming at the problem that the source signal number estimation algorithm based on distance sorting relies on the selection of empirical parameters and does not have the ability to eliminate noise points， a maximum distance sorting algorithm is proposed. The experimental results show that the improved algorithm is improved. The accuracy of source signal number estimation is nearly 40% higher than that of the original algorithm. The error of mixing matrix estimation is more than 3 dB higher than that of the comparison algorithm. Moreover， the proposed algorithm has a better convergence speed than the original algorithm.

Keywords：

underdetermined blind source separation; particle swarm optimization （PSO）; density space clustering; mixing matrix estimation

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0" 引" 言

盲源分離（blind source separation， BSS）是指在僅以觀測(cè)混合信號(hào)為先驗(yàn)信息的情況下， 實(shí)現(xiàn)信道混合矩陣估計(jì)和期望信源恢復(fù)的信號(hào)處理技術(shù)［13］。目前，BSS被廣泛應(yīng)用于各種場(chǎng)景，如生物醫(yī)學(xué)［4］、雷達(dá)信號(hào)分選［5］、圖像處理［67］以及語(yǔ)音信號(hào)處理［810］。接收通道數(shù)小于源信號(hào)通道數(shù)（即欠定條件）更具有應(yīng)用價(jià)值，所以對(duì)欠定BSS （underdetermined BSS， UBSS）技術(shù)展開(kāi)研究很有必要。目前，針對(duì)UBSS問(wèn)題的解決方法通常是基于“兩步法”思路［11］，首先需要估計(jì)出混合矩陣，然后再根據(jù)估計(jì)的混合矩陣實(shí)現(xiàn)源信號(hào)的分離。所以，正確估計(jì)混合矩陣是實(shí)現(xiàn)UBSS的關(guān)鍵。欠定混合矩陣估計(jì)算法主要有平行因子分解法、非負(fù)矩陣分解法、觀測(cè)信號(hào)擴(kuò)維法和稀疏分量分析（sparse component analysis， SCA）法。張量分析算法［1213］將混合矩陣估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為張量分解問(wèn)題，該方法提高了估計(jì)的準(zhǔn)確性和魯棒性，但是對(duì)張量進(jìn)行分解時(shí)使用的交替最小二乘算法對(duì)初值敏感且容易陷入局部極值，運(yùn)算時(shí)間較長(zhǎng)。非負(fù)矩陣分解［1415］將非負(fù)矩陣分解為兩個(gè)低秩非負(fù)因子矩陣的乘積，該算法可以進(jìn)行特征提取和降維、能夠處理非負(fù)數(shù)據(jù)并保持其物理意義等。但是，此算法目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)非凸優(yōu)化問(wèn)題，求解過(guò)程容易陷入局部最優(yōu)解。觀測(cè)信號(hào)擴(kuò)維法多用小波分解［16］或經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解［17］對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行分解，將欠定問(wèn)題轉(zhuǎn)化為正定或者超定問(wèn)題進(jìn)行處理，較多應(yīng)用于單通道觀測(cè)信號(hào)。SCA法［1820］計(jì)算較為簡(jiǎn)單，要求源信號(hào)具有稀疏性，或者源信號(hào)的變換域具有稀疏性，滿足稀疏要求時(shí)，該方法對(duì)混合矩陣估計(jì)的精確度較高，代表算法包括混合時(shí)頻比（time-frequency ratio of mixtures， TIFROM）［21］和基于SCA的UBSS算法［22］。

本文算法的理論基礎(chǔ)是SCA。首先利用短時(shí)傅里葉變換（short-time Fourier transform， STFT）將觀測(cè)信號(hào)變換到時(shí)頻域，然后進(jìn)行單源點(diǎn)檢測(cè)［23］，提取滿足單源點(diǎn)約束的時(shí)頻點(diǎn)，并去除低能量點(diǎn)，最后進(jìn)行單位歸一化，將其歸一化到上半平面的單位圓上，這樣就將較復(fù)雜的方向聚類轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的散點(diǎn)聚類。通過(guò)基于元素最大距離排序的源信號(hào)估計(jì)算法對(duì)源信號(hào)數(shù)目進(jìn)行估計(jì)，在信源數(shù)目的約束下，通過(guò)給定核心點(diǎn)數(shù)，利用雙約束粒子群優(yōu)化（double constrained particle swarm optimization，DCPSO）對(duì)噪聲環(huán)境下基于密度的空間聚類（density-based spatial clustering of applications with noise， DBSCAN）算法的鄰域半徑參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，將尋優(yōu)得到的最優(yōu)參數(shù)作為DBSCAN算法的鄰域半徑參數(shù)輸入，得到聚類結(jié)果，然后計(jì)算聚類中心，并完成混合矩陣估計(jì)。最后，通過(guò)最小化l1范數(shù)算法完成源信號(hào)的重構(gòu)，驗(yàn)證本文算法有效性。

1" UBSS理論

1.1" UBSS模型

忽略噪聲的線性瞬時(shí)欠定混合模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

x（t）=As（t）（1）

式中：x（t）=［x1（t），x2（t），…，xM（t）］T為混合信號(hào)矢量;s（t）=［s1（t），s2（t），…，sN（t）］T為源信號(hào)矢量;A是一個(gè)M×N階的矩陣，M是觀測(cè)信號(hào)通道數(shù)，N是源信號(hào)通道數(shù)。這里Mlt;N，表示混合模型為欠定混合模型。

1.2" 模型稀疏性分析

為了增強(qiáng)信號(hào)的稀疏性首先對(duì)式（1）進(jìn)行STFT，得到：

X（t，f）=AS（t，f）（2）

式中：X（t，f）和S（t，f）分別是x（t）和s（t）的短時(shí)傅里葉級(jí)數(shù)。

將式（2）展開(kāi)得到：

X（t，f）=∑Nk=1akSk（t，f）（3）

式中：ak是混合矩陣的第k列;Sk（t，f）是對(duì)應(yīng)的第k個(gè)源信號(hào)的短時(shí)傅里葉級(jí)數(shù)。

假設(shè)在時(shí)頻點(diǎn)（ti，fi）處Sk（ti，fi）≠0，其他源信號(hào)在時(shí)頻點(diǎn)（ti，fi）處都為零。則式（3）變?yōu)?/p>

X（ti，fi）=akSk（ti，fi）（4）

根據(jù)式（4）可知，每個(gè)源信號(hào)單獨(dú)存在時(shí)對(duì)應(yīng)著一個(gè)混合矩陣的列向量，即時(shí)頻域混合方向向量與混合矩陣列向量處于同一方向。忽略幅度的不同，對(duì)時(shí)頻域混合方向向量估計(jì)，就可以得到混合矩陣的估計(jì)。

2" 混合矩陣估計(jì)及信源重構(gòu)

基于SCA的混合矩陣估計(jì)流程圖如圖1所示。

基于SCA的混合矩陣估計(jì)首先需要通過(guò)時(shí)頻變換來(lái)增強(qiáng)觀測(cè)信號(hào)的稀疏性。然后，進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理，得到待聚類數(shù)據(jù)。最后，選擇合適的聚類算法計(jì)算聚類中心，得到混合矩陣。

2.1" 數(shù)據(jù)預(yù)處理

假設(shè)觀測(cè)信號(hào)通道維數(shù)為2，展開(kāi)式（4）得到：

X1（ti，fi）=a1kSk（ti，fi）

X2（ti，fi）=a2kSk（ti，fi）（5）

由式（5）可以得到：

Re［X1（ti，fi）］lm［X1（ti，fi）］=a1kRe［Sk（ti，fi）］a1klm［Sk（ti，fi）］（6）

Re［X2（ti，fi）］lm［X2（ti，fi）］=a2kRe［Sk（ti，fi）］a2klm［Sk（ti，fi）］（7）

由式（6）和式（7）可以推導(dǎo)得到：

Re［X1（ti，fi）］lm［X1（ti，fi）］－Re［X2（ti，fi）］lm［X2（ti，fi）］=0（8）

實(shí)際中不存在嚴(yán)格的單源點(diǎn)，所以可以將式（8）要求放寬，得到

Re［X1（ti，fi）］lm［X1（ti，fi）］－Re［X2（ti，fi）］lm［X2（ti，fi）］lt;ε1（9）

式中：ε1取值范圍一般?。?.01，1］。

經(jīng)過(guò)單源點(diǎn)檢測(cè)后的時(shí)頻點(diǎn)，在靠近時(shí)頻原點(diǎn)處會(huì)存在雜波點(diǎn)，這些點(diǎn)會(huì)影響混合矩陣的估計(jì)精度，需要去掉這些低能量點(diǎn)，如下所示：

X（t，f）lt;ε2max（X（t，f））（10）

式中：ε2一般?。?.01，0.5］。

為將時(shí)頻域混合方向向量估計(jì)轉(zhuǎn)化為時(shí)頻散點(diǎn)的聚類中心估計(jì)，需要將具有線性趨勢(shì)的散點(diǎn)轉(zhuǎn)化到上半單位圓或者上半單位球上：

X（t，f）X（t，f）， Re［X2（t，f）］≥0

－X（t，f）X（t，f）， Re［X2（t，f）］lt;0（11）

2.2" 源信號(hào)數(shù)目估計(jì)

本文源信號(hào)數(shù)目估計(jì)算法在文獻(xiàn)［18］的基礎(chǔ)上改進(jìn)。文獻(xiàn)［18］提出了一種基于元素距離排序的源信號(hào)數(shù)目估計(jì)算法，該算法需要人為選取經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，且不具備剔除噪聲點(diǎn)的能力。為了克服上述問(wèn)題，本文提出基于元素最大距離排序的源信號(hào)數(shù)目估計(jì)算法，具體如下。

假設(shè)預(yù)處理后的時(shí)頻數(shù)據(jù)為集合X={x1，x2，…，xk}，定義X的二維距離矩陣如下：

Dk×k={d（xi，xj）|0≤i，j≤k}（12）

式中：d（xi，xj）是元素xi與元素xj的距離。

對(duì)二維距離矩陣的列進(jìn)行升序排列，得到矩陣D′k×k，然后找到D′k×k矩陣中最大值所在的列（這里由于距離矩陣Dk×k是對(duì)稱的，會(huì)存在兩個(gè)最大值），從兩個(gè)最大值所在列中，任取其中一列，假設(shè)選擇為p列，此列的含義是元素xp到數(shù)據(jù)X各點(diǎn)的距離的升序。對(duì)p列作距離圖如圖2所示， 圖中標(biāo)記出的曲線平滑變化的3個(gè)階段就說(shuō)明源信號(hào)數(shù)目為3。

對(duì)D′k×k矩陣中第p列求差分如下：

D″p=D′p（i+1）－D′p（i）（13）

對(duì)求差分之后的第p列作距離差分圖得到圖3。

如圖3所示，距離差分圖首尾兩端若出現(xiàn)較大的波峰則代表存在離群的噪聲點(diǎn)，在后續(xù)處理中需剔除這些點(diǎn)。然后，采用峰值檢測(cè)算法選擇合適的閾值，就可以得到距離差分?jǐn)?shù)據(jù)中的波峰個(gè)數(shù)。源信號(hào)個(gè)數(shù)=波峰個(gè)數(shù)+1，由此可以完成對(duì)源信號(hào)數(shù)目的估計(jì)。

2.3" 基于改進(jìn)的粒子群尋優(yōu)的DBSCAN算法

2.3.1" DBSCAN算法

基于密度的空間聚類具有可以發(fā)現(xiàn)離群點(diǎn)、即噪聲點(diǎn)的能力，和可以發(fā)現(xiàn)任意形狀的簇的優(yōu)勢(shì)。針對(duì)該算法的鄰域半徑以及核心點(diǎn)數(shù)，以下是屬于DBSCAN算法的一些定義［24］。

（1） 對(duì)數(shù)據(jù)集中一點(diǎn)p，以它為中心，EPS為半徑的鄰域內(nèi)（記為集合EPS（p））若存在多于MinPts個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱p點(diǎn)為核心點(diǎn)。

（2） 若數(shù)據(jù)點(diǎn)p是核心點(diǎn)，q∈EPS（p），稱點(diǎn)p到點(diǎn)q密度直達(dá)。

（3） 假設(shè)數(shù)據(jù)集中有n個(gè)核心數(shù)據(jù)點(diǎn)p1，p2…，pn，且p與p1密度直達(dá)、p1 與p2 密度直達(dá)，…，pn－1 與pn 密度直達(dá)，pn與q密度直達(dá)。則稱點(diǎn)p到點(diǎn)q密度可達(dá)。

（4） 若存在一個(gè)核心點(diǎn)s與點(diǎn)p和點(diǎn)q都密度可達(dá)，則稱點(diǎn)p與點(diǎn)q密度相連。密度相連的兩點(diǎn)屬于同一個(gè)類別。若兩點(diǎn)不屬于密度相連關(guān)系，那么這兩個(gè)點(diǎn)不屬于同一個(gè)類別，或者兩點(diǎn)中至少存在一個(gè)離群點(diǎn)。

DBSCAN算法的偽代碼，即該算法的算法流程如算法1所示。

算法 1" DBSCAN算法

輸入" 待聚類數(shù)據(jù)集I、鄰域半徑EPS以及核心點(diǎn)數(shù)MinPts、初始化類別k=1

輸出" 聚類結(jié)果集合M

While（I≠）

{

從I中任取元素i，并從I中刪去i

If（mi=0）

{

步驟 1" 若length（EPS（i））lt;MinPts，則令mi=－1

步驟 2" 若length（EPS（i））≥MinPts，則將EPS（i）中的元素加入到集合T中

步驟 3.1" 令mi=k

步驟 3.2" While （T≠）

{

（1） 從T中任取元素j，并從T中刪去j

（2） 若mj=0或-1，則令mj=k

（3） 若j是核心點(diǎn)，則將EPS（j）中的元素加到集合T中

}

步驟 3.3" 令k=k+1

}

}

2.3.2" DCPSO改進(jìn)的DBSCAN算法

DBSCAN算法本身不需要知曉源信號(hào)數(shù)目，它是根據(jù)輸入的鄰域半徑以及核心點(diǎn)數(shù)兩個(gè)參數(shù)來(lái)確定輸出聚類結(jié)果［25］，兩個(gè)參數(shù)的變化會(huì)使得DBSCAN算法輸出的簇的數(shù)目不同。想要得到輸出簇的數(shù)目與源信號(hào)數(shù)目相同的聚類結(jié)果，需要人為根據(jù)預(yù)處理得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)調(diào)整，再通過(guò)人工觀測(cè)的方式，確定兩個(gè)參數(shù)的取值。這樣不僅耗費(fèi)了人力，降低了效率，而且往往找不到較優(yōu)的EPS，使得算法輸出簇的聚類誤差較高。

本文算法首先給定參數(shù)核心點(diǎn)數(shù)MinPts，通過(guò)改進(jìn)的粒子群優(yōu)化（particle swarm optimization， PSO）算法，對(duì)參數(shù)EPS尋優(yōu)，減少人為參與，降低聚類誤差。

PSO算法［26］是一種基于鳥群覓食的仿生算法。每個(gè)粒子只有兩個(gè)屬性：速度和位置。每個(gè)粒子在相應(yīng)的空間中尋找最優(yōu)解，并不斷更新自己的最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的位置，粒子群成員共享各自的最優(yōu)值。為了更快的收斂速度，本文提出了DCPSO，其中主要在粒子初始化以及速度更新兩方面做出了改進(jìn)，具體算法如下。

在粒子初始化方面，本文算法變隨機(jī)初始化為均勻初始化，粒子初始位置在EPS的取值區(qū)間［EPSmin，EPSmax］ 內(nèi)均勻分布，假設(shè)粒子數(shù)目為N個(gè)，初始化如下：

x1，k=k（EPSmax－EPSmin）N+1（14）

式中：x1，k 表示第k個(gè)粒子的初始位置。

為了更大程度地對(duì)EPS的取值區(qū)間進(jìn)行搜索，本文加入速度上限約束。若粒子更新速度大于所設(shè)置的速度上限，則將當(dāng)前粒子速度設(shè)置為速度上限值。前期設(shè)置約束速度上限較大，隨著尋優(yōu)輪數(shù)的增加，這個(gè)約束速度上限值逐漸減小，這樣可以保證前期較大的搜索空間和后期更快的收斂，同時(shí)可以使粒子不易陷入的局部最優(yōu)解。約束速度的上下限以及隨著尋優(yōu)輪數(shù)變化的數(shù)學(xué)模型如下：

Vmax=EPSmax－EPSminN+1（15）

Vmin=EPSmax－EPSmin10（N+1）（16）

Viter=Vmax－iter（Vmax－Vmin）itermax（17）

由于前期對(duì)速度上限實(shí)施約束，為了補(bǔ)償速度損失，在速度更新時(shí)加入一項(xiàng)補(bǔ)償部分，以更快的達(dá)到收斂，數(shù)學(xué)模型如下：

vi，t+1=wvi，t+c1r1（pi，t-xi，t）+

c2r2（pg，t-xi，t）+c3r3（pg，t-xi，t）（18）

xt+1=xt+vt+1（19）

式中：vi，t和xi，t分別是第i個(gè)粒子在第t優(yōu)化輪數(shù)的速度和位置;pi，t和pg，t分別是個(gè)體最優(yōu)解和全局最優(yōu)解;w是慣性權(quán)重系數(shù);c1、c2、c3分別是個(gè)體學(xué)習(xí)因子、社會(huì)學(xué)習(xí)因子、補(bǔ)償因子;r1、r2、r3分別0～1之間的隨機(jī)數(shù)。

本文設(shè)置動(dòng)態(tài)的補(bǔ)償因子，隨著搜索輪數(shù)變大而減小。

c3=c3max-iter（c3max-c3min）itermax（20）

慣性權(quán)重系數(shù)w值越大，粒子更新速度越快，反之越慢。為了得到更快的收斂速度，令w隨著尋優(yōu)輪數(shù)增加變小，以在前期更快的找到局部最優(yōu)解，以及后期找到全局最優(yōu)解。w值設(shè)置如下：

w=wmax－iter（wmax－wmin）itermax（21）

粒子的適應(yīng)度：粒子所在位置即EPS值作為DBSCAN算法的輸入，在源信號(hào)數(shù)目的約束下，得到與源信號(hào)數(shù)目估計(jì)相符的輸出聚類數(shù)目，然后計(jì)算各類的聚類中心得到混合矩陣，計(jì)算混合矩陣估計(jì)誤差值作為粒子的適應(yīng)度值。

本文用來(lái)衡量混合矩陣估計(jì)誤差的性能指標(biāo)是歸一化均方誤差（normalized mean square error， NMSE），定義如下：

NMSE=10lg∑mi=1∑nj=1（a^ij-aij）2∑mi=1∑nj=1a2ij（22）

式中：a^ij和aij分別是混合矩陣的i行、j列的估計(jì)值和真實(shí)值。

適應(yīng)度函數(shù)就是最小化混合矩陣的估計(jì)誤差。本文設(shè)置的適應(yīng)度函數(shù)如下：

ObjFun=minEPS（NMSE）（23）

基于DCPSO改進(jìn)的DBSCAN（記為DCPSO-DBSCAN）算法混合矩陣估計(jì)流程圖如圖4所示。

DCPSO-DBSCAN算法的混合矩陣估計(jì)步驟如下。

步驟 1" 對(duì)接收到的觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行STFT，然后進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理，得到待聚類數(shù)據(jù)。

步驟 2" 對(duì)待聚類數(shù)據(jù)進(jìn)行信源數(shù)目估計(jì)。

步驟 3" 對(duì)DCPSO算法參數(shù)進(jìn)行初始化，適應(yīng)度函數(shù)值初始化為無(wú)窮大。

步驟 4" 當(dāng)前粒子位置，即EPS值作為DBSCAN輸入，輸出聚類數(shù)目若與信源數(shù)目相等，繼續(xù)步驟5，否則跳過(guò)這個(gè)粒子。

步驟 5" 根據(jù)式（22）和式（23）計(jì)算適應(yīng)度值，確定全局最優(yōu)解和局部最優(yōu)解。

步驟 6" 根據(jù)全局最優(yōu)解和局部最優(yōu)解，和式（18）、式（19）更新粒子的速度和位置。

步驟 7" 重復(fù)步驟4和步驟5直至達(dá)到最大尋優(yōu)輪數(shù)或者達(dá)到收斂條件。

步驟 8" 尋優(yōu)得到全局最優(yōu)解Best_EPS。

步驟 9" 將Best_EPS作為DBSCAN的輸入，輸出聚類結(jié)果。

步驟 10" 計(jì)算各類的聚類中心，得到混合矩陣的估計(jì)。

2.4" 源信號(hào)恢復(fù)

混合矩陣估計(jì)完成后，任意時(shí)頻點(diǎn)的源信號(hào)都可以由該點(diǎn)的觀測(cè)信號(hào)恢復(fù)，然后進(jìn)行STFT得到源信號(hào)。本文用來(lái)恢復(fù)源信號(hào)的算法是l1范數(shù)最小化算法［27］。根據(jù)l1范數(shù)準(zhǔn)則，源信號(hào)恢復(fù)問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化求解問(wèn)題，數(shù)學(xué)模型如下：

minS（t，f）S（t，f）1s.t. X（t，f）=AS（t，f）（24）

根據(jù)式（3）與式（24），l1范數(shù)最優(yōu)化求解問(wèn)題可以視為時(shí)頻向量X（t，f）在混合矩陣的列向量方向上的投影最小化問(wèn)題。以兩路觀測(cè)信號(hào)為例，l1范數(shù)算法恢復(fù)源信號(hào)示意圖如圖5所示。

利用該算法解決優(yōu)化問(wèn)題得到的解是稀疏解，在針對(duì)源信號(hào)具有稀疏性時(shí)，具有較好的恢復(fù)效果。

3" 仿真實(shí)驗(yàn)和結(jié)果分析

下面將驗(yàn)證所提出的算法在不同信噪比（signal to noise ratio， SNR）和不同混合模型下的有效性。首先，驗(yàn)證混合模型為3×2時(shí)，將本文改進(jìn)的源信號(hào)數(shù)目估計(jì)算法與文獻(xiàn)［18］中的源信號(hào)數(shù)目估計(jì)算法在不同SNR下的估計(jì)準(zhǔn)確率進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證有效性。其次，同樣在3×2混合模型下，將本文所提DCPSO-DBSCAN算法與k均值算法、模糊C均值算法、文獻(xiàn)［28］以及文獻(xiàn)［29］中所提到的混合矩陣估計(jì)算法進(jìn)行對(duì)比，來(lái)證明算法在混合矩陣估計(jì)精確度上的優(yōu)勢(shì)。再次，對(duì)比DCPSO-DBSCAN算法在不同混合模型下，分別是3×2、4×2和5×2的源信號(hào)數(shù)目估計(jì)準(zhǔn)確率以及混合矩陣估計(jì)的誤差。然后，進(jìn)行DCPSO-DBSCAN與PSO-DBSCAN的復(fù)雜度分析，證明本文所提出的DCPSPO算法收斂速度快于原PSO算法。最后，衡量源信號(hào)重構(gòu)的誤差，來(lái)驗(yàn)證本文算法有效性。

衡量源信號(hào)重構(gòu)的性能指標(biāo)分別用信干比（signal to interference ratio， SIR）和相關(guān)系數(shù)γ［30］，定義如下：

SIR=1N∑Nn=110lgsn（t）2s^n（t）－sn（t）22（25）

γ（s，s^）=1N∑Nn=1|∑Tt=1sn（t）s^n（t）|∑Tt=1s2n（t）∑Tt=1s^2n（t）（26）

式中：s^n（t）和sn（t）分別是第n個(gè)源信號(hào)的估計(jì)值和真實(shí)值。

本文所用的源信號(hào)為5路時(shí)域不稀疏的常見(jiàn)壓制式干擾信號(hào)，都由仿真軟件仿真產(chǎn)生，信號(hào)的主要參數(shù)如下：s1是正弦信號(hào)，頻率為1 MHz;s2是正弦信號(hào)，頻率為2 MHz;s3是線性掃頻信號(hào)，掃頻區(qū)間是［1，6］MHz;s4是二次掃頻信號(hào)，掃頻區(qū)間是［1，6］MHz;s5是由3個(gè)頻率分別為1.2 MHz、1.5 MHz和1.8 MHz的正弦信號(hào)疊加而成。

3.1" 源信號(hào)數(shù)目估計(jì)

驗(yàn)證本文改進(jìn)的源信號(hào)數(shù)目估計(jì)算法與文獻(xiàn)［18］中的原算法的源信號(hào)數(shù)目估計(jì)準(zhǔn)確率在不同SNR下的有效性時(shí)，使用2×3的混合矩陣A如下：

A=0.707 10－0.707 1

0.707 110.707 1

從5個(gè)源信號(hào)中隨機(jī)選擇3個(gè)信號(hào)形成一組源信號(hào)進(jìn)行后續(xù)仿真驗(yàn)證。混合形成兩路觀測(cè)信號(hào)后，對(duì)其做STFT，然后對(duì)其做單源點(diǎn)檢測(cè)，繪制時(shí)頻域散點(diǎn)圖如圖6所示。再去除數(shù)據(jù)中的低能量點(diǎn)，繪制時(shí)頻域散點(diǎn)圖如圖7所示。對(duì)去除低能量點(diǎn)后的數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，然后利用歸一化數(shù)據(jù)得到源數(shù)目估計(jì)。實(shí)驗(yàn)SNR取值范圍為［5～25］dB，每個(gè)SNR下設(shè)置1 000次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。將本文源信號(hào)數(shù)目估計(jì)算法與文獻(xiàn)［18］中的原算法進(jìn)行對(duì)比。圖8是不同算法對(duì)源信號(hào)數(shù)目估計(jì)準(zhǔn)確率的曲線。由圖8可以看出，本文提出的源信號(hào)數(shù)目估計(jì)算法優(yōu)于原算法。

3.2" 混合矩陣估計(jì)

3.2.1" 不同算法估計(jì)誤差

本節(jié)通過(guò)對(duì)比不同算法，在3路源信號(hào)線性混合為2路觀測(cè)信號(hào)的混合模型下，對(duì)混合矩陣估計(jì)的誤差，來(lái)驗(yàn)證本文提出的算法的有效性。從5個(gè)源信號(hào)中隨機(jī)選擇3個(gè)信號(hào)形成一組源信號(hào)進(jìn)行后續(xù)仿真驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)SNR取值范圍為［5～25］ dB，每個(gè)SNR下設(shè)置200次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。本文算法分別與k均值算法、模糊C均值算法、文獻(xiàn)［25］算法和文獻(xiàn)［26］算法進(jìn)行對(duì)比。圖9是不同算法估計(jì)混合矩陣的NMSE隨著SNR變化的曲線。從圖9中可以看出，本文提出的DCPSO-DBSCAN算法估計(jì)混合矩陣的誤差較對(duì)比算法優(yōu)3 dB以上。

3.2.2" 不同混合模型實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證不同混合模型下本文算法的有效性，分別設(shè)置了3種混合模型：3×2、4×2和5×2。從5個(gè)源信號(hào)中隨機(jī)選擇3個(gè)信號(hào)形成一組源信號(hào)進(jìn)行后續(xù)仿真驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)SNR取值范圍為［5～25］ dB，源信號(hào)估計(jì)每個(gè)SNR下設(shè)置1 000次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，混合矩陣估計(jì)每個(gè)SNR下設(shè)置200次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。圖10是不同混合模型下，本文信源數(shù)目估計(jì)算法對(duì)源信號(hào)數(shù)目估計(jì)的準(zhǔn)確率隨著SNR變化曲線。圖11是不同混合模型下，本文所提出的混合矩陣估計(jì)算法的估計(jì)誤差隨著SNR變化的曲線。

由圖11可以看出在觀測(cè)通道數(shù)目固定時(shí)，源信號(hào)通道數(shù)目越多源信號(hào)數(shù)目估計(jì)準(zhǔn)確率越低、混合矩陣的估計(jì)誤差越大，與實(shí)際情況相符。

3.2.3" DCPSO-DBSCAN算法復(fù)雜度分析

PSO算法復(fù)雜度主要受到算法的迭代次數(shù)、粒子數(shù)量和目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算復(fù)雜度3個(gè)因素的影響，可通過(guò)如下方式來(lái)描述其復(fù)雜度。假設(shè)迭代次數(shù)為T、粒子數(shù)量為M、目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算復(fù)雜度為Ο（f），算法整體復(fù)雜度則可表示為Ο（TMf）?？蓪CPSO-DBSCAN算法與PSO-DBSCAN算法的粒子數(shù)量以及目標(biāo)函數(shù)設(shè)置相同，則可通過(guò)對(duì)比兩種算法迭代次數(shù)的方式來(lái)對(duì)比兩種算法的復(fù)雜度。

為了驗(yàn)證本文所提出的DCPSO-DBSCAN算法的迭代次數(shù)較PSO-DBSCAN算法少。本文設(shè)置了6組對(duì)比數(shù)據(jù)，針對(duì)每組數(shù)據(jù)分別利用DCPSO-DBSCAN算法與PSO-DBSCAN算法進(jìn)行100次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，分別求兩種算法在6組數(shù)據(jù)下100次實(shí)驗(yàn)達(dá)到收斂需要的迭代次數(shù)均值。6組數(shù)據(jù)產(chǎn)生規(guī)則如下：分別在15 dB、20 dB的SNR下從5個(gè)源信號(hào)中隨機(jī)選擇3個(gè)信號(hào)形成一組源信號(hào)。圖12是兩種算法在不同數(shù)據(jù)下達(dá)到收斂所需要的平均迭代次數(shù)。

如圖12所示，本文所提出的DCPSO-DBSCAN算法在不同SNR下，不同數(shù)據(jù)達(dá)到收斂所需的平均迭代次數(shù)小于PSO-DBSCAN算法。

參考文獻(xiàn)［31］中對(duì)并行機(jī)制的PSO算法的復(fù)雜度分析的分析方法，下面就DCPSO以及PSO在每步迭代所用時(shí)間進(jìn)行分析。相關(guān)變量定義及運(yùn)算關(guān)系如下。

tv：?jiǎn)蝹€(gè)粒子速度更新所用時(shí)間。

t′v：對(duì)PSO進(jìn)行源信號(hào)數(shù)目約束及速度上限約束所用時(shí)間。

tx：?jiǎn)蝹€(gè)粒子位置更新所用時(shí)間。

tf：?jiǎn)蝹€(gè)粒子適應(yīng)度值計(jì)算所用平均時(shí)間。

tr：更新個(gè)體最優(yōu)與群體最優(yōu)所用時(shí)間。

Td：DCPSO每步迭代所需時(shí)間。

Tp：PSO每步迭代所需時(shí)間。

Td=tv+t′v+tx+tf+tr（27）

Tp=tv+tx+tf+tr（28）

由于計(jì)算粒子適應(yīng)度所用的時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于對(duì)PSO算法的速度進(jìn)行限制所使用的時(shí)間，故有Td≈Tp。為了驗(yàn)證兩種算法每步迭代所需平均時(shí)間大致相同，設(shè)置6組對(duì)比數(shù)據(jù)，選取規(guī)則同上。圖13是兩種算法每步迭代所用平均時(shí)間。

由圖13可以看出DCPSO-DBSCAN算法與PSO-DBSCAN兩種算法，平均每步迭代時(shí)間大致相同，與理論分析吻合。綜合迭代次數(shù)與迭代所需時(shí)間分析，可知改進(jìn)的PSO算法在收斂速度上較PSO算法快。

3.3" 源信號(hào)恢復(fù)

為了驗(yàn)證源信號(hào)重構(gòu)效果，利用DCPSO-DBSCAN算法估計(jì)出的混合矩陣和l1范數(shù)算法進(jìn)行重構(gòu)。實(shí)驗(yàn)參數(shù)如下：SNR遍歷0～35 dB，以5 dB為步進(jìn)，每個(gè)SNR下設(shè)置100次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。表1和表2分別代表SIR重構(gòu)誤差和相關(guān)系數(shù)重構(gòu)誤差。由表1可知，隨著SNR的提高SIR值達(dá)到14 dB，并趨于穩(wěn)定。由表2可知，隨著SNR的提高，重構(gòu)信號(hào)與源信號(hào)的平均相關(guān)系數(shù)達(dá)到將近97%。

4" 結(jié)" 論

針對(duì)源信號(hào)數(shù)目估計(jì)算法中的基于元素距離排序算法中需要人為設(shè)置經(jīng)驗(yàn)參數(shù)以及不具備剔除噪聲點(diǎn)能力的問(wèn)題，本文提出了一種最大元素距離排序算法。針對(duì)DBSCAN算法兩個(gè)輸入?yún)?shù)核心點(diǎn)數(shù)以及鄰域半徑變化導(dǎo)致輸出聚類簇?cái)?shù)目產(chǎn)生變化，且兩個(gè)參數(shù)需要人為觀測(cè)調(diào)節(jié)，本文提出DCPSO的密度空間聚類算法。通過(guò)DCPSO算法對(duì)DBSCAN的輸入?yún)?shù)鄰域半徑EPS尋優(yōu)，得到最小化目標(biāo)函數(shù)的EPS值作為DBSCAN算法輸入，得到聚類簇，對(duì)各個(gè)類求解聚類中心得到混合矩陣的估計(jì)。仿真驗(yàn)證了所提算法對(duì)混合矩陣估計(jì)有較好的效果，且DCPSO-DBSCAN的收斂速度快于原PSO-DBSCAN算法，并經(jīng)過(guò)重構(gòu)算法完成源信號(hào)恢復(fù)，驗(yàn)證了本文算法的有效性。本文所提出的DCPSO算法可以擴(kuò)展到二維數(shù)據(jù)或者三維數(shù)據(jù)應(yīng)用場(chǎng)景。

參考文獻(xiàn)

［1］ BOUSS M， DEBALS O， LATHAUWER L D. A tensor-based method for large-scale blind source separation using segmentation［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2017， 65（2）： 346358.

［2］ MA B Z， ZHANG T Q， AN Z L， et al. Measuring dependence for permutation alignment in convolutive blind source separation［J］. IEEE Trans.on Circuits and Systems II： Express Briefs， 2022， 69（3）： 19821986.

［3］ LAWAL A， MAYYALA Q， ABED-MERAIM K， et al. Blind signal estimation using structured subspace technique［J］. IEEE Trans.on Circuits and Systems II： Express Briefs， 2021， 68（8）： 30073011.

［4］ JAMES C J， HESSE C W. Independent component analysis for biomedical signals［J］. Physiological Measurement， 2005， 26（1）： R15R39.

［5］ ZAHO Y C， FU W H， LIU Y Y. Energy correlation permutation algorithm of frequency-domain blind source separation based on frequency bins correction［J］. Wireless Personal Communications， 2021， 120（2）： 17531768.

［6］ CHEN J X， LIAO X， WANG W， et al. SNIS： a signal noise separation-based network for post-processed image forgery detection［J］. IEEE Trans.on Circuits and Systems for Video Technology， 2023， 33（2）： 935951.

［7］ MIETTINEN J， NITZAN E， VOROBYOV S A， et al. Graph signal processing meets blind source separation［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2021， 69： 25852599.

［8］ ZHANG L， LI C X， DENG F， et al. Multi-task audio source separation［C］∥Proc.of the IEEE Automatic Speech Recognition and Understanding Workshop， 2021： 671678.

［9］ XIE Y， XIE K， XIE S L. Underdetermined blind source separation of speech mixtures unifying dictionary learning and sparse representation［J］. International Journal of Machine Learning and Cybernetics， 2021， 12（12）： 35733583.

［10］ 王川川， 曾勇虎. 欠定盲源分離算法的研究現(xiàn)狀及展望［J］. 北京郵電大學(xué)學(xué)報(bào)， 2018， 41（6）： 103109.

WANG C C， ZENG Y H. Research status and prospect of underdetermined blind source separation algorithm［J］. Journal of Beijing University of Posts and Telecommunications， 2018， 41（6）： 103109.

［11］ BOFILL P， ZIBULEVSKY M. Underdetermined blind source separation using sparse representations［J］. Signal Processing， 2001， 81（11）： 23532362.

［12］ 馬寶澤， 李國(guó)軍， 向翠玲， 等. 基于張量分析的欠定混合矩陣估計(jì)算法［J］. 通信學(xué)報(bào)， 2022， 43（11）： 3543.

MA B Z， LI G J， XIANG C L， et al. Underdetermined mixing matrix estimation algorithm based on tensor analysis［J］. Journal on Communications， 2022， 43（11）： 3543.

［13］ LIEVEN D L， JOSPHINE C. Blind identification of under determined mixtures by simultaneous matrix diagonalization［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2008， 56（3）： 10961105.

［14］ LEE D D， SEUNG H S. Learning the parts of objects by non-negative matrix factorization［J］. Nature， 1999， 401（6755）： 788791.

［15］ YANG S M， YI Z. Convergence analysis of non-negative matrix factorization for BSS algorithm［J］. Neural Processing Letters， 2010， 31（1）： 4564.

［16］ WANG X B， WANG Y. A single-channel BSS new method of time-frequency overlapped communication signal based on multi-scale CWT and ICA［C］∥Proc.of the International Conference on Computational Problem-Solving， 2013： 241244.

［17］ 劉方正， 韓振中， 曾瑞琪. 基于變分模態(tài)分解和壓縮感知的弱觀測(cè)條件下雷達(dá)信號(hào)重構(gòu)方法［J］. 電子與信息學(xué)報(bào)， 2021， 43（6）： 16441652.

LIU F Z， HAN Z Z， ZENG R Q. Damaged radar signal reconstruction method based on variational mode decomposition and compressed sensing［J］. Journal of Electronics amp; Information Technology， 2021， 43（6）： 16441652.

［18］ FU W H. Mixing matrix estimation algorithm for underdetermined blind source separation［J］. IEEE Access， 2021， 9： 136284136291.

［19］ LU J T， WEI C， ZI Y Y. A novel underdetermined blind source separation method and its application to source contribution quantitative estimation［J］. Sensors， 2019， 19（6）： 1413.

［20］ GAO H Y， ZHANG Z W， WANG S H， et al. Underdetermined blind source separation method based on quantum archimedes optimization algorithm［J］. Applied Intelligence， 2022， 53（11）： 1376313800.

［21］ ABRARD F， DEVILLE Y. A time-frequency blind signal separation method applicable to underdetermined mixtures of dependent sources［J］. Signal Processing， 2005， 85（7）： 13891403.

［22］ MA B Z， ZHANG T Q. Underdetermined blind source separation based on source number estimation and improved sparse component analysis［J］. Circuits， Systems， and Signal Processing， 2021， 40（7）： 34173436.

［23］ KIM S G， YOO C D. Underdetermined blind source separation based on subspace representation［J］. IEEE Trans.on signal processing， 2009， 57（7）： 26042614.

［24］ ESTE M， KRIEGEL H P， SANDER J， et al. A density-based algorithm for discovering clusters in large spatial databases with noise［J］. Association for Computing Machinery， 1996， 96（5）： 226231.

［25］ 張宇， 楊淇善， 賈懋珅. 利用DBSCAN和概率密度估計(jì)的欠定盲源分離混合矩陣估計(jì)［J］. 信號(hào)處理， 2023， 39（4）： 708718.

ZHANG Y， YANG Q S， JIA M S. Mixing matrix estimation using DBSCAN and probability density estimation for underdetermined blind source separation［J］. Journal of Signal Processing， 2023， 39（4）： 708718.

［26］ TANG J， LIU G， PAN Q. A review on representative swarm intelligence algorithms for solving optimization problems： applications and trends［J］. IEEE/CAA Journal of Automatica Sinica， 2021， 8（10）： 16271643.

［27］ XIE Y， XIE K， XIE S L. Underdetermined blind separation of source using lp-norm diversity measures［J］. Neurocomputing， 2020， 29（411）： 259267.

［28］ 季策， 穆文歡， 耿蓉. 基于A-DBSCAN的欠定盲源分離算法［J］. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù)， 2020， 42（12）： 26762683.

JI C， MU W H， GENG R. Underdetermined blind source separation algorithm based on A-DBSCAN［J］. Systems Engineering and Electronics， 2020， 42（12）： 26762683.

［29］ 何選森， 何帆. 密度空間與密度峰值聚類的欠定混合矩陣估計(jì)［J］. 數(shù)據(jù)采集與處理， 2019， 34（5）： 819830.

HE X S， HE F. Underdetermined mixing matrix estimation based on DBSCAN and CFSFDP［J］. Journal of Data Acquisition and Processing， 2019， 34（5）： 819830.

［30］ VINCENT E， GRIBONVAL R， FEVOTTE C. Performance measurement in blind audio source separation［J］. IEEE Trans.on Audio， Speech and Language Processing， 2006， 14（4）： 14621469.

［31］ GUO F Y， ZHANG Y， GONG D W， et al. A cooperative pa-rallel mechanism based multi-particle-swarm optimizer［C］∥Proc.of the 7th World Congress on Intelligent Control and Automation， 2008： 87498754.

作者簡(jiǎn)介

劉成浩（1999—），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)槊ぴ捶蛛x、干擾識(shí)別。

張曉林（1971—），男，副教授，博士，主要研究方向?yàn)橥ㄐ判盘?hào)檢測(cè)與處理。

孫溶辰（1988—），男，副教授，博士，主要研究方向?yàn)橥ㄐ艑?duì)抗、無(wú)線信道建模理論與關(guān)鍵技術(shù)。

李" 銘（1999—），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)檎{(diào)制識(shí)別、深度學(xué)習(xí)、智能計(jì)算。