摘" 要：

為了完成線性調(diào)頻（linear frequency modulation， LFM）信號(hào)的稀疏采樣，并利用稀疏數(shù)據(jù)對(duì)原始信號(hào)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，本文提出了一種基于Z變換和改進(jìn)有限新息率（finite rate of innovation， FRI）的LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法。以Z變換理論為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)了一種數(shù)學(xué)模型，一旦信號(hào)能夠表達(dá)成該數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)形式，就能通過(guò)Z變換和零化濾波器的方法估計(jì)信號(hào)參數(shù)。然后，利用了自相關(guān)延遲的FRI結(jié)構(gòu)對(duì)LFM信號(hào)采樣，該結(jié)構(gòu)不僅完成了LFM信號(hào)的稀疏采樣，而且稀疏采樣結(jié)果能夠與數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)相符。在理論上通過(guò)數(shù)學(xué)論證的方式證明了所提方法能夠用于獲取LFM信號(hào)參數(shù)信息，并通過(guò)仿真和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了所提方法的有效性，理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法只需要4個(gè)采樣點(diǎn)就能實(shí)現(xiàn)對(duì)LFM信號(hào)的參數(shù)估計(jì)，并且實(shí)驗(yàn)中的參數(shù)估計(jì)誤差均在3%以內(nèi)，極大的提高有限新息率采樣的參數(shù)估計(jì)效率。

關(guān)鍵詞：

線性調(diào)頻信號(hào); 有限新息率; 零化濾波器; Z變換; 參數(shù)估計(jì)

中圖分類號(hào)：

TN 91; TN 92

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A""" DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.07.07

Research on LFM signal parameter estimation method based on

Z-transform and improved FRI

MENG Shuo， MENG Chen*， WANG Cheng

（Shijiazhuang Campus， Army Engineering University of PLA， Shijiazhuang 050003， China）

Abstract：

In order to complete the sparse sampling of linear frequency modulation （LFM） signals and use the sparse data to estimate the original signal parameters， we have learned the parameter estimation methods of finite rate of innovation （FRI） sampling and annihilating filter， on this basis， we propose a parameter estimation method based on mathematical model combined with Z-transform. Once the signal expression form is consistent with the structure of the mathematical model， the signal parameters can be estimated by the proposed method. Therefore， we used an autocorrelation delay structure to process the LFM signal， and the output results can be consistent with the mathematical model. It is demonstrated that the proposed method for estimating the parameters of LFM signals is theoretically feasible. The effectiveness of the proposed method is verified by simulation and measured data. The theoretical and experimental results show that the method can realize the parameter estimation of LFM signal only with 4 sampling points， and the parameter estimation error in the experiment is within 3%， which greatly improves the parameter estimation efficiency of FRI sampling.

Keywords：

linear frequency modulation （LFM） signal; finite rate of innovation （FRI）; annihilating filter; Z-transform; parameter estimation

0" 引" 言

為進(jìn)一步提高制導(dǎo)過(guò)程中的分辨能力和測(cè)距精度，從而實(shí)現(xiàn)炮彈的精準(zhǔn)打擊，要求信號(hào)具有更大的時(shí)寬帶寬積。線性調(diào)頻（linear frequency modulation， LFM）信號(hào)［1］以其較大的時(shí)寬帶寬積和數(shù)據(jù)傳輸能力，在雷達(dá)探測(cè)［24］、抗干擾以及許多星載平臺(tái)探測(cè)［5］等方面均有應(yīng)用。信息技術(shù)的發(fā)展和復(fù)雜的電磁環(huán)境，要求對(duì)信號(hào)傳輸過(guò)程中包含更多的信息量，這也導(dǎo)致LFM信號(hào)的帶寬不斷增加［67］。針對(duì)大帶寬甚至超帶寬信號(hào)LFM信號(hào)的采樣，基于Nyquist定理對(duì)信號(hào)采樣的方法要求模數(shù)轉(zhuǎn)換器（analog-to-digital converter， ADC）的工作頻率必須大于信號(hào)頻率的2倍，這會(huì)使得ADC在很高的頻率工作，從而給硬件設(shè)備的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)帶來(lái)很多困難，很多情況下的硬件設(shè)計(jì)方法只在理論層面可行，但在實(shí)際工藝上卻無(wú)法實(shí)現(xiàn)，亦或是硬件實(shí)現(xiàn)付出的代價(jià)遠(yuǎn)高于研究目的本身［810］。隨著使用以Nyquist定理為基礎(chǔ)的采樣方法在大寬帶信號(hào)采樣過(guò)程中的局限性逐漸彰顯，稀疏采樣的設(shè)想也因此產(chǎn)生，目前研究最多的稀疏采樣方法主要包括壓縮采樣和有限新息率（finite rate of innovation，F(xiàn)RI）。其中，壓縮采樣是基于壓縮感知理論提出的，該理論由3個(gè)部分組成：稀疏表示、測(cè)量矩陣和重構(gòu)算法［11］。目前，以壓縮感知理論為基礎(chǔ)的發(fā)展較為成熟的壓縮采樣系統(tǒng)包含隨機(jī)解調(diào)器（random demodulator， RD）［1213］、多頻寬帶調(diào)制器（modulated wideband converter， MWC）［1415］等，但這些壓縮采樣系統(tǒng)除了具備稀疏采樣的功能外，更側(cè)重于采樣后信號(hào)的重構(gòu)恢復(fù)，主要是因?yàn)閴嚎s采樣系統(tǒng)在設(shè)計(jì)階段也重點(diǎn)參考了壓縮感知中的“重構(gòu)算法”部分。因?yàn)閴嚎s采樣系統(tǒng)是依托于壓縮感知理論設(shè)計(jì)的，所以壓縮采樣的數(shù)據(jù)更多用于信號(hào)重構(gòu)，從而導(dǎo)致很少有研究直接利用壓縮采樣數(shù)據(jù)來(lái)獲取原始信號(hào)的特征信息。

2010年，Davenport等證明了壓縮采樣數(shù)據(jù)能夠用于信號(hào)的參數(shù)估計(jì)，基于RD和MWC壓縮采樣的參數(shù)估計(jì)方法也逐步發(fā)展［16］。文獻(xiàn)［17］提出一種波形匹配字典的LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法，但是波形匹配字典的構(gòu)造需要先驗(yàn)信息作為前提條件;文獻(xiàn)［18］依托MWC系統(tǒng)利用短時(shí)傅里葉變換和離散多項(xiàng)式（short time Fourier transform and polynomial-phase transform， STFT-DPT）算法估計(jì)LFM信號(hào)的參數(shù)，卻耗費(fèi)了大量的運(yùn)算成本。

針對(duì)上述方法存在的問(wèn)題FRI能夠用更少的采樣點(diǎn)數(shù)用于信號(hào)參數(shù)估計(jì)［1920］。FRT是近些年新提出的一種稀疏采樣方法，該采樣方法指出一旦采樣信號(hào)符合FRI信號(hào)的條件，就能夠以大于或等于信號(hào)新息率的采樣頻率完成信號(hào)的稀疏采樣。該方法的提出不僅能夠避免基于Nyqusit定理的采樣方法在采集大寬帶LFM信號(hào)時(shí)硬件面臨的壓力問(wèn)題，而且相比于上述提及的壓縮采樣方法而言，F(xiàn)RI采樣不需要考慮信號(hào)重構(gòu)的問(wèn)題，并且通過(guò)對(duì)稀疏采樣數(shù)據(jù)的分析能夠直接獲得原始信號(hào)的特征信息。但FRI采樣方法也存在一些局限性，首先并不是所有的信號(hào)都符合FRI信號(hào)的條件，通常對(duì)于一些不滿足FRI條件的信號(hào)可以用幾個(gè)FRI信號(hào)合成的方法近似表示，常用的FRI信號(hào)包括Dirac脈沖序列、微分Dirac序列、非均勻樣條、分段正弦波、分段多項(xiàng)式信號(hào)［2123］等;其次，F(xiàn)RI采樣核的設(shè)計(jì)也是當(dāng)前研究的難點(diǎn)問(wèn)題，常用的FRI采樣核包括Sinc采樣核［23］、高斯采樣核［23］、多項(xiàng)式再生核（basis-spline， B-spline）［24］、指數(shù)再生核（exponential-spline， E-spline）［24］以及SoS（sum of sincs， SoS）采樣核［25］，利用這些采樣核采樣得到信息通常為信號(hào)的傅里葉系數(shù)或者信號(hào)的矩，而參數(shù)估計(jì)的過(guò)程就是從這些信息中恢復(fù)原始信號(hào)參數(shù)的過(guò)程，但這些方法或存在物理上不可實(shí)現(xiàn)，或存在穩(wěn)定性差的問(wèn)題。

當(dāng)前關(guān)于FRI的參數(shù)估計(jì)方法主要是零化濾波器法［26］和基于子空間的譜估計(jì)算法［27］，選擇不變空間算法［28］，多重信號(hào)分類算法［29］，但這些算法一方面對(duì)采樣核具有較強(qiáng)的依賴性，另一方面需要花費(fèi)大量的運(yùn)算成本，并且能否直接用于寬帶LFM信號(hào)的參數(shù)估計(jì)尚缺乏理論支撐。

考慮到上述問(wèn)題，本文針對(duì)LFM信號(hào)提出了一種基于Z變換和改進(jìn)FRI［3031］的參數(shù)估計(jì)方法，一方面該方法無(wú)需依賴采樣核，從而避免了傳統(tǒng)采樣核普遍存在的問(wèn)題;另一方面，改進(jìn)后的FRI不僅能夠用于LFM信號(hào)稀疏采樣，而且結(jié)合Z變換模型能夠直接用于LFM信號(hào)的參數(shù)估計(jì)。結(jié)合理論驗(yàn)證和實(shí)驗(yàn)分析，本文不僅從理論層次對(duì)所提方法的可行性提供了理論支撐，還結(jié)合實(shí)驗(yàn)分析驗(yàn)證了所提方法的實(shí)際效果，為解決寬帶LFM信號(hào)稀疏采樣條件下的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題提供了一種新的思路。

1" 基本理論

1.1" 基于Z變換的數(shù)學(xué)模型

對(duì)于等式s（k）=∑Nn=1an（un）k，如果存在h（k），使得s（k）h（k）=0對(duì)任意k∈Z成立，那么若s（k）已知，則公式中未知參數(shù)an和un的解存在且可求。其中，表示卷積運(yùn)算。

對(duì)an和un的求解過(guò)程如下。

將s（k）=∑Nn=1an（un）k展開(kāi)寫成矩陣的表達(dá)形式：

s（0）

s（1）

s（2）

s（k）=

11…1

u1u2…uN

u12u22…uN2

u1ku2k…uNk

a1

a2

a3

aN

（1）

s（k）h（k）=0對(duì)任意k∈Z成立，等價(jià)于∑Nn=0s（k－n）h（n）=0對(duì)任意k≥n成立?？紤]到k是可以取任意值，那么一定可以構(gòu)造出由s（k）組成的滿秩矩陣對(duì)式（1）仍成立：

s（N）s（N－1）…s（0）

s（N+1）s（N）…s（1）

s（2N）s（2N－1）…s（N）

h（0）

h（1）

h（N）=0（2）

在式（2）中可以發(fā)現(xiàn)由s（k）構(gòu)成的矩陣實(shí)際上是托普利茲矩陣，對(duì)式（2）方程求解，能夠得到h（n）的解。

對(duì)h（n）作Z變換，表達(dá)式可以寫成如下形式：

H（z）=∑Nn=0h（n）·z－n=h（0）+h（1）·z－1+

h（2）·z－2+…+h（n）·z－n+…+h（N）·z－N（3）

又能夠?qū)懗沙朔e的形式：

H（z）=∏Nn=1（1－un·z－1）=∏Nn=1z－unz（4）

式（4）中的un與s（k）=∑Nn=1an（un）k中un是同一參數(shù)，由于∑Nn=0s（k－n）h（n）=0，將s（k）=∑Nn=1an（un）k代入，該等式仍成立，此時(shí)對(duì)等式化簡(jiǎn)能夠得到類似于式（4）的表達(dá)形式，故式（4）中的un與s（k）=∑Nn=1an（un）k中un是同一參數(shù)。

將方程求解得到的h（n）代入H（z），解方程H（z）=0，由于z為分母不能為0，所以對(duì)于式（4）等于0而言，求解得到關(guān)于未知數(shù)z的N個(gè)值實(shí)際上正是un的解。

通過(guò)觀察式（2）可以發(fā)現(xiàn)，s（k）的k最大取值為2N，那么上述求解過(guò)程中，要求信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù)至少為2N+1。但考慮到式（4）中H（z）可以由連乘積的形式表示，且式（3）與式（4）等價(jià)，那么式（4）其連乘之后的結(jié)果中必然存在值為1的常數(shù)項(xiàng)，所以推斷出h（0）=1。那么式（2）可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

s（N－1）s（N－2）…s（0）

s（N）s（N－1）…s（1）

s（2N－2）s（2N－3）…s（N－1）

·

h（1）

h（2）

h（N）=

－s（N）

s（N+1）

s（2N－1）（5）

式（5）中s（k），k最小取0，最大取2N-1，所以至少需要2N個(gè)采樣點(diǎn)就能實(shí)現(xiàn)對(duì)h（n）的求解。在令H（z）=0計(jì)算得到un之后，將un代入式（1）就能夠得到關(guān)于an的解，從而實(shí)現(xiàn)了利用上述數(shù)學(xué)模型對(duì)參數(shù)的求解。

1.2" LFM信號(hào)的參數(shù)估計(jì)方法

LFM信號(hào)的表達(dá)式可以寫成如下的形式：

x（t）=A rectt－τ0Tej（2πf0（t－τ0）+πμ（t－τ0）2+φ0）（6）

式中：A為信號(hào)幅值;rect（t/T）是脈寬為T的矩形脈沖;f0為信號(hào)頻率;τ0為時(shí)間延遲;μ為調(diào)頻率;φ0為初始相位。

歐拉公式的表達(dá)式為

ejt=cos（t）+jsin（t）（7）

根據(jù)式（7），可以將LFM信號(hào)的實(shí)值部分可以表達(dá)為

s（t）=rectt－τ0TA·

cos2πf0（t－τ0）+12μ（t－τ0）2+φ0（8）

為了將LFM信號(hào)變換得到數(shù)學(xué)模型中的形式，本文利用了文獻(xiàn)［30］提出的自相關(guān)延遲結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)如圖1所示。

在圖1所示的結(jié)構(gòu)中，LFM為低通濾波器將LFM信號(hào)的實(shí)值部分作為系統(tǒng)的輸入，首先對(duì)通道1進(jìn)行分析，將s（t）和延遲信號(hào)s（t－τ）相乘得到通道1的輸出和化簡(jiǎn)后的表達(dá)式為

y1（t）=s（t）s（t－τ）=

A22rectt－τ0－τ/2T［cos（+）+cos（－）］（9）

式中：

－=2πμτt+2πf0τ－πμτ（τ+2τ0）

+=2πf0（2t－2τ0－τ）+πμ（t－τ0）2+

πμ（t－τ0－τ）2+2φ0（10）

其次對(duì)通道2進(jìn)行分析，首先對(duì)通道2進(jìn)行希爾伯特變換，公式如下

H［s（t）］=A rectt－τ0T·

sin2πf0（t－τ0）+12μ（t－τ0）2+φ0（11）

通過(guò)式（11）可以看出，希爾伯特變換實(shí)際上分別對(duì)信號(hào)經(jīng)行一個(gè)90°的相移，也剛好對(duì)應(yīng)LFM信號(hào)的虛部的形式。

將希爾伯特變換之后信號(hào)加入延遲信號(hào)并通過(guò)混合器，得到通道2輸出和化簡(jiǎn)后的表達(dá)式為

y2（t）=H［s（t）］H［s（t－τ）］=

A22rectt－τ0－τ/2T［cos（－）－cos（+）］（12）

將通道1和通道2的輸出相加得到y(tǒng)（t）：

y（t）=y1（t）+y2（t）=

A2 rectt－τ0－τ/2Tcos（－）=

A2rectt－τ0－τ/2T·

cos（2πμτt+2πf0τ－πμτ（τ+2τ0））（13）

式中：常數(shù)項(xiàng)φ1=2πf0τ－πμτ（τ+2τ0），則上述公式可化簡(jiǎn)為

y（t）=A2 rectt－τ0－τ/2Tcos（2πμτt+φ1）（14）

對(duì)系統(tǒng)輸出的信號(hào)y（t）經(jīng)過(guò)低LPF等間隔kTs采樣可以表達(dá)為

y（k）=A2 rectt－τ0－τ/2Tcos（2πμτkTs+φ1）（15）

根據(jù)歐拉公式，可以對(duì)上述公式展開(kāi)，并化簡(jiǎn)得到

y（k）=A2 rectt－τ0－τ/2T·

cos（2πμτkTs+φ1）=rectt－τ0－τ/2T·

A22ejφ1ej2πμτkTs+A22e－jφ1e－j2πμτkTs=

rectt－τ0－τ/2T∑2n=1A22e（－1）njφ1e（－1）nj2πμτkTs=

rectt－τ0－τ/2T∑2n=1A22e（－1）njφ1（e（－1）nj2πμτTs）k（16）

令an=（A2/2）e（－1）njφ1，un=e（－1）nj2πμτTs，此時(shí)LFM信號(hào)的表達(dá)式可以寫與s（k）=∑Nn=1an（un）k數(shù)學(xué)模型類似的形式。至此，根據(jù)本文推導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型可以判斷，本文所提方法在理論上是能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)an和un的參數(shù)估計(jì)的。從而通過(guò)求解公式就能夠得到關(guān)于LFM信號(hào)的參數(shù)。

2" 仿真驗(yàn)證分析

在仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證部分，分別從數(shù)學(xué)的角度和信號(hào)處理應(yīng)用的角度對(duì)所提方法的實(shí)際效果進(jìn)行驗(yàn)證。

2.1" 數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證

設(shè)置數(shù)學(xué)仿真中的參數(shù)信息為：N=7，an 和un分別是a=［2，3，4，5，6，7，8］，u=［1，2，3，4，5，6，7］中的第n個(gè)元素，s（k）為∑Nn=1an（un）k。利用本文所提方法估計(jì)參數(shù)a～n和u～n，得到的結(jié)果如表1所示，圖2為估計(jì)參數(shù)和原始參數(shù)的誤差分析圖。

從圖2中的結(jié)果可以看出，參數(shù)估計(jì)的結(jié)果與原始參數(shù)的信息基本一致，誤差在很小范圍內(nèi)。計(jì)算估計(jì)參數(shù)的平均誤差，得到an的平均誤差為0.428%，un的平均誤差為0.857%，可以看出參數(shù)估計(jì)的誤差基本控制在千分位，驗(yàn)證了所提方法的有效性和參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性。上述仿真從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的角度對(duì)所提方法進(jìn)行了論證，初步說(shuō)明了所提方法具有較高的參數(shù)估計(jì)精度，性能較好。

2.2" 仿真信號(hào)分析

本節(jié)利用仿真產(chǎn)生的LFM信號(hào)檢驗(yàn)所提方法的參數(shù)估計(jì)效果，產(chǎn)生的LFM信號(hào)的參數(shù)設(shè)置：頻率f0=100 MHz，LFM信號(hào)的延遲τ0=50 μs，信號(hào)帶寬B=200×105" MHz， 脈沖時(shí)長(zhǎng)T=10 μs，信號(hào)幅值A(chǔ)=1，調(diào)頻斜率μ=B/T，B為信號(hào)帶寬，T為信號(hào)周期，系統(tǒng)延遲τ=1×10-19 s。

2.2.1" 延遲結(jié)構(gòu)分析

利用Windows 10 64位操作系統(tǒng)，仿真軟件平臺(tái)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)得到原始LFM信號(hào)和延遲結(jié)構(gòu)各通道的信號(hào)仿真結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖4（a）和圖4（b）分別從時(shí)域和頻域展示了延遲結(jié)構(gòu)中不同通道輸出的信號(hào)，在直觀上分析，原始LFM信號(hào)與經(jīng)過(guò)延遲結(jié)構(gòu)合成信號(hào)的時(shí)域圖和頻譜圖并無(wú)顯著差異。分別從頻域和時(shí)域上對(duì)原始LFM信號(hào)和系統(tǒng)合成后的LFM信號(hào)的誤差情況進(jìn)行計(jì)算，得到的誤差值極小，說(shuō)明余弦信號(hào)經(jīng)過(guò)延遲結(jié)構(gòu)合成的信號(hào)與原始的LFM信號(hào)基本無(wú)異，能夠代表原始LFM信號(hào)，證明了利用該結(jié)構(gòu)的輸出作為L(zhǎng)FM信號(hào)進(jìn)行分析和處理的可行性。

2.2.2" LFM信號(hào)的參數(shù)估計(jì)

根據(jù)式（15）可知N=2，與數(shù)學(xué)模型的表達(dá)式形式相符，再根據(jù)式（5）可知只需要選取2N個(gè)點(diǎn)就能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)參數(shù)的求解。從而能夠推斷出估計(jì)LFM信號(hào)的an=A22·e（－1）njφ1和un=e（－1）nj2πμτTs只需要4個(gè)采樣點(diǎn)就能夠?qū)崿F(xiàn)，相比于2倍信號(hào)頻率的Nyquist采樣頻率，大大降低所需要的信號(hào)采樣點(diǎn)的數(shù)量。求得an和un之后，再通過(guò)求解輻角就能夠估計(jì)得到信號(hào)的調(diào)頻斜率μ和幅值A(chǔ)以及φ1。

根據(jù)LFM信號(hào)的表達(dá)公式，在計(jì)算得到估計(jì)的信號(hào)參數(shù)信息之后，結(jié)合LFM信號(hào)的公式就能夠?qū)υ夹盘?hào)進(jìn)行恢復(fù)重構(gòu)，為了評(píng)估信號(hào)參數(shù)估計(jì)的效果，分別在時(shí)域和頻域進(jìn)行了仿真，得到的仿真結(jié)果如圖5和圖6所示。

如圖5和圖6所示，為驗(yàn)證本文所提方法對(duì)LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)性能，以信號(hào)的恢復(fù)性能作為評(píng)估指標(biāo)，分別對(duì)信號(hào)在時(shí)域和頻域的恢復(fù)效果進(jìn)行了評(píng)估。圖5（a）將原始信號(hào)和恢復(fù)信號(hào)放在同一種仿真圖中，可以直觀地觀察出恢復(fù)信號(hào)在波形特征與原始信號(hào)十分接近。圖5（b）為恢復(fù)信號(hào)和原始信號(hào)在時(shí)域的直觀誤差，經(jīng)計(jì)算圖中誤差在信號(hào)的初始和結(jié)束部分誤差較大，在3%左右，而對(duì)于恢復(fù)信號(hào)中間階段而言信號(hào)誤差均能夠控制在1%左右。圖6為原始信號(hào)與恢復(fù)信號(hào)頻域誤差的分析結(jié)果，在頻域內(nèi)恢復(fù)信號(hào)的誤差均能控制在1.5%以內(nèi)。通過(guò)對(duì)恢復(fù)信號(hào)在時(shí)域和頻域誤差的分析，證明了運(yùn)用本文所提方法能夠以較高的精度估計(jì)信號(hào)的參數(shù)信息，并且能夠較為精準(zhǔn)地對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行恢復(fù)。

為檢驗(yàn)不同信噪比（signal to noise ratio， SNR）條件下參數(shù)估計(jì)的誤差情況，采用均方根誤差（root mean squared error， RMSE）作為衡量標(biāo)準(zhǔn)，RMSE計(jì)算公式如下所示：

R=1n∑ni=1（xi－xi）2（16）

設(shè)定SNR序列為{SNR|SNR∈［0，20］，SNR∈N+}進(jìn)行500次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，得到的信號(hào)參數(shù)的RMSE與SNR之間的分析結(jié)果如圖7所示。

如圖7所示，隨著SNR的增大，估計(jì)得到的參數(shù)的誤差都在降低，當(dāng)SNR增加到5 dB時(shí)，RMSE顯著降低，降至0.34。當(dāng)SNR增加到10 dB時(shí)，隨著SNR的繼續(xù)增加，RMSE已逐漸趨緩，此時(shí)的RMSE在0.2左右?？紤]實(shí)現(xiàn)高SNR所付出的硬件代價(jià)，當(dāng)SNR在10 dB時(shí)，能夠較好地平衡參數(shù)估計(jì)精度和硬件的耗費(fèi)代價(jià)之間的關(guān)系。

2.2.3" 對(duì)比實(shí)驗(yàn)分析

為驗(yàn)證本文所提方法的有效性，利用本節(jié)產(chǎn)生的仿真信號(hào)進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)分析，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中共設(shè)定了3種對(duì)比方法，分別是基于RD系統(tǒng)和波形匹配字典的參數(shù)估計(jì)方法，基于MWC系統(tǒng)和STFT的參數(shù)估計(jì)方法以及本文提出的方法，其中前兩種方法參照于文獻(xiàn)［17］和文獻(xiàn)［18］。為從總體上評(píng)估3種不同方法的參數(shù)估計(jì)效果，利用估計(jì)得到的參數(shù)和LFM信號(hào)式（6）能夠重建LFM信號(hào)，將重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)之間的RMSE作為評(píng)估指標(biāo)，得到不同方法的分析結(jié)果如表2所示。

進(jìn)一步地，研究不同方法受SNR的影響，仍將重構(gòu)誤差作為總體的評(píng)價(jià)指標(biāo)，當(dāng)誤差小于10-2時(shí)認(rèn)為重構(gòu)成功，得到3種方法在不同SNR條件下信號(hào)的重構(gòu)誤差和重構(gòu)成功概率如圖8所示。

從表2所示結(jié)果可以看出，本文所提方法所需要的采樣點(diǎn)數(shù)最少，運(yùn)算成本最低，相比于其他方法大大提高運(yùn)算效率。

從圖8所示結(jié)果可以看出，相比于同為單通道的RD系統(tǒng)而言，本文所提方法的參數(shù)估計(jì)效果更好，且參數(shù)估計(jì)精度接近多通道結(jié)構(gòu)的MWC系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)精度。而基于MWC系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)精度最高是以系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜度和較大運(yùn)算成本作為補(bǔ)償。

綜合上述分析，本文所提方法不僅具有較高的參數(shù)估計(jì)精度，且相比與其他兩種方法具有更高運(yùn)算效率，減少了運(yùn)算時(shí)間，節(jié)省了計(jì)算成本。

2.3" 實(shí)測(cè)信號(hào)分析

實(shí)測(cè)LFM信號(hào)數(shù)據(jù)由實(shí)驗(yàn)室設(shè)備M9381A矢量信號(hào)發(fā)生器和M9391A矢量信號(hào)分析儀產(chǎn)生并采集，實(shí)驗(yàn)設(shè)備結(jié)構(gòu)組成如圖9所示。其中，M9381A矢量信號(hào)發(fā)生器主要包含4個(gè)模塊：M9301A頻率合成模塊、M9310A源輸出模塊、M9311A數(shù)字矢量調(diào)制模塊、M9300A頻率基準(zhǔn)模塊。M9391A矢量信號(hào)分析儀主要包含：M9214A中頻數(shù)字化模塊、M9301A頻率合成模塊、M9350A下變頻模塊。M9381A矢量信號(hào)發(fā)生器輸出頻率范圍為1 MHz～6 GHz，頻率分辨率為0.01 Hz。M9391A矢量信號(hào)分析儀通過(guò)線接線與M9381A連接，用來(lái)接收LFM信號(hào)，M9391A矢量信號(hào)分析儀工作頻率范圍為1 MHz～6 GHz，頻率分辨率為0.001 Hz。

實(shí)測(cè)LFM信號(hào)的參數(shù)信息通過(guò)軟件系統(tǒng)設(shè)置，并記錄顯示，軟件系統(tǒng)的界面信息如圖10所示。其中，M9381ASFP用來(lái)設(shè)置發(fā)生信號(hào)參數(shù)，89600 VSA用來(lái)記錄并顯示發(fā)生信號(hào)。

本次實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生了單分量LFM信號(hào)，相關(guān)參數(shù)設(shè)置：帶寬100 MHz，初始頻率1.3 GHz，幅值為2×10-3，信號(hào)周期分別為20.41 μs?？紤]到參數(shù)估計(jì)精度和硬件的耗費(fèi)代價(jià)的關(guān)系，以圖7的SNR與RMSE的分析作為參考，將信噪比設(shè)為10 dB，產(chǎn)生的LFM信號(hào)時(shí)域和頻譜如圖11所示。

利用本文所提方法對(duì)信號(hào)的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，得到信號(hào)的幅值2.019×10-3，初始頻率1.327 GHz和調(diào)頻斜率為4.94 MHz/μs，3個(gè)參數(shù)的誤差分別為0.95%，2.07%和1.02%?？紤]到實(shí)驗(yàn)室環(huán)境較為理想，產(chǎn)生的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)接近仿真信號(hào)，所以參數(shù)估計(jì)結(jié)果中沒(méi)有出現(xiàn)較大誤差。但對(duì)于實(shí)際應(yīng)用環(huán)境中的參數(shù)估計(jì)效果如何，還需進(jìn)一步的討論和研究。

為驗(yàn)證本文所提方法對(duì)實(shí)測(cè)信號(hào)的效果，進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)分析，實(shí)測(cè)信號(hào)分析過(guò)程中采用對(duì)比方法與第2.2.3節(jié)相同。由于實(shí)測(cè)信號(hào)采集過(guò)程中SNR是確定的，因此不再討論SNR的影響，得到對(duì)比實(shí)驗(yàn)的分析結(jié)果如表3所示。

結(jié)合表3的試驗(yàn)結(jié)果可以看出，利用本文所提方法對(duì)實(shí)測(cè)LFM信號(hào)進(jìn)行分析，也能取得較好的參數(shù)估計(jì)效果，盡管參數(shù)估計(jì)精度稍差于MWC系統(tǒng)的方法，但相比于同為單通道結(jié)構(gòu)的RD系統(tǒng)而言，已然得到了大大的提升。綜合考慮運(yùn)算成本和參數(shù)估計(jì)效果本文所提方法更具優(yōu)勢(shì)。

3" 結(jié)" 論

本文在FRI采樣和零化濾波器的基礎(chǔ)上，提出了一種基于數(shù)學(xué)模型的LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法，用于解決大寬帶LFM信號(hào)的稀疏采樣數(shù)據(jù)無(wú)法直接用于估計(jì)原始信號(hào)參數(shù)的問(wèn)題。首先，通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)證明了該方法在理論上是嚴(yán)謹(jǐn)可行的;其次，通過(guò)自相關(guān)延遲結(jié)構(gòu)將LFM信號(hào)表示成與數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)相符的形式，證明了所提方法能夠用于解決LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)問(wèn)題;最后，通過(guò)仿真和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法能有效解決大寬帶LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，并且只通過(guò)4個(gè)采樣點(diǎn)就達(dá)到了這一目標(biāo)，從而大大提高了FRI采樣的參數(shù)估計(jì)效率。

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作者簡(jiǎn)介

孟" 碩（1996—），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)閴嚎s感知、信號(hào)處理。

孟" 晨（1963—），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)槟M信息轉(zhuǎn)換、自動(dòng)測(cè)試技術(shù)。

王" 成（1980—），男，副教授，博士，主要研究方向?yàn)樽詣?dòng)測(cè)試技術(shù)、信號(hào)采集。