摘" 要：

在對復合微動目標的雷達回波進行時頻分析時，存在時頻曲線能量難以聚焦等問題，影響目標微多普勒特征提取和分析。對此，提出了時頻諧波條紋的概念以及相應時頻變換方法?；趶秃衔影行倪\動分量和高頻運動分量的假設，首先利用樣條函數(shù)擬合中心分量頻率曲線，構造時頻變換核函數(shù)。然后，通過參數(shù)化時頻變換將時域的復合微多普勒信號轉化為時頻平面上的諧波條紋。所提方法相比短時傅里葉變換和偽魏格納分布等經(jīng)典方法，能夠明顯改善復合微動目標雷達回波時頻變換的能量聚集性與雜散抑制效果，仿真驗證了所提方法的有效性和對低信噪比條件的適應性。

關鍵詞：

雷達; 微動; 時頻分析; 微多普勒; 諧波

中圖分類號：

TN 95

文獻標志碼： A""" DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.07.14

Time-frequency harmonic wave analysis method of composite micro-Doppler signals

HUA Yuming*， WANG Dongya， ZHU Tianlin， JIN Sheng， WANG Yang

（Beijing Institute of Tracking and Telecommunication Technology， Beijing 100094， China）

Abstract：

In the time-frequency analysis of the echoes from targets with composite micro-motions， there is a problem that the energy of time-frequency strip is difficult to focus， which affects the extraction and analysis of the target’s micro-Doppler feature. To solve this problem， this paper proposes the concept of time-frequency harmonic stripes and corresponding time-frequency transformation methods. Based on the assumption that the composite micro-motions include central motion components and high-frequency motion components， firstly， spline function is used to fit the frequency curve of the central motion component， and therefore construct the time-frequency transform kernel is constructed. Then， parameterized time-frequency transform is used to convert the composite micro-Doppler signal in the time domain to harmonic stripes on the time-frequency plane. Compared with traditional methods such as short-time Fourier transform and pseudo Wigner-Ville distribution， the proposed method can significantly improve the energy aggregation and spur suppression of time-frequency transform of radar echoes from composite micro-motion targets. Simulation results verify the effectiveness of the proposed method and its adaptability to low signal-to-noise ratio （SNR） conditions.

Keywords：

radar; micro-motion; time-frequency analysis; micro-Doppler; harmonic wave

0" 引" 言

衛(wèi)星、導彈、飛機等目標在飛行的過程中，往往伴隨有自旋、進動、章動等微動現(xiàn)象［13］，微動通常表現(xiàn)為循環(huán)往復的周期性、小幅度運動，對雷達回波的頻率、相位、幅度等參數(shù)存在明顯的調制效應［45］，通過對雷達回波進行分析處理，能夠反演出微動類型、周期、幅度等特征參數(shù)，這些參數(shù)可以作為目標識別與狀態(tài)判別的重要依據(jù)［610］。時頻分析是微動特征分析提取的一種重要手段，Chen等［11］通過研究發(fā)現(xiàn)，微動對雷達回波的多普勒頻率存在明顯的邊帶調制效應，即微多普勒效應。微多普勒效應具有明顯的時變特性，適合采用時頻分析的方法，在時間—頻率二維平面上進行處理與研究［1213］。

然而在實際情況下，目標的微動現(xiàn)象往往比較復雜，通常表現(xiàn)為不同周期運動分量或者多個散射點運動分量疊加而成的復合微動形式［14］，例如自旋和錐旋復合形成進動、進動和進動軸抖動復合形成章動，以及尾翼旋轉和目標主體錐旋的復合等［15］。對于復合微動的雷達回波信號，常用的短時傅里葉變換（short-time Fourier transform， STFT）、魏格納分布（Wigner-Ville distribution， WVD）、偽WVD（pseudo WVD， PWVD）等經(jīng)典時頻分析方法易出現(xiàn)能量聚集性差、交叉項干擾幅度大等問題，難以獲取理想的微多普勒時頻條紋。

以經(jīng)典的STFT為例［16］，其原理是通過滑動的局部加窗處理實現(xiàn)對時變信號的頻譜分析，所選取的窗函數(shù)越短、時間分辨率越高、頻率分辨率越低、窗函數(shù)越長，則時間分辨率越低、頻率分辨率越高，當窗長與非平穩(wěn)信號的局部平穩(wěn)性較為匹配時，才能得到理想的時頻變換效果。但是對于復合微動問題，時間窗長的選取難以既匹配長周期運動分量，又兼顧短周期運動分量，因此導致時頻變換結果難以實現(xiàn)時頻曲線的能量聚焦，若采用短時間窗變換，只能獲得較低的頻率分辨率，若采用長時間窗變換，則容易出現(xiàn)明顯的雜散干擾，給復合微多普勒特征的提取和研究造成困難。

參數(shù)化時頻變換是近年來興起的一類時頻分析方法，其通過在時頻變換方法中增加與待分析信號有關的參數(shù)，獲得較高的能量聚焦和時頻分辨率性能。常見的參數(shù)化時頻分析方法有調頻小波變換［17］、分數(shù)階傅里葉變換［18］、Dopplerlet變換等［19］。Peng等［20］提出多項式調頻變換（polynomial chirplet transform， PCT），將參數(shù)搜索過程轉變?yōu)楹撕瘮?shù)的擬合過程，文獻［21］將PCT改進為樣條函數(shù)調頻變換（spline chirplet transform，SCT），文獻［22］通過提出旋轉因子和平移因子的概念，設計提出廣義參數(shù)化時頻變換算法（general parameterized time-frequency transform， GPTF）。

針對復合微動現(xiàn)象時頻變換結果的能量聚集性差、雜散干擾嚴重等問題，本文提出了時頻諧波條紋的概念以及相應的構造方法，該方法假設復合微動包含中心運動分量和高頻運動分量，通過參數(shù)化時頻變換將時域的復合微多普勒信號轉化為時頻域的諧波條紋。所提方法相比STFT、PWVD等經(jīng)典方法，能夠提高對復合微動目標雷達回波時頻變換的能量聚集性與雜散抑制效果，仿真分析驗證了該方法的有效性。

1" 鬼影現(xiàn)象與諧波條紋

1.1" 鬼影現(xiàn)象

2008年，Barber等發(fā)現(xiàn)在合成孔徑雷達（synthetic aperture radar， SAR）圖像中，有微動現(xiàn)象的散射點兩側會出現(xiàn)等間隔分布的點狀虛影，并稱其為“鬼影”現(xiàn)象［23］?！肮碛啊爆F(xiàn)象產(chǎn)生的原理是由目標微動對信號調制的周期性導致的傅里葉頻譜出現(xiàn)的離散的柵欄譜峰現(xiàn)象（見圖1）。在1993年，Bell等［24］提出的噴氣式引擎調制（jet engine modu-lation， JEM）技術中，就已經(jīng)用到該現(xiàn)象作為識別飛機型號和種類的特征。鄧彬等［25］對“鬼影”現(xiàn)象中鬼影點的間隔和數(shù)量等形態(tài)特征進行了定量分析，并提出利用這種現(xiàn)象進行SAR圖像中的動目標檢測。

“鬼影”現(xiàn)象的產(chǎn)生原理與微多普勒頻率調制的周期性有著密切關系，假設存在一個重復頻率為fmd的連續(xù)時間周期信號，則該信號可以展開為［26］傅里葉級數(shù)：

s（t）=∑∞n=－∞Cnejn2πfmdt（1）

式（1）說明，如果在信號積累時間內(nèi)包含多個微多普勒調制周期，回波信號頻譜的能量將聚集在f=0，±fmd，±2fmd，…附近，呈現(xiàn)出如圖1所示的諧波分解的特性。

1.2" 諧波條紋

微動目標回波信號頻譜中的“鬼影”現(xiàn)象也可以拓展至時間頻率二維平面中。以正弦調頻信號為例，在進行STFT變換時，若時間窗的長度包含了多個調頻周期，則頻譜中的柵欄狀譜峰將在時間頻率平面上連成平行的諧波條紋。值得注意的是，這些條紋具有很好的等間距性，相鄰兩個條紋的頻率間隔等于調頻周期的倒數(shù)。如圖2所示，對上述信號采用不同時間窗長進行STFT變換，隨著時間窗長的增加，條紋之間的分離度越來越高，諧波條紋現(xiàn)象越加明顯。由于這些條紋是由各次諧波分量構成的，因此將其稱為時頻諧波條紋（time-frequency harmonic strips，TFHS）現(xiàn)象。根據(jù)下面兩節(jié)的分析可以看出，由于時頻諧波條紋現(xiàn)象能夠將高頻微動分量轉化為分離明顯的諧波條紋，因而其可以作為分析多周期調頻分量復合信號的有力工具。

2" 復合微動的時頻諧波條紋構造

2.1" 信號模型分析

通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，進動、章動等常見的復合微動都呈現(xiàn)出相似的特點：以長周期的運動為中心分量，短周期的高頻運動圍繞中心分量往復運行。例如：進動是目標在長周期錐旋的同時伴隨短周期的自旋;章動是目標在錐旋（長周期）軸平面內(nèi)進行簡諧運動（短周期）［15］;對于有尾翼的旋轉彈頭或飛機螺旋槳等目標，可以看作是旋轉的部件繞著長周期運動的目標本體進行高頻運動［27］。這類復合微動對雷達回波信號的調制可以用以下數(shù)學模型近似表示：

Sr（t）=σCexp［j4πf0RC（t）］+

σHexp{j4πf0［RC（t）+RH（t）］}（2）

式中：f0表示雷達信號的載頻;RC和RH分別表示運動的中心分量和高頻分量;σC和σH分別表示中心分量和高頻分量對應的散射點散射強度。當存在轉動/抖動部件時，σC表示目標主體散射點的強度，σH代表部件的散射強度;對于光滑錐體的進動、章動等微動，不存在只包含中心運動分量的散射點，因此σC取值為0。

對于復合微動目標的雷達回波信號，不同周期的運動分量疊加之后，破壞了其中高頻分量的周期性，不再滿足諧波分解的基本條件，因此僅通過增加STFT時間窗長的方法無法獲得清晰的諧波條紋時頻分布。

舉例說明，假設目標上有兩個理想散射點，散射點A按照1 s的周期繞質心旋轉，散射點B以0.1 s的周期繞A旋轉，目標整體還存在平動，對仿真回波信號采用較長時間窗進行STFT變換得到的時頻分布如圖3所示，通過與圖2（c）比較可以看出，由于存在復合的微動，常用的時頻變換方法難以使信號能量在時頻平面上按照諧波條紋的方式有效聚集。

2.2" 變換方法

借助參數(shù)化時頻變換的概念，利用其核函數(shù)對時頻平面的旋轉特性，補償局部時間窗內(nèi)的長周期中心運動分量，達到獲取理想諧波條紋的目的。參數(shù)化時頻分析仍然以STFT為基礎，STFT的數(shù)學表達式為

VgLs（t，f）=ej2πft∫Rs（τ）g*L（τ-t）e-j2πfτdτ

（3）

式中：gL是長度為L的時間窗函數(shù)，本文中默認采用漢明窗;gL*為窗函數(shù)gL取共軛復數(shù)。通過在STFT的基礎上，引入旋轉因子和平移因子的概念［22］，可以得到GPTF，其表達式為

TFgL2s（t，f;κP）=

ej2πft∫Rs（τ）RP，t（τ）SP，t（τ）gL2（τ－t）e－j2πfτdτ （4）

式中：RP，t（τ）為旋轉因子；SP，t（τ）為平移因子。它們均可通過核函數(shù)κP進行構造：

RP，t（τ）=expj∫τtκP（x）dx

SP，t（τ）=exp［jκP（t）（t－τ）］ （5）

在分析復合微動特征的時，可以令κP（t）逼近中心運動分量的多普勒頻率，從而在時頻分析中的局部變換時間窗內(nèi)，使旋轉因子和平移因子能夠補償?shù)糁行姆至繋淼恼{頻斜率，減小對高頻分量周期特性的影響，最終獲得能量聚集性高、分離度好的時頻諧波條紋結果。

假設滿足κP等于中心運動分量的多普勒頻率的條件，即

κP=4πf0ΔRC（6）

式中：ΔRC=RC/t。將式（2）和式（6）代入式（4）并進行化簡，可以得到

TFgL2s（t，f;κP）=

ej2πft∫R［σHej4πf0（RC（τ）+RH（τ））+σCej4πf0RC（τ）］·

ej4πf0［－RC（τ）+RH（t）+τΔRC（t）］gL2（τ－t）e－j2πfτdτ=

ej4πf0RC（t）ej2πft∫RσHej4πf0RH（τ）gL2（τ－t）e－j2π（f－2f0ΔRC（t））τdτ+

ej4πf0RC（t）ej2πft∫RσCgL2（τ－t）e－j2π（f－2f0ΔRC（t））τdτ（7）

式（7）中的兩項均可以看成是式（3）中STFT的形式，因此可以得到

TFgL2s（t，f;κP）=

ej4πf0RC（t）［VgL2SH（t，f－2f0ΔRC（t））+

VgL2σC（t，f－2f0ΔRC（t））］ （8）

式中：VgL2SH（t，ω）表示對高頻分量SH=σHej4πf0RH（t）的STFT分布。由于RH（t）是短周期的高頻微動分量，當時間窗長L2足夠大時，VgL2SH（t，ω）將呈現(xiàn)出諧波條紋現(xiàn)象。VgL2σC（t，ω）是對中心分量強度σC的STFT變換，由于σC為緩變實數(shù)，所以變換結果為一條直線。因此，式（8）在時頻平面上表現(xiàn)出以f=2f0ΔRC（t）為中心的諧波條紋現(xiàn)象。

對于上述方法，本文將其稱為基于中心分量核函數(shù)的GPTF（centered-GPTF， C-GPTF）。圖4是利用C-GPTF變換重新分析圖3中的信號的結果，從圖4中能夠看出獲得了清晰的TFHS分布。

2.3" 核函數(shù)構造

根據(jù)上述分析，在C-GPTF變換中，為了獲得理想的TFHS現(xiàn)象，需要構造出能夠逼近中心分量多普勒頻率的核函數(shù)，通常考慮借助多項式逼近、樣條函數(shù)擬合等方法。在本文方法的應用場景下，考慮到微多普勒信號通常為高階的周期性調頻，因此經(jīng)過綜合權衡，采用樣條函數(shù)方法［28］進行核函數(shù)的構造，能夠避免多項式方法容易出現(xiàn)的龍格現(xiàn)象。

圖5是構造變換核函數(shù)并獲取諧波條紋時頻分布的具體算法流程。

在具體實施過程中，假設信號采樣時序為

tn=t1，t2，…，tN（9）

首先利用較長時間窗的STFT對信號s（tn）進行第1次時頻變換，獲得時頻分布VgLs（tn，fm），其中fm（m=1，2，…，M）為時頻分布的頻率采樣單元。

對于每個時刻tn，在一定的范圍內(nèi)通過加權平均估計能量重心所在的頻率位置：

y（tn）=∑Mm=1fm·|VgLs（tn，fm）|∑Mm=1|VgLs（tn，fm）|（10）

利用樣條函數(shù)方法對（tn，y（tn））（n=1，2，…，N）序列進行擬合，得到核函數(shù)κ^P（tn）（n=1，2，…，N）。再將κ^P（tn）代入式（4）和式（5），就得到了C-GPTF的時頻分布結果TFgL2s（tn，fm）。

為了優(yōu)化計算結果，提高時頻分析的能量聚集性，可以重復上述步驟，利用C-GPTF的時頻分布對核函數(shù)κ^P（tn）進行迭代更新。

3" 仿真分析

以光滑錐體雙錐旋運動為仿真場景，對本文方法與STFT、PWVD這兩種常用的時頻變換方法進行比較分析。

3.1" 仿真場景設置

實際情況下，錐體目標的質心與幾何軸心會存在微小偏差，因此在進動過程中，自旋分量會表現(xiàn)為小幅度、高頻率的錐旋運動，從而使進動對雷達回波的調制作用等效為低頻和高頻兩個錐旋運動復合的雙錐旋形式。按照幾何關系進行推導，可以得到雙錐旋運動相對雷達的目標視角變化函數(shù)：

cosθ（tn）=

1-（sin α sin β1 sin（ω1tn-φ1）+cos α1 cos β1）2·

sin β2 sin（ω2tn-φ2）+

sin α sin β1 sin（ω1tn-φ1）cos β2+

cos α1 cos β1 cos β2

（11）

式（11）中每個參數(shù)的物理意義及仿真時的取值在表1中列出。

利用FEKO軟件進行電磁計算仿真［29］。仿真目標為光滑錐體，高為1.5 m，底部半徑為0.25 m，設置雷達發(fā)射信號頻率范圍為9～11 GHz，脈沖重復頻率PRF為500 Hz，根據(jù)式（11）中的視角θ（tn）變化函數(shù)，利用FEKO進行電磁計算，產(chǎn)生目標的寬帶回波數(shù)據(jù)，并添加高斯白噪聲（SNR為－5 dB）。

3.2" 仿真處理結果和性能比較

對仿真0～2.2 s時間內(nèi)的寬帶回波數(shù)據(jù)（共1 100幀）逐幀進行脈沖壓縮處理，得到如圖6所示的高分辨一維距離像序列。由于信號噪聲較強，錐頂散射點淹沒在噪聲中難以分辨，只有錐底的滑動散射點P1的回波幅度較為明顯。逐幀選取包含散射點P1的距離單元中的信號，構成待分析的時域信號SP1（tn）（n=1，2，…，1 100）。

通過時頻變換獲取信號SP1（tn）的時頻分布，如圖7所示，分別采用STFT、PWVD兩種經(jīng)典方法對信號SP1（tn）進行時頻變換［30］。其中，圖7（a）和圖7（b）是STFT變換結果，分別采用0.07 s和0.35 s兩種窗長進行處理，可以看出采用短窗時（圖7（a））頻率分辨率較低，信號能量在整個時頻平面上擴散范圍較大;采用長窗時（見圖7（b））則出現(xiàn)了時頻條紋難以聚焦的情況，信號能量雜亂地分散在中心分量兩側約30 Hz的范圍內(nèi)。圖7（c）和圖7（d）是采用PWVD的變換結果，同樣采用了0.07 s和0.35 s兩種窗長，相比STFT變換結果，頻率分辨率有明顯提高，但是卻出現(xiàn)了較為明顯的雜散影響。

從STFT和PWVD的長窗分析結果中（見圖7（b）和圖7（d））已經(jīng)可以看出，通過增加時頻變換時間窗的長度，時頻平面上出現(xiàn)了諧波條紋的初步輪廓。但是，由長窗STFT變換得到的時頻諧波條紋分布的主要問題是聚焦效果差，并且中心條紋也受到窗長失配的影響而出現(xiàn)明顯展寬;長窗PWVD變換結果整體上呈現(xiàn)出的諧波條紋已較為明顯，其主要問題是雜散情況較為嚴重，這主要是源于WVD方法雙線性變換的局限性，即在調頻率拐點附近容易出現(xiàn)明顯的交叉項干擾。此外，該方法得到的諧波條紋在局部結構上并不穩(wěn)定，條紋連續(xù)性比較差。以上問題通過本文提出的C-GPTF方法可以得到有效改善。

圖8是通過本文算法進行時頻變換后得到的諧波條紋時頻分布（采用0.35 s的窗長），與STFT、PWVD兩種方法得到的結果相比，本文方法清晰地分離出了中心運動分量的微多普勒頻率條紋，并將圍繞中心分量的高頻分量轉化成了穩(wěn)定的諧波條紋結構。

通過圖像直觀比較可以看出，C-GPTF具有較高的能量聚集性，信號能量在時頻平面上主要集中在中心條紋和諧波條紋附近;同時，C-GPTF也較好地抑制了PWVD方法存在的雜散情況。

為定量比較本文算法的能量聚焦情況，對上述時頻分布圖像進行幅度歸一化之后，按照幅度大于特定門限的像元數(shù)量占比進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結果如圖9所示。

假設設定門限為－9 dB，則幅度大于此門限的像元數(shù)量比例分別為：短窗STFT和PWVD分別是16.6%和15.5%，長窗STFT和PWVD分別是8.3%和4.7%，本文方法得到的諧波條紋時頻分布為4.8%。經(jīng)比較，本文提出的時頻變換方法的能量聚集性與PWVD方法接近，明顯好于相同條件下的STFT方法。

為了定量比較本文算法的雜散抑制性能，如圖10所示，在上述時頻分布中抽取兩個時刻的頻率切面進行比較，分別是0.5 s（該時刻信噪比較低）、1.076 s（該時刻處于調頻斜率拐點）。

從圖10可以看出：

（1） 本文方法得到的時頻分布在頻率切面上能夠穩(wěn)定地維持中心頻率分量加對稱諧波的結構特點（見圖10（c）和圖10（f））;STFT方法由于散焦和主瓣展寬（見圖10（a）），PWVD方法由于雜散較強（見圖10（b）和圖10（e）），在低信噪比或調頻斜率變化快的情況下，難以較好地維持局部諧波結構。

（2） 在雜散的最大幅度上，本文方法相比STFT平均降低5.6 dB，相比PWVD平均降低4.75 dB，雜散幅度明顯降低。

（3） 在雜散的數(shù)量上（以≥－9 dB為門限），在0.5 s時刻，STFT雜散個數(shù)為21，PWVD為39，本文方法僅為7;在1.076 s時刻，由于調頻率變化較大，PWVD雜散個數(shù)增加到了45，本文方法僅有2個－9 dB以上的雜散。

圖10中仿真結果的最大雜散幅度和雜散數(shù)量統(tǒng)計見表2。

從上述分析可見，針對復合微動目標的雷達回波，采用本文提出的C-GPTF方法，相比STFT、PWVD等現(xiàn)有方法，能夠獲得結構穩(wěn)定、分離度好的諧波條紋時頻分布，有效提高時頻分布的能量聚集性，同時能夠較好地抑制時頻分布中的雜散成分。

3.3" 低信噪比時的算法性能

實際情況下，由于空天目標距離較遠，且常常利用特殊設計的外形和涂層降低其雷達散射截面積，導致雷達接收到的目標回波信噪比較弱，因此需要對本文方法在低信噪比條件下的適應性進行分析。

圖11是采用本文C-GPTF算法在回波信噪比分別為-8 dB、-12 dB、-16 dB、-18 dB時的變換結果。從圖11可以看出：

（1） 隨著回波信噪比的下降，時頻分布圖像中的雜散問題越來越明顯，雜散數(shù)量和幅度逐漸增加，同時諧波條紋也受到噪聲影響，越來越難以分辨。

（2） 在回波信噪比為-16 dB的情況下（見圖11（c）），諧波條紋基本被淹沒在噪聲和雜散中，難以分辨，但是中心條紋仍然可以清晰分辨，易于進行檢測和提取，且未發(fā)生明顯畸變。

（3） 在回波信噪比為-18 dB的情況下（見圖11（d）），中心條紋出現(xiàn)明顯畸變，導致算法失效。

通過上述分析可知，本文C-GPTF算法在該場景下能夠適用的回波信噪比最低約為-16 dB。當信噪比進一步下降時，由于構造出的核函數(shù)與中心分量多普勒頻率出現(xiàn)了較大幅度的偏差，從而導致本文算法失效。

4" 結" 論

本文研究了復合微動目標雷達回波的時頻分析問題，從“鬼影”現(xiàn)象出發(fā)，提出了時頻諧波條紋的概念與變換分析方法，利用所提方法對長短周期分量復合的微動特征進行時頻變換，具有較好的能量聚焦性能和雜散抑制性能。本文提供了一種復雜微動目標雷達信號分析的新方法。

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作者簡介

華煜明（1990—），男，助理研究員，碩士，主要研究方向為雷達信號處理、雷達總體設計。

王東亞（1970—），男，研究員，碩士，主要研究方向為目標探測與識別。

朱天林（1967—），男，研究員，碩士，主要研究方向為目標探測與識別。

金" 勝（1973—），男，研究員，博士，主要研究方向為雷達總體設計。

王" 洋（1981—），女，副研究員，碩士，主要研究方向為雷達總體設計。