摘" 要：

本文對G-混合冗余策略下可修系統(tǒng)的可靠性進行了研究，該系統(tǒng)由4個部件和1個修理工組成，修理工采用多重休假策略，以使人力資源得到充分利用。模型中各類隨機變量用PH（phase-type）分布來描述，由此建立了通用性較好的系統(tǒng)可靠性模型，并運用矩陣分析的方法推導出系統(tǒng)在瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)情形下的一些可靠性指標。最后，通過數(shù)值算例驗證了模型的適用性，并對G-混合冗余策略下系統(tǒng)的可靠性與K-混合冗余策略下系統(tǒng)的可靠性進行了比較。結果表明，所提出的可靠性模型在G-混合冗余策略下的可靠性明顯高于在K-混合冗余策略下的可靠性。

關鍵詞：

PH分布; 多重休假; G-混合冗余策略; 可修系統(tǒng)

中圖分類號：

F 254.3， O 213

文獻標志碼： A""" DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.07.20

Reliability of multi-state repairable systems under G-mixed

redundancy strategy

WEN Yanqing1， LIU Baoliang1，*， SHI Haiyan1， QIU Qing’an2， GAO Caiwen1

（1. College of Mathematics and Statistics， Shanxi Datong University， Datong 037009， China;

2. School of Management and Economics， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China）

Abstract：

In this paper， the reliability for a repairable system under G-mixed redundancy strategy is investigated. The system consists of four components and a repairman， in which the multiple vacation policy of the repairman is adopted so that the human resources can be fully utilized. The phase-type （PH） distribution is used to describe various random variables in the model. A system reliability model with better commonality is developed， and some reliability indexes of the system are obtained in both transient and stationary regimes by employing matrix-analytic method. Finally， the applicability of the model is verified by numerical examples， and the system reliability under G-mixed redundancy strategy is compared with that under K-mixed redundancy strategy. The results show that the proposed reliability model under G-mixed redundancy strategy is significantly higher than that under the K-mixed redundancy strategy.

Keywords：

phase-type （PH） distribution; multiple vacation; G-mixed redundancy strategy; repairable system

0" 引" 言

對于高科技工業(yè)的系統(tǒng)設計師來說，如何提高系統(tǒng)的可靠性是一個至關重要的問題，通過使用可靠性高的部件或者冗余部件是經(jīng)常采用的方法［12］。這些方法在容錯計算機系統(tǒng)、微電網(wǎng)配電和飛機液壓系統(tǒng)中有廣泛的應用。但是，增加冗余部件往往導致系統(tǒng)費用、體積、重量也隨之增加。因此，在不增加系統(tǒng)費用的前提下設法使系統(tǒng)的可靠性達到最優(yōu)，這是研究者們一直關注的問題。一般地，主動冗余策略和貯備冗余策略是常用的提高系統(tǒng)可靠性的冗余策略。根據(jù)環(huán)境條件對貯備部件性能影響的不同，貯備冗余策略可以分為冷貯備、溫貯備、熱貯備3種模式［35］。

Ardakan等［6］2014年在傳統(tǒng)主動冗余策略和貯備冗余策略的基礎上提出了第3種冗余策略，稱為混合冗余策略。在混合冗余策略下，系統(tǒng)初始時刻同時包含活躍部件和貯備部件，當最后一個活躍部件故障時，第一個貯備部件替換故障部件進行在線工作。直到所有的貯備部件故障，系統(tǒng)才停止工作?；旌先哂嗖呗允侵鲃尤哂嗖呗院唾A備冗余策略的一般形式［78］。

Peiravi等［9］在混合冗余策略的基礎上提出了一種新的冗余策略：K-混合冗余策略。不同于混合冗余策略，K-混合冗余策略設法保持系統(tǒng)中初始活躍部件的個數(shù)，K-混合冗余策略是混合冗余策略更一般的形式。最近，Sedaghat等［10］提出了一種新的穩(wěn)健的冗余策略：G-混合冗余策略，G-混合冗余策略是先前所有冗余策略的更一般形式。到目前為止，研究者們把混合冗余策略、K-混合冗余策略、G-混合冗余策略主要用于冗余分配問題［1112］和可靠性優(yōu)化問題［1314］。Sharifi等［15］采用混合冗余策略優(yōu)化了n中取k負載共享系統(tǒng)的周期檢查間隔。Peiravi等［16］采用K-混合冗余策略討論了可靠性優(yōu)化中的冗余分配問題。Juybari等［17］利用矩陣分析的方法研究了混合冗余策略下三部件可修系統(tǒng)的可靠性，并與主動冗余策略下系統(tǒng)的可靠性進行了比較，結果表明混合冗余策略下系統(tǒng)的可靠性高于主動冗余策略下系統(tǒng)的可靠性。Liu等［18］采用K-混合冗余策略和多重休假策略建立了三部件可修系統(tǒng)模型，模型中涉及到的隨機時間分布都假定服從phase-type（PH）分布，并把K-混合冗余策略下系統(tǒng)的可靠性與混合冗余策略下系統(tǒng)的可靠性進行了比較，結果表明K-混合冗余策略下系統(tǒng)有較高的可靠性。

由于PH分布具有以任意精度近似任何非負隨機變量的特點，且PH分布在運算上具有封閉性，與其他分布相比，其通用性更好，理論上更易于處理。因此，PH分布已廣泛應用于許多領域。在可靠性理論中，隨機時間的分布采用PH分布，可以得到有用的結果。尹東亮等［19］利用PH分布建立了多維修臺異步單重休假的溫貯備冗余系統(tǒng)可靠性模型。陳童等［20］利用PH分布研究了n中取k系統(tǒng)的可靠性。Liu等［21］利用PH分布和馬爾可夫到達過程建立了修理工工作休假和多重休假的多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性模型。溫艷清等［22］把離散PH分布引入兩部件冷貯備可修系統(tǒng)模型中。其他一些利用PH分布進行可靠性建模的文獻，可參見文獻［2327］。

以往的研究主要集中在采用混合冗余策略或者K-混合冗余策略不可修系統(tǒng)的冗余分配問題和故障特征上，或者是傳統(tǒng)冗余策略下的可修系統(tǒng)，如冷貯備可修系統(tǒng)、溫貯備可修系統(tǒng)、n中取k：G可修系統(tǒng)，而G-混合冗余策略下的可修系統(tǒng)沒有受到關注?；诖?，本文對G-混合冗余策略下的四部件可修系統(tǒng)進行建模和可靠性評估，模型中由PH分布描述各類時間隨機變量，修理工采用多重休假策略，利用矩陣分析的方法推導出系統(tǒng)在瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)下的一些可靠性指標，并且對G-混合冗余策略下系統(tǒng)的可靠性與K-混合冗余策略下系統(tǒng)可靠性進行了比較。

1" G-混合冗余策略的運行機制

為了更好地理解G-混合冗余策略的運行機制，以四部件組成的系統(tǒng)為例，說明前面提到的5個不同的冗余策略：主動冗余策略、貯備冗余策略、混合冗余策略、K-混合冗余策略以及G-混合冗余策略。表1是由四部件組成的系統(tǒng)在不同冗余策略下活躍部件數(shù)nA和貯備部件數(shù)ns取值情況。為了與后續(xù)討論一致，在G-混合冗余策略中，系統(tǒng)盡可能保持活躍模式的部件數(shù)取值為nG=2。

從圖1可以看出，在混合冗余策略下，當部件2發(fā)生故障時，貯備部件4并不對故障部件2進行替換，只有當在線工作的3個部件都發(fā)生故障時，貯備部件才替換故障部件在線工作;而在K-混合冗余策略下，當部件2發(fā)生故障時，貯備部件4立刻替換故障部件2在線工作，因為K-混合冗余策略是設法保持系統(tǒng)中初始活躍部件的個數(shù)，如圖2所示。從圖3可以看出，與K-混合冗余策略不同，G-混合冗余策略設法保持系統(tǒng)中工作的部件數(shù)nG=2，所以當部件2發(fā)生故障時，貯備部件4不對其進行替換，而當部件1發(fā)生故障時，貯備部件4立刻對其進行替換在線工作，確保在線工作的部件數(shù)等于2。

2 模型構建

2.1" 模型假設

考慮一個由4個部件、1個維修工以及1個開關組成的可修系統(tǒng)，為了提高系統(tǒng)的可靠性，減少系統(tǒng)由于突然停機造成的經(jīng)濟損失，系統(tǒng)模型采用G-混合冗余策略模式（見圖3，nG=2），維修工休假采用多重休假策略［5，21，25］。假設在任意時刻開關完好的概率為p，故障的概率為q=1－p，模型的具體假設如下。

假設 1" 在初始時刻t=0，系統(tǒng)中4個部件都是新的，且開關完好，部件1～部件3在線開始工作，部件4冷貯備，維修工離開系統(tǒng)開始他的第1次休假。系統(tǒng)運行一段時間后，如果在線工作部件有一個發(fā)生了故障（例如部件2故障），而部件1和部件3仍然正常工作，那么根據(jù)G-混合冗余策略，貯備部件4不對故障部件進行替換。如果另一個也發(fā)生了故障（例如部件1故障），那么貯備部件4替換故障部件1在線開始工作（如果此時開關完好），因為G-混合冗余策略設法保持系統(tǒng)中工作的部件數(shù)nG=2。當系統(tǒng)中所有部件都發(fā)生了故障時，系統(tǒng)就停止工作。

假設 2" 當維修工從他的第1次休假返回，如果系統(tǒng)中此時沒有故障的部件等待維修，那么其立即進行第2次休假;如果系統(tǒng)中此時有故障的部件等待維修，那么其停止休假，先維修開關（如果開關不可用），再按照“先進先出”的規(guī)則，立即對故障的部件進行維修，且修復如新，直到系統(tǒng)中所有部件和開關都完好，才進行第2次休假，即維修工采用多重休假策略。

假設 3" 開關的維修時間忽略不計。

假設 4" 在線工作部件的壽命服從階數(shù)為m的PH分布，表示為PH（α，H）;維修工的休假時間服從階數(shù)為n1的PH分布，表示為PH（β，S）;故障部件的維修時間服從階數(shù)為n2的PH分布，表示為PH（γ，T）。

假設 5" 系統(tǒng)中所有隨機變量相互獨立。

以上所建立的系統(tǒng)模型可用于微電網(wǎng)配電［28］、飛機液壓動力系統(tǒng)［29］和油輪的發(fā)電機組［30］等實際工程系統(tǒng)中。

在能源短缺的發(fā)展中國家提供經(jīng)濟環(huán)保的電力是一個具有挑戰(zhàn)性的問題，可以通過部署微電網(wǎng)技術來解決。通常，每個微電網(wǎng)由若干可再生能源組成，這些可再生能源發(fā)電以滿足電力需求。每個可再生能源，如光伏、風力渦輪機、電池存儲和水力發(fā)電，可被視為獨立發(fā)電的冗余單元。為了提高微電網(wǎng)的可靠性，建議研究所有可能的冗余策略并選擇最佳方案，G-混合冗余策略是優(yōu)選方案之一。此外，由于可再生能源容易發(fā)生故障，因此需要一名維修人員對微電網(wǎng)執(zhí)行維?；顒印．斘㈦娋W(wǎng)中沒有故障的可再生能源時，維修人員將執(zhí)行其他分配的職責（如預防性維護），這表明維修人員正在休假。因此，可以在有修理工的G-混合冗余策略下研究微電網(wǎng)結構，這與以上提出的可靠性模型相吻合。因此，本模型可能有助于優(yōu)化微電網(wǎng)的性能。

根據(jù)模型的假設，系統(tǒng)可以用一個連續(xù)時間馬爾可夫過程{X（t），t≥0}來刻畫，且系統(tǒng)的狀態(tài)空間可以表示為Ω={S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10，S11，S12，S13，S14}。為了便于討論，定義位相{（i1，i2，i3，l，k）：1≤i1≤m，1≤i2≤m，1≤i3≤m，1≤l≤n1，1≤k≤n2}。其中i1，i2，i3分別表示在線工作部件1～部件3的工作位相，l表示維修工休假時間的位相，k表示故障部件的修理時間位相。狀態(tài)空間Ω中每個宏狀態(tài)表示的意義如下。

S1={（0，i1，i2，i3，l）：1≤i1≤m，1≤i2≤m，

1≤i3≤m，1≤l≤n1}

表示系統(tǒng)中故障部件的個數(shù)是0，3個部件在線工作，另一個部件冷貯備，維修工在休假。

S2={（0，i2，i3，k）：1≤i2≤m，1≤i3≤m，1≤l≤n1;

（0，i1，i3，k）：1≤i1≤m，1≤i3≤m，1≤l≤n1;

（0，i1，i2，k）：1≤i1≤m，1≤i2≤m，1≤l≤n1}

表示系統(tǒng)中故障部件的個數(shù)是0，兩個部件在線工作，另外兩個部件冷貯備，維修工在休假。

S3={（1，i1，l）：1≤i1≤m，1≤l≤n1;

（1，i2，l）：1≤i2≤m，1≤l≤n1;

（1，i3，l）：1≤i3≤m，1≤l≤n1}

表示系統(tǒng)中故障部件的個數(shù)是1，一個部件在線工作，一個部件故障且等待維修，另外兩個部件冷貯備，維修工在休假。這種情形下，系統(tǒng)中雖然有兩個貯備部件，但是此時開關故障不可用，所以冷貯備部件不能替換故障部件在線工作。

S4={（1，i2，i3，l）：1≤i2≤m，1≤i3≤m，1≤l≤n1;

（1，i1，i3，l）：1≤i1≤m，1≤i3≤m，1≤l≤n1;

（1，i1，i2，l）：1≤i1≤m，1≤i2≤m，1≤l≤n1}

表示系統(tǒng)中故障部件的個數(shù)是1，兩個部件在線工作，一個部件故障且等待維修，另一個部件冷貯備，維修工在休假。

S5={（1，i2，i3，k）：1≤i2≤m，1≤i3≤m，1≤k≤n2;

（1，i1，i3，k）：1≤i1≤m，1≤i3≤m，1≤k≤n2;

（1，i1，i2，k）：1≤i1≤m，1≤i2≤m，1≤k≤n2}

表示系統(tǒng)中故障部件的個數(shù)是1，兩個部件在線工作，一個部件故障，另一個部件冷貯備，維修工正在對故障部件進行維修。

S6={（2，l）：1≤l≤n1}

表示系統(tǒng)中故障部件的個數(shù)是2，兩個部件故障且等待維修，另外兩個部件冷貯備，維修工在休假。這種情形下，系統(tǒng)中雖然有兩個貯備部件，但是此時開關故障不可用，所以冷貯備部件不能替換故障部件在線工作。

S7={（2，i2，i3，l）：1≤i2≤m，1≤i3≤m，1≤l≤n1;

（2，i1，i3，l）：1≤i1≤m，1≤i3≤m，1≤l≤n1;

（2，i1，i2，l）：1≤i1≤m，1≤i2≤m，1≤l≤n1}

表示系統(tǒng)中故障部件的個數(shù)是2，兩個部件在線工作，兩個部件故障且等待維修，維修工在休假。

S8={（2，i3，l）：1≤i3≤m，1≤l≤n1;

（2，i2，l）：1≤i2≤m，1≤l≤n1;

（2，i1，l）：1≤i1≤m，1≤l≤n1}

表示系統(tǒng)中故障部件的個數(shù)是2，一個部件在線工作，兩個部件故障且等待維修，另一個部件冷貯備，維修工在休假。這種情形下，系統(tǒng)中雖然有一個貯備部件，但是此時開關故障不可用，所以冷貯備部件不能替換故障部件在線工作。

S9={（2，i2，i3，k）：1≤i2≤m，1≤i3≤m，1≤k≤n2;

（2，i1，i3，k）：1≤i1≤m，1≤i3≤m，1≤k≤n2;

（2，i1，i2，k）：1≤i1≤m，1≤i2≤m，1≤k≤n2}

表示系統(tǒng)中故障部件的個數(shù)是2，兩個部件在線工作，其他兩個部件故障，維修工按照維修規(guī)則正在對故障部件進行維修。

S10={（3，i3，l）：1≤i3≤m，1≤l≤n1;

（3，i2，l）：1≤i2≤m，1≤l≤n1;

（3，i1，l）：1≤i1≤m，1≤l≤n1}

表示系統(tǒng)中故障部件的個數(shù)是3，一個部件在線工作，其他3個部件故障且等待維修，維修工在休假。

S11={（3，i3，k）：1≤i3≤m，1≤k≤n2;

（3，i2，k）：1≤i2≤m，1≤k≤n2;

（3，i1，k）：1≤i1≤m，1≤k≤n2}

表示系統(tǒng)中故障部件的個數(shù)是3，一個部件在線工作，其他3個部件故障，維修工按照維修規(guī)則正在維修故障的部件。

S12={（3，l）：1≤l≤n1}

表示系統(tǒng)中故障部件的個數(shù)是3，一個部件在冷貯備，其他3個部件故障且等待維修，維修工在休假。這種情形下，系統(tǒng)中雖然有一個貯備部件，但是此時開關故障不可用，所以冷貯備部件不能替換故障部件在線工作。

S13={（4，l）：1≤l≤n1}

表示系統(tǒng)中故障部件的個數(shù)是4，故障部件等待維修，維修工在休假。

S14={（4，k）：1≤k≤n2}

表示系統(tǒng)中故障部件的個數(shù)是4，維修工正在按照維修規(guī)則對故障部件進行維修。

因此，系統(tǒng)的工作狀態(tài)集為U={S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10，S11}，故障狀態(tài)集為F={S12，S13，S14}，且這些宏狀態(tài)之間的相互轉移情況如圖4所示。

2.2" 無窮小生成元

根據(jù)以上系統(tǒng)狀態(tài)空間中各個宏狀態(tài)表示的意義以及系統(tǒng)狀態(tài)空間的劃分，可以得到該連續(xù)時間馬爾可夫過程{X（t），t≥0}的無窮小生成元Q如下：

S1" S2" S3" S4" S5" S6" S7" S8" S9" S10" S11" S12" S13" S14

Q=

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

S11

S12

S13

S14A100D10000000000

0A2B1C10000000000

00A30C2D200000000

000A4B20D3E1000000

0G300A5000E200000

00000A600D400000

000000A70C3D50000

0000000A8B300E300

0000G5000A90C4000

000000000A10B40D60

00000000G20A1100D7

0000000000G1A1200

000000000000A13B5

0000000000G400A14（1）

其階數(shù)為：

m3n1+3m2n1+2m2n2+3mn1+mn2+3n1+n2。且W0=－We，S0=－Se，T0=－Te，e是全部元素都為1的列向量，Ij表示階數(shù)為j的單位矩陣，下文中e和Ij的含義同此。

A1表示宏狀態(tài)S1到宏狀態(tài)S1之間的轉移：

A1=（W⊕W⊕W）In1+ImImImS+

ImImImS0β

式中：（W⊕W⊕W）In1表示3個在線工作部件中的一個部件工作位相發(fā)生轉移，其他兩個部件工作位相未發(fā)生轉移，且維修工休假位相也未發(fā)生轉移;ImImImS表示3個在線工作部件的工作位相未發(fā)生轉移，而維修工的休假位相發(fā)生了轉移;ImImImS0β表示3個在線工作部件的工作位相未發(fā)生轉移，而維修工從休假返回S0，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中沒有故障部件，所以以向量β立即開始其第2次休假。同理可知：

A2=WImIn1+ImWIn1+ImImS+ImImS0β

A3=WIn1+In1S

A4=WImIn1+ImWIn1+ImImS

A5=WImIn2+ImWIn2+ImImT

A6=S

A7=WImIn1+ImWIn1+ImImS

A8=WIn1+ImS

A9=WImIn2+ImWIn2+ImImT

A10=WIn1+ImS

A11=WIn2+ImT

A12=S

A13=S

A14=T

B1=qW0ImIn1+ImqW0In1

B2=ImImS0γ

B3=αImS0γ

B4=ImS0γ

B5=S0γ

C1=pW0αImIn1+ImpW0αIn1

C2=αImS0γ

C3=ImImS0γ

C4=W0ImIn2+ImW0In2

D1=W0ImImIn1+ImW0ImIn1+ImImW0In1

D2=W0In1

D3=pW0αImIn1+ImpW0αIn1

D4=ααS0γ

D5=W0ImIn1+ImW0In1

D6=W0In1

D7=W0In2

E1=qW0ImIn1+ImqW0In1

E2=W0αImIn2+ImW0αIn2

E3=W0In1

G1=αS0γ

G2=αImT0γ

G3=ImImT0β

G4=αT0γ

G5=ImImT0γ。

2.3" 穩(wěn)態(tài)概率向量

令π=（πS1，πS2，πS3，πS4，πS5，πS6，πS7，πS8，πS9，πS10，πS11，πS12，πS13，πS14）表示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率向量，則πi（i∈{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10，S11，S12，S13，S14}）表示系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)時，處于宏狀態(tài)i的概率，其滿足如下方程：

πQ=0

πe=1 （2）

式中：0表示全部元素都為0的列向量;1表示全部元素都為1的列向量，解上述方程組，可得到系統(tǒng)處于各個宏狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)概率向量。

3" 可靠性指標

本節(jié)給出系統(tǒng)的瞬態(tài)可靠性指標：可用度、可靠度、故障頻度、修理工空閑的概率以及系統(tǒng)相應的穩(wěn)態(tài)可靠性指標。

令P（t）=（Pab（t））表示連續(xù)時間馬爾可夫鏈{X（t），t≥0}的轉移概率矩陣，元素Pab（t）表示0時刻系統(tǒng)處于宏狀態(tài)a的條件下，經(jīng)過時間t后處于宏狀態(tài)b的概率，即Pab（t）=P{X（t）=bX（t）=a}，a，b∈Ω，且轉移概率函數(shù)滿足P（t）=exp（Qt），P（0）=I。

3.1" 瞬態(tài)性能指標

3.1.1" 可用度

系統(tǒng)的瞬態(tài)可靠性指標定義為時刻t系統(tǒng)處于工作狀態(tài)的概率，由于系統(tǒng)的工作狀態(tài)集為

U={S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10，S11}

所以時刻t系統(tǒng)的瞬態(tài)可用度為

A（t）=1－（αααβ）∑13i=12PS1Si（t）en1+PS1S14（t）en2（3）

3.1.2" 可靠度和連續(xù)兩次故障的平均時間

可靠度定義為系統(tǒng)在時間區(qū)間［0，t］內(nèi)一直處于工作狀態(tài)的概率，令

S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11

QUU=

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

S11A100D10000000

0A2B1C10000000

00A30C2D200000

000A4B20D3E1000

0G300A5000E200

00000A600D400

000000A70C3D50

0000000A8B300

0000G5000A90C4

000000000A10B4

00000000G20A11（4）

從而可得系統(tǒng)的可靠度函數(shù)為

R（t）=（αααβ，0）·exp（QUUt）·

e［m3n1+3m2n1+2m2n2+3mn1+mn2+n1］（5）

連續(xù)兩次故障的時間服從階數(shù)為m3n1+3m2n1+2m2n2+3mn1+mn2+n1的PH分布，表示為PH（（αααβ，0），QUU），所以連續(xù)兩次故障的平均時間為μ=－（αααβ，0）Q－1UUe［m3n1+3m2n1+2m2n2+3mn1+mn2+n1］。

3.1.3" 系統(tǒng)的故障頻度

系統(tǒng)的故障頻度定義為系統(tǒng)單位時間的平均故障次數(shù)。當系統(tǒng)宏狀態(tài)S8→S12，S10→S13，S11→S14發(fā)生轉移時，系統(tǒng)發(fā)生故障，因此系統(tǒng)的瞬態(tài)故障頻度為

v（t）=（αααβ）［PS1S8（t）（W0en1）+

PS1S10（t）（W0en1）+PS1S11（t）（W0en2）］（6）

3.1.4" 維修工空閑的概率

當系統(tǒng)處于宏狀態(tài)S1，S2，S3，S4，S6，S7，S8，S10，S12，S13時，維修工在休假，而當系統(tǒng)處于宏狀態(tài)S5，S9，S11，S14時，維修工在維修故障部件，因此維修工空閑的概率為

pIdle（t）=1－（αααβ）［PS1S5（t）em2n2+

PS1S9（t）em2n2+PS1S11（t）em2n2+PS1S14（t）en2］（7）

3.2" 穩(wěn)態(tài)性能指標

3.2.1" 可用度

穩(wěn)態(tài)可用度度量系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)時，處于工作狀態(tài)所占的時間比例，從而

A=limt→∞ A（t）=1－（αααβ）{πS12en1+πS13en1+πS14en2}（8）

3.2.2" 故障頻度

系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)時故障頻度為

v=limt→∞ v（t）=πS8（W0en1）+πS10（W0en1）+πS11（W0en2）］（9）

3.2.3" 維修工空閑的概率

系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)時維修工空閑的概率為

pIdle=limt→∞ pIdle（t）=1－［πS5em2n2+πS9em2n2+πS11em2n2+πS14en2］（10）

4" 數(shù)值算例

本節(jié)通過一個數(shù)值算例來驗證前文所提新模型的正確性和有效性，并把該模型與存在的K-混合冗余策略多狀態(tài)可修系統(tǒng)模型進行了比較分析。系統(tǒng)中各個參數(shù)的取值如表2所示，取p=0.95。

4.1" 系統(tǒng)可靠性評估

圖5是系統(tǒng)的可用度函數(shù)曲線，在t=30之前，系統(tǒng)可用度下降較快，t=30之后系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)可用度，且穩(wěn)態(tài)可用度A=0.989 4。圖6是系統(tǒng)的可靠度函數(shù)曲線，在t=1 600之后系統(tǒng)可靠度接近于0，且系統(tǒng)連續(xù)兩次故障的平均時間為μ=305.739 8。圖7是系統(tǒng)的故障頻度函數(shù)曲線，在時間區(qū)間［0，15］內(nèi)，系統(tǒng)的故障頻度由0逐漸增大到0.004 1，之后系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)故障頻度v=0.004 1。圖8是維修工空閑的概率曲線，在時間區(qū)間［0，10］內(nèi)，維修工空閑的概率由1逐漸減小到0.628 6。t=10之后，維修工空閑的概率隨著時間的變化出現(xiàn)微小增加，且在t=35進入穩(wěn)態(tài)，穩(wěn)態(tài)情形下維修工空閑的概率為pIdle=0.640 1，即維修工大約有64.01%的時間處于休假模式，因此維修工可以利用休假時間兼職做其他工作，從而大大提高維修工的利用率，可以為企業(yè)增加利潤減少費用開支。

4.2" G-混合冗余策略模型與K-混合冗余策略模型可靠性比較

假設四部件K-混合冗余策略可修系統(tǒng)可以用一個時間連續(xù)的馬爾可夫過程{Y（t），t≥0}來刻畫，則對應的狀態(tài)空間為Ω′={S1，S′，S″，S4，S7，S8，

S9，S10，S11，S12，S13，S14}，其中宏狀態(tài)S1，S4，S7，S8，S9，S10，S11，S12，S13，S14表示的意義和前面相同，而

S′={（1，i1，i2，i3，l）：1≤i1≤m，1≤i2≤m，

1≤i3≤m，1≤l≤n1}

表示系統(tǒng)中故障的部件個數(shù)是1，3個部件在線工作，另一個部件故障等待維修，維修工在休假。

S″={（1，i1，i2，i3，k）：1≤i1≤m，1≤i2≤m，

1≤i3≤m，1≤k≤n2}

表示系統(tǒng)中故障的部件個數(shù)是1，3個部件在線工作，另一個部件故障且維修工正在對其進行維修。因此，系統(tǒng)的工作狀態(tài)集為U′={S1，S′，S″，S4，S7，S8，S9，S10，S11}，故障狀態(tài)集為F′={S12，S13，S14}，宏狀態(tài)之間的轉移率矩陣為

S1S′S″S4S7S8S9S10S11S12S13S14

Q′=S1

S′

S″

S4

S7

S8

S9

S10

S11

S12

S13

S14A1B′0D′00000000

0A′B″0D″0000000

G″0A″000E″00000

00G′A40E′000000

0000A70C3D50000

00000A8B300E300

00G000A90C4000

0000000A10B40D60

000000G20A1100D7

00000000G1A1200

0000000000A13B5

00000000G400A14

式中：

A′=W⊕W⊕W⊕S

A″=W⊕W⊕W⊕T

B′=pW0αImImIn1+ImpW0αImIn1+

ImImpW0αIn1

B″=ImImImS0γ

D′=qW0ImImIn1+ImqW0ImIn1+

ImImqW0In1

D″=W0ImImIn1+ImW0ImIn1+

ImImW0In1

E′=W0ImIn1+ImW0In1

E″=W0ImImIn2+ImW0ImIn2+

ImImW0In2

G′=αImImS0γ

G″=ImImImT0β

G=αImImT0γ

矩陣Q′中的其他元素和矩陣Q中的相應元素完全相同。

系統(tǒng)相關參數(shù)取表2中的值且p=0.95，則G-混合冗余策略和K-混合冗余策略模型下系統(tǒng)的可用度函數(shù)和可靠度函數(shù)曲線比較如圖9和圖10所示。從圖9可以看出，G-混合冗余策略下系統(tǒng)的可用度曲線明顯高于K-混合冗余策略下系統(tǒng)的可用度曲線，兩種冗余策略模式下系統(tǒng)都是在t=30后達到穩(wěn)態(tài)可用度，但K-混合策略模式下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度僅為A′=0.984 2，即K-混合冗余策略模式下系統(tǒng)有98.42%的時間處于工作狀態(tài)。從圖10兩種冗余策略模式下系統(tǒng)可靠度曲線的比較可以看出，系統(tǒng)在G-混合冗余策略模式下的可靠度曲線明顯高于在K-混合策略模式下的可靠度曲線;在K-混合策略模式下，系統(tǒng)連續(xù)兩次故障的平均時間僅為μ′=201.636 0，所以系統(tǒng)設計師應該通過采用G-混合冗余策略的模式來提高系統(tǒng)的可靠性。

系統(tǒng)可靠度曲線

5" 結" 論

本文把G-混合冗余策略引入到可修系統(tǒng)的建模中，提出了G-混合冗余策略多狀態(tài)可修系統(tǒng)可靠性模型，模型中采用維修工多重休假策略，使得人力資源得到充分的利用，從而達到增加系統(tǒng)利潤的目的。

模型中各類隨機時間分布利用PH分布進行擬合，因為任意一個非負連續(xù)隨機變量都可以用PH分布逼近到任意的精度，且PH分布的矩陣表示便于計算機求解，使得模型具有通用性和良好的解析性。通過運用矩陣分析的方法，獲得了系統(tǒng)在瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)情形下的一些可靠性指標，并通過數(shù)值算例分析了模型的適用性，進一步對新提出的G-混合冗余策略可修系統(tǒng)可靠性模型與傳統(tǒng)的K-混合冗余策略可修系統(tǒng)可靠性模型進行了比較分析。結果表明，所提出的G-混合冗余策略比K-混合冗余策略達到的可靠性更高。這些結論可以為復雜系統(tǒng)的維修設計人員提供有效的決策支持和建議。

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作者簡介

溫艷清（1980—），女，副教授，碩士研究生導師，博士，主要研究方向為系統(tǒng)可靠性理論及其應用、隨機建模。

劉寶亮（1982—），男，教授，碩士研究生導師，博士，主要研究方向為系統(tǒng)可靠性理論及其應用、復雜系統(tǒng)建模及其優(yōu)化。

師海燕（1982—），女，副教授，碩士，主要研究方向為系統(tǒng)可靠性理論及其應用、排隊論。

邱青安（1991—），男，副教授，博士研究生導師，博士，主要研究方向為系統(tǒng)可靠性理論及其應用、復雜系統(tǒng)建模及其優(yōu)化。

高采文（1978—），女，教授，碩士，主要研究方向為不確定理論及其應用、可靠性理論及其應用。