摘" 要：

紅藍(lán)雙方演習(xí)進(jìn)攻作戰(zhàn)中，為全面奪取戰(zhàn)場制空權(quán)，通常將藍(lán)方防空火力單元作為首波重點(diǎn)打擊目標(biāo)，因此如何準(zhǔn)確預(yù)測藍(lán)方防空火力單元活動(dòng)規(guī)律，科學(xué)設(shè)計(jì)聯(lián)合偵察打擊行動(dòng)具有重要意義。首先，系統(tǒng)分析防空火力單元所采用的機(jī)動(dòng)保障模式，結(jié)合防御能力定義給出防御能力計(jì)算公式并引入柵格網(wǎng)絡(luò)模型完成定量計(jì)算，基于保障范圍約束、陣地資源約束以及機(jī)動(dòng)流程約束，面向?qū)嶋H保障需求，以最短機(jī)動(dòng)路線和最高防御能力為優(yōu)化目標(biāo)，建立了適用于地面防空火力單元機(jī)動(dòng)路線的預(yù)測模型。其次，針對(duì)所構(gòu)建的非線性模型求解難題，提出了模型線性化轉(zhuǎn)換和求解方法。然后，在最優(yōu)轉(zhuǎn)移路線的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種構(gòu)建機(jī)動(dòng)路線庫的算法，從而生成藍(lán)方機(jī)動(dòng)路線的概率預(yù)測方案，解析藍(lán)方防空火力單元的機(jī)動(dòng)規(guī)律。最后，基于案例仿真，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)模型和方法的可行性和全局高效性，可實(shí)現(xiàn)對(duì)藍(lán)方防空火力單元機(jī)動(dòng)路線的有效預(yù)測。

關(guān)鍵詞：

多目標(biāo)規(guī)劃; 最短路線; 線性化處理; 防空火力; 機(jī)動(dòng)路線預(yù)測

中圖分類號(hào)：

N 945.25; E 920.8

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A""" DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.07.23

Research on prediction of maneuvering routes of anti-aircraft

fire units under long-range joint strikes

WU Haonan1， DI Lingsong2， SI Shoukui1， WAN Bing2， SU Xichao3，*

（1. Aviation Foundation College， Naval Aeronautical University， Yantai 264001， China;

2. Coastal Defense College， Naval Aviation University， Yantai 264001， China;

3. Aeronautical Operations College， Naval Aviation University， Yantai 264001， China）

Abstract：

In the offensive operations of the red and blue sides， in order to fully seize the battlefield air superiority， the blue side air defense fire units are usually taken as the first key targets. Therefore， it is of great significance to accurately predict the activity law of the blue side air defense fire units and scientifically design the joint reconnaissance and attack actions. Firstly， the maneuver support mode adopted by the air defense fire unit is systematically analyzed， the defense capability calculation formula is given based on the definition of defense capability， and the grid network model is introduced to complete the quantitative calculation. Based on the support scope constraint， position resource constraint and maneuver process constraint， the shortest maneuver route and the highest defense capability are taken as the optimization objectives for the actual support requirements. A prediction model for maneuvering route of ground air defense fire units is established. Secondly， aiming at the problem of solving the nonlinear model， the model linearization transformation and solving method are proposed. Then， on the basis of the optimal transfer route， an algorithm for constructing maneuver route library is designed to generate the probabilistic prediction scheme of blue side maneuver route and analyze the maneuver law of blue side air defense fire units. Finally， based on the case simulation， the feasibility and global efficiency of the designed model and method are verified， which can effectively predict the maneuvering route of blue side anti-aircraft fire units.

Keywords：

multi-objective programming; shortest path; linearization; anti-aircraft fire; maneuver route prediction

0" 引" 言

紅藍(lán)雙方演習(xí)進(jìn)攻作戰(zhàn)中，紅方為全面奪取戰(zhàn)場制空權(quán)，為后續(xù)兵力行動(dòng)創(chuàng)造有利條件，通常將藍(lán)方防空火力單元作為首波重點(diǎn)打擊目標(biāo)，奪取戰(zhàn)場主動(dòng)權(quán)。藍(lán)方為最大限度保存有生戰(zhàn)力，防敵猝然閃擊，在掌握紅方作戰(zhàn)企圖后，將下達(dá)戰(zhàn)力防護(hù)命令，除擔(dān)負(fù)值班任務(wù)的防空火力單元外，其余單元均采取道路機(jī)動(dòng)方式轉(zhuǎn)移疏散，躲避紅方偵察和打擊。紅方為達(dá)成作戰(zhàn)目的，需要準(zhǔn)確預(yù)測藍(lán)方防空火力單元活動(dòng)規(guī)律，科學(xué)設(shè)計(jì)聯(lián)合偵察打擊行動(dòng)，以較小代價(jià)盡快摧毀藍(lán)方全部防空火力單元。

武器火力多目標(biāo)部署問題本質(zhì)上仍是多目標(biāo)規(guī)劃問題。多目標(biāo)規(guī)劃問題［12］是指優(yōu)化各個(gè)目標(biāo)使其同時(shí)達(dá)到綜合的最優(yōu)值。其求解方法主要有兩種：第一種是當(dāng)絕對(duì)最優(yōu)解不存在時(shí)，通過減少約束條件，求解出同時(shí)滿足多目標(biāo)的大量非劣解，并根據(jù)決策者的偏好結(jié)構(gòu)從非劣解中選出最佳調(diào)和解。在模型方面，文獻(xiàn)［3］針對(duì)防空系統(tǒng)評(píng)估指標(biāo)信息的不確定性和模糊性特性，利用模糊層次分析法分配各指標(biāo)的權(quán)重，并給出了數(shù)學(xué)模型，但模型求解結(jié)果容易收斂到局部最優(yōu)解;文獻(xiàn)［4］提出了含有多種約束的通用型動(dòng)態(tài)火力分配（dynamic weapon-target assignment， DWTA）模型，但并未對(duì)模型進(jìn)行線性化處理;文獻(xiàn)［5］為多階段火力分配（weapon-target assignment， WTA）問題開發(fā)了一種雙目標(biāo)公式，可最大限度地降低失敗風(fēng)險(xiǎn)和資源成本，但最終求解結(jié)果一定程度上受決策者主觀因素影響。在算法方面，文獻(xiàn)［6］提出將動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法用于求解攻擊最小危險(xiǎn)航線，并將其融入遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù);文獻(xiàn)［7］針對(duì)傳統(tǒng)的多傳感器部署規(guī)劃不適用于要地防空任務(wù)場景的問題，提出了基于煙花算法的要地防空多傳感器部署規(guī)劃方法;文獻(xiàn)［8］提出了一種將空中目標(biāo)威脅因子分為定量指標(biāo)和定性指標(biāo)新的防空系統(tǒng)中評(píng)估目標(biāo)威脅度方法，并通過貝葉斯網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行推理以得到靜態(tài)威脅值。第二種是根據(jù)目標(biāo)的相對(duì)重要程度，將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為多個(gè)單目標(biāo)問題進(jìn)行求解。在模型方面，文獻(xiàn)［9］提出了一種以各陣地與保衛(wèi)目標(biāo)間距離，來衡量陣地優(yōu)度的評(píng)價(jià)指標(biāo)體系構(gòu)建方法和一種新的綜合考慮目標(biāo)攔截概率與防空武器射擊穩(wěn)定性的雙目標(biāo)動(dòng)態(tài)火力分配模型，但是沒有考慮到防空武器機(jī)動(dòng)的情形;文獻(xiàn)［10］和文獻(xiàn)［11］分別構(gòu)建一種新的綜合防空火力分配模型和作戰(zhàn)兵力分配優(yōu)化模型，但是將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題會(huì)使可行解的范圍縮小。在算法方面，文獻(xiàn)［12］證明了通過子目標(biāo)函數(shù)值排序進(jìn)行Pareto最優(yōu)解求取的可行性，提出了子目標(biāo)進(jìn)化算法;文獻(xiàn)［13］引入柯西變異算子構(gòu)建新的全局搜索模型并在算法局部開發(fā)過程中，采用貪婪方式，逐維搜索;文獻(xiàn)［14］研究給出了NSGA-Ⅱ（non-dominated sorting genetic algorithmⅡ）求解算法，并應(yīng)用于具體的防空火力配系實(shí)例等。但是，上述這些算法考慮的都是防空火力單元對(duì)火力的攔截，不適用于對(duì)防空力量機(jī)動(dòng)的情況。

在使用第二種方法進(jìn)行求解時(shí)，遺傳算法［15］、禁忌搜索算法［16］、蟻群算法［1719］等常被用來處理多目標(biāo)規(guī)劃下的多個(gè)單目標(biāo)優(yōu)化。但是，在實(shí)際問題中，非線性約束的多目標(biāo)規(guī)劃問題往往得不到全局最優(yōu)解［2021］，只能通過各種方法進(jìn)行優(yōu)化［2223］，并在可行域中定位最優(yōu)解［2425］集中的局部空間得到求解結(jié)果。然而戰(zhàn)場態(tài)勢(shì)瞬息萬變，更優(yōu)化的決策方案意味著更快的奪取戰(zhàn)場主動(dòng)權(quán)。

綜上所述，現(xiàn)有研究雖然取得了一些成果，但仍存在以下兩個(gè)方面不足：① 當(dāng)前研究主要考慮固定式防空力量部署，而現(xiàn)實(shí)當(dāng)中防空力量機(jī)動(dòng)情況下，防空火力單元的部署及其對(duì)防空能力的影響尚未有所研究。② 當(dāng)前主要的求解非線性多目標(biāo)規(guī)劃問題更多傾向于在非線性約束下進(jìn)行求解，求解性能和求解效率較低。

因此，針對(duì)上述短板和存在問題，以機(jī)動(dòng)的防空火力單元為研究對(duì)象，系統(tǒng)分析防空火力單元所采用的機(jī)動(dòng)保障模式。基于保障范圍約束、陣地資源約束以及機(jī)動(dòng)流程約束，面向?qū)嶋H保障需求，以最短機(jī)動(dòng)路線和最高防御能力為優(yōu)化目標(biāo)，建立了適用于多類防空火力單元機(jī)動(dòng)路線預(yù)測模型?；诜揽栈鹆卧姆烙芰Χ坑?jì)算，實(shí)現(xiàn)通過增加決策變量，將原本的非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題。并在此基礎(chǔ)上，增加約束條件，使?jié)M足多個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解最終成為唯一解。最后，以最優(yōu)解為標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)計(jì)一種抽取大量滿足所有約束條件的可行轉(zhuǎn)移路線的算法并進(jìn)行道路計(jì)量疊加，得到藍(lán)方防空火力單元滿足所有約束條件的機(jī)動(dòng)路線庫，以此來確定藍(lán)方機(jī)動(dòng)路線的道路使用情況，明確藍(lán)方防空火力單元的機(jī)動(dòng)規(guī)律，掌握戰(zhàn)場主動(dòng)權(quán)。

1" 問題描述

1.1" 紅藍(lán)雙方演習(xí)背景

假定紅藍(lán)雙方演習(xí)進(jìn)攻作戰(zhàn)中，藍(lán)方為有效防抗紅方火力打擊，制定了以機(jī)動(dòng)防御為指導(dǎo)的作戰(zhàn)方針，在掌握紅方作戰(zhàn)征候后，將會(huì)下達(dá)戰(zhàn)力防護(hù)命令。接令后，除擔(dān)負(fù)值班任務(wù)的防空火力單元外，其余防空火力單元均從日常戰(zhàn)備狀態(tài)迅速轉(zhuǎn)入機(jī)動(dòng)防護(hù)狀態(tài)，由基本陣地公路機(jī)動(dòng)至待機(jī)陣地隱蔽，躲避紅方偵察和打擊，而后伺機(jī)出動(dòng)占領(lǐng)預(yù)備陣地，接替值班兵力對(duì)紅方來襲空中目標(biāo)實(shí)施攔截。

如圖1所示，紅方擁有常規(guī)導(dǎo)彈和火箭彈、一種察打一體無人機(jī)和一種偵察無人機(jī)。紅方為全面奪控戰(zhàn)場制空權(quán)，需合理運(yùn)用無人機(jī)等偵察手段，精準(zhǔn)定位目標(biāo)，快速實(shí)施火力打擊，即時(shí)完成毀傷評(píng)估，實(shí)現(xiàn)快偵、快打、快評(píng)，以快制動(dòng)，以較小代價(jià)盡快摧毀藍(lán)方全部防空火力單元。為后續(xù)行動(dòng)創(chuàng)造有利條件。

藍(lán)方擁有m個(gè)防空火力單元F1-Fm，每個(gè)單元均配k個(gè)預(yù)設(shè)陣地，包括基本陣地和預(yù)備陣地，對(duì)應(yīng)基本陣地分別為B1-Bm，預(yù)備陣地分別為C1-Cn。日常狀態(tài)下，藍(lán)方防空火力單元均位于基本陣地，其中m1個(gè)防空火力單元擔(dān)負(fù)戰(zhàn)備值班任務(wù)，其余單元處于隨時(shí)可機(jī)動(dòng)狀態(tài)。在收到戰(zhàn)力防護(hù)命令后，m2個(gè)防空火力單元繼續(xù)位于基本陣地值班，確保對(duì)p個(gè)重點(diǎn)城市Ok提供有效防御，其余不擔(dān)負(fù)值班的防空火力單元迅速以最短路線展開道路機(jī)動(dòng)，前往預(yù)備陣地。藍(lán)方防空火力單元的主要職能使命是為重點(diǎn)城市提供對(duì)空防護(hù)，需要有效抗擊不同方向來襲彈箭或無人機(jī)，同時(shí)兼顧自身生存需求，在完成對(duì)空防護(hù)任務(wù)的基礎(chǔ)上有效規(guī)避紅方打擊。

防空火力單元的基本運(yùn)用作戰(zhàn)原則是：① 至少保持1/3的防空火力單元處于發(fā)射陣地保持值班待戰(zhàn)狀態(tài)，隱蔽待機(jī)狀態(tài)的防空火力單元接令后迅速就近占領(lǐng)陣地。② 值班防空火力單元占領(lǐng)陣地并建立值班狀態(tài)后，能擔(dān)負(fù)值班時(shí)長最長l h;③ 每個(gè)值班防空火力單元只保障1個(gè)目標(biāo)城市，防空火力單元按目標(biāo)城市重要性程度分配，同時(shí)需保證每個(gè)目標(biāo)城市至少有1個(gè)機(jī)動(dòng)防空火力單元能夠在l h內(nèi)接替值班;④ 通常情況下，防空火力單元優(yōu)先使用自身配屬的預(yù)設(shè)陣地執(zhí)行防空攔截任務(wù)，當(dāng)局部防空火力不足時(shí)，其他地區(qū)防空火力單元可以跨區(qū)機(jī)動(dòng)使用該區(qū)域的預(yù)設(shè)陣地加強(qiáng)防空能力。⑤ 同一預(yù)設(shè)陣地只能容納1套防空火力單元，為防抗打擊，不能連續(xù)占領(lǐng)同一預(yù)設(shè)陣地。

1.2" 防御能力模型和定量計(jì)算

如圖2所示，藍(lán)方防空火力單元對(duì)重點(diǎn)城市的防御能力需要重點(diǎn)考慮兩點(diǎn)：① 反導(dǎo)攔截角度，藍(lán)方機(jī)動(dòng)防空火力單元在選擇發(fā)射陣地時(shí)，應(yīng)充分考慮紅方導(dǎo)彈和火箭彈所有可能來襲方向;② 攔截面積，藍(lán)方防空火力單元在選擇發(fā)射陣地時(shí)，應(yīng)當(dāng)盡量提高有效攔截面積，增大攔截時(shí)間窗口。故防空火力單元的防御能力γ定義為

γ=θφ·AS（1）

式中：θ代表有效攔截角度;φ代表紅方火箭彈來襲方向的最大夾角;A代表有效攔截面積;S代表藍(lán)方防空火力單元最大攔截面積（以火力單元為圓心，反導(dǎo)攔截射程為半徑的圓域）。

以任意陣地為中心，范圍為100 km×100 km的矩形區(qū)域構(gòu)建柵格網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)間隔10 m。首先，統(tǒng)計(jì)出防空火力單元最大攔截面積內(nèi)的節(jié)點(diǎn)數(shù)目，記為SN。然后，根據(jù)統(tǒng)計(jì)所有已經(jīng)位于最大攔截面積內(nèi)的節(jié)點(diǎn)，分析其是否位于紅方火箭彈可能來襲方向夾角之內(nèi)并統(tǒng)計(jì)數(shù)量，記為AN。

所以，

AS=ANSN（2）

根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)的位于有效攔截面積之內(nèi)的節(jié)點(diǎn)，分析其與目標(biāo)城市的方位角（逆時(shí)針為正），第三象限和第四象限統(tǒng)一加360°（使其為正數(shù)）。統(tǒng)計(jì)這些節(jié)點(diǎn)方位角的最大值和最小值，分別記為θmax和θmin，其差值即為有效攔截角度θ，即

θ=θmax－θmin（3）

最后，將所得數(shù)據(jù)代入式（1），即可完成防御能力的定量計(jì)算。

2" 機(jī)動(dòng)模型建立

2.1" 機(jī)動(dòng)模型參數(shù)及決策變量定義

模型參數(shù)具體含義如表1所示。

令：

lij=0， dij≤d

1， dijgt;d（4）

式中：i=1，2，…，m;j=1，2，…，n。

引入0－1變量，

xi=1， 位于基本陣地Bi的火力單元狀態(tài)為機(jī)動(dòng)

0， 位于基本陣地Bi的火力單元狀態(tài)為值班

i=1，2，…，m（5）

yij=1， 火力單元從基本陣地Bi到備用陣地Cj機(jī)動(dòng)

0， 火力單元不從基本陣地Bi到備用陣地Cj機(jī)動(dòng)

i=1，2，…，m（6）

zjk=0， 預(yù)備陣地Cj的火力單元對(duì)Ok進(jìn)行保護(hù)

1， 預(yù)備陣地Cj的火力單元不對(duì)Ok進(jìn)行保護(hù)

j=1，2，…，n; k=1，2，…，p（7）

vik=0， 基本陣地Bi的火力單元對(duì)Ok進(jìn)行保護(hù)

1， 基本陣地Bi的火力單元不對(duì)Ok進(jìn)行保護(hù)

i=1，2，…，m; k=1，2，…，p（8）

2.2" 保障流程相關(guān)約束和目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)防空火力單元機(jī)動(dòng)約束條件屬性，可劃分為機(jī)動(dòng)部署陣地分配約束和資源約束，其中資源約束又可以劃分為保護(hù)目標(biāo)約束和防御能力約束。

（1） 機(jī)動(dòng)部署陣地分配約束

位于基本陣地Bi的火力單元有m1個(gè)處于機(jī)動(dòng)狀態(tài)，并且位于基本陣地Bi的火力單元，如果處于機(jī)動(dòng)狀態(tài)，一定機(jī)動(dòng)到預(yù)備陣地Ci中的一個(gè)，如果火力單元處于值班狀態(tài)，則它一定在原基本陣地，而不在任意一個(gè)預(yù)備陣地Ci上。

∑mi=1xi=m1（9）

∑nj=1yij=xi， i=1，2，…，m（10）

一個(gè)備用陣地只能有一個(gè)火力單元，并且對(duì)于任何一個(gè)重點(diǎn)城市Ok必然有一個(gè)一開始擔(dān)負(fù)值班狀態(tài)的火力單元提供保護(hù)。

∑mj=1yij≤1， j=1，2，…，n（11）

∑mi=1（1－xi）vik=1， k=1，2，…，p（12）

（2） 保護(hù)目標(biāo)約束

對(duì)于機(jī)動(dòng)到預(yù)備陣地的火力單元，必然有ki個(gè)火力單元對(duì)重點(diǎn)城市Ok進(jìn)行保護(hù)，至少有m2個(gè)防空火力單元能夠在l h內(nèi)接替值班，一個(gè)火力單元只能對(duì)一個(gè)目標(biāo)城市進(jìn)行保護(hù)。

∑mi=1yijzj1=k， j=1，2，…，n（13）

∑mi=1∑nj=1lijyij≤m2（14）

∑m2k=1zjk≤1， j=1，2，…，n（15）

（3） 防御能力約束

m2個(gè)在基本陣地的火力單元必須對(duì)相應(yīng)的城市提供保護(hù)，防御能力大于0，在預(yù)備陣地的火力單元值班時(shí)，必須對(duì)相應(yīng)的城市提供保護(hù)，防御能力大于0。

∑mi=1vikγik≥0， k=1，2，…，p（16）

∑nj=1zjkγik≥0， k=1，2，…，p（17）

針對(duì)藍(lán)方防空火力單元以最短路線展開機(jī)動(dòng)和對(duì)重點(diǎn)城市保護(hù)的需求，藍(lán)方可能采取的最優(yōu)機(jī)動(dòng)策略以實(shí)現(xiàn)所有防空火力單元對(duì)5個(gè)目標(biāo)城市總防御能力最優(yōu)，且所有防空火力單元機(jī)動(dòng)時(shí)間之和最短，來實(shí)現(xiàn)躲避紅方偵察和打擊，達(dá)到有效防空的目的。故分別構(gòu)建對(duì)保護(hù)目標(biāo)總防御能力最大和總機(jī)動(dòng)路線最短的兩類優(yōu)化目標(biāo)。

（1） 對(duì)k個(gè)保護(hù)目標(biāo)的總防御能力最大

m2個(gè)位于基本陣地的火力單元值班對(duì)相應(yīng)的城市提供的防御能力和m1個(gè)位于基本陣地的火力單元機(jī)動(dòng)到預(yù)備陣地進(jìn)行值班對(duì)相應(yīng)城市提供的防御能力之和最大。

max γ=∑m2k=1∑mj=1vikγik（1－xi）+∑nj=1zjkγjk∑mi=1xiyij（18）

（2） 總機(jī)動(dòng)路線最短

m1個(gè)位于基本陣地的火力單元機(jī)動(dòng)到預(yù)備陣地對(duì)相應(yīng)城市提供保護(hù)的路線最短。

min d=∑mi=1∑nj=1dijxiyij（19）

3" 求解方法設(shè)計(jì)

3.1" 基于多目標(biāo)規(guī)劃模型的最短路線算法

非線性約束的多目標(biāo)規(guī)劃問題往往得不到全局最優(yōu)解，只能通過各種方法進(jìn)行優(yōu)化，并在可行域中定位最優(yōu)解集中的局部空間得到求解結(jié)果，針對(duì)這種情況，可以通過引入決策變量對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束條件進(jìn)行線性化處理，具體如下。

首先，對(duì)約束條件進(jìn)行線性化處理。

對(duì)于任何一個(gè)重點(diǎn)城市Ok必然有一個(gè)一開始擔(dān)負(fù)值班狀態(tài)的火力單元提供保護(hù)。xi，vik的取值為0、1，xi為火力單元從基本陣地的轉(zhuǎn)移狀態(tài)，vik為基本陣地上的火力單元對(duì)各城市的防御能力。因此，線性化處理的下式第一個(gè)式子表示如果一個(gè)基本陣地上的火力單元機(jī)動(dòng)出去，那么它無法對(duì)所有的城市提供防護(hù)，如果未機(jī)動(dòng)出去，那么它將只能對(duì)一個(gè)城市提供防護(hù)，其余城市則無法提供。下式第二個(gè)式子表示，對(duì)于所有的基本陣地，每個(gè)城市只有一個(gè)基本陣地上的火力單元提供防御能力。

∑mi=1（1－xi）vik=1， k=1，2，…，m2

∑m2k=1vik=1－xi， i=1，2，…，m

∑m1i=1vik=1， k=1，2，…，m2（20）

對(duì)于機(jī)動(dòng)到預(yù)備陣地的火力單元，必然有ki個(gè)活力單元對(duì)重點(diǎn)城市Ok進(jìn)行保護(hù)。線性化處理后的下式第一個(gè)式子表明機(jī)動(dòng)到一個(gè)備用陣地上的火力單元提供的城市防御能力應(yīng)大于等于該備用陣地對(duì)每個(gè)城市提供的防御能力，下式第二個(gè)式子表明所有的備用陣地對(duì)每個(gè)城市提供的防護(hù)能力之和應(yīng)滿足預(yù)定指標(biāo)要求。

∑mi=1yijzjk=ki， j=1，2，…，n

zjk≤∑mi=1yij， j=1，2，…，n

∑nj=1zji=ki， i=1，2，…，m（21）

然后，對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行線性化處理。

m2個(gè)位于基本陣地的火力單元值班對(duì)相應(yīng)的城市提供的防御能力和m1個(gè)位于基本陣地的火力單元機(jī)動(dòng)到預(yù)備陣地進(jìn)行值班對(duì)相應(yīng)城市提供的防御能力之和最大且m1個(gè)位于基本陣地的火力單元機(jī)動(dòng)到預(yù)備陣地對(duì)相應(yīng)城市提供保護(hù)的路線最短。由于xi，yij的取值為0與1，其信息也已經(jīng)包含在vik，γik，zjk之中，因此將其省略并不影響計(jì)算結(jié)果，如下式第一個(gè)式子所示，xi的信息已包含在yij中，可省略下式第二個(gè)式子。

max γ=∑m2k=1∑mj=1vikγik（1－xi）+∑nj=1zjkγjk∑mi=1xiyij

min d=∑mi=1∑nj=1dijxiyij

max γ=∑m2k=1∑mj=1（γikvik+zjkγik）

min d=∑mi=1∑nj=1dijyij（22）

對(duì)約束條件和目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行線性化處理，能夠使其利于求解，具有全局最優(yōu)解。

多目標(biāo)規(guī)劃問題是指優(yōu)化各個(gè)目標(biāo)使其同時(shí)達(dá)到綜合的最優(yōu)值。其求解方法主要有兩種：第一種是當(dāng)絕對(duì)最優(yōu)解不存在時(shí)，通過減少約束條件，求解出同時(shí)滿足多目標(biāo)的大量非劣解，并根據(jù)決策者的偏好結(jié)構(gòu)從非劣解中選出最佳調(diào)和解;第二種是根據(jù)目標(biāo)的相對(duì)重要程度，將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為多個(gè)單目標(biāo)問題進(jìn)行求解。因?yàn)橐呀?jīng)對(duì)約束條件和目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了線性化處理，所以選取第二種方法進(jìn)行求解。即先求第一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，再求第二個(gè)目標(biāo)函數(shù)，具體求解過程如下。

首先，對(duì)第一個(gè)目標(biāo)函數(shù)求解。

對(duì)k個(gè)目標(biāo)城市總防御能力最優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)為

max γ=∑m2k=1∑mj=1（γikvik+zjkγik）（23）

s.t.∑mi=1xi=m1

∑nj=1yij=xi， i=1，2，…，m

∑mj=1yij≤1， i=1，2，…，n

∑m2k=1vik=1－xi， i=1，2，…，m

∑mi=1vik=1， k=1，2，…，m2

zjk≤∑mi=1yij， j=1，2，…，n; k=1，2，…，5

∑nj=1zjm=km， m=1，2，…，5

∑mi=1∑nj=1lijyij≤m2

∑m2k=1zjk=∑mi=1yij， j=1，2，…，n

∑mi=1vikγik≥0， k=1，2，…，m2

∑nj=1zjkγik≥0， k=1，2，…，m2

xi，yij，vik，zjk=0或1， i=1，2，…，m;

j=1，2，…，n; k=1，2，…，p（24）

對(duì)上述單目標(biāo)規(guī)劃模型進(jìn)行求解，求得最優(yōu)解為

γ=∑m2k=1∑mj=1（γikvik+zjkγik）（25）

在上述基礎(chǔ)上繼續(xù)進(jìn)行求解，將對(duì)于第一個(gè)目標(biāo)函數(shù)求得的最優(yōu)解作為第二個(gè)目標(biāo)函數(shù)的約束條件，求解過程如下：

min d=∑mi=1∑nj=1dijyij

γ=∑m1k=1∑mj=1（γikvik+zjkγik）（26）

如果存在最優(yōu)解，則所求的xi和yij為最優(yōu)值，目標(biāo)函數(shù)為γ和d。

3.2" 機(jī)動(dòng)路線庫構(gòu)建

鑒于上述模型分析，防空火力單元機(jī)動(dòng)是在保護(hù)目標(biāo)和防御能力約束下進(jìn)行機(jī)動(dòng)的基于多目標(biāo)規(guī)劃的最短路線問題，所求的是滿足目標(biāo)函數(shù)和約束條件的最優(yōu)解。但是，針對(duì)現(xiàn)實(shí)情況來說，由于決策算法的選擇差異和各種因素的干擾，最優(yōu)解并不一定是實(shí)際的機(jī)動(dòng)策略。所以，在最優(yōu)轉(zhuǎn)移路線的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種構(gòu)建機(jī)動(dòng)路線庫的算法，通過不斷疊加線性約束下的較優(yōu)解，生成藍(lán)方機(jī)動(dòng)路線的概率預(yù)測方案，對(duì)取得戰(zhàn)場主動(dòng)權(quán)具有重要意義。

在最優(yōu)機(jī)動(dòng)路線結(jié)果的基礎(chǔ)上，通過建立機(jī)動(dòng)路線的算法模型，抽取滿足所給的約束條件較優(yōu)機(jī)動(dòng)路線，具體步驟如下。

步驟 1" 讀取數(shù)據(jù)，進(jìn)行參數(shù)初始化并輸入所要建立機(jī)動(dòng)路線庫的路線數(shù)目q，令計(jì)數(shù)器INC=q，參數(shù)標(biāo)記flag=0，γ=γ。然后判定INCgt;0，判定flag=0，在不考慮總時(shí)間最短的情況下，在防御能力最優(yōu)的機(jī)動(dòng)策略模型的約束條件內(nèi)加入約束條件：

∑m1k=1∑mj=1（γikvik+zjkγik）≤γ（27）

并判定方程是否可解。如果方程不可解，則結(jié)束;如果方程可解，則解的該機(jī)動(dòng)策略下的防護(hù)效率γ和總機(jī)動(dòng)路程d并判定γlt;γ。如果是，則結(jié)束;如果否，則記錄路線數(shù)據(jù)，并令I(lǐng)NC=INC－1，flag=1，d=d。

步驟 2" 在flag=1的情況，考慮在時(shí)間最短、防御能力最優(yōu)的機(jī)動(dòng)策略模型的約束條件內(nèi)加入約束條件：

∑m1k=1∑mj=1（γikvik+zjkγik）≤γ（28）

獲得最短的機(jī)動(dòng)路程d，對(duì)d=d進(jìn)行判定。如果d=d，則令γ=γ+0.001，flag=0，進(jìn)入下一循環(huán);如果d≠d，則記錄路線數(shù)據(jù)，并令I(lǐng)NC=INC－1，flag=2，d=d+0.001，進(jìn)入flag=2的流程。

步驟 3" 在flag=2的情況，考慮在時(shí)間最短、防御能力最優(yōu)的機(jī)動(dòng)策略模型內(nèi)加入約束條件：

∑m1k=1∑mj=1（γikvik+zjkγik）≤γ

∑mi=1∑nj=1dijyij≥d（29）

并判定方程是否可解。如果方程不可解，則令γ=γ+0.001，flag=0并進(jìn)入下一循環(huán);如果方程可解，則獲得其最短總機(jī)動(dòng)路程d。對(duì)d=d進(jìn)行判定。如果d=d，則令γ=γ+0.001，flag=0，進(jìn)入下一循環(huán);如果d≠d，則記錄路程數(shù)據(jù)，令I(lǐng)NC=INC－1，d=d+0.001，進(jìn)入下一循環(huán)。

機(jī)動(dòng)路線庫構(gòu)建算法流程如圖3所示。構(gòu)建機(jī)動(dòng)路線庫后，可以根據(jù)藍(lán)方所有道路節(jié)點(diǎn)進(jìn)行道路標(biāo)記（第k條道路標(biāo)記為ek），得出藍(lán)方防空火力單元在機(jī)動(dòng)路線庫下的道路使用情況。然后，對(duì)道路使用頻數(shù)、頻率進(jìn)行分析。找出使用頻率高的道路，作為藍(lán)方交通要道和使用頻率低的公路，不具備突襲轟炸戰(zhàn)略意義，從而針對(duì)性地設(shè)計(jì)聯(lián)合打擊戰(zhàn)術(shù)。令第k條道路的使用次數(shù)為pk，則

pk≥q， 第k條道路為藍(lán)方戰(zhàn)略要道

pklt;q， 第k條道路不是藍(lán)方戰(zhàn)略要道（30）

針對(duì)使用頻率高的道路，作為藍(lán)方交通要道具有重要的戰(zhàn)略價(jià)值，而使用頻率低的公路不具備火力打擊戰(zhàn)略意義。在使用導(dǎo)彈和火箭彈使藍(lán)方短時(shí)間喪失防空攔截能力后，可以派遣無人機(jī)沿著藍(lán)方的戰(zhàn)略要道進(jìn)行搜索和攻擊，進(jìn)一步摧毀藍(lán)方的防空火力單元。

4" 仿真實(shí)驗(yàn)與求解結(jié)果

4.1" 案例設(shè)計(jì)

圖4和圖5為紅藍(lán)雙方演習(xí)戰(zhàn)場態(tài)勢(shì)示意圖，紅方擁有3個(gè)機(jī)場，分別為R1～R3，藍(lán)方擁有15個(gè)防空火力單元F1～F15，每個(gè)單元均配屬4個(gè)預(yù)設(shè)陣地，包括1處基本陣地和3處預(yù)備陣地，對(duì)應(yīng)基本陣地分別為B1～B15，預(yù)備陣地分別為C1～C45，藍(lán)方陣地間公路交通網(wǎng)見圖5。藍(lán)方擁有5個(gè)重點(diǎn)城市O1～O5，各重點(diǎn)城市至少由1套機(jī)動(dòng)防空火力單元提供對(duì)空防護(hù)，此外還有2個(gè)普通城市D1和D2，無須防空火力提供支援。

藍(lán)方防空火力單元在收到戰(zhàn)力防護(hù)命令后，5個(gè)防空火力單元位于基本陣地值班，確保對(duì)5個(gè)重點(diǎn)城市提供有效防御。其余不擔(dān)負(fù)值班的防空火力單元迅速以最短路線展開道路機(jī)動(dòng)，前往預(yù)備陣地并迅速轉(zhuǎn)移到隱蔽待機(jī)陣地隱蔽待機(jī)，當(dāng)該火力單元接令值班后，迅速由隱蔽待機(jī)陣地移出，占領(lǐng)預(yù)備陣地。每個(gè)值班防空火力單元只保障1個(gè)目標(biāo)城市，防空火力單元按目標(biāo)城市重要性程度分配（O1～O5分配到的防空火力單元數(shù)量分別為5、3、3、2、2），同時(shí)需保證每個(gè)目標(biāo)城市至少有1個(gè)機(jī)動(dòng)防空火力單元能夠在3 h內(nèi)接替值班。

藍(lán)方不擔(dān)負(fù)值班的防空火力單元迅速以最短路線展開道路機(jī)動(dòng)，所形成的陣地道路如圖6所示。

4.2" 案例求解結(jié)果

在對(duì)最優(yōu)機(jī)動(dòng)策略采用intlinprog求解器的求解中，發(fā)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)函數(shù)一進(jìn)行求解的結(jié)果和最終求解結(jié)果一樣，這說明對(duì)目標(biāo)函數(shù)一求解的結(jié)果也滿足目標(biāo)函數(shù)二，即該案例中最優(yōu)解為唯一解。

最優(yōu)機(jī)動(dòng)策略結(jié)果下，藍(lán)方陣地15個(gè)防空火力單元中F5、F6、F7、F9、F10為值班狀態(tài)，其余10個(gè)火力單元從基本陣地到預(yù)備陣地展開機(jī)動(dòng)，都能夠在3 h內(nèi)接替值班，滿足約束條件要求，15個(gè)防空火力單元對(duì)目標(biāo)的防御能力之和為8.07，具體情況如表2所示。

令q=500，從中抽取機(jī)動(dòng)時(shí)間最短、防御能力總和靠前的500種方案并總結(jié)500種機(jī)動(dòng)策略下藍(lán)方防空火力單元的機(jī)動(dòng)路線，構(gòu)建機(jī)動(dòng)路線庫。然后根據(jù)藍(lán)方所有道路起始點(diǎn)和終點(diǎn)進(jìn)行道路標(biāo)號(hào)，得出藍(lán)方防空火力單元在機(jī)動(dòng)路線庫下的道路使用情況，具體道路使用次數(shù)、頻率如表3所示。

4.3" 算法性能的比較

在同等約束條件和目標(biāo)函數(shù)下，將所有非線性關(guān)系轉(zhuǎn)換成線性關(guān)系進(jìn)行求解，可使求解速度更快，求得的解更優(yōu)。

（1） 對(duì)于線性約束下的intlinprog求解器求解

在求解大規(guī)?；旌险麛?shù)規(guī)劃問題時(shí)，在求解器中往往會(huì)遇到gap這個(gè)參數(shù)，這個(gè)參數(shù)非常重要，有效的gap對(duì)求解時(shí)間很關(guān)鍵，求解器里的gap一般為相對(duì)值：

gap=|BP－BF||BP|（31）

式中：BP為整數(shù)連續(xù)化后得到的最優(yōu)解;BF則為當(dāng)前求解器求得整數(shù)時(shí)的解，當(dāng)gap為0時(shí)，整數(shù)連續(xù)化后得到的最優(yōu)解為當(dāng)前求解器求得整數(shù)時(shí)的解，即求解器求得最優(yōu)解。

通過轉(zhuǎn)化為線性約束和目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行混合整數(shù)線性規(guī)劃，使用intlinprog求解器求解：僅運(yùn)行0.13 s就使得絕對(duì)差距容差為0，求得總防御能力最優(yōu)解值為8.07。

（2） 對(duì)于非線性約束下使用遺傳算法求解

圖7是基于常規(guī)遺傳算法解決防空火力單元機(jī)動(dòng)過程多目標(biāo)規(guī)劃問題求解的迭代過程，在種群規(guī)模為50，精英數(shù)目和交叉后代比例為2.5和0.8的參數(shù)下，迭代173代后，總防御能力最優(yōu)解收斂到7.172 09，小于線性約束下的求解結(jié)果。而且遺傳算法求解運(yùn)行52.3 min，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過線性關(guān)系下的求解時(shí)間。

利用intlinprog求解器和基于常規(guī)遺傳算法解決防空火力單元機(jī)動(dòng)過程多目標(biāo)規(guī)劃問題，仿真結(jié)果表明二者都能得出可行解。對(duì)比發(fā)現(xiàn)：① 在相同的約束條件下，intlinprog求解器進(jìn)行線性求解得到最優(yōu)解的時(shí)間為0.12 s，而基于常規(guī)遺傳算法得到的執(zhí)行時(shí)間為53.2 min，即轉(zhuǎn)化為線性約束和目標(biāo)函數(shù)下，進(jìn)行混合整數(shù)線性規(guī)劃的求解時(shí)間遠(yuǎn)快于遺傳算法求解;② 由于轉(zhuǎn)化為線性約束和目標(biāo)函數(shù)下，進(jìn)行混合整數(shù)線性規(guī)劃的求解得到的是目標(biāo)函數(shù)的全局最優(yōu)解，故其精度更高。

4.4" 機(jī)動(dòng)路線預(yù)測分析

圖8為對(duì)案例求解所得的最優(yōu)機(jī)動(dòng)路線，圖中不同顏色的路線表示在約束條件和目標(biāo)函數(shù)下的10個(gè)防空火力單元從基本陣地機(jī)動(dòng)到預(yù)備陣地的最優(yōu)機(jī)動(dòng)路線。

根據(jù)藍(lán)方所有道路起始點(diǎn)和終點(diǎn)共32條道路進(jìn)行道路標(biāo)號(hào)（e1～e32），并根據(jù)表3的結(jié)果進(jìn)行可視化仿真，結(jié)果如圖9和圖10（對(duì)道路使用頻率進(jìn)行取整）所示。

由圖9和圖10可見基于最優(yōu)機(jī)動(dòng)路線構(gòu)建的機(jī)動(dòng)路線庫的道路使用情況。其中，道路e1，e5，e8，e9，e10在機(jī)動(dòng)策略庫中使用頻率約為0，使用次數(shù)為個(gè)位數(shù)甚至為0，這說明在機(jī)動(dòng)策略庫中，上述5條道路幾乎不曾使用;而道路e2，e4，e6，e7，e12，e13，e15，e16，e17，e20，e22，e24，e27，e29，e31在機(jī)動(dòng)策略庫中使用頻數(shù)較高，使用次數(shù)接近或超過500次，這說明上述15條道路為藍(lán)方機(jī)動(dòng)策略的交通要道。

若紅方對(duì)藍(lán)方進(jìn)行道路偵察和破襲行動(dòng)，應(yīng)重點(diǎn)攻擊對(duì)使用頻次高的藍(lán)方交通要道（圖8中道路顏色為粉紅色或紫色的道路e2，e4，e6，e7，e12，e13，e15，e16，e17，e20，e22，e24，e27，e29，e31），攻擊具有重大戰(zhàn)略意義，使用頻率最高的道路為e22，在機(jī)動(dòng)策略庫中，使用了1 563次。對(duì)使用頻次低、使用次數(shù)少的道路（圖8顏色深紅色道路e1，e5，e8，e9，e10）進(jìn)行忽略，攻擊戰(zhàn)略意義不大。

5" 結(jié)" 論

本文研究了針對(duì)地面防空火力單元的機(jī)動(dòng)路線預(yù)測問題，提出了一種新的模型。該模型克服了以往研究中對(duì)機(jī)動(dòng)性考慮不足的局限，并通過引入額外的決策變量，將非線性約束轉(zhuǎn)化為線性約束，有效提高了全局最優(yōu)解的求解效率。同時(shí)，研究充分考慮了現(xiàn)實(shí)復(fù)雜性，包括決策算法差異和外部干擾因素，認(rèn)識(shí)到最優(yōu)解并非總是實(shí)際機(jī)動(dòng)策略。為此，設(shè)計(jì)了一種算法構(gòu)建機(jī)動(dòng)路線庫，通過疊加線性約束下的較優(yōu)解，生成概率預(yù)測方案，為實(shí)際操作提供靈活多樣化的選擇。然而，研究在動(dòng)態(tài)預(yù)測過程中對(duì)某一陣地失能的影響考慮不足，主要關(guān)注首輪打擊重點(diǎn)，偏向預(yù)案考慮。后續(xù)多輪打擊中，陣地失能導(dǎo)致的動(dòng)態(tài)決策問題較為復(fù)雜，需要進(jìn)一步完善和發(fā)展模型。

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作者簡介

吳浩南（2000—），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榕炤d航空保障。

狄凌松（1988—），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)轱w行器控制與制導(dǎo)。

司守奎（1968—），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)模型、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論。

萬" 兵（1985—），男，講師，博士，主要研究方向?yàn)榕炤d航空保障、飛行器制導(dǎo)控制與動(dòng)力學(xué)。

蘇析超（1989—），男，副教授，博士，主要研究方向?yàn)榕炤d航空保障。