摘 要：

稀疏陣列布陣靈活，增大陣列孔徑的同時還能減少陣元間耦合，但基于稀疏陣列的傳統(tǒng)波達(dá)方向估計會導(dǎo)致角度模糊混疊，帶來估計精度差和穩(wěn)健性不足的問題。針對以上問題，提出一種適用于稀疏陣列波達(dá)方向估計的加權(quán)截斷奇異值投影（weighted truncated singular value projection， WT-SVP）的魯棒矩陣填充算法。在填充迭代過程中根據(jù)奇異值的大小分配權(quán)重，突出大奇異值包含的陣列信息，減少小奇異值中不必要的噪聲信息，從而優(yōu)化傳統(tǒng)奇異值投影算法。該算法可以實(shí)現(xiàn)稀疏陣列的孔洞信息恢復(fù)，對不連續(xù)陣元充分利用，同時WT-SVP填充算法實(shí)現(xiàn)了稀疏陣列波達(dá)方向估計的高精度、高分辨以及在低信噪比、低快拍時的高魯棒性。

關(guān)鍵詞：

稀疏陣列; 矩陣填充; 奇異值投影; 波達(dá)方向估計

中圖分類號：

TN 953

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A""" DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.05.02

Robust matrix completion DOA estimation algorithm for sparse array

ZHANG Yunmeng*， DONG Mei， CHEN Boxiao

（National Key Laboratory of Radar Signal Processing， Xidian University， Xi’an 710071， China）

Abstract：

The sparse array is flexible and can reduce the coupling between array elements while increasing the array aperture. However， the traditional direction of arrival （DOA） estimation based on sparse array will lead to angle fuzzy aliasing， resulting in poor estimation accuracy and insufficient robustness. In view of the above problems， a robust matrix completion algorithm for sparse array DOA estimation based on weighted truncated singular value projection （WT-SVP） is proposed. In the filling iteration process， weights are allocated according to the size of singular values to highlight the array information contained by large singular values and reduce unnecessary noise information in small singular values， so as to optimize the traditional singular value projection algorithm. The algorithm can realize the hole information recovery of sparse array and make full use of discontinuous elements. Meanwhile， the WT-SVP completion algorithm realizes the high precision， high resolution and high robustness of sparse array DOA estimation at low signal-to-noise ratio and low fast beat.

Keywords：

sparse array; matrix completion; singular value projection; direction of arrival （DOA） estimation

0 引 言

多天線傳感器在空間按結(jié)構(gòu)排布構(gòu)成陣列接收系統(tǒng)，可以對一定數(shù)量的信號進(jìn)行采樣，而陣列信號處理就是對接收到的采樣信號進(jìn)行處理，從而獲得所需的信號參數(shù)和信息。陣列信號處理應(yīng)用廣泛，在通信領(lǐng)域、雷達(dá)領(lǐng)域、電子對抗領(lǐng)域等方面皆有涉及。其中，波達(dá)方向（direction of arrival， DOA）估計是陣列信號處理中重要的組成部分，作為傳統(tǒng)的信號處理方法，已經(jīng)存在一系列成熟的理論體系和處理方法。常規(guī)陣列模型選用的均勻線性陣列（uniform linear array， ULA）受限于奈奎斯特采樣定理，為了增大陣列孔徑提高角度分辨率只能增加陣元數(shù)量，但會帶來結(jié)構(gòu)復(fù)雜成本過高等問題。因此，可以將天線陣元稀疏排布［1］，陣元間距不受半波長的限制布陣更加靈活，從而獲得更高的自由度、更強(qiáng)的角度分辨力和更大的陣列孔徑，提高了陣列信號處理的性能。關(guān)于稀疏陣列DOA估計［2］的方法與傳統(tǒng)全陣列方法不同，其中一方面是利用子陣列分解解模糊測角，但由于沒有利用稀疏陣列本身孔徑擴(kuò)大的優(yōu)勢，導(dǎo)致分辨率降低自由度下降;另一方面是基于虛擬矩陣向量化的超分辨算法［3］，但此方法需要將物理陣元接收信號的協(xié)方差矩陣向量化，再經(jīng)過去冗余空間平滑等一系列操作，不僅處理過程繁瑣復(fù)雜，而且基于空間平滑的算法只能用于虛擬陣列的連續(xù)部分，造成了不連續(xù)陣元的浪費(fèi)和相關(guān)信息的缺失。

隨著壓縮感知理論［4］的發(fā)展，衍生出了矩陣秩最小化理論，其中有關(guān)低秩矩陣恢復(fù)（low-rank matrix recovery， LRMR）的部分提出了矩陣填充［5］的方法，為稀疏陣列信號處理提供了新的思路。提出了將向量的稀疏性問題推廣到矩陣的秩最小化問題，也就是矩陣奇異值的稀疏問題，這種補(bǔ)全方法不需要將矩陣向量化處理，而是直接對二維的矩陣信號求解。但是矩陣填充作為仿射秩最小化問題（affine rank minimization problem， ARMP），由于秩函數(shù)具有非光滑非凸的特性，屬于非確定性多項式（non-deterministic polynomially， NP）難問題，難以直接求解。為了解決這一問題可以將秩函數(shù)凸松弛到矩陣核范數(shù)進(jìn)行計算［6］，最常用的方法是基于秩最小化的矩陣填充［7］（例如凸松弛算法類的利用奇異值閾值（singular value thresholding， SVT）方法、交替方向乘子法（alternating direction method of multipliers， ADMM）［8］等）和基于低秩矩陣分解的矩陣填充［9］。其中，對于核范數(shù)的優(yōu)化模型可能存在低秩成分過度收縮的問題［10］，而且在大數(shù)據(jù)中效率較低可擴(kuò)展性差。由線性代數(shù)理論可知，對于矩陣的填充有無窮可行解，但當(dāng)矩陣是低秩或近似低秩時，通常在秩的約束下有最優(yōu)解。因此，本文使用最小秩逼近的矩陣填充算法模型，在投影梯度下降算法的基礎(chǔ)上引用了迭代閾值算法中的奇異值投影（singular value projection， SVP）的方法［11］，之前對于該方法的討論多用于解決人臉識別［12］中的問題，但是該方法能夠得到滿足壓縮感知理論中受限等距性質(zhì)（restricted isometry property， RIP）的噪聲仿射約束下最小秩解，且對等距常數(shù)要求不嚴(yán)格，同時還兼顧了有噪聲和無噪聲的情況，也適用于非精確低秩恢復(fù)的近似低秩情況，穩(wěn)健性較強(qiáng)［13］，與陣列信號模型適配，對此產(chǎn)生了與陣列信號處理相結(jié)合的想法。同時，優(yōu)化了傳統(tǒng)的SVP算法，提出了適應(yīng)性更強(qiáng)的加權(quán)截斷SVP（weighted truncated SVP， WT-SVP）算法，本文算法不依賴于入射信號源的個數(shù)，而是采用截斷［14］的方法將能量集中在矩陣左上角的第一個元素，用相對較少的有效大奇異值捕獲大部分信息，提高了DOA估計的性能。

由于矩陣填充主要用于處理觀測矩陣中部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失或被破壞的情況，而稀疏陣列接收信號作為數(shù)據(jù)缺失矩陣由于信號源目標(biāo)數(shù)量遠(yuǎn)小于陣列天線數(shù)量，接收到的信號數(shù)據(jù)再加上噪聲數(shù)據(jù)滿足低秩矩陣。同時，根據(jù)文獻(xiàn)［15］指出，對于n×n且秩為r的矩陣，當(dāng)矩陣的行空間與列空間均與標(biāo)準(zhǔn)正交基不相干時，若已知的采樣元素個數(shù)m足夠多，滿足強(qiáng)非相干性條件，即表明有很高的概率可以從待填充矩陣中唯一的恢復(fù)出完整矩陣，待填充矩陣服從強(qiáng)非相干性，因此可以得到矩陣填充適用于陣列信號模型［16］。若考慮將填充算法用于稀疏陣列的信號處理，本文選用互質(zhì)陣列作為特殊的稀疏陣列進(jìn)行分析，因?yàn)榛ベ|(zhì)陣列本身具有系統(tǒng)化的固定陣列結(jié)構(gòu)，其物理陣元和虛擬陣元的位置排布均有明確的解析表達(dá)式，適合用來構(gòu)建陣列模型進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。針對以上分析，本文提出了基于稀疏陣列DOA估計的WT-SVP的魯棒矩陣填充算法，不同于以往的傳統(tǒng)互質(zhì)陣列處理方法，本文將互質(zhì)虛擬陣列中不連續(xù)的孔洞位置視為ULA中固定關(guān)閉的陣元，那么虛擬陣列可以看作陣元間距不完全相等的稀疏陣列。而得到的接收信號協(xié)方差矩陣由于孔洞的存在導(dǎo)致其中一些數(shù)據(jù)未知，會出現(xiàn)全零行和全零列的情況，若直接求解不滿足矩陣填充的可行性條件［17］，需要先對得到的虛擬接收信號按照快拍進(jìn)行重構(gòu)或按照協(xié)方差矩陣進(jìn)行重構(gòu)，使其滿足未觀測的元素在矩陣中隨機(jī)分布，再利用優(yōu)化后的WT-SVP方法進(jìn)行矩陣填充。由于稀疏陣列大多存在于分布式雷達(dá)或者大型雷達(dá)陣列背景下，因此回波接收到的采樣協(xié)方差矩陣不易在短時期內(nèi)獲得，為了使雷達(dá)處理信息能夠及時同步，多采用基于快拍矩陣補(bǔ)齊的預(yù)處理方式，本文利用矩陣Toeplitz化的方式進(jìn)行重構(gòu)。在得到完整接收陣列后運(yùn)用多重信號分類（multiple signal classification， MUSIC）算法進(jìn)行DOA估計，與現(xiàn)有的傳統(tǒng)方法相比，基于WT-SVP的矩陣填充方法不僅能夠提高稀疏陣列DOA估計的陣列自由度和測角精度，同時在低信噪比（signal to noise ratio， SNR）低快拍的環(huán)境下也更為適用，魯棒性好適應(yīng)范圍廣。

1 稀疏陣列信號模型

稀疏陣列表示陣列中存在相鄰兩陣元的間距大于半波長，且陣元間距不全部相等，可以看作是由隨機(jī)關(guān)閉均勻直線陣列中的部分陣元而得到的。假設(shè)稀疏陣列包含M個陣元，陣元位置排布［18］為

綜上所述，基于WT-SVP矩陣填充的稀疏陣列波達(dá)方向角估計算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟如圖3所示。

其中，基于WT-SVP矩陣填充DOA估計算法流程如下。

步驟 1

對稀疏陣列單次快拍獲得的接收信號矩陣按照Toeplitz形式重新排列得到低秩矩陣XT（t），由式（14）可實(shí)現(xiàn)。

步驟 2

使用WT-SVP矩陣填充算法對Toeplitz矩陣XT（t）進(jìn)行填充，由式（18）可實(shí)現(xiàn)。

步驟 3

獲取補(bǔ)全后維數(shù)為Q×Q的矩陣X′T（t）中的第1行元素，作為虛擬稀疏陣列接收信號矩陣的對應(yīng)列數(shù)據(jù)。

步驟 4

根據(jù)補(bǔ)全后的稀疏陣接收數(shù)據(jù)X′（t）計算協(xié)方差矩陣。

步驟 5

運(yùn)用MUSIC方法實(shí)現(xiàn)DOA的估計。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

為了對本文所提算法的性能進(jìn)行驗(yàn)證，將本文提出的WT-SVP填充算法與ADMM［8］、互質(zhì)子空間類算法［3］以及均勻線性全陣列方法，在相同的信號模型陣列條件下進(jìn)行仿真對比，其中提到的互質(zhì)子空間類方法是指互質(zhì)陣列采用空間平滑手段的虛擬域子空間類算法，為了方便敘述簡稱為子空間類算法。

本節(jié)采用M=3，N=5的擴(kuò)展互質(zhì)陣列模型，由于第1個陣元位置相互重合，總共得到2M+N－1=10個真實(shí)物理陣元，其中基本陣元間距為d=λ/2，那么互質(zhì)陣列物理陣元位置為［0，3，5，6，9，10，12，15，20，25］d。根據(jù)差集數(shù)組的定義，去重復(fù)后的虛擬陣列孔徑為4MN－2N+1=51，同仿真對比實(shí)驗(yàn)的ULA孔徑相同，由差集數(shù)組得到的虛擬陣列是在固定位置只有3MN+M－N=43個陣元的稀疏陣列。得到的歸一化空間譜設(shè)置相同的縱坐標(biāo)范圍，方便更為直觀地比較估計精度，以下將從DOA估計性能、魯棒性分析、分辨率分析、算法誤差等方面進(jìn)行比較分析。

3.1 DOA估計性能分析

空間中入射的信號源均為不相關(guān)的窄帶遠(yuǎn)場信號，如圖4中信號源個數(shù)K=2，入射角度分別為-45°和30°，SNR=10 dB，快拍數(shù)為100?？梢杂^察到本文所提方法在DOA估計方面精度更高，對比ADMM的矩陣填充處理方法，可以得到WT-SVP算法在稀疏陣列信號處理中恢復(fù)效果更好。通過比較譜峰的尖銳程度，本文方法譜峰更窄且性能最優(yōu)，然后是子空間類方法，之后才是全數(shù)據(jù)陣列。這是由于對快拍數(shù)據(jù)的矩陣填充在矩陣補(bǔ)全的同時也降低了噪聲對陣列接收信號的影響，提高了波達(dá)角估計的精度。

3.2 魯棒性分析

為了驗(yàn)證本文提出算法在復(fù)雜環(huán)境下的波達(dá)角估計精度，對算法的魯棒性進(jìn)行分析。

3.2.1 低SNR情況下

圖5為信源數(shù)為2，SNR=－10 dB，快拍數(shù)為100的低SNR時MUSIC輸出結(jié)果對比圖。在低SNR的惡劣情況下，互質(zhì)陣列子空間類處理方法已經(jīng)喪失了準(zhǔn)確性，但是本文WT-SVP方法仍能估計出正確的波達(dá)方向角度。這是因?yàn)閷未慰炫慕邮招盘栠M(jìn)行Toeplitz重排處理，充分利用每一次快拍數(shù)據(jù)，增強(qiáng)了信號之間的相關(guān)性，在填充矩陣的同時，也降低了噪聲對陣列信號估計的影響，提高了估計的精度，以及在惡劣噪聲環(huán)境下抗波動的性能。

3.2.2 低快拍情況下

由擴(kuò)展互質(zhì)陣列模型可知總共有10個物理陣元，因此圖6為信源數(shù)為2，SNR=10 dB，快拍數(shù)為10的低快拍MUSIC結(jié)果對比圖，可以觀察到即使在快拍數(shù)較少時，WT-SVP的方法仍有良好DOA估計性能，相比較而言ADMM的方法在復(fù)雜環(huán)境中穩(wěn)定性較弱填充效果欠佳;

3.2.3 多信源情況下

圖7為SNR=10 dB，快拍數(shù)為100時，入射信號源為［-60°，60°］均勻的10和15個信號。已知互質(zhì)虛擬陣列突破了傳統(tǒng)陣列信號采樣定理，當(dāng)信源數(shù)大于陣元數(shù)時本文算法仍可精準(zhǔn)區(qū)分15個入射信號源，實(shí)現(xiàn)了無模糊估計，適用于多信源入射的復(fù)雜情況，但子空間類算法產(chǎn)生了許多虛峰已經(jīng)不再適用。這是因?yàn)閭鹘y(tǒng)子空間類算法只利用了虛擬陣元的連續(xù)部分，而本文算法通過填充的手段恢復(fù)了孔洞部分的數(shù)據(jù)信息，從而增加了陣列自由度，當(dāng)出現(xiàn)多信號源入射的情況時，更有可能準(zhǔn)確分辨。

3.3 分辨率分析

為驗(yàn)證本文方法對相近信號的分辨能力，假設(shè)有兩個相近的等功率遠(yuǎn)場窄帶信號源，其方向分別為-0.5°和0.5°，本文提出算法與互質(zhì)子空間類算法的歸一化空間譜如圖8所示?？梢缘弥?dāng)信源角度間距接近時，本文方法WT-SVP仍然能夠準(zhǔn)確估計出入射信號的DOA信息，而子空間類算法對波達(dá)角估計已經(jīng)失效，體現(xiàn)了本文方法的陣列分辨率性能較好。

3.4 DOA估計誤差分析

設(shè)置空間入射的信號源個數(shù)為2，入射角度分別為-45°和30°，快拍數(shù)為100，每次仿真進(jìn)行200次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，對比不同SNR下本文算法WT-SVP與子空間類算法，ADMM方法以及全陣列的角度均方根誤差。

由圖9可以看出，隨著SNR的增加，噪聲對采樣信號的干擾變小，信號中有用信息越來越多，也使得稀疏矩陣填充效果變好，幾種方法的角度均方根誤差均逐漸減小。其中，可以明顯看到互質(zhì)陣列傳統(tǒng)方法誤差較大，而本文所提的基于WT-SVP的算法誤差在SNR=－10 dB的低SNR下也一直穩(wěn)定的較小，說明本文算法的DOA估計精度高魯棒性強(qiáng)。

4 結(jié) 論

在LRMR理論的框架下，本文利用擴(kuò)展互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)化的虛擬陣列模型，針對稀疏陣列信息缺失角度模糊的問題，提出了WT-SVP矩陣填充方法來恢復(fù)稀疏陣列接收信號矩陣，得到完整信號數(shù)據(jù)后再使用MUSIC算法進(jìn)行DOA估計。仿真實(shí)驗(yàn)表明，WT-SVP填充算法譜峰更精確，分辨精度更高，在DOA估計性能方面勝過互質(zhì)陣列虛擬域子空間類方法以及其他常見矩陣補(bǔ)全算法，并且能夠適應(yīng)低SNR、低快拍以及多入射信號源的復(fù)雜情況，魯棒性強(qiáng)。

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作者簡介

張蕓萌（1999—），女，碩士研究生，主要研究方向?yàn)殛嚵行盘柼幚怼?/p>

董 玫（1980—），女，副教授，博士，主要研究方向?yàn)槔走_(dá)信號處理。

陳伯孝（1966—），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)槔走_(dá)信號處理。