摘 要：

單軸電機(jī)的伺服控制主要是對位移跟蹤精度的控制，誤差較大意味著跟隨效果較差。目前對電機(jī)位移誤差的控制策略大多難以做到定量的約束控制。本文提出一種將位移誤差設(shè)置在預(yù)期范圍內(nèi)的預(yù)設(shè)性能反步控制策略，來定量調(diào)控輸出位移誤差的響應(yīng)時間以及超調(diào)量等暫態(tài)性能，降低直線電機(jī)的位移誤差。本文設(shè)計(jì)了預(yù)設(shè)性能函數(shù)作為控制邊界，保證位移跟蹤誤差處于誤差范圍內(nèi)并按設(shè)定時間快速收斂，利用Lyapunov理論設(shè)計(jì)反步控制器保證了系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性和跟蹤誤差的收斂性。最后，利用直線電機(jī)伺服實(shí)驗(yàn)平臺，通過不同工況高精度點(diǎn)位運(yùn)動實(shí)驗(yàn)，證明了該控制算法能夠有效降低點(diǎn)位運(yùn)動的位置跟隨誤差。

關(guān)鍵詞：永磁同步直線電機(jī)；預(yù)設(shè)性能；反步法；誤差轉(zhuǎn)換；有限時間；位移誤差

DOI：10.15938/j.emc.2024.09.007

中圖分類號：TM921

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1007-449X（2024）09-0070-11

收稿日期： 2023-09-15

基金項(xiàng)目：中央引導(dǎo)地方科技發(fā)展資金項(xiàng)目（226Z1805G）;天津市自然科學(xué)基金（20JCYBJC00730）

作者簡介：滕子鋮（1998—），男，碩士研究生，研究方向?yàn)殡姍C(jī)控制；

陶友瑞（1973—），男，博士，教授，研究方向?yàn)橄冗M(jìn)復(fù)合材料制備技術(shù)與工程應(yīng)用；

李珊瑚（1985—），女，博士，教授，研究方向?yàn)殡姍C(jī)控制、矩陣變換器；

劉 旭（1984—），男，博士，教授，研究方向?yàn)殡姍C(jī)控制。

通信作者：李珊瑚

Prescribed performance backstepping control strategy for displacement error of permanent magnet linear synchronous motor

TENG Zicheng1，2， TAO Yourui1， LI Shanhu1，2， LIU Xu1，2

（1.State Key Laboratory of Reliability and Intelligence of Electrical Equipment， Hebei University of Technology， Tianjin 300130， China; 2.Key Laboratory of Electromagnetic Field and Electrical Apparatus Reliability of Hebei Province， Hebei University of Technology， Tianjin 300130， China）

Abstract：

The servo control of the single-axis motor is mainly to control the displacement tracking accuracy， and the large error means that the tracking effect is poor. At present， most of the control strategies for motor displacement error are difficult to achieve quantitative constraint control. A prescribed performance backstepping control strategy was proposed to set the displacement error within the expected range， so as to quantitatively control the response time of the output displacement error and the transient performance such as overshoot， so as to reduce the displacement error of the linear motor. A prescribed performance function was designed as the control boundary to ensure that the displacement tracking error is within the error range and converges quickly according to the set time， and the Lyapunov theory was used to design the backstepping controller to ensure the closed-loop stability of the system and the convergence of the tracking error. Finally， the linear motor servo experimental platform was used to prove that the control strategy can effectively reduce the position tracking error of point motion through high-precision point motion experiments under different working conditions.

Keywords：permanent magnet linear synchronous motor; prescribed performance; backstepping control; error conversion; finite time; displacement error

0 引 言

永磁直線同步電機(jī)（permanent magnet linear synchronous motor，PMLSM）結(jié)構(gòu)簡單、精度高且無傳動機(jī)構(gòu)［1］，近年來在高精密制造設(shè)備的伺服驅(qū)動上得到了廣泛應(yīng)用，如XY平臺驅(qū)動、數(shù)控機(jī)床和機(jī)器人控制等［2-4］。

在基于永磁直線電機(jī)的伺服系統(tǒng)控制方法中，基于PI的二自由度控制雖然擁有結(jié)構(gòu)簡單、參數(shù)整定快、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)［5］，但是在高速高精度定位平臺中，其位移跟隨誤差往往達(dá)不到定位精度的要求。同時外界擾動和模型的不確定性更使得基于PI的二自由度控制策略的魯棒性較差，位置跟隨誤差無法達(dá)到更高的精度要求。

為減小不確定性以及外界干擾對輸出位移跟隨誤差造成的影響，國內(nèi)外研究者提出了許多滑?？刂疲?-7］、自適應(yīng)控制［8-9］等諸多非線性控制方法。滑?？刂评貌淮_定性系統(tǒng)的邊界條件設(shè)計(jì)切變控制律，系統(tǒng)的動態(tài)由設(shè)計(jì)的滑模面決定，與不確定性無關(guān)，但是滑模控制中的“抖振”現(xiàn)象給滑模變結(jié)構(gòu)控制在實(shí)際系統(tǒng)應(yīng)用中帶來了困難。文獻(xiàn)［10］提出一種多周期迭代滑模控制算法用于提高直線電機(jī)的控制精度，能夠?qū)χ本€電機(jī)受到的多周期干擾進(jìn)行抑制，但其算法較為復(fù)雜。文獻(xiàn)［11］提出一種改進(jìn)多輸入多輸出無模型自適應(yīng)控制的二維直線電機(jī)迭代學(xué)習(xí)控制復(fù)合控制方案，補(bǔ)償系統(tǒng)非線性因素，前饋反饋優(yōu)勢互補(bǔ)，但是自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)復(fù)雜，對系統(tǒng)的實(shí)時控制有較長的運(yùn)行時間，無法保證參數(shù)估計(jì)值到實(shí)際值的漸進(jìn)收斂。

反步控制［12］（backstepping control，BSC）則是一種靜態(tài)補(bǔ)償思想，通過后面子系統(tǒng)中的虛擬控制實(shí)現(xiàn)前面子系統(tǒng)的穩(wěn)定收斂，通過不斷遞推迭代構(gòu)造李雅普諾夫能量函數(shù)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。反步控制方法有很多優(yōu)點(diǎn)，如魯棒性強(qiáng)、需要調(diào)試的參數(shù)較少，因而被廣泛應(yīng)用于電機(jī)控制系統(tǒng)中［13-17］。文獻(xiàn)［13］創(chuàng)造性地將反步法應(yīng)用于電機(jī)控制系統(tǒng)；文獻(xiàn)［14］則將滑?？刂婆c反步控制相結(jié)合，設(shè)計(jì)的滑模反步控制器，能有效提高伺服系統(tǒng)的魯棒性；文獻(xiàn)［15］考慮了電機(jī)負(fù)載擾動，提出了基于反步法的PMSM速度環(huán)自適應(yīng)控制；文獻(xiàn)［16］利用非線性積分反步法設(shè)計(jì)了自適應(yīng)積分反步控制器，不僅可以補(bǔ)償參數(shù)不確定性的影響，抗負(fù)載擾動能力也大大提高，但是自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)依舊復(fù)雜，對系統(tǒng)的實(shí)時控制的運(yùn)行時間依舊較長。文獻(xiàn)［17］加入周期性學(xué)習(xí)算法，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)反步滑?？刂破鞅ＷC直線電機(jī)的定位精度，但加入的學(xué)習(xí)算法也提高了控制器的計(jì)算量。這些控制策略都結(jié)合了反步控制方法，在電機(jī)的穩(wěn)態(tài)性能和魯棒性方面都有較好效果，但在暫態(tài)性能方面難以做到定量控制，有一定的局限性。

Bechlioulis和Rovithakis于2008年首次提出預(yù)設(shè)性能函數(shù)（prescribed performance control，PPC）［18-19］控制方法，該預(yù)設(shè)性能控制方法可以預(yù)先設(shè)定一個邊界函數(shù)限制收斂速度及超調(diào)量，繼而使跟蹤誤差收斂到一個提前設(shè)定好的區(qū)域內(nèi)。這種方法不僅可以保證系統(tǒng)穩(wěn)定，在系統(tǒng)的暫態(tài)特性方面還有較好的控制效果。文獻(xiàn)［20］提出了一種保預(yù)設(shè)性能魯棒自適應(yīng)控制方案， 利用自適應(yīng)投影算法對有界時變參數(shù)進(jìn)行辨識，進(jìn)行了控制器設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)［21-23］將預(yù)設(shè)性能引入到常規(guī)反步法中，對解決非線性系統(tǒng)的控制問題有很大幫助，主要應(yīng)用于編隊(duì)控制［21］、飛行器飛行控制［22］、汽車懸架控制［23］的位置跟蹤問題。此外，文獻(xiàn)［24］將預(yù)設(shè)性能引入到自適應(yīng)控制中，應(yīng)用于轉(zhuǎn)臺伺服系統(tǒng)中。

對單軸電機(jī)而言，實(shí)時的伺服控制主要是跟蹤精度的控制，位移誤差嚴(yán)重影響電機(jī)運(yùn)動過程中的精度，在高速高精高加工場合，誤差超限將導(dǎo)致機(jī)床振動、零件表面質(zhì)量惡化、電機(jī)失控等嚴(yán)重后果，直接影響零件加工質(zhì)量以及產(chǎn)品要求。目前對于電機(jī)的位移誤差難以做到定量的約束控制，同時當(dāng)前預(yù)設(shè)性能主要應(yīng)用在機(jī)械控制領(lǐng)域，關(guān)于直線電機(jī)降低位移誤差的應(yīng)用較少。

針對上述永磁直線電機(jī)跟隨誤差控制方法誤差收斂不確定問題，本文通過結(jié)合預(yù)設(shè)性能控制思想，提出一種在有限時間內(nèi)快速收斂的預(yù)設(shè)性能反步控制策略（prescribed performance backstepping control，PPBC），可以定量調(diào)控輸出的響應(yīng)時間以及超調(diào)量等暫態(tài)性能，與一般的預(yù)設(shè)性能函數(shù)相比，它的收斂速度更快；此外目前伺服行業(yè)考慮到成本以及便于擴(kuò)展，早已將電流環(huán)集成在驅(qū)動器中，本文保留采用PI控制器的電流環(huán)，更廣泛應(yīng)用于直線電機(jī)中，避免反步控制中的微分爆炸，對電機(jī)暫態(tài)特性有較好控制效果。

1 傳統(tǒng)反步控制策略

1.1 反步控制原理

反步控制是一種針對單輸入單輸出非線性系統(tǒng)精確跟隨的控制方法，其控制原理圖如圖1所示，將非線性輸出變量xi（i=1，2，…，n）作為中間遞歸變量，通過設(shè)計(jì)虛擬控制量ui-1（i=2，3，…，n），保證系統(tǒng)輸出信號x1跟蹤期望值xd。圖中系統(tǒng)跟蹤誤差e1=x1-xd ，虛擬控制量ui-1和非線性變量xi的誤差為ei=xi- ui-1。

3 仿真與實(shí)驗(yàn)

在如芯片封裝點(diǎn)膠過程中，點(diǎn)膠工藝主要為點(diǎn)膠（定位運(yùn)動）和涂膠（輪廓運(yùn)動），單軸電機(jī)跟蹤精度的位移誤差需要控制在微米級別。在點(diǎn)膠過程中，點(diǎn)膠直線電機(jī)通常采用閉環(huán)控制的方式，主要用于點(diǎn)到點(diǎn)的高速高精度運(yùn)動，本文按照時間最短、沖擊最小的原則選擇梯形運(yùn)動軌跡為參考位移軌跡。該梯形運(yùn)動軌跡整個往返運(yùn)動過程可劃分為勻加速階段［0，t1］ ［t5，t6］、勻速階段［t1，t2］ ［t4，t5］和勻減速階段［t2，t4］，如圖6所示。

圖6中：Send為往返運(yùn)動最大位移；Vmax、Vmin分別為最大速度和最小速度；Amax、Amin分別為最大加速度、最小加速度。

利用MATLAB/Simulink軟件對本文提出的預(yù)設(shè)性能控制策略進(jìn)行仿真，驗(yàn)證該方法的可行性，然后利用直線電機(jī)伺服控制平臺對本文控制策略進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。仿真和實(shí)驗(yàn)用到的梯形運(yùn)動的參考軌跡參數(shù)如表1所示，直線電機(jī)參數(shù)見表2 。

3.1 仿真結(jié)果

實(shí)際點(diǎn)膠工藝測試中的直線電機(jī)伺服系統(tǒng)電流環(huán)集成于驅(qū)動器中。為驗(yàn)證提出方法的可行性，預(yù)設(shè)性能反步控制PPBC、傳統(tǒng)反步控制BSC策略均保留PI電流環(huán)，對圖2、圖4的控制方法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

電流環(huán)的參數(shù)設(shè)計(jì)考慮環(huán)路帶寬設(shè)計(jì)指標(biāo)，均設(shè)計(jì)為Kp=330，Ki=1 476，主要優(yōu)化目標(biāo)為位移誤差均方根值最小和最大誤差最小。以優(yōu)化目標(biāo)為主導(dǎo)，PI策略中，速度控制器的Kp=255、Ki=800，位置控制器的Kp =250；BSC策略根據(jù)式（15）設(shè)置的控制參數(shù)k1=550，k2=2 500；PPBC策略根據(jù)式（26）和式（28）設(shè)置的控制參數(shù)k1=250，k2=850。預(yù)設(shè)性能函數(shù)PPF參數(shù)設(shè)計(jì)為a0=0.001，a1=-0.099，a2=2.475，最終收斂的誤差帶設(shè)置為10 μm，轉(zhuǎn)換函數(shù)中上下限分別設(shè)置為10-6和10-7。

圖7、圖8、圖9分別是三種控制方法在表1軌跡1下電流環(huán)控制器的變化情況及其輸出波形，位置控制器參數(shù)的變化情況及其輸出波形、以及速度控制器參數(shù)的變化情況及其輸出波形。

圖7、圖8、圖9從速度、位移的跟隨效果上證明所提策略的可行性。圖7中i*q為電流環(huán)輸入，iq為電流反饋值。圖8表明，在加速度變化時，BSC和PPBC的波動較大，尤其是0.1 s和0.5 s前后，但是PPBC在速度突變后，相比于BSC算法可以快速調(diào)節(jié)穩(wěn)定，而BSC算法穩(wěn)定的時間較長；圖9給出了跟隨效果示意圖，啟動階段，相比于PI控制，PPBC和BSC有更快的響應(yīng)速度和更好的跟隨效果，但是在0.8 s運(yùn)動結(jié)束時，BSC有較大的誤差，PPBC總體上效果最好，滿足定位精度的要求。

此外，由于電機(jī)跟隨效果能直觀地體現(xiàn)在位移誤差上，為驗(yàn)證不同條件下三種策略的可行性，根據(jù)表1給出的軌跡規(guī)劃對三種策略從位移誤差的方面進(jìn)一步進(jìn)行仿真分析，其仿真結(jié)果如圖10所示。

圖10為不同參考軌跡下三種控制策略的位移誤差仿真對比。從圖10（a）中可以看出，在a=2 m/s2時，PPBC策略的最大位移誤差為2.45 μm；BSC策略的位移誤差曲線與加速度曲線呈明顯的正相關(guān)，最大位移誤差為10 μm；傳統(tǒng)二自由度PI策略最大位移誤差為16.67 μm，高于其余兩種策略的位移誤差。從圖10（b）中可以看出，在a=5.38 m/s2時，PPBC策略的最大位移誤差為6.22 μm；BSC策略最大位移誤差為24.17 μm；PI策略最大位移誤差為33.33 μm；PPBC降低位移誤差的效果遠(yuǎn)優(yōu)于BSC和PI控制，仿真驗(yàn)證了在不同速度下PPBC策略在降低位移誤差方面的可行性。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在3.1仿真的基礎(chǔ)上，采用表1給出的軌跡進(jìn)行不同加速度下的實(shí)驗(yàn)，對比預(yù)設(shè)性能反步控制PPBC、傳統(tǒng)反步控制BSC以及傳統(tǒng)PI控制策略的位移誤差。

實(shí)驗(yàn)平臺如圖11所示，其中主要包括：永磁同步直線電機(jī)、驅(qū)動器、PowerPMAC控制器以及工控機(jī)等。通過工控機(jī)對電機(jī)進(jìn)行操作，Power PMAC控制器進(jìn)行控制程序的編寫，同時發(fā)出指令信號給驅(qū)動器，驅(qū)動器驅(qū)動電機(jī)進(jìn)行運(yùn)動，電機(jī)運(yùn)動的同時微米級光柵尺實(shí)時準(zhǔn)確地把運(yùn)動電機(jī)軸的位置等信號反饋給運(yùn)動控制系統(tǒng)，繼而對與給定位移進(jìn)行比較后得到的位移誤差進(jìn)行約束控制。

實(shí)驗(yàn)參數(shù)在仿真參數(shù)的基礎(chǔ)上，主要以位移誤差均方根值最小和最大誤差最小為優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行調(diào)整，位移誤差由實(shí)驗(yàn)平臺運(yùn)算后得到其均方根值。最終實(shí)驗(yàn)參數(shù)為：BSC控制策略的控制參數(shù)k1=575，k2=2 850；PPBC控制策略的控制參數(shù)k1=250，k2=600。圖12給出了不同參考軌跡下3種控制策略的位移誤差實(shí)驗(yàn)對比。

從圖12（a）可以看出，在a=2 m/s2時，PPBC策略的最大位移誤差為38.19 μm；BSC策略最大位移誤差為44.37 μm；傳統(tǒng)二自由度PI策略最大位移誤差為52.27 μm，高于其余兩種策略的位移誤差。從圖12（b）可以看出，在a=5.38 m/s2時，PPBC策略的最大位移誤差為52.04 μm；BSC策略最大位移誤差為70.18 μm；傳統(tǒng)二自由度PI策略最大位移誤差為202.64 μm。實(shí)驗(yàn)證明，PPBC在低速運(yùn)行條件下由于摩擦力的影響較大，相比于BSC策略，PPBC策略降低位移誤差的優(yōu)化效果不大，但在高加速度條件下，PPBC策略降低誤差的能力有明顯提升。此外，經(jīng)測量三種算法在PMAC控制器中的運(yùn)算時間差異極小，傳統(tǒng)反步控制策略的計(jì)算時間比傳統(tǒng)PI控制多了27%，引入預(yù)設(shè)性能的反步策略相對于傳統(tǒng)反步控制的運(yùn)算時間僅多了0.681%。

圖13是三種控制策略位移誤差的均方根值，可以直觀看出PPBC高速和低速條件下能有效降低電機(jī)的位移誤差。

從圖13可以看出，在低速條件下，PPBC的誤差均方根為13.27 μm，BSC為17.19 μm，PI為33.56 μm， PPBC相比BSC對誤差降低的效果不明顯，原因是低速條件下摩擦力對誤差的影響較大；在高速條件下，PPBC的誤差均方根為18.82 μm。BSC為28.42 μm，PI為138 μm，PPBC降低位移誤差的能力好于PI控制和BSC控制，更具有魯棒性。

4 結(jié) 論

針對非線性電機(jī)驅(qū)動控制系統(tǒng)位移誤差收斂不確定的問題，提出了一種具有預(yù)設(shè)性能的反步控制方法。通過引入規(guī)定的性能函數(shù)和誤差變換函數(shù)，可以定量地設(shè)計(jì)系統(tǒng)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。與一般的預(yù)設(shè)性能函數(shù)相比，采用有限時間內(nèi)收斂到穩(wěn)態(tài)值的預(yù)設(shè)性能函數(shù)來約束直線電機(jī)的跟蹤誤差，不僅具有更快的收斂速度，還可以控制誤差收斂的時間，從而快速收斂，有效降低電機(jī)的位移誤差。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在低加速條件下，PPBC相對于BSC、PI控制來說，誤差分別降低了22.8%、60.46%；在高加速條件下，PPBC相對于BSC、PI控制來說，誤差分別降低了33.78%、86.36%；所提出的策略能有效降低永磁同步直線電機(jī)電驅(qū)系統(tǒng)的位移誤差，大大提高了系統(tǒng)的控制性能。

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（編輯：劉素菊）