摘 要： 作為一種經(jīng)典的有源干擾，速度欺騙干擾極易導(dǎo)致雷達在多普勒維上同時檢測到單個或多個虛假目標(biāo)，造成雷達虛警，給雷達探測帶來了巨大挑戰(zhàn)。為了抵抗速度欺騙干擾，結(jié)合脈內(nèi)、脈間編碼和接收濾波器設(shè)計等多個自由度，提出一種發(fā)射與接收多維聯(lián)合設(shè)計的方法。首先，以非匹配濾波器峰值損失為懲罰項，并聯(lián)合接收信號的多普勒譜上目標(biāo)旁瓣能量與干擾能量構(gòu)建優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，同時考慮發(fā)射波形峰均功率比約束。然后，基于坐標(biāo)下降思想和優(yōu)化最小化理論，提出一種塊坐標(biāo)下降的優(yōu)化最小化方法求解該問題。最后，仿真實驗表明相比傳統(tǒng)脈間初相設(shè)計，在頻譜阻帶內(nèi)，所提方法峰值旁瓣比提升約6 dB，抗速度欺騙干擾性能大幅提升。

關(guān)鍵詞： 波形設(shè)計; 干擾抑制; 速度欺騙干擾; 非匹配濾波器

中圖分類號： TN 974

文獻標(biāo)志碼： A

DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.08.06

Joint radar transmitted waveform and received filter design approach

against velocity deception jamming

ZHANG Mingxing¹， SHI Qiao¹， YU Tao²， ZHOU Zhengchun^1，*， CUI Guolong³

（1. School of Information Science and Technology， Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031， China; 2. School

of Mathematics， Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031， China; 3. School of Information and Communication

Engineering， University of Electronic Science and Technology of China， Chengdu 611731， China）

Abstract： As a typical active jamming， velocity deception jamming can cause radar to detect single or multiple 1 targets in Doppler dimension at the same time， resulting in 1 alarm and posing a huge challenge to radar detection. A joint radar transmitted waveform and mismatched filter design method focus on suppressing the velocity deception jamming is proposed， which comprehensively considers many degrees of freedom such as intra-pulse， inter-pulse coding and receiver filter. Firstly， the peak loss of unmatched filter is taken as the penalty term， and the optimization objective function is constructed by combining the target sidelobe energy and interference energy on the Doppler spectrum of the received signal， and the peak-to-average power ratio constraint of the transmitted waveform is considered. Secondly， the block coordinate descent majorization-minimization method is proposed to solve this problem， based on the coordinate descent method and majorization-minimization theory. Finally， the simulation results show that compared with the traditional pulse to pulse initial phase design， the against velocity deception jamming performance of the proposed method is greatly improved， specifically， the peak sidelobe ratio is increased by about 6 dB in the special stopband.

Keywords： waveform design; jamming suppression; velocity deception jamming; mismatched filter

0 引 言

隨著數(shù)字射頻存儲（digital radio frequency memory， DRFM）技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)代干擾機能夠?qū)崿F(xiàn)對雷達信號的存儲、復(fù)制和轉(zhuǎn)發(fā)，并在轉(zhuǎn)發(fā)信號時調(diào)制虛假的時延、頻率和幅度等進行欺騙干擾。這些干擾信號與真實信號在時域、頻域和空域的特征非常相似，給雷達系統(tǒng)帶來了嚴(yán)峻挑戰(zhàn)^［1-2］。

根據(jù)DRFM干擾機調(diào)制和轉(zhuǎn)發(fā)信號方式的不同，欺騙干擾主要有距離欺騙干擾、速度欺騙干擾和靈巧干擾等。波形設(shè)計作為雷達系統(tǒng)抗欺騙干擾的關(guān)鍵技術(shù)之一^［3-4］，近年來引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。目前，基于波形設(shè)計抗欺騙干擾技術(shù)的研究主要集中于發(fā)射波形設(shè)計和發(fā)射波形與接收濾波器聯(lián)合設(shè)計兩方面。

由于干擾機需要一定時間對雷達信號進行捕獲、分析和識別，因此通常干擾信號將滯后于雷達信號。文獻［5］首次提出了在不同的脈沖重復(fù)間隔（pulse repetition interval， PRI）中發(fā)射調(diào)頻斜率隨機擾動的線性調(diào)頻波形，實現(xiàn)了較好的抗距離欺騙干擾性能。在此基礎(chǔ)上，文獻［6-7］在不同PRI中發(fā)送正交碼，并在接收端采用匹配濾波器，實現(xiàn)了在特定距離單元內(nèi)有效地進行抗距離干擾目的。文獻［8-11］，建立了最小化發(fā)射信號的積分旁瓣電平（integrated sidelobe level， ISL）和干擾信號的干擾積分電平（jamming integrated level， JSL）加權(quán)和的優(yōu)化準(zhǔn)則，在峰值約束條件下，采用了發(fā)射波形與接收濾波器交替優(yōu)化的方式，實現(xiàn)了抗間歇式采樣干擾。同樣采用交替優(yōu)化的方法，文獻［11］采用多脈沖互補序列和接收濾波器聯(lián)合設(shè)計的方式，提升了在間歇式采樣干擾下對運動目標(biāo)檢測的能力。文獻［12-13］通過分析雷達回波信號的時頻域特征，在時頻域上實現(xiàn)了間歇式采樣干擾的參數(shù)識別和抑制。

上述工作主要是針對抗距離欺騙干擾和抗靈巧干擾，針對速度欺騙干擾同樣有大量的研究^［14-21］。文獻［14］利用二元相位編碼偽隨機波形，實現(xiàn)了低干信比（jamming-to-signal ratio， JSR）干擾背景下的速度欺騙干擾抑制，由于干擾信號的能量將會均勻分布在整個多普勒頻譜上，因此當(dāng)JSR較大時，該方法將失效。為此，Zhang等^［15］利用多通道處理技術(shù)對干擾參數(shù)進行了估計，并基于相位梯度算法提出了一種自適應(yīng)脈間波形初始相位編碼的方法。該方法通過最小化阻帶范圍內(nèi)干擾信號多普勒頻譜能量的方式，實現(xiàn)了在強電子干擾環(huán)境下對速度欺騙干擾的抑制。在此基礎(chǔ)上，文獻［16］和文獻［17］分別基于修正牛頓法和序貫估計算法進一步提升了抗干擾性能。隨后，文獻［18-19］基于快速傅里葉變換（fast Fourier transform， FFT）提出了加權(quán)循環(huán)（weighted cyclic algorithm-new， WeCAN）算法，考慮了多目標(biāo)多干擾場景下抗速度欺騙干擾。此外，文獻［20］通過設(shè)計自適應(yīng)迭代濾波算法考慮抑制距離-速度聯(lián)合欺騙干擾抑制問題。葛萌萌等^［21］考慮了脈間波形幅度設(shè)計這一自由度，建立了最小化阻帶內(nèi)干擾信號能量和目標(biāo)信號旁瓣的優(yōu)化問題，提出非精確交替方向懲罰法（inexact alternating direction penalty method， IADPM），該算法實現(xiàn)了脈間波形幅度相位聯(lián)合設(shè)計抗速度欺騙干擾。上述基于波形設(shè)計的抗速度欺騙干擾方法均取得了較好的抗干擾效果。但是，其均只通過設(shè)計脈間初相或者幅度來實現(xiàn)干擾抑制，并且在雷達接收端仍采用傳統(tǒng)的匹配濾波處理，波形設(shè)計自由度有限。

為了充分利用脈內(nèi)脈間波形與接收濾波器的自由度，本文提出一種脈內(nèi)波形和接收端濾波器聯(lián)合設(shè)計抗速度欺騙干擾的方案。首先，在發(fā)射波形峰均能量比（peak-to-average power ratio， PAPR）約束和接收濾波器能量約束下，建立最小化阻帶范圍內(nèi)干擾信號能量和目標(biāo)能量的加權(quán)優(yōu)化問題。此外，為了避免非匹配濾波造成峰值增益損失，基于罰函數(shù)方法，在目標(biāo)函數(shù)中引入了峰值約束函數(shù)。然后，采用發(fā)射波形和濾波器交替迭代的方式實現(xiàn)了優(yōu)化問題求解，采用一種加速迭代算法，大幅提升了算法收斂速度。最后，仿真實驗表明，相對于傳統(tǒng)設(shè)計脈間波形抗速度欺騙干擾方法，采用本文設(shè)計脈內(nèi)波形與接收濾波器具有更好的抗速度欺騙干擾性能，能夠?qū)崿F(xiàn)多目標(biāo)多干擾場景下的速度欺騙干擾抑制。

1 信號模型

假設(shè)脈沖多普勒（pulse Doppler， PD）雷達在一個相干處理周期（coherent processing interval， CPI）內(nèi)發(fā)送M個脈沖信號，如圖1所示，第m個脈沖發(fā)射信號為

s_m（t）=s-_m（t）u（t－（m－1）T_r）， m∈M（1）

式中：M={1，2，…，M};T_r為脈沖重復(fù)時間;u（t）定義為

u（t）=1， 0lt;t≤T

0， 其他（2）

式中：T為發(fā)射脈沖的時寬;s-_m（t）為雷達在第m個PRI內(nèi)發(fā)射的相位編碼脈沖，表示為

s-_m（t）=∑Nn=1s_m（n）u-

t－（n－1）T_pT_p

（3）

式中：s_m=［s_m（1），s_m（2），…，s_m（N）］^T∈C^N為第m個脈沖信號的復(fù)碼字序列;T_p為子脈沖時寬，且T=NT_p;N為子脈沖個數(shù);u-（t）為子脈沖的復(fù)包絡(luò)，表達式為

u-（t）=1， 0＜t≤1

0， 其他（4）

對于高重頻PD雷達，因其脈沖重復(fù)頻率（pulse repetition frequency， PRF）較大，故在一個CPI內(nèi)目標(biāo)通常被認為是相對靜止的，即在M個慢時間內(nèi)每個目標(biāo)的散射系數(shù)、雙程時延和多普勒頻移均保持不變。因此，假設(shè)雷達天線主瓣內(nèi)存在Q個不同多普勒頻率的目標(biāo)，則第m個脈沖接收到的回波信號可表示為

T_m（t）=s-_m（t）∑Qq=1α_Tqe^{j2π（m－1）fTq}u（t－（m－1）T_r－τqd）（5）

式中：τ^q_d和α_Tq分別為第q個目標(biāo)的雷達回波的延時和散射系數(shù);f_Tq=2v_TqT_r/λ為第q個目標(biāo)的歸一化多普勒頻率;v_Tq為目標(biāo)速度;λ為雷達工作波長。

由于DRFM干擾機一般需要若干個PRI來捕獲、分析和識別雷達脈沖信號，然后復(fù)制這些脈沖并調(diào)制多個多普勒信息形成干擾信號，因此干擾信號通常會滯后于回波信號。如圖2所示，假設(shè)DRFM干擾機發(fā)射脈沖信號滯后雷達發(fā)射脈沖信號i（1lt;i≤M）個PRI，則干擾信號回波可表示為

J_m（t）=s-_m－i（t）∑Pp=1α_Jpe^{j2π（m－i－1）fJp}·

u（t－（m－i－1）T_r－τ^p_J）（6）

式中：τ^p_J、α_Jp和f_Jp分別為第p個干擾信號的時延、散射系數(shù)和歸一化多普勒頻率。

因此，第m個脈沖的接收回波表示為

y_m（t）=T_m（t）+J_m（t）+n_m（t）（7）

式中：n_m（t）表示高斯白噪聲。

假設(shè)雷達接收端對第m個脈沖的信號，采用的濾波器為h-_m，其表示為

h-_m（t）=∑Nn=1h_m（n）u-

t－（n－1）T_pT_p（8）

式中：h_m=［h_m（1），h_m（2），…，h_m（N）］^T∈C^N為第m個濾波器的復(fù)碼字序列。

為了簡化模型，假設(shè)所有假目標(biāo)與真實目標(biāo)均處于同一距離單元內(nèi)，即τ¹_d=τ²_d=…=τ^Q_d=τ¹_J=τ²_J=…=τ^P_J=τ₀。則經(jīng)過濾波器后，第m個脈沖在τ₀處的輸出為

y（m）=∫^+∞_-∞h-^*_m（t－τ₀）y_m（t）dt=

h^H_ms_m∑Qq=1α_Tqe^{j2π（m－1）fTq}+h^H_ms_m－i∑Pp=1α_Jpe^{j2π（m－i－1）fJp}+v（m）=

x（m）∑Qq=1α_Tqe^{j2π（m－1）fTq}+x-（m）∑Pp=1α_Jpe^{j2π（m－i－1）fJp}+v（m）（9）

式中：x（m）=h^H_ms_m;x-（m）=h^H_ms_m－i;v（m）是方差為σ²的高斯白噪聲;（·）^*表示取共軛操作。

2 發(fā)射波形與濾波器聯(lián)合設(shè)計抗速度欺騙干擾

為了抵抗速度欺騙干擾，本文在真實目標(biāo)頻率附近設(shè)置阻帶，通過聯(lián)合設(shè)計發(fā)射波形和濾波器的方法，盡量降低阻帶范圍內(nèi)的干擾能量和真實目標(biāo)旁瓣能量，從而提高阻帶內(nèi)目標(biāo)的信干噪比和峰值旁瓣比，改善雷達抗速度欺騙干擾性能。

2.1 問題模型

在雷達感知偵察階段，本文利用多通道處理技術(shù)^［13］獲取干擾滯后真實目標(biāo)的脈沖重復(fù)時間（pulse repetition time， PRT）個數(shù)i和真實目標(biāo)與虛假目標(biāo)的多普勒信息，然后利用這些先驗信息，雷達系統(tǒng)在目標(biāo)多普勒附近確定阻帶邊界，確保所有真實目標(biāo)與虛假目標(biāo)的多普勒均在阻帶范圍內(nèi)。假設(shè)阻帶范圍為

Ω=∪Nsk=1［f_k1，f_k2］（10）

式中：N_s（N_s≤Q）為阻帶個數(shù);f_k1，f_k2分別為第k（k=1，2，…，N_s）個阻帶的頻率下限和上限;∪表示取并集。

根據(jù)文獻［21］，假目標(biāo)信號經(jīng)過濾波器輸出后，再做離散傅里葉變換并計算其在阻帶內(nèi)的頻域能量，則可以推導(dǎo)出P個干擾信號在阻帶內(nèi)的頻域總能量為

C_J=x-^HR_Jx-（11）

式中：x-=［x-（1），x-（2），…，x-（M）］^T。矩陣R_J的第（m，n）個元素表示為

R_J（m，n）=∑Nsk=1∑Pp=1|α_Jp|²e^{－j2π（m－n）fJp}∫^fk2_fk1e^{j2πf（m－n）}df=

∑Nsk=1∑Pp=1|α_Jp|²e^j2π（fk2－f_Jp）（m－n）－e^j2π（fk1－f_Jp）（m－n）j2π（m－n）， m≠n

f_k2－f_k1， m=n（12）

式中：j表示虛數(shù)單位。

類似地，Q個目標(biāo)信號在阻帶內(nèi)的旁瓣總能量為

C_T=x^H（R_T1+R_T2）x=x^HR_Tx（13）

式中：x=［x（1），x（2），…，x（M）］^T;（·）^H表示共軛轉(zhuǎn)置操作。R_T1和R_T2中的第（m，n）個元素分別為

R_T1（m，n）=∑Nsk=1∑Qq=1|α_Tq|²e^{－j2π（m－n）fTq}∫^fTq－Δf_fk1e^{j2πf（m－n）}df=

∑Nsk=1∑Qq=1|α_Tq|²e^{j2π（－Δf）（m－n）}－e^j2π（fk1－f_Tq）（m－n）j2π（m－n）， m≠n

f_Tq－Δf－f_k1， m=n（14）

R_T2（m，n）=∑Nsk=1∑Qq=1|α_Tq|²e^{－j2π（m－n）fTq}∫^fk2_fTq+Δfe^{j2πf（m－n）}df=

∑Nsk=1∑Qq=1|α_Tq|²e^j2π（fk2－f_Tq）（m－n）－e^{j2πΔf（i－j）}j2π（m－n）， m≠n

f_k2－f_Tq－Δf， m=n（15）

式中：Δf=1/M為歸一化多普勒頻率間隔。

構(gòu)造分塊矩陣H和S，定義為

再構(gòu)造長序列s^和h^為

s^=［s^T₁， s^T₂， …， s^T_M］^T_NM×1（18）

h^=［h^H₁， h^H₂， …， h^H_M］^T_NM×1（19）

則有

x=H^Hs^=S^Hh^

x-=H^H（J₁s^）=（J₂S^HJ^H₁）h^（20）

式中：J₁，J₂為移位矩陣，定義為

J₁=0_{iN×N（M－i）}I_Ni×Ni

I_{N（M－i）×N（M－i）}0_{N（M－i）×NiNM×NM}（21）

J₂=0_{i×（M－i）}I_i×i

I_{（M－i）×（M－i）}0_{（M－i）×iM×M}（22）

因此有：

C_J=x-^HR_Jx-=s^^H（J^H₁HR_JH^HJ₁）s^=h^^H（J₁SJ^H₂R_JJ₂S^HJ^H₁）h^（23）

C_T=x^HR_Tx=s^^H（HR_TH^H）s^=h^^H（SR_TS^H）h^（24）

為了抗速度欺騙干擾，需最小化阻帶內(nèi)干擾信號能量和目標(biāo)信號旁瓣能量。此外，由于考慮了發(fā)射波形和接收濾波器聯(lián)合設(shè)計，相比匹配濾波體制，不可避免地將造成信噪比的損失，因此在聯(lián)合設(shè)計過程中，基于罰函數(shù)的方法，引入了峰值約束，即最小化目標(biāo)函數(shù)為

f（s^，h^）=ω₁s^^H（J^H₁HR_JH^HJ₁）s^+ω₂s^^H（HR_TH^H）s^+

λ|h^^Ts^－a_max|²=ω₁h^^H（J₁SJ^H₂R_JJ₂S^HJ^H₁）h^+

ω₂h^^H（SR_TS^H）h^+λ|h^^Ts^－a_max|²（25）

其中，懲罰參數(shù)λ的目的是對目標(biāo)函數(shù)|h^^Ts^－a_max|²施加懲罰，從而迫使生成波形非匹配濾波輸出峰值趨近于預(yù)設(shè)值a_max。當(dāng)λ取值越大，表示施加懲罰力度越大，則設(shè)計波形非匹配濾波輸出值越接近于預(yù)設(shè)值。當(dāng)λ取值越小，表示施加懲罰力度越小，則設(shè)計波形非匹配濾波輸出值與預(yù)設(shè)值相差越大。為了綜合考慮設(shè)計波形的抗速度欺騙干擾性能和脈壓峰值損失，需合理選取懲罰參數(shù)λ。ω₁，ω₂分別為目標(biāo)旁瓣能量和干擾能量的權(quán)重因子，用于控制優(yōu)化目標(biāo)旁瓣能量和干擾能量的優(yōu)先度，且有ω₁+ω₂=1。

此外，為了避免發(fā)射波形過功率放大器時發(fā)生非線性失真，對于發(fā)射波形考慮了能量約束和PAPR約束，并對接收濾波器考慮恒能量約束。PAPR定義為

PAPR（s_m）=max_n|s_m（n）|²1N∑Nn=1|s_m（n）|²， m=1，2，…，M（26）

綜上所述，發(fā)射波形與濾波器聯(lián)合設(shè)計抗速度欺騙干擾優(yōu)化問題可表示為

mins^，h^ f（s^，h^）

s.t. PAPR（s_m）≤γ

s^H_ms_m=N

h^H_mh_m=N

m=1，2，…，M（27）

式中：γ為預(yù)設(shè)的PAPR閾值。

2.2 算法求解

顯然式（27）中的優(yōu)化問題是非凸的，同時求解發(fā)射波形和濾波器是非常困難的。因此，本文基于塊坐標(biāo)下降法（block coordinate descent， BCD）算法的思想，對發(fā)射波形和濾波器進行交替迭代優(yōu)化求解。BCD算法原理如下：

初始化變量s^^（0），h^^（0），在迭代中分別固定其中一個變量，再優(yōu)化另一個變量，即重復(fù)以下迭代

s^^（k）=arg mins^ f（s^，h^^（k－1））

h^^（k）=arg minh^ f（s^^（k），h^）（28）

式中：k=1，2，…，k，k表示算法總迭代次數(shù);s^^（k）和h^^（k）分別函數(shù)f（s^，h^^（k－1））和f（s^^（k），h^）的最優(yōu)值。因此，有

f（s^^（K），h^^（K））…≤f（s^^（k），h^^（k））≤f（s^^（k），h^^（k－1））≤

f（s^^（k－1），h^^（k－1））≤…≤f（s^^（0），h^^（0））（29）

從式（29）可以看出，BCD算法能夠保證目標(biāo)函數(shù)值單調(diào)遞減至收斂。

因此，基于BCD算法原理，將式（27）中的優(yōu)化問題分解為如下兩個子問題：

首先，考慮固定接收濾波器條件下，對雷達發(fā)射波形進行優(yōu)化求解，即優(yōu)化問題式（30）。根據(jù)式（27），可以將優(yōu)化問題簡寫為

mins^ s^^HPs^－2a_maxλR（s^^Hh^^*）

s.t.PAPR（s_m）≤γ

s^H_ms_m=N， m=1，2，…，M（32）

式中：R（·）表示取實部操作，

P=ω₁（J^HHR_JH^HJ）+ω₂（HR_TH^H）+λh^^*h^^T（33）

對于式（32）中優(yōu)化問題可利用優(yōu)化最小化（majorization-minimization， MM）方法進行求解，且由于矩陣P為厄米特矩陣，根據(jù)文獻［22］中引理1，式（32）中優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為

mins^ R（s^^H（P－tr（P）I_NM）s^^（l））－a_maxλR（s^^Hh^^*）

s.t.PAPR（s_m）≤γ

s^H_ms_m=N， m=1，2，…，M（34）

式中：s^^（l）表示第l次迭代下的波形;I_NM表示NM階的單位陣。為了避免計算tr（P）帶來的額外計算量，下面引理1中，給出了tr（P）的顯示表達式。

引理1 假設(shè)一個定義為式（33）的矩陣P，則它的跡為

tr（P）=ω₁N·tr（R_J）+ω₂N·tr（R_T）+λNM（35）

證明 由tr（A+B）=tr（A）+tr（B），有

tr（P）=tr（ω₁（J^HHR_JH^HJ））+tr（ω₂（HR_TH^H））+

tr（λh^^*h^^T）=∑Mm=1（ω₁R_J（m，m）h^H_mh_m+

ω₂R_T（m，m）h^H_mh_m+λh^H_mh_m）=

ω₁N·tr（R_J）+ω₂N·tr（R_T）+λNM（36）

式中：R_J（m，m）和R_T（m，m）分別表示矩陣R_J和R_T的第（m，m）個元素。證畢

由問題式（34）等價于

mins^ s^－y²

s.t.PAPR（s_m）≤γ

s^H_ms_m=N

m=1，2，…，M（37）

式中：y=－（（P－Tr（P）I_NM）s^^（l）－a_maxλh^^*）。

根據(jù)文獻［22］，首先令

b_m=Ny_my_m， m=1，2，…，M（38）

式中：y_m表示向量y的第（m－1）N+1個到第mN個元素，即有y=［y^T₁，y^T₂，…，y^T_M］^T。則式（37）的最優(yōu)解為

s^（l+1）_m=b_m， max_n|b_m（n）|≤γ

b^_m， 其他， m=1，2，…，M（39）

式中：b^_m求解步驟如下。

步驟 1 設(shè)置b^_m=b_m，指標(biāo)集={1，2…，N}，k=1;

步驟 2 如果maxn|b_m（n）|gt;γ;

步驟 3 令y_α=maxn|y_m（n）|，p∈為y_α的位置;

步驟 4 b^_m（p）=γe^jarg（y_α^）;

步驟 5 =－p;

步驟 6 b^_m（）=N－kγy_m（）y_m（）;

步驟 7 k=k+1;

步驟 8 結(jié)束。

接下來考慮固定發(fā)射波形條件下，對接收濾波器進行優(yōu)化求解。與求解發(fā)射波形類似地，優(yōu)化問題式（31）可寫為

minh^ h^^HQh^－2a_maxλR（h^^Hs^^*）

s.t. h^H_mh_m=N

m=1，2，…，M（40）

式中：

Q=ω₁（JSJ^HR_JJS^HJ^H）+ω₂（SR_TS^H）+λh^^*h^^T（41）

由于矩陣Q為厄米特矩陣，則采用MM算法可等價于下式優(yōu)化問題：

minh^ R（h^^H（Q－Tr（Q）I_NM）h^^（l））－a_maxλR（h^^Hs^^*）

s.t. h^H_mh_m=N

m=1，2，…，M（42）

與引理1類似，可以證明tr（Q）=ω₁N·tr（R_J）+ω₂N·tr（R_T）+λNM。

顯然，式（42）為二次約束的線性優(yōu)化問題，利用拉格朗日數(shù)乘法可得到其最優(yōu)解為

h^（l+1）_m=Nv^*_mv_m， m=1，2，…，M（43）

式中：v=－（（Q－Tr（Q）I_NM）h^^（l）－a_maxλs^^*）;v_m為v中第（m－1）N+1到第mN個元素。

綜上所述，本文將發(fā)射波形與接收濾波器聯(lián)合設(shè)計問題，轉(zhuǎn)化為發(fā)射波形設(shè)計與接收濾波器設(shè)計兩個子問題，再采用BCD的思想交替優(yōu)化，且每次迭代中均采用MM算法框架進行求解，根據(jù)BCD與MM算法原理^［23］，可知本文提出算法是單調(diào)且收斂的。本文將上述算法命名為BCD-MM（block coordinate descent majorization minimization），算法主要步驟總結(jié)如下，設(shè)置停止迭代條件為

epsilon=s^^（l+1）－s^^（l）+h^^（l+1）－h(huán)^^（l）≤ε（44）

式中：ε為收斂閾值，通過多次實驗綜合考慮算法性能與搜索時間得出，通常設(shè)置為ε=10^－5。在迭代過程中，為進一步提高算法收斂速度，可以采用文獻［24］提出的基于平方迭代法（squared iterative method， SIM） 的加速方案。

算法 1 BCD-MM算法;步驟 1 輸入： 初始化l=0，s^^（l），h^^（l），ε，epsilon=Inf;

步驟 2 如果epsilon≥ε;

步驟 3 根據(jù)式（39）和b^_m的求解步驟，計算s^^（l+1）;

步驟 4 根據(jù)式（43），計算h^^（l+1）;

步驟 5 根據(jù)式（44），計算epsilon;

步驟 6 l=l+1;

步驟 7 結(jié)束。2.3 算法收斂性分析

BCD-MM算法結(jié)合了BCD算法和MM算法，為了分析BCD-MM算法的收斂性，需證明該算法是單調(diào)遞減的。

首先，對于BCD算法，在第2.2節(jié)的式（29）中已經(jīng)分析了其單調(diào)遞減的特性。其次，文獻［25-27］對MM算法原理和收斂性進行了詳細地分析。最后，當(dāng)MM算法與交替迭代算法相結(jié)合時，其算法收斂性也得到了證明^［28-30］。根據(jù)MM算法原理，以優(yōu)化發(fā)射波形s^為例，第k+1次的最優(yōu)解為s^^（k+1）=argmins^ u（s^，s^^（k）），其中函數(shù)u（s^，s^^（k））為函數(shù)f（s^，h^^（k））在s^^（k）點的上界函數(shù)。因此，很容易得到

f（s^^（k+1），h^^（k））≤u（s^^（k+1），s^^（k））≤u（s^^（k），s^^（k））=f（s^^（k），h^^（k））（45）

優(yōu)化濾波器h^時同理。結(jié)合式（29），可得到：

f（s^^（k+1），h^^（k））≤u（s^^（k+1），s^^（k））≤u（s^^（k），s^^（k））=

f（s^^（k），h^^（k））≤u（h^^（k），h^^（k－1））≤u（h^^（k－1），h^^（k－1））=

f（s^^（k），h^^（k－1））（46）

從式（46）可看出，BCD-MM算法是單調(diào)遞減的。因此，由單調(diào)有界原理可知該算法收斂。

2.4 計算復(fù)雜度分析

本文求解優(yōu)化問題式（27）的計算量主要取決于構(gòu)造矩陣P和Q，若直接采用式（33）和式（41）計算，其中涉及到矩陣與矩陣之間的乘法，故其計算量為O（L（NM）³）。為了避免矩陣與矩陣之間的乘法運算，本文給出了tr（P）和tr（Q）的解析表達式，并且在式（39）和式（43）中根據(jù)矩陣定義采用賦值運算得到Ps^^（l）和Qh^^（l），其計算量為O（L（NM）²）^［11］，因此本文方法的計算復(fù)雜度為O（L（NM）²）。

3 仿真實驗

為了驗證所提算法的有效性，本文設(shè)計了兩組仿真實驗：① 分析本文設(shè)計算法性能;② 本文方法抗速度欺騙干擾性能評估?？紤]到信號會受到環(huán)境干擾以及干擾信號通常會伴隨著能量壓制干擾。因此，定義第q個目標(biāo)輸入的信噪比 （signal-to-noise ratio， SNR）和第p個干擾相對于第q個目標(biāo)的JSR^［15］分別為

SNR_q=10lgα²_Tqσ²

JSR_p=10lgα²_Jpα²_Tq（47）

考慮PD雷達在一個CPI內(nèi)發(fā)射脈沖數(shù)M=512，每個脈沖包含的子脈沖數(shù)N=10，干擾信號滯后目標(biāo)信號2個PRI，F(xiàn)FT點數(shù)為1 024，蒙特卡羅仿真100次。

3.1 算法性能分析

本節(jié)首先對本文提出的BCDMM算法的收斂性和性能進行了分析，隨后與文獻［21］中基于非精確交替方向懲罰算法（inexact alternating direction penalty method， IADPM）算法設(shè)計的波形進行了性能比較。該實驗中考慮單目標(biāo)單干擾場景，即P=1，Q=1。設(shè)置阻帶范圍為Ω=［0.3，0.5］，目標(biāo)的歸一化多普勒頻率為f_T=0.4，干擾的歸一化多普勒頻率為f_J=0.35，JSR=10 dB，SNR=20 dB。 為了使對比結(jié)果更具說服力，權(quán)重因子ω₁，ω₂沿用IADPM算法中的設(shè)置，即ω₁=0.9，ω₂=0.1，權(quán)重因子λ=0.5，算法迭代次數(shù)設(shè)置為Item=200。

算法收斂性分析：在仿真中選取了不同的PAPR約束條件γ=1.3，γ=1.1和γ=1.0（即幺模約束）。在不同PPAR約束下，目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)的變化曲線如圖3所示。從圖3中可以看出，BCDMM算法是單調(diào)遞減的且收斂速度非?？?，只需幾十次迭代算法基本收斂。此外，還可以看出在不同PAPR條件下，目標(biāo)函數(shù)收斂值非常接近，表明算法對PAPR具有較強的魯棒性。

權(quán)重因子λ分析：分析非匹配濾波器權(quán)重因子λ對脈壓峰值損失和算法性能的影響。首先，約束非匹配濾波器脈壓峰值損失為1 dB，即設(shè)置a_max=（MN）·10^{（－1/20）}。圖4（a）中展示了當(dāng)λ取值較小時，將造成較大的峰值損失，但隨著λ增加，峰值損失逐漸趨近于1 dB。同樣地，圖4（b）中展示了隨著λ增大，目標(biāo)多普勒譜上主瓣能量損失逐漸減小，并且當(dāng)λ≥0.35時，目標(biāo)多普勒主瓣能量幾乎沒有損失。圖4（c）中展示了當(dāng)λ較小時，目標(biāo)在阻帶范圍內(nèi)的多普勒峰值旁瓣比可達到-56 dB，隨著λ增大，多普勒峰值旁瓣比增大并逐漸收斂到-48 dB左右。因此，從圖4中可知，在考慮峰值約束損失、目標(biāo)多普勒峰值損失和目標(biāo)多普勒峰值旁瓣比時，λ∈［0.35，0.5］算法性能最優(yōu)。

與已有工作性能對比分析：針對γ=1.3，γ=1.1和γ=1.0共3個不同PAPR約束下，分別比較了本文算法和IADPM算法設(shè)計波形在多普勒譜上對目標(biāo)旁瓣和干擾的抑制性能法相比BCD-MM算法設(shè)計波形在阻帶范圍內(nèi)的峰值旁瓣比更大。圖5中展示了在不同的PAPR約束下，本文算法設(shè)計波形對目標(biāo)旁瓣均有較好的抑制性能，而IADPM算法設(shè)計波形的目標(biāo)旁瓣性能隨著PAPR的降低而減弱。尤其是當(dāng)γ=1.0時，IADPM算法退化為脈間初相設(shè)計，無法對目標(biāo)旁瓣進行優(yōu)化，但是本文設(shè)計算法在該場景下依舊有效，且目標(biāo)旁瓣區(qū)域出現(xiàn)明顯的凹槽。圖6中展示出了在不同PAPR約束下，本文算法設(shè)計波形的干擾能量均大約為-65 dB，明顯優(yōu)于IADPM，尤其在γ=1.0時，性能提升更大。

3.2 抗干擾效果分析

本節(jié)首先在單目標(biāo)單干擾場景下，對比分析了BCD-MM算法和IADPM算法設(shè)計波形的抗干擾性能以及對SNR和JSR的魯棒性。隨后，再分析了其在多目標(biāo)多干擾場景下的抗干擾性能。

抗單干擾性能分析：在單目標(biāo)單干擾場景下，對比分析BCD-MM算法設(shè)計波形、IADPM算法設(shè)計波形和隨機相位編碼RPC波形的抗干擾性能。首先，設(shè)置γ=1.1，SNR=20 dB，JSR=10 dB，其他參數(shù)與第3.1節(jié)保持一致，仿真過程中采用Hamming窗。從圖7中可以看出，當(dāng)雷達每個脈沖都發(fā)射固定的隨機相位編碼波形且接收端采用匹配濾波時，雷達接收信號多普勒譜上將出現(xiàn)干擾和目標(biāo)兩個尖峰，且干擾具有更高的能量，因此雷達系統(tǒng)將會遭受嚴(yán)重的速度欺騙干擾。而采用IADPM算法設(shè)計和本文算法設(shè)計波形時，雷達接收信號的多普勒譜在阻帶范圍內(nèi)有一個明顯的凹槽且只有目標(biāo)一個峰值，表明雷達系統(tǒng)具有較強的抗速度欺騙干擾能力，能夠準(zhǔn)確地識別目標(biāo)。此外，與IADPM相比，采用BCD-MM算法設(shè)計波形時，目標(biāo)的峰值旁瓣比提升將近6 dB，表明本文算法設(shè)計波形具有更強的抗速度欺騙干擾性能。

抗多干擾性能分析：在多目標(biāo)與多干擾場景下，對比分析BCD-MM算法設(shè)計波形、IADPM算法設(shè)計波形和RPC波形的抗干擾性能。假設(shè)P=2，Q=2，目標(biāo)信號歸一化多普勒頻率為f_T1=0.42，f_T2=0.44，干擾信號的歸一化多普勒頻率為f_J1=0.35，f_J2=0.45，SNR=20 dB，JSR₁=JSR₂=10 dB，γ=1.1，其他參數(shù)與第3.1節(jié)保持一致。

從圖8中可以看出，在阻帶范圍內(nèi)，采用固定RPC波形和匹配濾波得到的多普勒譜中同時出現(xiàn)了兩個干擾信號和兩個目標(biāo)信號，且干擾信號的峰值高于目標(biāo)信號，將造成雷達系統(tǒng)誤檢;而采用IADPM算法設(shè)計波形與本文設(shè)計波形時，得到的多普勒譜在阻帶范圍中，干擾目標(biāo)被抑制，雷達系統(tǒng)能夠準(zhǔn)確地進行目標(biāo)檢測。與IADPM算法設(shè)計波形相比，采用本文算法設(shè)計波形的接收信號旁瓣更低，有更大的峰值旁瓣比，即抗干擾能力更強。

JSR魯棒性分析：在單目標(biāo)單干擾場景下，對比分析IADPM算法設(shè)計和BCDMM算法設(shè)計波形的抗干擾性能隨JSR的變化趨勢。設(shè)置SNR=20 dB，其他參數(shù)不變。圖9（a）展示了干擾峰值隨JSR的變化趨勢，干擾峰值越小表明設(shè)計波形的抑制干擾能力越強。從圖9（a）中可以看出，采用IADPM算法設(shè)計波形與BCD-MM算法設(shè)計波形都具有較強的干擾抑制能力，即使JSR=30 dB，干擾峰值依然被抑制在－17 dB以下，尤其是采用BCD-MM設(shè)計波形時，干擾峰值被抑制在－28 dB左右。由于干擾的多普勒能量將分散到整個多普勒譜上從而導(dǎo)致目標(biāo)的峰值旁瓣比降低，圖9（b）和圖9（c）分別展示目標(biāo)峰值旁瓣比（peak sidelobe ratio， PSR）和積分旁瓣比（integrated sidelobe ratio， ISR）^［31］隨JSR的變化趨勢。從中可以看出，隨著JSR增大，BCD-MM算法設(shè)計波形的始終有較大的PSR和ISR，且均優(yōu)于IADPM算法設(shè)計波形。

4 結(jié)束語

本文綜合考慮了脈內(nèi)、脈間和接收濾波器多個自由度，研究了一種雷達發(fā)射波形和非匹配濾波器聯(lián)合設(shè)計抗速度欺騙干擾方法，并提出一個基于BCD法和MM法的交替迭代算法BCD-MM。此外，理論分析了算法的計算復(fù)雜度為O（L（MN）²）。仿真實驗表明，在單干擾和多干擾場景下，本文方法均能夠有效地抑制速度欺騙干擾。與傳統(tǒng)采用脈間編碼設(shè)計波形相比，本文設(shè)計波形的抗速度干擾性能提升了大約為6 dB，且在強噪聲或強干擾條件下，依舊具有較好的抗速度欺騙干擾效果。本文提出算法中結(jié)合了BCD和MM算法原理，雖然保證了算法的收斂性，但是與BCD算法類似地存在容易陷入局部最優(yōu)的問題，未來工作中可將文中雙變量優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單變量優(yōu)化問題來避免該問題。

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作者簡介

張明興（1994—），男，博士研究生，主要研究方向為雷達波形設(shè)計、雷達抗干擾技術(shù)。

時 巧（1991—），女，講師，博士，主要研究方向為雷達波形設(shè)計、雷達通信一體化波形設(shè)計。

余 濤（1996—），男，博士研究生，主要研究方向為雷達波形設(shè)計、雷達抗干擾技術(shù)。

周正春（1978—），男，教授，博士，主要研究方向為編碼理論、通信/雷達波形設(shè)計、電子信息對抗。

崔國龍（1982—），男，教授，博士，主要研究方向為認知波形設(shè)計、陣列信號處理、最優(yōu)化理論。