摘 要： 對(duì)于空中機(jī)動(dòng)平臺(tái)，觀測站位置誤差的存在，使得傳統(tǒng)時(shí)差定位方法的精度不能滿足高精度定位需求。針對(duì)觀測站位置誤差下的多站時(shí)差定位問題，提出一種基于觀測站精確距離信息的高精度時(shí)差定位方法。不同于傳統(tǒng)的兩步加權(quán)最小二乘（two step weighted least squares， TS-WLS）算法，該算法在加權(quán)最小二乘時(shí)直接對(duì)目標(biāo)位置估計(jì)的誤差進(jìn)行估計(jì)，避免了開方、平方等非線性運(yùn)算。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，引入觀測站精確距離信息能夠大幅提升目標(biāo)定位精度，所提算法具有較強(qiáng)的噪聲適應(yīng)能力，能夠在觀測站位置誤差較大的情況下實(shí)現(xiàn)高精度時(shí)差定位。

關(guān)鍵詞： 到達(dá)時(shí)差; 兩步加權(quán)最小二乘; 泰勒級(jí)數(shù)展開; 偽線性方程

中圖分類號(hào)： TN 91

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.08.07

Positioning method using time difference measurements from multi-station

based on precise distance information of observation stations

DEND Xingsong^1，2， QI Liang^1，2，*， ZHU Yuanjiang^2，3， YANG Fan²， JIANG Zhichen²， LIU Zhiyong²

（1. School of Electronic Information Engineering， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，

Nanjing 210016， China; 2. No.723 Institute of China State Shipbuilding Corporation Limited， Yangzhou 225101， China;

3. School of Information Science and Engineering， Southeast University， Nanjing 210096， China）

Abstract： For aerial maneuvering platforms， the presence of observation stations position errors makes the positioning accuracy of traditional time difference positioning methods unable to meet the high-precision positioning requirements. In view of the problem of multi-station time difference positioning with observation stations position errors， a high-precision time difference positioning method based on precise distance information of observation stations is proposed. Unlike the traditional two step weighted least squares （TS-WLS） algorithm， the proposed algorithm directly estimates the error of target position estimation in weighted least squares step， avoiding nonlinear operations such as square and square root. Simulation experiment results show that introducing precise distance information from observation stations can significantly improve the accuracy of target positioning and the proposed algorithm has strong noise adaptability and can achieve high-precision time difference positioning in the case of large observation station position errors.

Keywords： time difference of arrival （TDOA）; two step weighted least squares （TS-WLS）; Taylor series expansion; pseudo-linear equation

0 引 言

時(shí)差定位廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲納、電子戰(zhàn)等軍事領(lǐng)域以及導(dǎo)航、無線通信等民用領(lǐng)域^［1-3］。時(shí)差定位方程是關(guān)于輻射源目標(biāo)位置的非線性方程，利用時(shí)差測量值對(duì)輻射源目標(biāo)進(jìn)行定位并非易事^［4］，時(shí)差定位方程求解方法包括迭代算法、解析算法^［5］以及凸優(yōu)化算法等^［6］。噪聲穩(wěn)健、低復(fù)雜度以及高精度的求解算法一直是時(shí)差定位的研究熱點(diǎn)^［7-12］。迭代算法利用泰勒級(jí)數(shù)展開法將非線性方程線性化，通過迭代運(yùn)算得到輻射源目標(biāo)位置，該方法受初值影響，存在收斂性問題。解析方法不需要迭代運(yùn)算且計(jì)算量小^［13-17］，最早的解析算法于1994年由Chan和Ho提出^［18］，即著名的兩步加權(quán)最小二乘（two step weighted least squares， TS-WLS）算法，也稱Chan算法，其基本思想如下： 首先，引入輻射源目標(biāo)到參考觀測站的距離作為輔助參量，將非線性方程偽線性化，并假設(shè)輔助參量和輻射源目標(biāo)位置不相關(guān)，通過加權(quán)最小二乘法估計(jì)輻射源目標(biāo)位置和輔助參量;然后，利用加權(quán)最小二乘法解相關(guān)，得到輻射源目標(biāo)位置的最終估計(jì)值。TS-WLS算法的定位精度在到達(dá)時(shí)差的觀測誤差較小時(shí)能夠達(dá)到克拉美羅下界（Cramer-Rao lower bound， CRLB）。

TS-WLS算法沒有考慮觀測站位置誤差，對(duì)于地面平臺(tái)，觀測站位置準(zhǔn)確已知，可不考慮觀測站位置誤差對(duì)定位精度的影響，但是對(duì)于空中機(jī)動(dòng)平臺(tái)，由于導(dǎo)航自定位誤差，TS-WLS算法的定位精度會(huì)下降^［19］。Ho等^［20］提出了觀測站位置誤差條件下的TS-WLS算法，且定位精度可以達(dá)到CRLB。對(duì)于地面目標(biāo)或海面目標(biāo)，可認(rèn)為目標(biāo)高度已知，針對(duì)已知目標(biāo)高度的多站時(shí)差定位問題，文獻(xiàn)［21-22］基于TS-WLS算法，提出一種目標(biāo)高度先驗(yàn)信息輔助的高精度時(shí)差定位方法，并通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了引入目標(biāo)高度信息可以大幅提升定位精度。針對(duì)運(yùn)動(dòng)輻射源目標(biāo)定位問題，文獻(xiàn)［23］提出一種改進(jìn)的TS-WLS算法，對(duì)地球表面的輻射源目標(biāo)定位，定位精度能夠達(dá)到約束條件下的CRLB。針對(duì)含有觀測站位置誤差條件下的時(shí)差定位問題，文獻(xiàn)［24］提出約束總體最小二乘（constraint total least square， CTLS）算法，CTLS算法相比TS-WLS算法提高了噪聲閾值。為提高定位算法的精度和穩(wěn)健性，文獻(xiàn)［25］基于誤差校正的思想，改進(jìn)了TS-WLS算法的步驟2，通過泰勒展開構(gòu)建誤差校正方程。仿真結(jié)果表明，在常見量級(jí)的站址誤差及測量誤差下，CTLS算法相比TS-WLS算法具有更強(qiáng)的穩(wěn)健性和抗噪性。

對(duì)于空中運(yùn)動(dòng)平臺(tái)，由于觀測站之間的距離是通過對(duì)兩個(gè)觀測站的導(dǎo)航自定位數(shù)據(jù)作差得到的，距離測量誤差會(huì)加倍，如果通過微波測距、激光測距等方法直接精確測量兩個(gè)觀測站之間的距離，觀測站自身位置的不確定度就能夠有效降低，從而提高時(shí)差定位性能，鮮有文獻(xiàn)從這個(gè)角度開展時(shí)差定位的研究工作。文獻(xiàn)［26］針對(duì)短基線遠(yuǎn)距離時(shí)差定位場景，將觀測站位置誤差分解為絕對(duì)位置誤差和相對(duì)位置誤差，并通過仿真得出絕對(duì)位置誤差對(duì)定位精度的影響遠(yuǎn)小于相對(duì)位置誤差的結(jié)論。測距功能需要增加額外的設(shè)備量，這對(duì)于體積、重量、功耗嚴(yán)格受限的空中運(yùn)動(dòng)平臺(tái)來說是難以容忍的。隨著小型化、集成化等技術(shù)的發(fā)展，已經(jīng)能夠在高動(dòng)態(tài)環(huán)境下實(shí)現(xiàn)通信導(dǎo)航測距一體化設(shè)計(jì)^［27-28］，這使得通過直接精確測量觀測站之間的距離實(shí)現(xiàn)空中運(yùn)動(dòng)平臺(tái)高精度時(shí)差定位成為可能。

針對(duì)空中運(yùn)動(dòng)平臺(tái)導(dǎo)航自定位誤差導(dǎo)致定位精度降低的問題，本文研究通過直接精確測量觀測站距離進(jìn)行時(shí)差定位的方法。在經(jīng)典TS-WLS算法的基本框架下，本文提出了一種基于觀測站距離精確測量的高精度時(shí)差定位方法。步驟1和TS-WLS算法相同，引入輻射源目標(biāo)和觀測站的距離作為輔助參量，將時(shí)差定位方程轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于輻射源目標(biāo)位置和輔助參量的偽線性方程，采用加權(quán)最小二乘（weighted least squares， WLS）算法得到輻射源目標(biāo)位置和輔助參量的初始估計(jì);步驟2利用輔助參量和輻射源目標(biāo)位置的約束關(guān)系，將步驟1得到的WLS解代入到輔助參量和輻射源目標(biāo)位置的約束方程中，TS-WLS算法通過對(duì)步驟1輸出的結(jié)果進(jìn)行平方，并忽略平方的二次項(xiàng)誤差，最終得到目標(biāo)位置的估計(jì)，而本文構(gòu)建關(guān)于步驟1 WLS算法解的估計(jì)誤差的線性方程，再次采用WLS算法得到估計(jì)誤差的WLS算法解，結(jié)合步驟1 WLS算法解，最終得到目標(biāo)位置的估計(jì)。由于本文步驟2不存在平方、開方等非線性操作，且不會(huì)出現(xiàn)矩陣缺秩現(xiàn)象，能夠減小定位偏差，提高噪聲魯棒性。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，對(duì)于空中運(yùn)動(dòng)平臺(tái)，在觀測站自定位誤差存在的情況下，通過引入觀測站距離精確測量信息，可以大幅提高時(shí)差定位精度，本文所提的改進(jìn)的TS-WLS算法具有較強(qiáng)的噪聲適應(yīng)能力。

1 定位模型

假設(shè)靜止目標(biāo)在三維空間中的位置向量為u^o=［x^o，y^o，z^o］^T，觀測站分布在不同的空域位置，觀測站個(gè)數(shù)為N，為不失一般性，本文取N=4，觀測站的位置向量為s^o_i=［x^o_i，y^o_i，z^o_i］^T（i=1，2，3，4），i=1時(shí)表示主站，i=2，3，4時(shí)表示從站。主站和從站上分別攜帶衛(wèi)星導(dǎo)航接收機(jī)和通信測距設(shè)備，具備導(dǎo)航自定位和高精度測距能力，通過導(dǎo)航設(shè)備可以得到觀測站位置測量值為s_i=s^o_i+Δs_i，Δs_i為第i個(gè)觀測站的位置誤差，通過測距設(shè)備可以得到觀測站距離測量值為l_i1=l^o_i1+Δl_i1，Δl_i1為第i個(gè)觀測站到第1個(gè)觀測站的距離誤差，將其寫成矢量形式，有：

式中：s=［s₁，s₂，s₃，s₄］^T，s^o=［s^o₁，s^o₂，s^o₃，s^o₄］^T，Δs=［Δs₁，Δs₂，Δs₃，Δs₄］^T，l=［l₂₁，l₃₁，l₄₁］，l^o=［l^o₂₁，l^o₃₁，l^o₄₁］^T，Δl=［Δl₂₁，Δl₃₁，Δl₄₁］^T，l^o₂₁=s^o₂－s^o₁，l^o₃₁=s^o₃－s^o₁，l^o₄₁=s^o₄－s^o₁，假設(shè)觀測站位置誤差Δs為零均值、方差為σ²_s的高斯白噪聲，其協(xié)方差矩陣為Q_s，Q_s=σ²_sI₁₂。

四站時(shí)差定位原理圖如圖1所示。

以主站作為參考站，目標(biāo)發(fā)射的信號(hào)到達(dá)主站的真實(shí)時(shí)間記為t^o₁，到達(dá)從站的真實(shí)時(shí)間記為t^o_i（i=2，3，4），電磁波傳播速度為c，觀測站測量得到的信號(hào)到達(dá)主站和從站i的到達(dá)時(shí)差測量值為t_i1，則t_i1=t^o_i－t^o₁+e_i1，e_i1為到達(dá)時(shí)差測量誤差，假設(shè)e為零均值、方差為σ²_t的高斯白噪聲。將到達(dá)時(shí)差乘以電磁波傳播速度得到信號(hào)到達(dá)距離差r_i1，r_i1=r^o_i－r^o₁+n_i1，r^o₁表示目標(biāo)到主站的真實(shí)距離，r^o_i表示目標(biāo)到從站i的真實(shí)距離，n_i1表示到達(dá)距離差測量誤差，將其寫成矢量形式，有：

r_i1=cΔt_i1=r^o_i1+n（3）

式中：Δt_i1=［t₂₁，t₃₁，t₄₁］^T，r^o_i1=［r^o₂₁，r^o₃₁，r^o₄₁］^T，n=c［e₂₁，e₃₁，e₄₁］^T，n的協(xié)方差矩陣為Q_t，和觀測站位置誤差Δs是獨(dú)立的，則

r^o_i1為真實(shí)到達(dá)時(shí)距離差，等于信號(hào)到達(dá)從站的距離減去信號(hào)到達(dá)主站的距離，即

r^o_i1=r^o_i－r^o₁（5）

將r^o₁移到方程左側(cè)，然后將方程左右兩側(cè)對(duì)調(diào)，得到

r^o_i=r^o_i1+r^o₁=u^o－s^o_i（6）

式中：·為歐幾里得空間中的2范數(shù)。

本文基于以上時(shí)差定位模型，利用觀測站位置測量值s、觀測站距離測量值l及到達(dá)時(shí)差測量值t_i1，在經(jīng)典的TS-WLS算法的基礎(chǔ)上，改進(jìn)定位算法，實(shí)現(xiàn)空中運(yùn)動(dòng)平臺(tái)對(duì)輻射源目標(biāo)的精確定位。

2 定位算法

本文定位算法步驟1和TS-WLS算法基本相同，并引入了觀測站距離測量值;步驟2為了避免TS-WLS算法中的平方、開方等非線性操作，利用一階泰勒級(jí)數(shù)，將輔助參量在目標(biāo)位置處展開，構(gòu)建關(guān)于步驟1目標(biāo)位置的估計(jì)誤差的非線性方程，再次采用WLS算法得到步驟1估計(jì)誤差的估計(jì)值，從步驟1估計(jì)結(jié)果中減去步驟2得到的估計(jì)誤差，得到目標(biāo)位置的最終估計(jì)值。

步驟 1 對(duì)式（6）左右兩側(cè)分別進(jìn)行平方，并將含測量噪聲的r_i1及s_i代入，忽略測量噪聲的二次項(xiàng)，將輔助參量r^o₁在s₁處作一階泰勒展開，整理后，得到關(guān)于目標(biāo)位置u^o和輔助參數(shù)r^o₁的偽線性方程：

B₁n+D₁Δs₁=h₁－G₁φ₁（7）

式中：

ρ_uo，s1=（u^o－s₁）/u^o－s₁，ρ_uo，s1表示從s₁到u^o的單位矢量。

將觀測站距離測量值l代入矩陣G₁可以得到：

可見，引入觀測站距離信息后，矩陣G₁的表達(dá)式更為簡潔，且由于l可直接測量得到，相比于通過觀測站位置作差得到的距離值，l具有更高的精度，這樣在觀測站位置誤差存在的情況下，通過引入觀測站距離l能夠降低矩陣G₁的誤差。

根據(jù)式（7），可以得到φ^o₁=［u^oT，r^^o₁］^T的WLS解為

φ₁=（G^T₁W₁G₁）^－1G^T₁W₁h₁（9）

其中，r^^o₁=u^o－s₁，W₁為加權(quán)矩陣，且

W₁=（B₁Q_tB^T₁+D₁Q_sD^T₁）^－1（10）

φ₁估計(jì)的協(xié)方差矩陣可以近似為

cov（φ₁）≈（G^T₁W₁G₁）^－1（11）

步驟 2 為了避免TS-WLS算法中對(duì)φ₁求平方、開方等非線性操作，這里直接估計(jì)步驟1目標(biāo)位置估計(jì)φ₁的誤差，記為Δu，將步驟1中的r^^o₁在目標(biāo)位置u處進(jìn)行一階泰勒級(jí)數(shù)展開，保留一階項(xiàng)，得到：

r^^o₁=u^o－s₁≈u－s₁－ρ^T_u，s1Δu（12）

將式（12）代入r^^o₁≈r^o₁+Δr₁，得到

r^^o₁≈u－s₁－ρ^T_u，s1Δu+Δr₁（13）

式（13）是關(guān)于Δu的非線性方程，Δφ₁=φ₁－φ^o₁=［Δu^T，Δr₁］^T，Δφ近似零均值，因此Δu也近似零均值，令

0_3×1=Δu－Δu（14）

根據(jù)式（13）和式（14）可以得到如下方程：

［－Δu^T，Δr₁］^T=B₂Δφ₁=h₂－G₂Δu（15）

式中：

再次采用WLS算法，得到步驟1目標(biāo)位置估計(jì)誤差Δu的WLS解：

φ₂=（G^T₂W₂G₂）^－1G^T₂W₂h₂（16）

式中：W₂為權(quán)值矩陣，其表達(dá)式為

W^－1₂=B₂cov（φ₁）^－1B^T₂（17）

φ₂的協(xié)方差矩陣近似為

cov（φ₂）=E［Δφ₂Δφ^T₂］=（G^T₂W₂G₂）^－1（18）

根據(jù)步驟1目標(biāo)位置的估計(jì)φ₁，從φ₁中減去Δu的估計(jì)值φ₂，得到目標(biāo)位置的最終估計(jì)為

u-=φ₁－φ₂（19）

u-=u^o+Δu-，Δu-為最終估計(jì)u-的誤差，φ₁=u^o+Δu，將其代入式（17），得到

Δu-=Δu－φ₂=－Δφ₂（20）

因此，Δu-的協(xié)方差矩陣等于cov（φ₂）。

時(shí)差定位方程為非線性方程，其精確解析解公式異常復(fù)雜，經(jīng)典的TS-WLS算法通過TS-WLS算法進(jìn)行目標(biāo)位置估計(jì)，步驟1 的WLS算法將參考站和目標(biāo)之間的距離作為中間變量，將時(shí)差定位方程轉(zhuǎn)換為偽線性方程，并采用WLS算法進(jìn)行目標(biāo)位置和中間變量估計(jì)，步驟2的WLS算法是利用目標(biāo)位置和中間變量的關(guān)系解相關(guān)，進(jìn)而得到目標(biāo)位置的最終估計(jì)。本文算法步驟1和經(jīng)典的TS-WLS算法相同，不同之處在于，步驟2通過一階泰勒級(jí)數(shù)展開，估計(jì)步驟1解算得到的目標(biāo)位置估計(jì)誤差Δu，該誤差加上步驟1得到目標(biāo)位置估計(jì)u₁，就得到最終的目標(biāo)位置估計(jì)值。TS-WLS算法步驟2估計(jì)的是φ^o₂=（u^o－s₁）⊙（u^o－s₁）^［29］，⊙表示哈達(dá)瑪積，為矩陣相同位置元素相乘，也稱Schur積。TS-WLS算法必須對(duì)步驟1輸出的估計(jì)結(jié)果進(jìn)行平方，由于到達(dá)時(shí)間測量誤差和觀測站位置測量誤差的存在，平方后會(huì)產(chǎn)生二次誤差項(xiàng)，在測量誤差較小時(shí)，忽略二次誤差項(xiàng)，不會(huì)對(duì)定位精度產(chǎn)生太大影響。但是，隨著測量誤差增大，二次誤差項(xiàng)會(huì)使TS-WLS算法的估計(jì)結(jié)果偏離CRLB，而且當(dāng)目標(biāo)位置和參考觀測站的一維坐標(biāo)接近時(shí)，會(huì)出現(xiàn)矩陣缺秩現(xiàn)象，導(dǎo)致定位精度下降。

在經(jīng)典TS-WLS算法基本框架的基礎(chǔ)上，步驟1解算算法和TS-WLS算法基本相同，通過引入觀測站距離觀測量，能夠有效降低矩陣G₁的誤差，且其表達(dá)式更為簡潔;步驟2解算算法和TS-WLS算法明顯不同，本文在步驟2解算過程中，直接估計(jì)Δu，不再有平方和開方等非線性運(yùn)算，減小了定位偏差，本文算法同樣忽略了二次項(xiàng)，但是其誤差的高階項(xiàng)正比于u^o－s^o₁，不會(huì)因?yàn)橐痪S坐標(biāo)接近產(chǎn)生誤差，因此本文算法具有更好的精度和噪聲適應(yīng)能力。

3 定位精度分析

CRLB是目標(biāo)位置無偏估計(jì)的估計(jì)誤差的協(xié)方差矩陣的下界，它的跡是定位均方根誤差所能達(dá)到的最小值。CRLB為費(fèi)舍爾信息矩陣的逆，對(duì)于時(shí)差定位系統(tǒng)，在觀測站位置誤差條件下，文獻(xiàn)［20］給出目標(biāo)位置估計(jì)的CRLB為

CRLB（u^o）=（X－YZ^－1Y^T）^－1（21）

式中：X^－1為沒有觀測站位置誤差條件下目標(biāo)位置估計(jì)的CRLB;（YZ^－1Y^T）^－1為觀測站位置誤差引起的定位精度下降。X、Y和Z的定義如下^［30］：

根據(jù)式（18），本文算法的目標(biāo)位置估計(jì)的協(xié)方差矩陣的逆為

cov（φ₂）^－1=G^T₂W₂G₂（26）

根據(jù)式（17），式（26）可以寫為

cov（φ₂）^－1=G^T₂（B₂cov（φ₁）^－1B^T₂）^－1G₂（27）

根據(jù)式（11），式（27）可以寫為

cov（φ₂）^－1=G^T₂（B₂G^T₁W₁G₁B^T₂）^－1G₂（28）

根據(jù)式（10），式（28）可以寫為

cov（φ₂）^－1=G^T₂（B₂G^T₁（B₁Q_tB^T₁+D₁Q_sD^T₁）^－1G₁B^T₂）^－1（29）

本文算法中，觀測站距離信息可以通過直接精確測量得到，不需要通過觀測站位置作差，避免了二次誤差，觀測站距離精度更高，矩陣G₁可以簡化為式（8）所示，形式更為簡潔。與不使用直接精確測量得到觀測站距離信息相比，本文算法的目標(biāo)位置的估計(jì)誤差更小。下面通過仿真實(shí)驗(yàn)分析本文算法對(duì)定位性能的提升情況。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

從式（29）可以看出，影響定位精度的主要因素包括各觀測站自定位誤差和信號(hào)到達(dá)時(shí)間測量誤差等。觀測站自定位誤差越大，定位精度越差，觀測站自定位信息由全球定位導(dǎo)航系統(tǒng)（global positioning system， GPS）導(dǎo)航系統(tǒng)等提供。在工程應(yīng)用中，自定位誤差的均方根值（root mean square， RMS）通?？煽刂圃?0 m;信號(hào)到達(dá)時(shí)間測量誤差越大，定位精度越差，信號(hào)到達(dá)時(shí)間測量精度由時(shí)間同步精度、信號(hào)信噪比、脈沖寬度以及測量算法等因素決定。在工程應(yīng)用中，信噪比通常在0 dB以上，信號(hào)脈沖寬度通常在100 ns以上，采用微波雙向時(shí)間比對(duì)方法，時(shí)間同步精度的RMS可控制在5 ns，采用基于Haar小波變換的到達(dá)時(shí)間測量方法，信號(hào)到達(dá)時(shí)間測量精度的RMS可控制在10 ns。

為了驗(yàn)證本文算法的定位精度和噪聲魯棒性，采用蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行分析說明。為了衡量不同算法的定位性能差異，采用目標(biāo)位置估計(jì)值的均方根誤差（root mean square error，RMSE）表征定位精度，定義如下：

RMSE（u）= 1N∑Nn=1u－u-_n²（30）

式中：u-_n表示第n次仿真實(shí)驗(yàn)的目標(biāo)位置估計(jì)值，N為蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)次數(shù)，N=1 000。

仿真實(shí)驗(yàn)場景設(shè)置如下：4個(gè)觀測站呈Y形分布，其中主站位于s^o₁=［0，0，10.3］km，3個(gè)從站分別位于s^o₂=［－4.3，－2.5，10.1］km，s^o₃=［4.3，－2.5，9.9］km，s^o₄=［0，5，10.2］km，目標(biāo)位于u^o=［70.7，70.7，100］km。為模擬含有噪聲的觀測站位置測量值，在觀測站位置真實(shí)值s^o_i上添加零均值、方差為σ²_s的高斯白噪聲。仿真實(shí)驗(yàn)中，σ_s取為10 m;為模擬含有噪聲的觀測站距離測量值，在觀測站距離真實(shí)值s^o_1i上添加零均值、方差為σ²_l的高斯白噪聲，仿真實(shí)驗(yàn)中，σ_l取為0.1 m;為模擬含有噪聲的時(shí)差測量值，在時(shí)差真實(shí)值t^o_i1上添加零均值、方差為σ²_t的高斯白噪聲。仿真實(shí)驗(yàn)中，σ_t取為10 ns。

實(shí)驗(yàn)1 驗(yàn)證本文算法對(duì)時(shí)差測量誤差的適應(yīng)能力

固定觀測站位置誤差，在不同時(shí)差測量誤差條件下，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。仿真結(jié)果如圖2所示，橫坐標(biāo)表示時(shí)差測量誤差的標(biāo)準(zhǔn)差，單位為dB（10lg（σ_t）），縱坐標(biāo)為目標(biāo)位置估計(jì)的RMSE，單位為km?！癟SWLS-HO”表示HO等2007年提出的觀測站位置誤差條件下的TS-WLS算法，該算法未引入觀測站距離信息。本文算法在“TSWLS-HO”算法的基礎(chǔ)上引入觀測站距離信息，“CRLB1”表示未引入觀測站距離信息的目標(biāo)位置估計(jì)的CRLB，“CRLB2”表示引入觀測站距離信息的目標(biāo)位置估計(jì)的CRLB。從圖2（a）可以看出，在不同時(shí)差測量誤差條件下，通過引入觀測站距離信息，本文算法定位精度高于TSWLS-HO算法，且時(shí)差測量誤差越小，本文算法定位精度提高能力越強(qiáng)，驗(yàn)證了本文算法的有效性。圖2（b）為圖2（a）的局部放大圖，當(dāng)時(shí)差測量誤差高于15 dB時(shí)，本文算法定位精度提高能力變?nèi)酰@是因?yàn)殡S著時(shí)差測量誤差的逐漸增加，時(shí)差測量誤差慢慢成為影響定位精度的主要因素，引入觀測站距離信息帶來的定位精度改善效果降低。

實(shí)驗(yàn)2 驗(yàn)證本文算法對(duì)觀測站位置誤差的適應(yīng)能力

固定時(shí)差測量誤差，在不同觀測站位置誤差條件下，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果如圖3所示。圖3中，橫坐標(biāo)為觀測站位置誤差的標(biāo)準(zhǔn)差，單位為dB（10lg（σ_s）），縱坐標(biāo)為目標(biāo)位置估計(jì)的RMSE，單位為km?？梢钥闯?，在不同位置誤差條件下，本文算法定位精度要優(yōu)于“TSWLS-HO”算法，驗(yàn)證了本文算法的有效性。與時(shí)差測量誤差不同的是，隨著觀測站位置誤差的逐漸增加，“TSWLS-HO”算法的定位精度快速下降，而本文算法的定位精度基本保持穩(wěn)定，表明本文算法對(duì)觀測站位置誤差不敏感。這是因?yàn)?，雖然觀測站位置誤差增加，但是觀測站精確距離信息大大降低了觀測站位置的不確定度。仿真結(jié)果表明，觀測站位置誤差越大，本文算法定位精度提升能力越強(qiáng)。

實(shí)驗(yàn)3 驗(yàn)證本文算法對(duì)觀測站距離誤差的適應(yīng)能力

固定觀測站位置誤差、時(shí)差測量誤差，在不同觀測站距離誤差條件下，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果如圖4所示。圖4中，橫坐標(biāo)為觀測站距離誤差的標(biāo)準(zhǔn)差，單位為dB（10lg（σ_l）），縱坐標(biāo)為目標(biāo)位置估計(jì)的RMSE，單位為km。可以看出，在不同觀測站距離誤差情況下，本文算法定位精度要優(yōu)于“TSWLS-HO”算法，驗(yàn)證了本文算法的有效性。由于“TSWLS-HO”算法沒有引入觀測站精確距離信息，因此隨著觀測站距離誤差的增加，“TSWLS-HO”算法及其CRLB的定位精度幾乎保持穩(wěn)定。而本文算法由于引入了觀測站距離測量信息，定位精度得到有效提升，且觀測站距離誤差越小，本文算法定位精度提升越明顯。隨著觀測站距離誤差越來越大，本文算法的定位精度越來越趨近于“TSWLS-HO”算法。這是因?yàn)?，?dāng)觀測站距離誤差增加到一定程度時(shí)，觀測站距離誤差和觀測站位置誤差基本相當(dāng)，此時(shí)引入觀測站距離信息帶來的定位精度提升已經(jīng)很小了。在實(shí)際中，通過激光測距、微波測距等技術(shù)手段，觀測站距離直接測量精度可控制在-10 dB以內(nèi)，要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于通過觀測站自導(dǎo)航定位得到的觀測站距離測量精度，因此本文算法具有極強(qiáng)的工程應(yīng)用價(jià)值。

實(shí)驗(yàn)4 驗(yàn)證本文算法對(duì)基線距離變化的適應(yīng)能力

固定觀測站位置誤差、時(shí)差測量誤差以及觀測站距離誤差，在不同基線距離情況下，進(jìn)行仿真試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。圖5中，橫坐標(biāo)為基線長度，單位為km，縱坐標(biāo)為目標(biāo)位置估計(jì)的RMSE，單位為km。可以看出，隨著基線長度的逐漸增加，本文算法和“TSWLS-HO”算法的定位精度都逐漸提高，但是本文算法的定位精度明顯優(yōu)于“TSWLS-HO”算法，驗(yàn)證了本文算法能夠有效提升定位精度。

5 結(jié) 論

針對(duì)空中機(jī)動(dòng)平臺(tái)快速高精度定位問題，本文基于TS-WLS算法基本框架，引入觀測站精確距離信息，提出了一種基于觀測站精確距離信息的高精度時(shí)差定位方法。本文算法在WLS算法的步驟2采用了與現(xiàn)有的TSWLS-HO算法不同的處理方式，直接對(duì)步驟1目標(biāo)位置估計(jì)的誤差進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，避免了開方、平方等非線性操作。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：

（1） 本文算法通過引入觀測站精確距離信息，能夠大幅提升目標(biāo)定位精度;

（2） 相比于TSWLS-HO算法，本文算法具有更好的定位性能，且觀測站位置誤差越大，本文算法定位精度提升越顯著，表明本文算法具有極強(qiáng)的觀測站位置誤差適應(yīng)能力;

（3） 在時(shí)差測量精度較高時(shí)，本文算法具有更好的定位精度，但是隨著時(shí)差測量精度的下降，本文算法的定位精度提升效果越來越不顯著，因?yàn)榇藭r(shí)時(shí)差測量精度成為限制定位精度的主要因素;

（4） 基線長度越長，本文算法定位精度越高;

（5） 觀測站距離誤差同樣對(duì)本文算法具有較大的影響，觀測站距離誤差較小時(shí)，本文算法定位精度提升較為明顯。在實(shí)際中，通過精確測距技術(shù)可以獲得的精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于導(dǎo)航自定位得到的距離值，因此本文算法具有極強(qiáng)的工程應(yīng)用價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

［1］MAO Z， SU H， HE B， et al. Moving source localization in passive sensor network with location uncertainty［J］. IEEE Signal Process， 2021， 28： 823-827.

［2］趙勇勝， 趙擁軍， 趙闖. 聯(lián)合角度和時(shí)差的單站無源相干定位加權(quán)最小二乘算法［J］. 雷達(dá)學(xué)報(bào)， 2016， 5（3）： 302-311.

ZHAO Y S， ZHAO Y J， ZHAO C. Weighted least squares algorithm for single-observer passive coherent location using DOA and TDOA measurements［J］. Journal of Radars， 2016， 5（3）： 302-311.

［3］左煒， 林曉烘， 周成. 基于單比特采樣的短基線時(shí)差定位方法［J］. 空軍預(yù)警學(xué)院學(xué)報(bào)， 2020， 34（3）： 163-166.

ZUO W， LIN X H， ZHOU C. Monobit-sampling-based short baseline time difference positioning technology［J］. Journal of Air Force Early Warning Academy， 2020， 34（3）： 163-166.

［4］熊鵬， 柳征， 姜文利. 復(fù)合調(diào)制雷達(dá)信號(hào)時(shí)差估計(jì)算法［J］. 雷達(dá)學(xué)報(bào)， 2015， 4（4）： 460-466.

XIONG P， LIU Z， JIANG W L. TDOA estimation algorithm of hybrid modulation radar signals［J］. Journal of Radars， 2015， 4（4）： 460-466.

［5］徐光勇， 楊靜， 趙擁軍， 等. 傳感器位置誤差下的多輻射源時(shí)差定位代數(shù)解算法［J］. 電子信息對(duì)抗技術(shù)， 2021， 36（6）： 43-49.

XU G Y， YANG J， ZHAO Y J， et， al. An algebraic solution for TDOA positioning of multiple disjoint sources in the presence of sensor position errors［J］. Electronic Information Warfare Technology， 2021， 36（6）： 43-49.

［6］張歡， 周云生， 姜義成. 一種基于凸優(yōu)化的四站時(shí)差定位算法［J］. 應(yīng)用科技， 2021， 48（1）： 76-80.

ZHANG H， ZHOU Y S， JIANG Y C. Four-station time difference positioning algorithm based on convex optimization［J］. Applied Science and Technology， 2021， 48（1）： 76-80.

［7］PEI Y H， WU G Z， GUO F C. Geolocation a known-altitude moving source by TDOA and FDOA measurements［J］. Electronics Letters， 2022， 58（13）： 514-516.

［8］XIE Y， LEE J H， SONG T L. Analysis for reference sensor selection in time difference of arrival-based localisation［J］. Electronics Letters， 2018， 54（25）： 1454-1456.

［9］ALI N， MOHAMMAD A S. Target location in multistatic passive radar using SVD approach for eliminating the nuisance parameters［J］. IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems， 2017， 53（4）： 1660-1671.

［10］LIU Y， YANG L， HO K C. Moving target localization in multistatic sonar using time delays， Doppler shifts and arrival angels［C］∥Proc.of the IEEE International Conference on Acoustics， Speech and Signal Processing， 2017： 3399-3403.

［11］VADIM I， PINI G， EHUD R， et al. Real-time vision-aided localization and navigation based on three-view geometry［J］. IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems， 2012， 48（3）： 2239-2259.

［12］周龍健， 羅景青， 孔輝. 基于虛擬時(shí)差的運(yùn)動(dòng)陣列空間無源定位算法［J］. 電子與信息學(xué)報(bào)， 2017， 39（7）： 1759-1763.

ZHOU L J， LUO J Q， KONG H. A passive location algorithm based on the virtual TDOAs of moving array［J］. Journal of Electronics amp; Information Technology， 2017， 39（7）： 1759-1763.

［13］NOROOZI A， OVEIS A H， HOSSEINI S M， et al. Improved algebraic solution for source localization from TDOA and FDOA measurements［J］. IEEE Wireless Communications， 2017， 7（3）： 352-355.

［14］ZHU G H， FENG D Z. Bi-iterative method for moving source localisation using TDOA and FDOA measurements［J］. Electronics Letters， 2015， 51（1）： 8-10.

［15］PRéVOST R， COULON M， PAIMBLANC P， et al. Ship localization using AIS signals received by satellites［C］∥Proc.of the 21st European Signal Processing Conference， 2013.

［16］HO K C， XU W. An accurate algebraic solution for moving source location using TDOA and FDOA measurements［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2004， 52（9）： 2453-2463.

［17］HO K C， CHAN Y T. Geolocation of a known altitude object from TDOA and FDOA measurements［J］. IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems， 1997， 33（3）： 770-783.

［18］CHAN Y T， HO K C. A simple and efficient estimator for hyperbolic location［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 1994， 42（8）： 1905-1915.

［19］李漢君. 高精度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)定位技術(shù)及性能分析研究［D］. 成都： 電子科技大學(xué)， 2022.

LI H J. Research on high precision positioning technology of motion platforms and performance analysis［D］. Chengdu： University of Electronic Science and Technology of China， 2022.

［20］HO K C， LU X， KOVAVISARUCH L. Sourse localization using TDOA and FDOA measurements in the presence of receiver location errors： analysis and solution［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2007， 55（2）： 684-696.

［21］秦兆濤， 王俊， 魏少明， 等. 基于目標(biāo)高度先驗(yàn)信息的多站時(shí)差無源定位方法［J］. 電子與信息學(xué)報(bào)， 2018， 40（9）： 2219-2226.

QIN Z T， WANG J， WEI S M， et al. Passive localization using TDOA measurements from multiple sensors based on priori knowledge of target altitude［J］. Journal of Electronics amp; Information Technology， 2018， 40（9）： 2219-2226.

［22］XI L， FU C G， LE Y， et al. Improved solution for geolocating a known altitude source using TDOA and FDOA under random sensor location errors［J］. Electronics Letters， 2018， 54（9）： 597-599.

［23］KIM Y H， KIM D G， KIM H N. Two-step estimator for moving-emitter geolocation using time difference of arrival/frequency-difference of arrival measurements［J］. IET Radar， Sonar amp; Navigation， 2015， 9（7）： 881-887.

［24］QU F Y， GUO F C， MENG X W， et al. Constrained location algorithms based on total least squares method using TDOA and FDOA measurements［C］∥Proc.of the IET International Conference on Automatic Control and Artificial Intelligence， 2012： 2587-2590.

［25］高向穎， 趙擁軍， 劉智鑫， 等. 存在站址誤差下的時(shí)頻差穩(wěn)健定位算法［J］. 雷達(dá)學(xué)報(bào)， 2020， 9（5）： 916-924.

GAO X Y， ZHAO Y J， LIU Z X， et al. Robust source localization using TDOA and FDOA with receiver location errors［J］. Journal of Radars， 2020， 9（5）： 916-924.

［26］蔡春霞， 王堃， 成章， 等. 短基線無源多站時(shí)差定位精度分析及快速計(jì)算方法［J］. 電子設(shè)計(jì)工程， 2022， 30（24）： 54-59.

CAI C X， WANG K， CHENG Z， et al. Short-baseline passive multi-station time difference location accuracy analysis and fast calculation method［J］. Electronic Design Engineering， 2022， 30（24）： 54-59.

［27］梁丹丹. 基于偽碼測距的高精度時(shí)間同步技術(shù)研究［D］. 北京： 北京理工大學(xué)， 2016.

LIANG D D. The research of high precision time synchronization technology based on pseudo-code ranging［D］. Beijing： Beijing Institute of Technology， 2016.

［28］王騰飛. 通信測距及時(shí)間同步技術(shù)的研究［D］. 北京： 北京理工大學(xué)， 2016.

WANG T F. The research on communication ranging and time synchronization［D］. Beijing： Beijing Institute of Technology， 2016.

［29］郭福成， 李金洲， 張敏. 無源定位原理與方法［M］. 北京： 國防工業(yè)出版社， 2021.

GUO F C， LI J Z， ZHANG M. Passive location theories and methods［M］. Beijing： National Defense Industry Press， 2021.

［30］CAO J M， WAN Q， OUYANG X X， et al. Multidimensional scaling-based passive emitter localisation from time difference of arrival measurements with sensor position uncertainties［J］. IET Signal Processing， 2017， 11（1）： 43-50.

作者簡介

鄧杏松（1982—），男，研究員，博士研究生，主要研究方向?yàn)殡娮訉?duì)抗系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

亓 亮（1990—），男，高級(jí)工程師，博士研究生，主要研究方向?yàn)殡娮訉?duì)抗信號(hào)處理。

朱元江（1985—），男，研究員，博士研究生，主要研究方向?yàn)殡娮訉?duì)抗系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

楊 帆（1964—），男，研究員，碩士，主要研究方向?yàn)殡娮佑性锤蓴_。

蔣智辰（1988—），男，高級(jí)工程師，碩士，主要研究方向?yàn)殡娮訉?duì)抗系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

劉志永（1997—），男，助理工程師，碩士，主要研究方向?yàn)殡娮觽刹臁?/p>