摘 要：

針對多星系統(tǒng)的姿態(tài)協(xié)同控制問題，通過不變擴展卡爾曼濾波（invariant extended Kalman filter， InEKF）對航天器進行姿態(tài)估計，將航天器的姿態(tài)估計與傳遞矩陣獨立;結(jié)合無向通信拓撲構(gòu)建多星特殊正交群（special orthogonal group， SO（3））姿態(tài)模型，推導(dǎo)SO（3）上姿態(tài)協(xié)同誤差。然后，基于SO（3）提出基于一致性理論的姿態(tài)協(xié)同控制算法。其中，利用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對虛擬擾動進行擬合補償，所提出的算法考慮空間擾動，以保證協(xié)同控制器適用于整個姿態(tài)空間，實現(xiàn)多星姿態(tài)協(xié)同、跟蹤期望姿態(tài)和執(zhí)行器能力約束下的協(xié)同。根據(jù)LaSalle不變集理論對系統(tǒng)進行分析，證明系統(tǒng)具有全局漸近穩(wěn)定性。最后，利用六星航天器系統(tǒng)校驗了所提姿態(tài)協(xié)同控制算法的有效性。

關(guān)鍵詞：

多航天器; 特殊正交群; 協(xié)同控制; 徑向基函數(shù); 不變擴展卡爾曼濾波

中圖分類號：

V 448.2

文獻標(biāo)志碼： A""" DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.09.24

Geometrically robust control in multi-satellite attitude coordination

HU Yang1， LIU Xuechao2， LI Huayi1，*， CAO Qian1

（1. School of Astronautics， Harbin Institute of Technology， Harbin 150001， China;

2. DongFangHong Satellite Company Limited， Beijing 100094， China）

Abstract：

Aiming at the attitude cooperative control problem of multi-spacecraft system， the attitude estimation of the spacecraft is estimated by invariant extended Kalman filter （InEKF）， and the attitude estimation of the spacecraft is made independent of the transfer matrix. Then， the multi-spacecraft special orthogonal group （SO（3）） attitude model is constructed by combining the undirected communication topology，

and the attitude coordination error on SO（3） is deduced. Among them， an attitude coordination control algorithm based on the consistency theory is proposed based on the special orthogonal group SO（3）. The radial basis function neural network is used to fit and compensate virtual disturbances. The proposed algorithm considers spatial disturbances to ensure that the collaborative controller is applicable to the entire attitude space. Multi-satellite attitude collaboration， tracking desired attitude， and" collaboration under the constraints of actuator capabilities are realized. The system is analyzed based on LaSalle invariant set theory， proving that the system has global asymptotic stability. Finally， the effectiveness of the proposed attitude collaborative control algorithm is verified by using a six-satellite spacecraft system.

Keywords：

multiple spacecraft; special orthogonal group （SO（3））; coordinated control; radial basis function （RBF）; invariant extended Kalman filter （InEKF）

0 引 言

多星系統(tǒng)由多個航天器組成，通過系統(tǒng)的信息交互和共同工作實現(xiàn)，有著傳統(tǒng)獨立航天器不可比擬的優(yōu)勢，包括結(jié)構(gòu)靈活、研制費用低、安全性高、生命周期長、綜合效率高、發(fā)射風(fēng)險低等優(yōu)點。姿態(tài)協(xié)同［1］表示利用所設(shè)計的協(xié)同控制律，對系統(tǒng)內(nèi)成員之間的相對姿態(tài)和角速度進行調(diào)整，使各成員航天器姿態(tài)穩(wěn)定在要求的姿態(tài)上，完成相應(yīng)的任務(wù)要求。在航天器控制領(lǐng)域，姿態(tài)協(xié)同控制有良好的實際應(yīng)用前景［2］和富有啟發(fā)性的理論研究意義［3］。

描述多星協(xié)同控制時，多星的系統(tǒng)模型由各成員衛(wèi)星的姿態(tài)信息和系統(tǒng)的通信拓撲構(gòu)成［4］，結(jié)合多星系統(tǒng)的通信拓撲，利用與自身通信的航天器的狀態(tài)信息設(shè)計控制律，采用分布式的控制思想［5］。基于該情況，文獻［6］研究多個歐拉-拉格朗日系統(tǒng)的一致性問題，解決具有互連時變延遲且不使用速度測量的無領(lǐng)導(dǎo)者和領(lǐng)導(dǎo)者-追隨者一致性問題。航天器的姿態(tài)控制具有挑戰(zhàn)性的原因之一在于姿態(tài)在非線性流形特殊正交群（special orthogonal group， SO（3））上的演變［7］，在現(xiàn)有的大部分文獻中，姿態(tài)通常采用四元數(shù)模型、修正羅格里德參數(shù)（modified Rodrigues parameters， MRPs）［8-9］和歐拉角式［10］來描述。以上3種姿態(tài)描述方式均存在有一定的局限性［11］：四元數(shù)模型可以有效地描述旋轉(zhuǎn)和方向［12］，避免了角度奇異問題，但其引入了模糊性，由于同一個姿態(tài)可以由兩個相反四元數(shù)表示，導(dǎo)致不期望的“卷繞”現(xiàn)象。歐拉角通過在局部表征姿態(tài)來解決此類問題。但不可避免地在控制器設(shè)計中引入奇異性，因此并非全局有效［13］，不能使用基于歐拉角的控制方法進行大角度機動。MRPs模型有奇異性的特點，同時是一種非全局描述。綜合所有的姿態(tài)描述方式，文獻［14］利用SO（3）描述剛體的姿態(tài)并設(shè)計控制律。文獻［15-16］研究剛體姿態(tài)動力學(xué)的跟蹤控制系統(tǒng)，選取姿態(tài)誤差函數(shù)，獲得理想的姿態(tài)跟蹤性能。SO（3）誤差有不同的描述方法［17］，因此基于SO（3）的多星系統(tǒng)控制指令和控制目標(biāo)［18］需要重新推導(dǎo)。此外，已經(jīng)提出的SO（3）控制器多數(shù)是線性的［19-20］，對于非線性適用與應(yīng)用較難［21］。在姿態(tài)估計的問題上，傳統(tǒng)的擴展卡爾曼濾波（extended Kalman filter， EKF）在處理線性高斯系統(tǒng)時具有巨大的優(yōu)勢［22］。本文基于矩陣?yán)钊哼M行姿態(tài)估計，不變EKF（invariant EKF， InEKF）更有優(yōu)勢，其傳遞矩陣的計算不依賴于系統(tǒng)的估計值，保證了濾波器的穩(wěn)定性［23］。同時，基于InEKF的姿態(tài)估計不再受限于小角度假設(shè)的限制。

對于多智能體系統(tǒng)一致性問題的研究，Olfati-Saber［24］利用圖論和矩陣?yán)碚撝R對線性化的Vicsek模型一致性現(xiàn)象進行較完整的證明。目前，研究者提出了多種協(xié)同控制結(jié)構(gòu)，其中包括傳統(tǒng)的環(huán)式結(jié)構(gòu)、虛擬式結(jié)構(gòu)、領(lǐng)航跟隨式結(jié)構(gòu)以及基于行為式的結(jié)構(gòu)，此外還有流行的分布式結(jié)構(gòu)。文獻［25］針對具有弱通訊的高階嚴(yán)反饋非線性多智能體系統(tǒng)，提出一種分布式自適應(yīng)反演控制方法，并研究該系統(tǒng)的協(xié)同跟蹤控制問題。基于一致性算法的協(xié)同控制優(yōu)勢顯著，包括所需信息量少、抗干擾能力強、可靠性高、算法可重構(gòu)性強等特點，然而先前文獻設(shè)計的協(xié)同控制律的姿態(tài)描述建立在四元數(shù)或者修正羅德里格參數(shù)，適用范圍存在局限。另外，李群的性質(zhì)也導(dǎo)致姿態(tài)模型不能直接利用SO（3）導(dǎo)出。

針對其他姿態(tài)描述方式的不足，本文的多星系統(tǒng)基于李群上的SO（3），設(shè)計基于該姿態(tài)描述的協(xié)同控制律，改進一種采用旋轉(zhuǎn)矩陣形式的協(xié)同姿態(tài)確定方法。基于一致性理論和SO（3）姿態(tài)模型，設(shè)計多星姿態(tài)協(xié)同控制律，并考慮了給定期望姿態(tài)和執(zhí)行器能力約束的情況。利用徑向基函數(shù)（radial basis function， RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對多星系統(tǒng)的空間虛擬擾動進行擬合，使動力學(xué)模型更接近空間實際。文中針對包含六顆衛(wèi)星的航天器系統(tǒng)對設(shè)計的控制律進行分析，理論分析與實驗結(jié)果相符，驗證了采用SO（3）姿態(tài)描述的協(xié)同控制律能夠?qū)崿F(xiàn)航天器系統(tǒng)穩(wěn)定的姿態(tài)協(xié)同。

1 多星姿態(tài)協(xié)同系統(tǒng)建模

1.1 航天器通信拓撲描述

圖論中圖的方向性可以直觀地展現(xiàn)航天器系統(tǒng)中的信息交互。為了使模型更加清晰，將圖論的基本概念運用到多星系統(tǒng)中［26］。在一個無向圖中，圖中的每一個頂點對應(yīng)多星系統(tǒng)中成員航天器，航天器間的信息交互與通信則利用圖的邊描述。

針對文中提出的控制律，不考慮信息交互的方向。多星系統(tǒng)的通信拓撲利用無向圖進行表述，設(shè)有一個邊集E={e1，e2，…，en}和一個頂點集V={v1，v2，…，vn}，如果在E中的任一條邊ek，V中都有一個頂點對（vi，vj）與其對應(yīng)，那么由V和E組成的集體便稱為一個圖，記為G=（V，E）。與當(dāng)前頂點存在通信的頂點集合記為Θ，d（v）表示頂點v的度。

4 仿真校驗

在本節(jié)中，將定理1和說明1、2應(yīng)用于6個航天器的姿態(tài)協(xié)同仿真。航天器的初始姿態(tài)、角速度和質(zhì)量特性參數(shù)如表1所示。

簡單起見，設(shè)A=B，A由aij定義，表示姿態(tài)參量的鄰接矩陣，B由bij定義，表示角速度的鄰接矩陣。仿真中，A的無向通信圖分別如圖2和圖3所示。i和j之間的一條邊表示第i和j個航天器可以相互通信，對于提出的控制律，若（i，j）∈ε，則有aij=bij=1（i，j=1，2，…，6），否則aij=bij=0。

在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對空間擾動的估計中，選取的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為1-100-1，其中c=（1∶1∶100），qj=0.5，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層節(jié)點為100個;航天器運行高度取在600 km圓軌道。姿態(tài)估計時初始協(xié)方差矩陣取I3，噪聲選取高斯噪聲。

在仿真圖中，通過圖例區(qū)分不同的航天器。下標(biāo)j表示航天器在j方向上的分量（j=x，y，z），Tx表示航天器在X方向上的控制力矩。以下，為了簡單起見，選擇航天器1、3、5來展示仿真結(jié)果。

圖4展示了利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合航天器1所受到的空間虛擬擾動。圖5展示了航天器1空間虛擬擾動力矩估計的誤差曲線，3個方向的擾動估計誤差最后穩(wěn)定在10－5 N·m附近，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對虛擬擾動力矩的擬合效果良好。

文中以航天器1為例在圖6展示在式（47）控制律下InEKF姿態(tài)估計前后姿態(tài)的變化。InEKF姿態(tài)估計較好地完成了對航天器的姿態(tài)估計。

航天器姿態(tài)在控制器設(shè)計和仿真中使用R，為了清晰地展示仿真結(jié)果，本文將R轉(zhuǎn)換為姿態(tài)角度。圖7顯示了航天器1、3、5的姿態(tài)在式（42）控制律下的變化，其中p=3，d=1。而圖8顯示了航天器1、3、5的控制力矩在式（42）控制律下的變化。通過圖像，可以看出本文使用SO（3）的控制律很快地收斂，但是在姿態(tài)協(xié)同的過程中，控制力矩不平滑，這主要是引入了姿態(tài)估計的原因。注意到，每個航天器在將近6 s時以相同的姿態(tài)和相同的角速度實現(xiàn)姿態(tài)協(xié)同。

圖9～圖11分別顯示了航天器1、3、5在式（47）控制律下的姿態(tài)、角速度和控制力矩變化。其中，p=10，d=6。注意到，每個航天器都達到相同的姿態(tài)，并在將近8 s時指向所需的恒定參考姿態(tài)，其中給定的參考姿態(tài)為俯仰角9°、偏航角12°、滾轉(zhuǎn)角5°。同時，航天器的角速度最終收斂于零。

圖12和圖13分別顯示了航天器1、3、5考慮執(zhí)行器能力約束時的姿態(tài)、控制力矩變化。其中，p=10，d=5。注意到，每個航天器的控制力矩有所減小，但與此同時，控制時長有所增加，在將近16 s時指向參考姿態(tài)。

為了更加準(zhǔn)確地描述多星系統(tǒng)成員航天器之間姿態(tài)協(xié)同過程的整體精準(zhǔn)度，引入姿態(tài)相對誤差量Eco來反映系統(tǒng)姿態(tài)協(xié)同的效果［4］。Eco的計算方式如下：

Eco=15∑5i=1errori（55）

式中：errori=ri－r6，ri=［i，θi，i］T，i，θi和i分別表示成員衛(wèi)星姿態(tài)的偏航、俯仰、滾轉(zhuǎn);Eco為姿態(tài)相對誤差量，表示系統(tǒng)中其他航天器與選定航天器的平均姿態(tài)誤差。為了說明本文所提控制器的優(yōu)勢，文中設(shè)置與表1相同的仿真初始狀態(tài)，如圖14所示。

圖14中，文獻［3］是利用四元數(shù)姿態(tài)描述的協(xié)同控制方法;文獻［4］則是基于SO（3）模型提出的反步滑模控制器用于多星姿態(tài)協(xié)同。

從圖14得知，相對姿態(tài)誤差Eco逐漸收斂為0，表明系統(tǒng)實現(xiàn)了姿態(tài)協(xié)同。與其他兩種方法的對比，驗證了所設(shè)計的控制器的有效性和快速性。

5 結(jié) 論

本文針對SO（3）上多個航天器之間的姿態(tài)協(xié)同問題，在無向通信拓撲圖下提出了姿態(tài)協(xié)同控制律，考慮給定期望姿態(tài)和執(zhí)行器能力約束的情況。利用InEKF多星系統(tǒng)進行了姿態(tài)估計，將航天器的姿態(tài)估計與傳遞矩陣獨立，姿態(tài)參數(shù)的更新依賴于誤差η;利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對虛擬擾動進行擬合，并在控制器中實現(xiàn)了擾動補償，使其具有良好的魯棒性。仿真結(jié)果表明，利用InEKF進行姿態(tài)估計和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行擾動補償?shù)目刂坡删哂休^好的控制效果。

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作者簡介

胡 洋（1999—），男，碩士研究生，主要研究方向為航天器協(xié)同控制與接管控制。

劉學(xué)超（1980—），男，高級工程師，主要研究方向為飛行器總體設(shè)計。

李化義（1978—），男，教授，博士，主要研究方向為動力學(xué)與控制、空間遙感。

曹 芊（1997—），男，博士研究生，主要研究方向為動力學(xué)與控制。