摘 要：

針對(duì)多個(gè)自由度可調(diào)模塊單元組成的系統(tǒng)，提出含標(biāo)準(zhǔn)化流程的模塊化機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述及運(yùn)動(dòng)學(xué)并行建模方法。首先，建立模塊單元運(yùn)動(dòng)傳遞庫(kù)，并提出含標(biāo)準(zhǔn)化流程的四元組矩陣模塊化機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述。接著，以模塊單元運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為基礎(chǔ)，考慮多分支模塊化機(jī)器人各分支間耦合影響，建立適用于鏈?zhǔn)侥K化機(jī)器人的位置級(jí)與速度級(jí)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。隨后，提出模塊化機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)并行建模方法，理論分析和仿真結(jié)果均表明該算法能夠適應(yīng)各類型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)模塊化機(jī)器人的快速建模。拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述與并行計(jì)算的引入降低了模塊化機(jī)器人建模難度，提升了建模效率。

關(guān)鍵詞：

模塊化機(jī)器人; 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu); 分支空間雅可比矩陣; 并行建模

中圖分類號(hào)：

TP 242

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A""" DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.09.27

Kinematics parallel modelling of systems consisting of adjustable degree-of-freedom modular units

FEI Junting， JIA Qingxuan， CHEN Gang*

（School of Intelligent Engineering and Automation， Beijing University of Posts and Telecommunications， Beijing 100876， China）

Abstract：

For the system containing multiple adjustable degree-of-freedom modular units， a mathematical description of the modular robot topology including a standardized process and a kinematics parallel modelling method are proposed. Firstly， a library of the modular unit motion transfer is established， and a mathematical description of the modular robot topology based on the quadruple matrix with the standardized process is proposed. Then， based on the kinematics model of one modular unit， considering the coupling effect between the branches of the modular robot with multiple motion branches， a position-level and speed-level kinematics model is established， which is suitable for chain modular robots. Subsequently， a kinematics parallel modeling method of modular robots is proposed. Both theoretical analysis and simulation results show that this method can be adapted to the rapid modeling of modular robots with various types of topologies. The introduction of topology mathematical description and parallel computing reduces the difficulty of modular robot modeling and improves modeling efficiency.

Keywords：

modular robot; topology; branch space Jacobian matrix; parallel modelling

0 引 言

20世紀(jì)60年代，Neumann等提出“通過(guò)集成同質(zhì)組件以構(gòu)建系統(tǒng)”，這是模塊化機(jī)器人的最初構(gòu)想［1-2］。后來(lái)，1988年日本學(xué)者制造了第一個(gè)模塊化機(jī)器人，稱為細(xì)胞機(jī)器人系統(tǒng)（cellular robotic system， CEBOT），由各種類型的模塊單元組成，包括旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)、伸縮臂和抓取模塊單元［3-5］。自那時(shí)以來(lái)，模塊化理念越來(lái)越多地用于設(shè)計(jì)和制造機(jī)器人［6-7］。模塊化機(jī)器人為包含多模塊單元的復(fù)雜系統(tǒng)，其內(nèi)部通過(guò)關(guān)節(jié)排布、連接關(guān)系的調(diào)整，可以具備不同的運(yùn)動(dòng)性能（如工作空間、靈巧度等）與操作能力（如動(dòng)態(tài)負(fù)載能力、末端輸出力等）。同時(shí)，當(dāng)機(jī)器人發(fā)生關(guān)節(jié)故障時(shí)，考慮任務(wù)場(chǎng)景等受限因素難以及時(shí)維修，模塊化機(jī)器人只需替換損壞的模塊單元，即可快速修復(fù)受損機(jī)器人［8-10］。因而，模塊化機(jī)器人具有較好的結(jié)構(gòu)靈活性、故障魯棒性與環(huán)境、任務(wù)適應(yīng)性［11-14］。

根據(jù)模塊化機(jī)器人重構(gòu)過(guò)程中是否需要技術(shù)人員參與，可分為靜態(tài)重構(gòu)模塊化機(jī)器人與動(dòng)態(tài)重構(gòu)模塊化機(jī)器人［15-16］，其中動(dòng)態(tài)重構(gòu)類型的模塊化機(jī)器人可以在不需要技術(shù)人員或外部參與情況下改變自身關(guān)節(jié)排布、連接關(guān)系，又稱為自重構(gòu)［17］。模塊化機(jī)器人包含兩類關(guān)鍵信息，一類是反映模塊單元間連接關(guān)系的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)信息，常包括關(guān)節(jié)數(shù)量、關(guān)節(jié)排布、連接關(guān)系等;另一類是反映機(jī)器人運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的構(gòu)型信息，通常由關(guān)節(jié)角序列表示［18-19］。模塊化機(jī)器人動(dòng)態(tài)重構(gòu)的主要目的是更改其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，使機(jī)器人具備不同的功能、性能，從而適應(yīng)不同的任務(wù)、環(huán)境。重構(gòu)過(guò)程中拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)變化（模塊單元數(shù)量變化或模塊單元間連接關(guān)系變化），重構(gòu)運(yùn)動(dòng)的設(shè)計(jì)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的分析等均離不開(kāi)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模與解算，同時(shí)后續(xù)應(yīng)用（如執(zhí)行任務(wù)等）也需以運(yùn)動(dòng)學(xué)建模、解算為基礎(chǔ)。而模塊化機(jī)器人重構(gòu)過(guò)程中拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化會(huì)增大運(yùn)動(dòng)學(xué)建模、解算難度。

針對(duì)模塊化機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模，李憲華等人［20-23］通過(guò)人工獲取模塊化機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)相關(guān)參數(shù)，使用DH （Denauit-Hartenberg） 參數(shù)法、改進(jìn)DH參數(shù)法建立機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，以獲取關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)與操作空間運(yùn)動(dòng)的映射關(guān)系。然而，模塊化機(jī)器人重構(gòu)或應(yīng)用過(guò)程中，每更新一次拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，其模塊單元間連接關(guān)系、關(guān)節(jié)排布、關(guān)節(jié)數(shù)量等均會(huì)發(fā)生改變，從而帶來(lái)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的改變。若每次重構(gòu)之后均需技術(shù)人員讀取所有運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，將會(huì)導(dǎo)致機(jī)器人重構(gòu)過(guò)程時(shí)間或應(yīng)用前準(zhǔn)備時(shí)間周期長(zhǎng)，且建模過(guò)程繁雜，不利于模塊化機(jī)器人應(yīng)用過(guò)程自動(dòng)化。為適應(yīng)模塊化機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不定特性，F(xiàn)eder等人［24-25］研究如何根據(jù)機(jī)器人三維模型自動(dòng)生成運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，但其運(yùn)動(dòng)學(xué)建模思路仍為遞推式，可能導(dǎo)致模塊化機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過(guò)程中花費(fèi)較多時(shí)間用于運(yùn)動(dòng)學(xué)建模，同時(shí)模塊化機(jī)器人實(shí)際運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，難以快速針對(duì)機(jī)器人實(shí)物獲取其三維模型。綜上，現(xiàn)有運(yùn)動(dòng)學(xué)建模方法應(yīng)用于動(dòng)態(tài)重構(gòu)模塊化機(jī)器人時(shí)，需技術(shù)人員讀取相關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，易出現(xiàn)建模過(guò)程繁雜、建模周期長(zhǎng)等問(wèn)題，同時(shí)建模自主性較差。

針對(duì)上述問(wèn)題，Zhang等人［26-27］以模塊單元的分析為基礎(chǔ)，推導(dǎo)開(kāi)展整機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模與解算，但上述均將運(yùn)動(dòng)學(xué)與模塊單元材料、幾何屬性緊密結(jié)合，使得此分析過(guò)程難以適用于廣泛的模塊化機(jī)器人領(lǐng)域，不具備通用性。隨著模塊化機(jī)器人的推廣應(yīng)用，模塊單元所具備的運(yùn)動(dòng)靈活性逐步提升、功能逐步增多（如具備一定運(yùn)算、自主決策能力），若可以對(duì)模塊化機(jī)器人的“結(jié)構(gòu)模塊化”特點(diǎn)以及模塊單元所具有的運(yùn)算、存儲(chǔ)能力進(jìn)行合理、有效利用，則可以加速模塊化機(jī)器人的建模與解算過(guò)程。

為實(shí)現(xiàn)模塊化機(jī)器人在不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下的運(yùn)動(dòng)學(xué)自主建模，需以準(zhǔn)確的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述為前提。若將模塊化機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模以拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述為輸入，則可大大提升建模自主性。關(guān)于這一問(wèn)題，現(xiàn)階段常用方法有拓?fù)鋱D、關(guān)聯(lián)矩陣和鄰接矩陣［28］。王宏旭等人［29］以關(guān)聯(lián)矩陣和通路矩陣描述航天器拓?fù)錁?gòu)型為出發(fā)點(diǎn)，提出航天器構(gòu)型參數(shù)的概念，并分析其中各個(gè)元素獲取方式以及與關(guān)聯(lián)矩陣/通路矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)航天器拓?fù)錁?gòu)型的自動(dòng)生成。Hua等人［30］以鄰接矩陣來(lái)描述地面無(wú)人集群系統(tǒng)內(nèi)部的通信連接狀態(tài)，并以此為基礎(chǔ)分析系統(tǒng)的相關(guān)通信問(wèn)題。周楊等人［31］以關(guān)聯(lián)矩陣描述變胞源機(jī)構(gòu)中各桿件與運(yùn)動(dòng)副的鄰接關(guān)系，基于此分析了變胞源機(jī)構(gòu)向任意子機(jī)構(gòu)的演化過(guò)程。Liu等人［32］應(yīng)用鄰接圖表示機(jī)器人的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并在此基礎(chǔ)上研究機(jī)器人的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)重構(gòu)策略。Zhang等人［33］通過(guò)將二維鏈路的鄰接矩陣擴(kuò)展成三維矩陣，實(shí)現(xiàn)對(duì)可重構(gòu)機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化辨識(shí)。鄭浩峻等人［34］提出以有根樹(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù)作為特征，構(gòu)建可用層序列矩陣用于描述重構(gòu)機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。上述拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)描述中關(guān)注節(jié)點(diǎn)或模塊單元間是否存在連接關(guān)系，以及從根部向尾部的運(yùn)動(dòng)或信息傳向順序。同時(shí)，所應(yīng)用的部分系統(tǒng)中，模塊單元間為鉸鏈連接，其連接方位關(guān)系單一且固定;也有部分系統(tǒng)不產(chǎn)生實(shí)質(zhì)結(jié)構(gòu)連接關(guān)系，僅為通信連接。然而，為使得模塊化機(jī)器人具備重構(gòu)能力，目前模塊單元間多以軸銷連接［35-37］。對(duì)于軸銷連接這種結(jié)構(gòu)連接形式，其存在多種連接方位關(guān)系?？紤]到連接方位關(guān)系會(huì)對(duì)模塊單元間相對(duì)位姿關(guān)系產(chǎn)生影響，當(dāng)面對(duì)以軸銷連接的模塊單元系統(tǒng)時(shí)，現(xiàn)有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)描述方法因未包含連接方位關(guān)系這一特性而難以直觀、準(zhǔn)確描述系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。另外，值得注意的是，現(xiàn)有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述與運(yùn)動(dòng)學(xué)建模過(guò)程相互獨(dú)立，并未建立有效聯(lián)系。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出一種模塊化機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)通用數(shù)學(xué)描述和以其為輸入的運(yùn)動(dòng)學(xué)并行建模方法。以一種自由度可調(diào)模塊單元及其搭建的模塊化機(jī)器人為研究對(duì)象［38］，通過(guò)分析模塊單元的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并存儲(chǔ)相關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)信息，接著對(duì)模塊化機(jī)器人的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，然后建立適應(yīng)于任一連接狀態(tài)的模塊單元運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并建立模塊化機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述與模塊單元運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)間映射關(guān)系，以此推導(dǎo)模塊化機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，使得模塊化機(jī)器人可自主根據(jù)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)獲取運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)信息，避免每次拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)更新均需技術(shù)人員讀取運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，從而降低運(yùn)動(dòng)學(xué)建模過(guò)程中技術(shù)人員參數(shù)難易程度，提升模塊化機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模的自主性。

1 自由度可調(diào)模塊單元分析

本節(jié)針對(duì)自由度可調(diào)模塊單元，分析其機(jī)械結(jié)構(gòu)所具有的特點(diǎn);接著考慮模塊單元連接、機(jī)械結(jié)構(gòu)等約束，遍歷獲得所有連接狀態(tài)，并梳理每種連接狀態(tài)下所包含的運(yùn)動(dòng)傳遞信息（如關(guān)節(jié)數(shù)量、關(guān)節(jié)排布等），建立運(yùn)動(dòng)傳遞庫(kù)。

1.1 模塊單元結(jié)構(gòu)分析

模塊單元（見(jiàn)圖1）主體結(jié)構(gòu)包括兩個(gè)半球殼、3個(gè)電機(jī)-減速器組合件、兩個(gè)公接口和兩個(gè)母接口組成，其中3個(gè)電機(jī)-減速器組合件分別分布在體心和兩個(gè)半球殼上。每個(gè)半球殼上分布著一公一母兩個(gè)接口，同時(shí)公接口與一個(gè)電機(jī)-減速器組合件相固連，稱之為主動(dòng)公接口;而母接口與半球殼相固連，稱之為被動(dòng)母接口。兩個(gè)半球殼中，一個(gè)與位于體心的電機(jī)-減速器組合件自由端相固連，稱之為被動(dòng)半球;一個(gè)與位于體心的電機(jī)-減速器組合件固定端相固連，稱之為主動(dòng)半球。如圖2所示，1是被動(dòng)半球，2和9是公接口，3、4和8是電機(jī)-減速器組合件，5和7是母接口，6是主動(dòng)半球。模塊單元各關(guān)節(jié)可產(chǎn)生如圖2中紅色箭頭所示的繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)。同時(shí)，模塊單元內(nèi)部具有運(yùn)算與數(shù)據(jù)存儲(chǔ)設(shè)備，可自身獨(dú)立開(kāi)展規(guī)劃、控制等操作，具備一定智能性。

關(guān)于圖2所示的模塊單元，通過(guò)選擇不同的運(yùn)動(dòng)輸入端與運(yùn)動(dòng)輸出端，可輸出多種自由度數(shù)量與自由度空間排布的運(yùn)動(dòng)，故而將其稱為自由度可調(diào)模塊單元。其中，運(yùn)動(dòng)輸入端指模塊單元所處的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)分支中近地端接口，運(yùn)動(dòng)輸出端指模塊單元所處的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)分支中遠(yuǎn)地端接口，運(yùn)動(dòng)分支指模塊化機(jī)器人與工作臺(tái)相連的模塊單元與尾部模塊單元間最短路徑。通過(guò)遍歷所有可能的模塊單元運(yùn)動(dòng)輸入端與運(yùn)動(dòng)輸出端情況可知，圖2所示模塊單元總共可以輸出3種自由度運(yùn)動(dòng)情況（見(jiàn)圖3）。圖3中，紅色坐標(biāo)系表示與運(yùn)動(dòng)輸入端接口相固連的坐標(biāo)系，藍(lán)色坐標(biāo)系表示與運(yùn)動(dòng)輸出端接口相固連的坐標(biāo)系，粉色圓柱表示運(yùn)動(dòng)從運(yùn)動(dòng)輸入端接口傳遞至運(yùn)動(dòng)輸出端接口過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的關(guān)節(jié)。以主動(dòng)半球的主動(dòng)公接口為運(yùn)動(dòng)輸入端為例，如圖3（a）所示，當(dāng)選擇主動(dòng)半球的被動(dòng)母接口為運(yùn)動(dòng)輸出端時(shí)，可輸出1自由度的運(yùn)動(dòng);如圖3（b）所示，當(dāng)選擇被動(dòng)半球的被動(dòng)母接口為運(yùn)動(dòng)輸出端時(shí)，可輸出2自由度的運(yùn)動(dòng);如圖3（c）所示，當(dāng)選擇被動(dòng)半球的主動(dòng)公接口為運(yùn)動(dòng)輸出端時(shí)，可輸出3自由度的運(yùn)動(dòng)。

同時(shí)，由于模塊單元對(duì)接接口機(jī)械結(jié)構(gòu)約束，當(dāng)兩個(gè)接口對(duì)接時(shí)，會(huì)存在多種連接方位關(guān)系，如圖4所示。另外，對(duì)接接口中的定位銷個(gè)數(shù)及其排布方式?jīng)Q定著兩接口對(duì)接時(shí)的連接方位關(guān)系。如當(dāng)對(duì)接接口中包含兩個(gè)定位銷時(shí)，則對(duì)應(yīng)著兩種連接方位關(guān)系;同理，當(dāng)對(duì)接接口中包含4個(gè)定位銷時(shí)，則對(duì)應(yīng)著4種連接方位關(guān)系。連接方位關(guān)系的選擇會(huì)對(duì)模塊單元間的運(yùn)動(dòng)與力傳遞產(chǎn)生影響，因而模塊化機(jī)器人的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述中需包含這一類信息。

1.2 模塊單元運(yùn)動(dòng)傳遞分析

為便于后續(xù)理論研究，對(duì)模塊單元的接口、關(guān)節(jié)軸線進(jìn)行編號(hào)，并建立多個(gè)坐標(biāo)系，如圖5所示。圖5中，Si（i=1，2，3）依次是體心關(guān)節(jié)、與主動(dòng)半球-主動(dòng)公接口所固連關(guān)節(jié)、與被動(dòng)半球-主動(dòng)公接口所固連關(guān)節(jié)的軸線，∑Ci（i=1，2，3，4）是模塊單元各個(gè)接口上與接口編號(hào)同號(hào)的接口坐標(biāo)系，∑E是模塊單元的體心坐標(biāo)系。將各接口坐標(biāo)系與體心坐標(biāo)系間相對(duì)位姿關(guān)系記為ECiT（i=1，2，3，4）。

根據(jù)模塊單元接口數(shù)量及機(jī)械結(jié)構(gòu)，遍歷單個(gè)模塊單元接口所有滿足約束（公接口與母接口相連、所連模塊單元間無(wú)干涉）的連接狀態(tài)，并獲得自由度可調(diào)模塊單元的極限連接狀態(tài)，如圖6所示。

分析所有連接狀態(tài)下，模塊單元內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)傳遞，包括所經(jīng)過(guò)關(guān)節(jié)軸線、零位狀態(tài)下運(yùn)動(dòng)輸入端坐標(biāo)系與運(yùn)動(dòng)輸出端坐標(biāo)系間相對(duì)位姿矩陣，最終建立模塊單元運(yùn)動(dòng)傳遞庫(kù)，如表1所示。表1中，第1列、第2列分別為模塊單元運(yùn)動(dòng)輸入端與運(yùn)動(dòng)輸出端坐標(biāo)系所固連的接口編號(hào)，零位狀態(tài)與接口坐標(biāo)系∑Ci（i=1，2，3，4）相一致;第3列至第5列為模塊單元當(dāng)前連接狀態(tài)下，運(yùn)動(dòng)傳遞過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的關(guān)節(jié)軸線及順序。零位狀態(tài)下運(yùn)動(dòng)輸入端坐標(biāo)系與運(yùn)動(dòng)輸出端坐標(biāo)系間相對(duì)位姿矩陣為SinSoutT=ESinT-1 ESoutT，可通過(guò)各接口坐標(biāo)系與體心坐標(biāo)系間相對(duì)位姿關(guān)系計(jì)算獲得。

式中：N表示模塊化機(jī)器人所包含的模塊單元數(shù)量;矩陣M為編號(hào)矩陣，mi（i=1，2，…，N）表示模塊化機(jī)器人各個(gè)模塊單元編號(hào);矩陣B為接地矩陣，bi（i=1，2，…，N）表示模塊單元是否在使用時(shí)與工作臺(tái)相連接，bi∈{1，2，…，nsurf_con}表示模塊單元mi與工作臺(tái)相連接的接口編號(hào)，1，2，…，nsurf_con表示模塊單元的接口編號(hào)，在當(dāng)前拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)使用過(guò)程中，模塊單元mi起著與基座相連接的作用，反之bi=0;矩陣C為連接矩陣，cij（i=1，2，…，N;j=1，2，…，N）∈{1，2，…，nsurf_con}表示模塊單元mi與模塊單元mj相連接的接口編號(hào)，當(dāng)i=j時(shí)，cij=0;矩陣O為方位矩陣，oij（i=1，2，…，N;j=1，2，…，N）表示模塊單元mi與模塊單元mj的連接方位關(guān)系，oij∈{1，2，…，ncon_relation}，1，2，…，ncon_relation表示模塊單元對(duì)接接口上所包含的連接方位關(guān)系編號(hào)，由對(duì)接接口的機(jī)械結(jié)構(gòu)決定，當(dāng)i=j時(shí)，oij=0。需注意，本文僅討論與工作臺(tái)相連接模塊單元個(gè)數(shù)為1的情況。

2.2 模塊化機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述標(biāo)準(zhǔn)化

當(dāng)編號(hào)矩陣M中各元素順序發(fā)生變化，即模塊單元的編號(hào)順序發(fā)生變化后，接地矩陣B、連接矩陣C、方位矩陣O均會(huì)隨之變化。若仍按標(biāo)準(zhǔn)四元組矩陣對(duì)模塊化機(jī)器人的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，則一個(gè)模塊化機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)會(huì)出現(xiàn)n（n－1）…1種結(jié)果。為避免此種現(xiàn)象發(fā)生，本節(jié)提出一種基于四元組矩陣的模塊化機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述標(biāo)準(zhǔn)化流程，使得一種模塊化機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)僅具有唯一的數(shù)學(xué)描述矩陣與之相對(duì)應(yīng)，具體流程如下。

步驟 1

尋找矩陣B中非零元素所處位置，并利用編號(hào)矩陣M，確定與工作臺(tái)相連接模塊單元編號(hào)與接口信息。

步驟 2

利用連接矩陣C尋找僅包含一個(gè)接口占用的模塊單元信息，在編號(hào)矩陣M中確定這類模塊單元編號(hào)，將這類模塊單元視為葉子模塊單元。

步驟 3

以與工作臺(tái)相連模塊單元為起始，利用連接矩陣C搜索至每一個(gè)葉子模塊單元的連接通路，連接通路中包含相應(yīng)模塊單元編號(hào)、接口編號(hào)、模塊單元順序。

步驟 4

按照通路長(zhǎng)度，從長(zhǎng)到短依次排列模塊單元編號(hào)，并根據(jù)模塊單元編號(hào)構(gòu)造接地矩陣B、連接矩陣C、方位矩陣O。

當(dāng)對(duì)模塊化機(jī)器人的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理后，即可實(shí)現(xiàn)模塊化機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)描述的一一映射。

如圖7（a）所示，左側(cè)為基于模塊單元所搭建的模塊化機(jī)器人三維模型，右側(cè)為使用本文的四元組矩陣所描述的模塊化機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述結(jié)果。

以方框所選模塊單元間連接關(guān)系為例，模塊單元3的接口3與模塊單元6的接口2間存在連接關(guān)系，同時(shí)連接方位關(guān)系為1。與四元組矩陣的定義相結(jié)合，可以看出，基于四元組矩陣的模塊化機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述具有如下特征：

（1） 連接矩陣C與方位矩陣O的非零元素位置相同，且連接矩陣C滿足約束對(duì)稱，即以主對(duì)角線為對(duì)稱軸，矩陣對(duì)稱位置上的接口編號(hào)滿足接口連接約束;方位矩陣O為對(duì)稱矩陣，即以主對(duì)角線為對(duì)稱軸，非零元素對(duì)稱分布。

（2） 連接矩陣C與方位矩陣O的主對(duì)角線元素均為0。

（3） 連接矩陣C與方位矩陣O中僅包含一個(gè)非零元素的行所對(duì)應(yīng)的模塊單元狀態(tài)為機(jī)器人末端（可用于連接用于執(zhí)行任務(wù)的末端執(zhí)行器）或者與工作臺(tái)連接。

為便于觀察非零元素排布，圖7（b）中“*”指代0。以圖7（a）左側(cè)所示模塊化機(jī)器人為例，對(duì)圖7（a）右側(cè)所示模塊化機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述標(biāo)準(zhǔn)化后如圖7（b）所示。結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)化流程可知，標(biāo)準(zhǔn)化后的模塊化機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述在基于四元組矩陣的模塊化機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述所具有的特征基礎(chǔ)上，又具有如下新特征：

（1） 接地矩陣B中非零元素位于b1;

（2） 以主對(duì)角線為對(duì)稱軸，連接矩陣C與方位矩陣O的非零元素主要分布在對(duì)稱軸附近。

3 模塊化機(jī)器人通用運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

本節(jié)基于模塊化機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述，建立單鏈模塊化機(jī)器人的位置級(jí)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并推導(dǎo)基于分支空間雅可比矩陣的速度級(jí)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)。在此基礎(chǔ)上，提出適合任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的模塊化機(jī)器人通用運(yùn)動(dòng)學(xué)建模方法。

3.1 單鏈模塊化機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

存在連接關(guān)系的兩個(gè)模塊單元間，模塊單元i+1的運(yùn)動(dòng)輸入端坐標(biāo)系∑Si+1in與模塊單元i的運(yùn)動(dòng)輸出端坐標(biāo)系∑Siout間相對(duì)位姿關(guān)系由連接方位關(guān)系決定。如圖8所示，模塊單元i+1的運(yùn)動(dòng)輸出端坐標(biāo)系∑Si+1out相對(duì)于模塊單元i的運(yùn)動(dòng)輸入端坐標(biāo)系∑Siin的變換矩陣為

綜上所述，模塊化機(jī)器人通用運(yùn)動(dòng)學(xué)建模流程如下。

步驟 1

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化的模塊化機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述，確定與工作臺(tái)相連接模塊單元編號(hào)與接口信息、葉子模塊單元編號(hào)與編號(hào)信息（考慮對(duì)接自主性，常將葉子模塊單元的空閑半球公接口視為末端對(duì)接接口）。

步驟 2

針對(duì)葉子模塊單元，以與工作臺(tái)相連模塊單元為起始，利用連接矩陣C搜索至葉子模塊單元的連接通路，連接通路中包含相應(yīng)模塊單元編號(hào)、接口編號(hào)、模塊單元順序。

步驟 3

重復(fù)步驟2，直至遍歷所有葉子模塊單元。

步驟 4

針對(duì)每個(gè)連接通路，根據(jù)模塊單元接口編號(hào)，利用模塊單元運(yùn)動(dòng)傳遞庫(kù)，確定運(yùn)動(dòng)傳遞過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的關(guān)節(jié)軸線及順序。

步驟 5

重復(fù)步驟4，直至遍歷所有連接通路。

步驟 6

判斷連接通路個(gè)數(shù)，當(dāng)個(gè)數(shù)為1時(shí)，按照計(jì)算式（8）和式（13）當(dāng)前模塊化機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué);當(dāng)個(gè)數(shù)大于1時(shí)，通過(guò)連接通路對(duì)比，判斷多條連接通路間是否存在相同公共關(guān)節(jié)軸線，若不存在，則根據(jù)式（14）和式（15）計(jì)算當(dāng)前模塊化機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué);反之，則根據(jù)式（14）和式（16）計(jì)算當(dāng)前模塊化機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)。

當(dāng)模塊化機(jī)器人通用運(yùn)動(dòng)學(xué)建模流程應(yīng)用于包含閉鏈的模塊化機(jī)器人時(shí)，需虛擬切開(kāi)形成閉鏈的連接關(guān)系（見(jiàn)圖11），并對(duì)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述進(jìn)行修正;以修正后的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述為輸入，建立模塊化機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。在此基礎(chǔ)上，在虛擬切開(kāi)的連接關(guān)系處施以運(yùn)動(dòng)約束，即可實(shí)現(xiàn)本文所提算法對(duì)包含閉環(huán)模塊化機(jī)器人的應(yīng)用，形式如下所示：

T2分別為虛擬切開(kāi)連接關(guān)系后兩個(gè)分支末端模塊單元的輸出端坐標(biāo)系∑Snout相對(duì)于根部模塊單元運(yùn)動(dòng)輸入端坐標(biāo)系∑S1in的變換矩陣;Snout，1Snout，2T為虛擬切開(kāi)連接關(guān)系中連接方位關(guān)系對(duì)應(yīng)的齊次變換矩陣;同時(shí)，S1inV1Snout、S1inV2Snout分別為兩個(gè)分支末端空間速度旋量。

3.3 模塊化機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)并行建模

考慮模塊單元具備獨(dú)立運(yùn)算與存儲(chǔ)能力，可

自主根據(jù)當(dāng)前連接狀態(tài)計(jì)算模塊單元運(yùn)動(dòng)學(xué)，如式（8）與式（14）中H、式（13）中Js中均可由模塊單元自主運(yùn)算獲得。因此，本文提出一種模塊化機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)并行建模流程，如圖12所示，在模塊化機(jī)器人各個(gè)模塊單元運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算基礎(chǔ)上，利用模塊化機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)并行建模，實(shí)現(xiàn)不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下模塊化機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)快速解算。

對(duì)于包含N（N≥1）個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)分支，自由度對(duì)應(yīng)的N（N≥1）條運(yùn)動(dòng)軸線來(lái)源于M（M≥1）個(gè)模塊單元，其中有M1個(gè)模塊單元僅提供一條運(yùn)動(dòng)軸線，共提供了N1個(gè)自由度，且N1=M1;有M2個(gè)模塊單元提供兩條運(yùn)動(dòng)軸線，共提供了N2個(gè)自由度，且N2=2M2;有M3個(gè)模塊單元提供3條運(yùn)動(dòng)軸線，共提供了N3個(gè)自由度，且N3=3M3，同時(shí)存在關(guān)系N=N1+N2+N3，M=M1+M2+M3。

模塊化機(jī)器人常規(guī)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模流程如下。

步驟 1

人工確定運(yùn)動(dòng)傳遞過(guò)程中所經(jīng)過(guò)各個(gè)模塊單元的關(guān)節(jié)軸線及順序，進(jìn)而獲取各關(guān)節(jié)軸線相對(duì)基座坐標(biāo)系的旋量坐標(biāo)、機(jī)器人分支末端相對(duì)基座坐標(biāo)系的位姿變換矩陣，其中常取與在工作臺(tái)相連接的接口對(duì)應(yīng)的接口坐標(biāo)系為基座坐標(biāo)系。

步驟 2

根據(jù)S1inSMoutT（q）=eS^1θ1eS^2θ2…eS^NθNS1inSMoutT（0）進(jìn)行位置級(jí)運(yùn)動(dòng)學(xué)求解。

步驟 3

根據(jù)S1inVSMout=S1θ·1+Ade［S1］θ1（S2）θ·2+Ade［S1］θ1…e［SN－1］θN－1（SN）θ·N=［S1，AdeS^1θ1（S2），…，

AdeS^1θ1…eS^N－1θN－1

（SN）］［θ·1，θ·2，…，θ·N］T進(jìn)行速度級(jí)運(yùn)動(dòng)學(xué)求解。

假設(shè)每?jī)蓚€(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)學(xué)傳遞運(yùn)算時(shí)間為Δt（Δtgt;0），則常規(guī)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模耗時(shí)ts可表示為（N－1）Δt，運(yùn)動(dòng)學(xué)并行建模方法耗時(shí)tp可表示為t+（M1+M2+M3－1）Δt，其中當(dāng)N3≠0時(shí)，t=2Δt;當(dāng)N2≠0且N3=0時(shí)，t=Δt;當(dāng)N2=0且N3=0時(shí)，t=0。則ts－tp=－t+（N－M1－M2－M3）Δt。將N1、N2、N3代入化簡(jiǎn)可得，ts－tp=－t+（N2/2+2N3/3）Δt。結(jié)合模塊單元運(yùn)動(dòng)傳遞庫(kù)，針對(duì)以下7種情況展開(kāi)分析。

（1） 當(dāng)運(yùn)動(dòng)分支中每個(gè)模塊單元所涉及運(yùn)動(dòng)軸線均為3，即M1=0，M2=0時(shí)，可知M=M3=N/3。此時(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué)并行建模耗時(shí)tp可表示為2Δt+（M3－1）Δt，則ts－tp=（2N/3－2）Δt。由于M≥1，則N≥3，可知，ts－tp≥0。

（2） 當(dāng)運(yùn)動(dòng)分支中每個(gè)模塊單元所涉及運(yùn)動(dòng)軸線均為2，即M1=0，M3=0時(shí)，可知M=M2=N/2。此時(shí)，運(yùn)動(dòng)學(xué)并行建模耗時(shí)tp可表示為Δt+（M2－1）Δt，則ts－tp=（N/2－1）Δt。由于M≥1，則N≥2，可知，ts－tp≥0。

（3） 當(dāng)運(yùn)動(dòng)分支中每個(gè)模塊單元所涉及運(yùn)動(dòng)軸線均為1，即M2=0，M3=0時(shí)，可知M=M1=N。此時(shí)，運(yùn)動(dòng)學(xué)并行建模耗時(shí)tp可表示為（M1－1）Δt?？芍?，ts－tp=0。

（4） 當(dāng)運(yùn)動(dòng)分支中模塊單元所涉及運(yùn)動(dòng)軸線為2和3，即M1=0時(shí)，可知N=N2+N3。此時(shí)，運(yùn)動(dòng)學(xué)并行建模耗時(shí)tp可表示為2Δt+（M2+M3－1）Δt，則ts－tp=（N2/2+2N3/3－2）Δt。由于M2，M3≥1，則N2≥2，N3≥3，可知，ts－tpgt;0。

（5） 當(dāng)運(yùn)動(dòng)分支中模塊單元所涉及運(yùn)動(dòng)軸線為1和3，即M2=0時(shí)，可知N=N1+N3。此時(shí)，運(yùn)動(dòng)學(xué)并行建模耗時(shí)tp可表示為2Δt+（M1+M3－1）Δt，則ts－tp=（2N3/3－2）Δt。由于M3≥1，則N3≥2，可知，ts－tp≥0。

（6） 當(dāng)運(yùn)動(dòng)分支中模塊單元所涉及運(yùn)動(dòng)軸線為1和2，即M3=0時(shí)，可知N=N1+N2。此時(shí)，運(yùn)動(dòng)學(xué)并行建模耗時(shí)tp可表示為Δt+（M1+M2－1）Δt，則ts－tp=（N2/2－1）Δt。由于M2≥1，則N2≥2，可知，ts－tp≥0。

（7） 當(dāng)運(yùn)動(dòng)分支中模塊單元所涉及運(yùn)動(dòng)軸線為1、2、3時(shí)，此時(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué)并行建模耗時(shí)tp可表示為2Δt+（M1+M2+M3－1）Δt，則ts－tp=（N2/2+2N2/3－2）Δt。由于M2，M3≥1，則N2≥2，N3≥3，可知，ts－tpgt;0。

將上述各類情況整理為

ts－tp=

（N2/2+2N3/3－2）Δt， M1∈N;M2∈N+;M3∈N+

（2N3/3－2）Δt， M1∈N;M2=0;M3∈N+

（N2/2－1）Δt， M1∈N;M2∈N+;M3=0

0， M1∈N+;M2=0;M3=0

（20）

綜上可以看出，本文所提運(yùn)動(dòng)學(xué)并行建模耗時(shí)與常規(guī)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模相比，存在tp≤ts。可知，理論上，運(yùn)動(dòng)學(xué)并行建模流程可有效加速模塊化運(yùn)動(dòng)學(xué)建模過(guò)程。

4 仿真驗(yàn)證

4.1 模塊單元參數(shù)介紹

以圖1所示自由度可調(diào)模塊單元為對(duì)象，開(kāi)展仿真驗(yàn)證，驗(yàn)證本文所提的模塊化機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)并行建模方法的

有效性。根據(jù)圖5，對(duì)模塊單元建立坐標(biāo)系，如圖13所示。圖13中，體心自由度轉(zhuǎn)動(dòng)90°后，所建立坐標(biāo)系均可在同一平面內(nèi)。

零位狀態(tài)下，各接口坐標(biāo)系與體心坐標(biāo)系間相對(duì)位姿關(guān)系為

式中：li（i=1，2，3，4）來(lái)源于模塊單元的結(jié)構(gòu)參數(shù)。其中，l1=91.02 mm，l2=67.68 mm，l3=69.18 mm，l4=92.52 mm。

在圖13所建立坐標(biāo)系基礎(chǔ)上，考慮模塊單元對(duì)接接口機(jī)械結(jié)構(gòu)，分析出模塊單元連接方位關(guān)系所對(duì)應(yīng)的位姿轉(zhuǎn)換矩陣如表2所示。

4.2 模塊化機(jī)器人通用運(yùn)動(dòng)學(xué)建模驗(yàn)證

為驗(yàn)證模塊化機(jī)器人通用運(yùn)動(dòng)學(xué)并行建模方法的有效性，本文以圖14（a）所示雙臂模塊化機(jī)器人為研究對(duì)象。

圖14（a）所示雙臂模塊化機(jī)器人包含兩條運(yùn)動(dòng)分支，分別為模塊單元1→2→3→4→5→6→7→8和模塊單元1→2→3→4→9→10→11→12，且運(yùn)動(dòng)分支間存在公共關(guān)節(jié)軸線，即可拆分為3條無(wú)分岔運(yùn)動(dòng)分支，分別為模塊單元1→2→3、模塊單元4（體心關(guān)節(jié)→被動(dòng)半球關(guān)節(jié)）→5→6→7→8和模塊單元4（主動(dòng)半球關(guān)節(jié)）→9→10→11→12。與之對(duì)應(yīng)的模塊化機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述如圖14（b）所示。

設(shè)模塊化初始狀態(tài)為零位狀態(tài)，即每個(gè)模塊單元的各個(gè)關(guān)節(jié)角度均為0°，對(duì)應(yīng)初始末端位姿分別為Xini-1=［-0.161 1 m，-0.089 5 m， 0.259 0 m， 54.735 6°， 30.00°，-54.735 6°］T，Xini-2=［-0.210 1 m，-0.160 2 m，-0.465 4 m， 0°， 0°， 180°］T，期望末端位姿為Xend=［0.1 m， 0.1 m， 0.1 m， 0°， 0°， 0°］T。利用三維模型測(cè)量零位狀態(tài)下的末端位姿，其結(jié)果與計(jì)算所得的初始末端位姿相一致，可驗(yàn)證本文所提運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性?？紤]雙末端執(zhí)行任務(wù)所滿足的末端約束，則各分支期望末端位姿為Xend-1=［0.1 m， 0，1 m， 0.1 m， 0°， 0°， 0°］T，Xend-2=［0.1 m， 0，1 m， 0.1 m， 0°， 0°， 180°］T。利用圓滑過(guò)渡的梯形規(guī)劃插值末端運(yùn)動(dòng)，使得機(jī)器人末端沿直線從初始位姿運(yùn)動(dòng)至期望末端位姿，則可得機(jī)器人末端的期望運(yùn)動(dòng)如圖15所示。

由圖15（a）可知，分支1與分支2在相同時(shí)刻到達(dá)期望位姿。由圖15（b）和圖15（c）可知，分支1與分支2從目標(biāo)位置運(yùn)動(dòng)到期望位置時(shí)，軌跡平滑。

模塊化機(jī)器人中，分析拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述，可得各個(gè)運(yùn)動(dòng)分支中所設(shè)計(jì)的關(guān)節(jié)如表3所示。表3中，模塊單元編號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：編號(hào)1表示體心關(guān)節(jié)，編號(hào)2表示主動(dòng)半球關(guān)節(jié)，編號(hào)3表示被動(dòng)半球關(guān)節(jié)。

利用模塊化機(jī)器人速度級(jí)運(yùn)動(dòng)學(xué)通用建模，可依據(jù)圖15所對(duì)應(yīng)的模塊化機(jī)器人末端運(yùn)動(dòng)軌跡計(jì)算出模塊單元中各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖16所示。

圖16中，當(dāng)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡恒不變時(shí)，說(shuō)明對(duì)應(yīng)關(guān)節(jié)在當(dāng)前拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中并未參與模塊化機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)，同時(shí)這部分關(guān)節(jié)并未出現(xiàn)在表3中，進(jìn)一步反映出拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述的有效性。同時(shí)，圖16中與表3所對(duì)應(yīng)的各個(gè)關(guān)節(jié)，其關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡平滑。

跟蹤機(jī)器人末端的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖17所示。

從圖17（b）和圖17（c）中可以看出，最終機(jī)器人末端實(shí)際位姿為Xend-1=［0.099 9 m， 0.100 0 m， 0.100 4 m，-0.078 9°， 0.028 5°，-0.060 9°］T，Xend-2=［0.100 1 m， 0.099 4 m， 0.098 7 m， 0.161 6°，-0.123 8°， 179.952 7°］T。

分支1的末端位置誤差為0.4 mm，末端姿態(tài)誤差為0.080 2°;分支2的末端位置誤差為1.4 mm，末端姿態(tài)誤差為0.160 4°。模塊化機(jī)器人末端實(shí)際到達(dá)位姿與期望位姿間存在誤差，此部分誤差來(lái)源于運(yùn)動(dòng)學(xué)解算過(guò)程中的運(yùn)算誤差累計(jì)。從仿真結(jié)果可以看出，本文所提的模塊化機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)并行建模方法實(shí)現(xiàn)了以模塊化機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)通用數(shù)學(xué)描述為輸入的位置級(jí)與速度級(jí)運(yùn)動(dòng)學(xué)解算。圖14所示模塊化機(jī)器人共包含27個(gè)自由度，從應(yīng)用方式可以看出，所提運(yùn)動(dòng)學(xué)建模方法可解決現(xiàn)有部分建模方法需人工讀取運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)所帶來(lái)過(guò)程繁雜、建模周期長(zhǎng)等問(wèn)題，從而簡(jiǎn)化拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)變化的模塊化機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模。同時(shí)，所提拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述可應(yīng)用于具有相似結(jié)構(gòu)的模塊單元，并進(jìn)一步應(yīng)用于以此為輸入的模塊化機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模。

5 結(jié)束語(yǔ)

拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可動(dòng)態(tài)重構(gòu)的模塊化機(jī)器人對(duì)任務(wù)、環(huán)境具有較強(qiáng)適應(yīng)能力，其應(yīng)用、分析大多需以運(yùn)動(dòng)學(xué)建模、解算為基礎(chǔ)。而現(xiàn)有運(yùn)動(dòng)學(xué)建模方法因技術(shù)建模過(guò)程繁雜、自主性差難以適用拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)變化需求，同時(shí)現(xiàn)有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述方法因未包含連接方位關(guān)系這一特性而難以直觀、準(zhǔn)確描述模塊化機(jī)器人的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。為此，本文提出一種包含標(biāo)準(zhǔn)化流程的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)通用數(shù)學(xué)描述及運(yùn)動(dòng)學(xué)并行建模方法，以加速、簡(jiǎn)化模塊化機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模與解算。通過(guò)分析模塊單元結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立模塊單元的運(yùn)動(dòng)傳遞庫(kù);針對(duì)基于四元組矩陣的模塊化機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)通用數(shù)學(xué)描述所存在的“一對(duì)多”情況，設(shè)計(jì)了標(biāo)準(zhǔn)化流程;接著在模塊單元運(yùn)動(dòng)學(xué)模型基礎(chǔ)上，考慮包含多條運(yùn)動(dòng)分支的模塊化機(jī)器人分支間的耦合因素，推導(dǎo)了可適用于任意鏈?zhǔn)侥K化機(jī)器人的位置級(jí)運(yùn)動(dòng)學(xué)和基于分支空間雅可比矩陣的速度級(jí)運(yùn)動(dòng)學(xué);然后利用模塊單元所具有的運(yùn)算、存儲(chǔ)能力，設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)學(xué)并行建模流程，從而使模塊化機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)重構(gòu)后，可快速、自主完成運(yùn)動(dòng)建模與解算。通過(guò)模塊化機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)并行建模與常規(guī)串行建模耗時(shí)分析可以看出，所提建模方法理論上耗時(shí)更短，建模過(guò)程更加快速;通過(guò)仿真結(jié)果可以看出，所提建模方法以拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述為輸入，可以自主完成運(yùn)動(dòng)學(xué)建模與解算。

綜上，本文所提建模方法，以標(biāo)準(zhǔn)化后的模塊化機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)表征數(shù)學(xué)描述為輸入，其獲取方式與直接獲取模塊化機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)相比，更加簡(jiǎn)易;所提建模方法中，考慮到模塊單元具備獨(dú)立運(yùn)算與存儲(chǔ)能力，設(shè)計(jì)了運(yùn)動(dòng)學(xué)并行建模流程，與串行建模流程相比更加高效。

未來(lái)，將針對(duì)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述的自動(dòng)建立開(kāi)展研究，以進(jìn)一步提升模塊化機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模的自主性。與此同時(shí)，將在模塊化運(yùn)動(dòng)學(xué)模型基礎(chǔ)上，繼續(xù)致力于研究模塊化機(jī)器人的應(yīng)用問(wèn)題，如基于運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的模塊化機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)等。

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作者簡(jiǎn)介

費(fèi)軍廷（1996—），女，博士研究生，主要研究方向?yàn)榭臻g機(jī)器人、模塊化機(jī)器人、路徑規(guī)劃。

賈慶軒（1964—），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)榭臻g機(jī)器人、先進(jìn)機(jī)器人、模式識(shí)別、虛擬現(xiàn)實(shí)。

陳 鋼（1982—），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)榭臻g機(jī)器人、運(yùn)動(dòng)規(guī)劃與控制。