摘要：本研究聚焦于分形圖形的生成。利用矩陣的Kronecker乘積這一重要的工具，選取不同的矩陣，成功生成一系列獨特的分形圖形，這些圖形展示了自相似結(jié)構(gòu)，還關(guān)注到了復雜網(wǎng)絡(luò)中的網(wǎng)絡(luò)模體。這些模體是網(wǎng)絡(luò)中頻繁出現(xiàn)的局部連接模式，對網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和功能起著重要作用。利用模體的鄰接矩陣，通過Kronecker積，廣義Kro?necker積，Tracy-Singh積、Khatri-Rao積等特殊運算，探索了分形圖形的生成機制。這些特殊運算豐富了分形圖形的生成方式，而且在形態(tài)上更加多樣化。這些分形圖片在服裝設(shè)計領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。例如，將生成的圖片印在T恤上或裙子上，可以為服裝增添藝術(shù)魅力，展現(xiàn)數(shù)學的魅力和使用價值，傳播數(shù)學文化。

關(guān)鍵詞：復雜網(wǎng)絡(luò)；網(wǎng)絡(luò)模體；Kronecker積；分形圖形；服裝設(shè)計

中圖分類號：J523.2，TP399文獻標志碼：A文章編號：2095－414X（2024）06－0070－06

0引言

網(wǎng)絡(luò)模體表示在復雜網(wǎng)絡(luò)中頻繁出現(xiàn)的子圖連接模式，其出現(xiàn)次數(shù)高于隨機網(wǎng)絡(luò)中，2002年Milo等人[1]首次提出網(wǎng)絡(luò)模體的概念且提出檢測網(wǎng)絡(luò)模體的算法。Benson等人[2]開發(fā)了基于高階連接模式網(wǎng)絡(luò)聚類的通用框架。Yu等人[3]總結(jié)了網(wǎng)絡(luò)模體的定義和相關(guān)概念。Milo等人[4]分析了不同網(wǎng)絡(luò)中三節(jié)點模體和四節(jié)點模體的分布情況。

復雜網(wǎng)絡(luò)作為復雜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)化表示，具備網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的各種復雜性特征。Song等人[5]在分析各種實際網(wǎng)絡(luò)之后指出，許多實際網(wǎng)絡(luò)，包括萬維網(wǎng)、社會網(wǎng)絡(luò)等，在所有長度標度下具有自相似結(jié)構(gòu)。

分形圖案是分形幾何的研究領(lǐng)域，分形圖案因其整體與局部之間的自相似性，在圖案設(shè)計領(lǐng)域上具有重要的應(yīng)用價值，對于分形圖案的生成方法有很多，基于矩陣Kronecker積的算法是其中一種常見的方式[6]。

王小銘[7]對分形圖案構(gòu)成的藝術(shù)形式進行了研究。許君一等人[8]對Kronecker乘積在圖像處理中的應(yīng)用進行了介紹。劉勝久等人[9]對基于簡單初始矩陣的迭代Kronecker積生成的網(wǎng)絡(luò)進行了研究。劉勝久等人還對基于矩陣運算的超網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建進行了研究[10]。袁慧芬等人[6，11，12]對基于Kronecker積的分形圖形也做了一些研究。竇林賢對分形理論在服飾圖案設(shè)計方面的應(yīng)用進行了研究[13]。

Kronecker乘積經(jīng)常與其他非標準矩陣乘積一起使用，如Tracy-Singh、Khatri-Rao、Hadamard乘積等。分塊矩陣的Khatri-Rao積被認為是廣義Hadamard乘積。Tracy-Singh積也是基于分塊矩陣的廣義的Kro?necker乘積，并被Tracy和Singh應(yīng)用于計量經(jīng)濟學[14]。

本文利用Kronecker積等特殊運算生成分形圖形，這些圖形具有自相似性，可以在服裝例如t恤上面印上這些自相似圖案凸顯個性，或者將這些圖形通過刺繡的方式繡到裙子等衣服上面。

1相關(guān)概念和定義

定義1.1（矩陣的Kronecker積［15］）給定兩個實矩陣A=（ai，j）n×m，B=（bi，j）s×t，Kronecker乘積矩陣C=（cI，J）ns×mt定義為

注：

定義1.2

以Kronecker積為基礎(chǔ)，可定義另一種十分重要的運算規(guī)則，即Khatri-Rao積。

設(shè)分塊矩陣A=（Aij），Aij為第（i，j）個ni×mj塊矩陣，B=（Bkl），Bkl為第（k，l）個sk×tl塊矩陣（i=n，j=m，k=s，l=t）。

定義1.3（Tracy-Singh積[14]）上述分塊矩陣A，B的Tracy-Singh積定義為

A△B=（Aij△B）ij=（（Aij?Bkl）kl）ij。

其中，Aij?Bkl是nisk×mj tl矩陣。Aij△B是nis×mj t矩陣，A△B為ns×mt矩陣。

當A，B的每個塊矩陣為1行1列時，A△B即為Kronecker積。

定義1.4（Khatri-Rao積［14］）設(shè)矩陣A，B的分塊數(shù)相同，Khatri-Rao積定義為

A□B=（Aij?Bij）ij。

其中，Aij?Bij是nisi×mj tj矩陣。A□B是為isi×j tj矩陣。

當A，B的每個塊矩陣為1行1列時，A□B即為Hadamard積。

定義1.5［16，17］（廣義Kronecker積）給定兩個實矩陣A=（ai，j）n×m，B=（bi，j）s×t，“?”代表某種二元運算，A與B的廣義Kronecker乘積矩陣，記作A?*B定義為

其中，a?B為如下運算：

當“?”表示通常的乘法運算，廣義Kronecker乘積即為通常的Kronecker乘積A?B?！?”可以取如下運算：“mod”（模運算）、“∧”邏輯與運算、“∨”邏輯或運算、“xor”異或運算、“xnor”同或運算。

以上定義1.1-定義1.5為已知定義，本文作者對這些定義進行了拓展，提出了定義1.6-定義1.9。

定義1.6（廣義Kronecker冪）“?”代表某種二元運算，A為實矩陣。矩陣A的廣義Kronecker n階冪由下式定義：

上述定義中，“n階”代表對矩陣進行n次廣義Kronecker運算。

定義1.7（混合Kronecker冪）“?i”代表第i種二元運算，Ai為第i種實矩陣。矩陣的混合Kronecker n階冪是指如下情形：

（1）矩陣的混合A）=A1??A2??...??An+1，式中至少存在i，j，Ai≠Aj。

（2）運算的混合A）=A??1 A??2...??nA，式中至少存在i，j，?i與?j是兩種不同的運算。

（3）矩陣與運算均出現(xiàn)混合。A）=A1??1 A2??2...??nAn+1。

矩陣的Tracy-Singh（定義1.3）、Khatri-Rao積（定義1.4）將Kronecker積定義到分塊矩陣上，是特殊的Kronecker積。將定義中的Kronecker積運算推廣至一般的二元運算，可定義廣義的Tracy-Singh、Khatri-Rao積。

定義1.8（廣義Tracy-Singh積）“?”代表某種二元運算，設(shè)分塊矩陣A=（Aij），Aij為第（i，j）個ni×mj塊矩陣，B=（Bkl），Bkl為第（k，l）個sk×tl塊矩陣（i=n，j=m，k=s，l=t）。A，B的廣義Tracy-Singh積定義為

A△*B=（Aij△?B）ij=（（Aij??Bkl）kl）ij。

其中，Aij??Bkl是nisk×mj tl矩陣。Aij△?B是nis×mj t矩陣，A△?B為ns×mt矩陣。

定義1.9（廣義Khatri-Rao積）“?”代表某種二元運算，設(shè)矩陣A，B的分塊數(shù)相同，廣義Khatri-Rao積定義為

A□?B=（Aij??Bij）ij。

其中，Aij??Bij是nisi×mj tj矩陣。A□?B是為isi×j tj矩陣。

引理1［9］：設(shè)G=（V，E），G的Kronecker乘冪網(wǎng)絡(luò)G（n）的分形維數(shù)為其因子網(wǎng)絡(luò)G的邊數(shù)兩倍的對數(shù)值與節(jié)點數(shù)對數(shù)值的比值。

FD（G）=log 2|E|/log|V|。

G（n）為自相似網(wǎng)絡(luò)，分形維數(shù)只與初始網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點數(shù)和邊數(shù)有關(guān)，由多個節(jié)點數(shù)及邊數(shù)相等的初始網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)的鄰接矩陣通過Kronecker積運算而得到的網(wǎng)絡(luò)是準自相似網(wǎng)絡(luò)[9]。準自相似網(wǎng)絡(luò)的分形維數(shù)與對應(yīng)的自相似網(wǎng)絡(luò)的分形維數(shù)相等[9]。

2網(wǎng)絡(luò)模體介紹

網(wǎng)絡(luò)模體是復雜網(wǎng)絡(luò)理論的研究內(nèi)容。k的不同取值，對應(yīng)著無向模體的種類數(shù)也不同。圖1為三節(jié)點無向模體及其對應(yīng)的鄰接矩陣示意圖。圖中，T1為楔形模體；T2為三角形模體，為節(jié)點數(shù)最少的環(huán)型網(wǎng)絡(luò)。圖2為四節(jié)點無向模體及其對應(yīng)的鄰接矩陣示意圖。如圖2所示，6種類型的四節(jié)點模體分別用F1至F6表示。

3基于特殊矩陣運算的分形圖形

3.1基于Kronecker冪與廣義Kronecker冪的分形圖形

給定一種模體，在模體的鄰接矩陣的基礎(chǔ)上進行Kronecker冪與廣義Kronecker冪運算，擴張之后的矩陣是具有自相似特征的分形矩陣，將分形矩陣通過點陣圖的形式可視化，可生成具有不同圖案的分形圖形。

圖3為兩種3節(jié)點模體的鄰接矩陣經(jīng)Kronecker冪與廣義Kronecker冪運算之后的矩陣的點陣圖。初始模體的圖案差異使最終的圖案呈現(xiàn)出不同的特征。圖3中，（a）、（b）分別為T1、T2的5階Kronecker冪的點陣圖，（c）為T1的基于or運算的3階廣義Kronecker冪運算之后再取邏輯非運算的結(jié)果，（d）則為T2的基于xor運算的3階廣義Kronecker冪的點陣圖。由于T2基于or運算與xor運算的Kronecker冪的結(jié)果比較平凡，故沒有列出。

根據(jù)引理1，圖3（a）的分形維數(shù)

FD（G）=log 2|E|/log|V|=log（2×2）/log 3=log34。類似地，可以計算出圖3（b）的分形維數(shù)為log36。

圖4為4節(jié)點模體的5階Kronecker冪圖的點陣圖。

根據(jù)引理1，4節(jié)點無向模體F1、F2的Kronecker冪圖的分形維數(shù)相同，均為log46，F(xiàn)3、F4生成的Kroneck?er冪圖的分形維數(shù)均為log48。F5、F6的Kronecker冪圖的分形維數(shù)分別為log410和log412。

圖5為4節(jié)點模體基于xor運算的2階廣義Kro?necker冪的點陣圖。圖5中，（a）-（f）分別對應(yīng)模體F1-F6。

圖6則為模體F1-F4基于or運算的2階廣義Kro?necker冪的點陣圖。

3.2基于Kronecker與廣義Kronecker混合冪的分形圖形

模體F1與F2的節(jié)點數(shù)和邊數(shù)相同，都是4個節(jié)點，3條邊，進行Kronecker混合冪運算，可以作出準自相似網(wǎng)絡(luò)［9］。圖7（a）-（f）為F1與F2的Kronecker混合冪的點陣圖，列舉了部分結(jié)果，具體運算類型如圖所示。

根據(jù)引理1，圖7所示網(wǎng)絡(luò)的分形維數(shù)均為：

FD（G）=log 2|E|/log|V|=log（2×3）/log4=log46。

類似地，模體F3與F4均含有4個節(jié)點，4條邊，通過鄰接矩陣的混合冪運算，可以產(chǎn)生準自相似網(wǎng)絡(luò)，分形維數(shù)均為3 2，部分結(jié)果如圖8所示。

以4節(jié)點為例，選取不同的模體、不同的矩陣運算可生成不同的分形圖形。圖9為3階混合冪的點陣圖，具體模體及運算如圖題所示。

3.3基于Tracy-Singh積與Khatri-Rao積的分形圖形

利用矩陣的Tracy-Singh、Khatri-Rao積，以及廣義的Tracy-Singh、Khatri-Rao積，可以產(chǎn)生更多的分形矩陣，從而得到更多的分形圖形。圖10為基于Tracy-Singh積及廣義Tracy-Singh積的分形圖形示意圖。圖11為基于Khatri-Rao與廣義Khatri-Rao積的分形圖形示意圖。

圖中通過構(gòu)造分塊矩陣A=（|（V（V）F3（F1）V（V）F1（F3），B=（|（V（V）F6（F2）V（V）F2（F6），對A，B分別進行圖10（a）-（c），圖11（a）-（c）各子圖圖題所示的運算，得到如圖所示的分形圖形。

通過引入的Kronecker與廣義Kronecker混合冪運算、以及廣義Tracy-Singh積、廣義Khatri-Rao積運算，連同Kronecker冪與廣義Kronecker冪等特殊的矩陣運算，本節(jié)探討了基于模體的鄰接矩陣的特殊矩陣運算的分形圖形生成方法。通過將這些特殊運算作用到模體的鄰接矩陣上，得到具有局部與整體相似特征的分形矩陣，進而通過分形矩陣的可視化產(chǎn)生豐富多彩的分形圖形。

4分形圖形在服裝領(lǐng)域中的應(yīng)用

圖案對服裝起著裝飾作用，人們追求個性美，服飾圖案設(shè)計具有廣闊的前景。分形圖形的出現(xiàn)為設(shè)計師提供了一種全新的思路。

圖案，材料，色彩和款式是服裝設(shè)計的四大要素。分形圖案為服飾設(shè)計提供了豐富的素材［13］。分形圖形可以直接作為服飾圖案應(yīng)用于服裝設(shè)計中，并且由于大多數(shù)分形圖形以單獨紋樣呈現(xiàn)，設(shè)計師可以對它們進行二次設(shè)計，從而創(chuàng)造出二方連續(xù)紋樣或四方連續(xù)紋樣［13］。此外，設(shè)計師還可以從初始圖形中提取圖形元素，結(jié)合PS軟件，設(shè)計出多樣化的樣式。在進行設(shè)計時，設(shè)計師需要充分考慮服裝的款式和所使用的面料，以確定最佳的裝飾部位，從而確保服裝的整體效果達到最佳。

圖12所示為分形圖片在服裝領(lǐng)域的應(yīng)用，取生成分形圖形的局部或者整體，對服裝進行裝飾。

5結(jié)語

本文介紹了Kronecker積及廣義Kronecker積、Tra?cy-Singh積和廣義Tracy-Singh積、Khatri-Rao積和廣義Khatri-Rao積，以及廣義Kronecker冪和混合Kro?necker冪的定義，同時闡述了網(wǎng)絡(luò)模體的定義。通過運用這些矩陣運算以及基于3節(jié)點和4節(jié)點無向模體，生成了一系列具有自相似特性的分形圖形。最后，探討了這些分形圖形在服裝領(lǐng)域的具體應(yīng)用。此外，未來的研究可以進一步探索利用更高階模體，如5節(jié)點無向模體，基于特殊矩陣運算生成分形圖形。同時，也可以對這些生成分形圖形的方法進行比較，以評估哪種方法生成的圖形更好，更美觀，方法效率更高。除了服裝領(lǐng)域外，分形圖形在其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用前景，值得進一步的研究。

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A Study of Fractal Graphs Based on Network Motif and Kronecker Product

CHEN Gangzhu，WANG Gaoxia，BU Xiaotong

（College of Science，China Three Gorges University，Yichang Hubei 443002，China）

Abstract：This study focuses on the generation of fractal graphs.We utilize the Kronecker product of matrices as an important tool，and by selecting different matrices，we successfully generate a series of unique fractal graphs that exhibit self-similar structures and we also observe the network motifs in complex networks.These motifs are local connectivity patterns that occur frequently in networks and play an impor-tant role in the structure and function of the networks.We explore the generation mechanism of fractal graphs by using the adjacencymatri-ces of the motifs through special operations such as Kronecker product，generalized Kronecker product，Tracy-Singh product，Khatri-Rao product，etc.These special operations enrich the ways of generating fractal graphs and the generated graphs are more diversified in morpholo-gy.These fractal graphs have a wide range of application prospects in the field of clothing design.For example，printing the generated graphs on T-shirts or skirts can add artistic charm to the clothing，show the charm and use value of mathematics，and also disseminate the mathematical culture.

Keywords：complex network;network motif;Kronecker product;fractal graph;clothing design

（責任編輯：李強）