［摘 要］ “地下水運動方程”講述各類地下水運動現(xiàn)象對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型及其解析求解過程。課程具有很強的學(xué)科交叉特色，學(xué)生在學(xué)習(xí)和理解時對一些抽象的概念及對應(yīng)的數(shù)學(xué)表達常常表現(xiàn)出困難。介紹案例教學(xué)法在改進該課程教學(xué)效果方面的經(jīng)驗，探討不同形式案例如何發(fā)揮“引導(dǎo)式”教學(xué)形式的積極作用，針對部分抽象概念和模型，探索利用形象化實物道具輔助案例教學(xué)的方法。教學(xué)實踐表明：案例式教學(xué)法充分體現(xiàn)了理論結(jié)合實踐的思想，由表及里，由淺入深，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高了學(xué)生從具體到抽象的思維能力和分析問題、解決問題的能力。

［關(guān)鍵詞］ 地下水運動方程；引導(dǎo)式教學(xué)；案例教學(xué)；道具設(shè)計

［基金項目］ 2021年度中國地質(zhì)大學(xué)（北京）課程思政教學(xué)改革項目“地下水運動方程”（KCSZ202117）

［作者簡介］ 李 娜（1981—），女，陜西漢中人，博士，中國地質(zhì)大學(xué)（北京）水資源與環(huán)境學(xué)院副教授，主要從事飽和-非飽和帶水文過程模擬研究；韓鵬飛（1988—），男，河北唐山人，博士，中國地質(zhì)大學(xué)（北京）水資源與環(huán)境學(xué)院副教授，主要從事地下水循環(huán)研究；王旭升（1974—），男，江西高安人，博士，中國地質(zhì)大學(xué)（北京）水資源與環(huán)境學(xué)院教授，主要從事地下水動力學(xué)研究。

［中圖分類號］ G642.0 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1674-9324（2024）37-0093-04 ［收稿日期］ 2024-03-26

引言

“地下水運動方程”是中國地質(zhì)大學(xué)（北京）為地下水科學(xué)與工程專業(yè)和水文水資源專業(yè)的學(xué)生開設(shè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課。課程內(nèi)容的目標是把數(shù)學(xué)物理方程和積分變換等數(shù)學(xué)知識與地下水運動理論進行有效銜接，有針對性地將數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到地下水運動專業(yè)問題中。這不僅有助于學(xué)生掌握地下水運動方程的求解過程，還能讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識在解決專業(yè)問題中的應(yīng)用和作用［1-2］。本課程內(nèi)容呈現(xiàn)明顯的學(xué)科交叉，并涉及大量抽象概念和理論，教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在理解和掌握這些知識的時候常遇到困難。案例教學(xué)法以引導(dǎo)式教學(xué)為主，是一種開放互動式教學(xué)方法，通過設(shè)置教學(xué)案例，引導(dǎo)學(xué)生參與分析討論，培養(yǎng)學(xué)生分析情境的能力，這種教學(xué)方式在許多學(xué)科受到關(guān)注并取得了很好的實踐效果［3-7］。案例教學(xué)作為有效的啟發(fā)式教學(xué)方式，是提高本課程教學(xué)實踐效果的一種積極探索，在教學(xué)實踐中已經(jīng)取得了很好的成效。

本文首先基于近年來被廣泛接受和認可的工程認證理念，完善了“地下水運動方程”課程的教學(xué)目標和內(nèi)容［8-9］。主要措施包括：調(diào)研相關(guān)課程，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容的量和度，通過分組討論、素材收集、野外調(diào)研等方式進行教學(xué)內(nèi)容和方式的改革。這些措施旨在嘗試知識傳授與價值引領(lǐng)相結(jié)合，通過培養(yǎng)大學(xué)生自主學(xué)習(xí)、理論聯(lián)系實際和開拓創(chuàng)新的能力，從而不斷提高該課程的教學(xué)效果。針對教學(xué)內(nèi)容中的關(guān)鍵知識點，闡述并列舉課堂教學(xué)中案例教學(xué)的設(shè)置方案，闡述理論模型建立的背景，并將理論模型應(yīng)用到實際案例中，從而實現(xiàn)從現(xiàn)實到理論，再從理論回歸現(xiàn)實的教學(xué)方式。針對部分抽象的概念和物理模型，通過調(diào)研和討論，制作生動形象的道具以輔助教學(xué)。通過設(shè)置模擬課堂，并對學(xué)生進行調(diào)研，尋求更為有針對性、合理化的教學(xué)方式，從而提高教與學(xué)的互動。

一、完善教學(xué)目標和內(nèi)容

地下水運動理論在某些社會領(lǐng)域及工程領(lǐng)域中具有重要作用?！暗叵滤\動方程”是地下水運動理論的專業(yè)基礎(chǔ)課程之一，內(nèi)容涉及地下水運動的基本概念、數(shù)學(xué)模型及其求解等，為后續(xù)“地下水動力學(xué)”等專業(yè)課程的學(xué)習(xí)打下重要基礎(chǔ)?；诠こ探逃睦砟睿詫W(xué)生為主體，作者對教學(xué)內(nèi)容和目標進行了相應(yīng)的修訂和完善，力求培養(yǎng)能夠解決實際工程問題的人才。通過圍繞課程設(shè)置、實踐環(huán)節(jié)、質(zhì)量評價進行一系列內(nèi)容的改進和案例教學(xué)設(shè)置，使得教學(xué)方式更豐富，教學(xué)內(nèi)容更生動，教學(xué)效果更具啟發(fā)性。在新的教學(xué)目標中增加了以下方面知識：掌握常用特殊函數(shù)在地下水運動偏微分方程解析中的應(yīng)用，了解分離變量法與傅里葉級數(shù)、傅里葉變換的關(guān)系，熟悉求解地下水非穩(wěn)定流方程的各類積分變換法及其適用條件，掌握地下水運動非線性方程的線性化技術(shù)，了解地下水溶質(zhì)運移的對流彌散方程及其解析方法，了解非均質(zhì)和隨機性地下水流問題的基本描述方法。在學(xué)習(xí)和掌握這些專業(yè)知識的同時，筆者希望學(xué)生能夠系統(tǒng)性地掌握并建立地下水運動模型的基本理論和方法；掌握一定的問題分析和應(yīng)用能力，理解從具體的物理問題到抽象的數(shù)學(xué)模型的概化和推演；具備運用地下水運動方程刻畫實際水流問題的技能，具有一定的自主研究能力，能夠解決實際環(huán)境中的相關(guān)工程問題。

二、設(shè)置案例教學(xué)

基于上述教學(xué)內(nèi)容，在兼顧知識目標和能力目標的前提下，設(shè)置對應(yīng)知識點的案例教學(xué)。案例教學(xué)以實例和道具為主要手段，其中實例教學(xué)側(cè)重理論聯(lián)系實際，道具教學(xué)側(cè)重知識引導(dǎo)、將抽象概念轉(zhuǎn)換為形象具體的實物表征。下文介紹了幾個情景教學(xué)設(shè)置的例子，包括實例教學(xué)和道具教學(xué)。

（一）實例教學(xué)

1.學(xué)科發(fā)展史介紹。本課程中的緒論和結(jié)課總結(jié)會首尾呼應(yīng)地講述地下水運動的學(xué)科發(fā)展史。學(xué)科發(fā)展史展示了人類對于地下水運動規(guī)律的認識過程。從最初的定性描述到后來的定量分析，從穩(wěn)定流到非穩(wěn)定流的研究，這一過程反映了科學(xué)研究的不斷進步和發(fā)展［10］。通過了解這一過程，激發(fā)學(xué)生對“地下水動力學(xué)”課程的興趣和熱情，可以培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維和探索精神。特別是學(xué)生了解到前人在這一領(lǐng)域所做出的杰出貢獻和取得的重大成果時，他們會受到啟發(fā)和激勵，從而更加積極地投入學(xué)習(xí)和研究中。同時，通過了解學(xué)科發(fā)展史中的重要節(jié)點，學(xué)生可以深入理解地下水運動的基本概念和原理，這些概念和原理是構(gòu)建地下水動力學(xué)理論體系的基石，對于后續(xù)的學(xué)習(xí)和研究至關(guān)重要。此外，地下水運動的學(xué)科發(fā)展史還揭示了不同歷史時期的社會需求和科技進步對學(xué)科發(fā)展的影響。

這一實例教學(xué)主要介紹學(xué)科發(fā)展過程中的標志性事件及關(guān)鍵歷史人物，主要包括：1856年，Henry Darcy通過大量的滲透試驗得出了在層流條件下，土中水的滲流速度與能量損失之間的關(guān)系的滲流規(guī)律，即著名的達西定律。這是定量認識地下水運動的開始。1863年，J. Dupuit以Darcy定律為基礎(chǔ)，研究了地下水一維穩(wěn)定運動和水井的二維穩(wěn)定運動規(guī)律，提出了地下水穩(wěn)定井流公式。1935年，Theis利用地下水流動與熱傳導(dǎo)的相似性，得出了地下水非穩(wěn)定井流的方程——Theis公式。這一成果開創(chuàng)了現(xiàn)代地下水運動理論的新紀元。1940年，Jacob從數(shù)學(xué)物理的角度建立了承壓含水層的地下水非穩(wěn)定流偏微分方程。通過對微分方程的求解，重新獲得了Theis公式。20世紀40年代至60年代，學(xué)者們開始對盆地尺度地下水運動規(guī)律進行研究。20世紀60年代后期，隨著計算技術(shù)的進步，人們開始把數(shù)值模擬應(yīng)用到地下水中。

這個環(huán)節(jié)安排學(xué)生搜集科學(xué)家的生平事跡和對學(xué)科的主要貢獻，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生求真務(wù)實和與時俱進的創(chuàng)新精神，同時可以加深其對地下水運動理論發(fā)展歷程中關(guān)鍵模型和公式的了解，增強其對學(xué)科發(fā)展的理解，使其體會到從簡到難、從實踐到理論的思維過程。

2.自貢鹽井。根據(jù)埋藏條件不同，地下水被劃分為上層滯水、潛水和承壓水，而學(xué)生只能通過一些模型示意圖去想象和理解埋藏于地下、賦存地下水的含水層系統(tǒng)。為了能夠讓學(xué)生進一步深入理解其中的水流過程和原理，這里以自貢鹽井作為一個情景教學(xué)來幫助學(xué)生理解地下水的形成、分布、運動規(guī)律以及其與地表水、大氣水之間的相互作用。自貢地區(qū)的鹽井以其深厚的歷史和技術(shù)成就著稱，不僅為古代鹽業(yè)生產(chǎn)提供了豐富的資源，也為現(xiàn)代地質(zhì)學(xué)研究提供了寶貴的案例。承壓水是自貢鹽井形成的關(guān)鍵因素，由于地質(zhì)構(gòu)造的特殊性，承壓水得以在特定地層中聚集，這些承壓水富含鹽分，當鹽井穿透隔水層，承壓水便會涌出，進而形成鹽泉。

在這個案例中，通過分析自流井的產(chǎn)生條件和原理，讓學(xué)生結(jié)合直觀的水流現(xiàn)象去分析背后的原理，從而加深對地下含水層水流系統(tǒng)的理解，為進一步定量化研究做準備。另外，在自流井理論學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)生自行搜尋了有關(guān)自貢鹽井的成因、開采和發(fā)展歷程，進一步了解了理論應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)的過程。同時，學(xué)生通過對比中外水力學(xué)科學(xué)發(fā)展的歷程，也了解到我國歷史悠久的科學(xué)發(fā)展和傳承。

3.兩條河流間的地下分水嶺。地下水穩(wěn)定流是認識地下水流流動過程的基礎(chǔ)，也是進一步學(xué)習(xí)非穩(wěn)定流模型及其應(yīng)用的前提。而只進行推導(dǎo)數(shù)學(xué)模型并求解對應(yīng)的微分方程，學(xué)生的感覺是僅流于表面的數(shù)學(xué)問題，并不能體會實際物理背景。我們選擇河間地塊分水嶺問題進行實例教學(xué)。河間地塊分水嶺對地下水的管理很重要，可用于確定地下水污染的潛在來源以及地下水資源的最佳開發(fā)方式。它是地質(zhì)構(gòu)造、地形地貌和地下水運動規(guī)律共同作用的結(jié)果，是研究地下水運動規(guī)律和地質(zhì)環(huán)境的重要對象。讓學(xué)生認識并提取邊界條件，然后再結(jié)合穩(wěn)定流方程建立模型并進行求解，最后通過繪制水位圖識別地下水位高低來確定實際分水嶺位置。

在實際案例設(shè)置中，假定一個均質(zhì)各向同性的潛水含水層接受大氣降水入滲補給，地形對稱且兩條河流的水位呈現(xiàn)不同的高程差。讓學(xué)生認識并提取邊界條件，然后再結(jié)合穩(wěn)定流方程來建立模型并進行求解，最后通過繪制水位圖識別地下水位高低。學(xué)生通過建模計算兩河間的潛水面分布情況與地下分水嶺所處的位置，并分析不同位置——兩河間的分水嶺地帶、河流附近，地下水流動的方向以及流線的分布。針對這一實際問題，通過整個過程的推演和理解，讓學(xué)生逐漸體會到實際物理問題的建模過程及其中數(shù)學(xué)方法的作用。

4.傅里葉變換。有一種說法：工科生學(xué)好傅里葉變換是根基，可見傅里葉變換在工科中的重要性。傅里葉變換是一種線性積分變換，用于函數(shù)在時域和頻域之間的變換，其在物理學(xué)和工程學(xué)中有許多應(yīng)用?！暗叵滤\動方程”中講解地下水非穩(wěn)定流模型和求解時，積分變換是核心內(nèi)容。課程中的重點內(nèi)容“拉普拉斯變換”也是在傅里葉變換的基礎(chǔ)上得到的，因此理解傅里葉變換的原理和內(nèi)涵有助于理解積分變換在地下水運動方程求解中的意義和應(yīng)用。然而許多教材對傅里葉變換的講解極為數(shù)學(xué)化，使得工科學(xué)生理解起來比較吃力。

這里通過查閱國外教材及網(wǎng)絡(luò)資源，引出傅里葉變換的由來及其在工科領(lǐng)域的應(yīng)用，然后引導(dǎo)學(xué)生一起利用MATLAB軟件把一些實例函數(shù)的時域、頻域?qū)?yīng)的圖像表達出來，給學(xué)生以直觀的印象，幫助學(xué)生理解傅里葉變換的實質(zhì)和意義。例如，選擇經(jīng)典的二維矩形函數(shù)，讓學(xué)生編寫程序畫出原函數(shù)以及對應(yīng)的傅里葉變換后的函數(shù)，從而直觀地理解傅里葉變換前后函數(shù)的特征。

（二）道具教學(xué)

1.滲透張量的講解。滲透張量是描述流體在多孔介質(zhì)中流動的重要參數(shù)，它可用于模擬和預(yù)測流體流動的行為。由于其抽象的物理概念以及復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，滲透張量一直是學(xué)生難以理解和接受的知識點。在三維空間中，地下含水層的滲透性用滲透張量來度量。在各向同性介質(zhì)中，滲透張量的各分量相等，因而為球形張量，這意味著它具有相同的對角分量，可以用一個標量來表示。在各向異性介質(zhì)中，滲透張量是各向異性的，這意味著它具有不同的對角分量。這種情形下，滲透張量為橢球形，具有3個主方向。在一般情形下，即當滲透張量的3個主方向與正交坐標系不平行時，滲透張量將會有9個分量，涉及坐標軸轉(zhuǎn)換，這個地方往往是學(xué)生難以理解的。為了使學(xué)生更加形象直觀地接受概念滲透張量，這里設(shè)計了一組道具來展示三維張量的概念，從而啟發(fā)學(xué)生理解一般情形下滲透張量的表征及坐標間的轉(zhuǎn)換。道具設(shè)計如圖1所示。

2.不同介質(zhì)滲透性能對比。滲透是對地下含水層水分傳輸?shù)囊环N抽象描述和概化，而含水層的固相機構(gòu)由于顆粒組成和排列的不同使得滲透性能有很大差別。影響滲透性的因素主要有孔隙度、孔徑、流體的黏度、介質(zhì)的溫度等。在實際應(yīng)用中，可以通過改變介質(zhì)的孔隙度、孔徑和流體的性質(zhì)來提高滲透性。

本案例主要針對介質(zhì)的孔隙度、顆粒大小、形狀、排列方式以及顆粒間的連通性方面進行砂土、粗壤土和細壤土三種介質(zhì)滲透性的直觀對比。其中砂土的顆粒較大，孔隙度較高，顆粒間的連通性較好，因此其滲透性能通常較好；而壤土的顆粒細小，孔隙度低，顆粒間的連通性差，且其中含量較高的黏土顆粒表面常帶有電荷，能吸附大量水分，形成一層薄水膜，阻礙水的流動。為了直觀對比水分在不同粗細的多孔介質(zhì)中的滲透速率，設(shè)計了演示裝置，進行現(xiàn)場觀察。

結(jié)語

本文通過完善課堂教學(xué)內(nèi)容、設(shè)計實例教學(xué)和研發(fā)教學(xué)道具等方式，并結(jié)合教學(xué)實踐和對學(xué)生進行調(diào)研，尋求更為有針對性、合理化的教學(xué)方式，提高教與學(xué)的互動。通過講述地下水運動的學(xué)科發(fā)展史、自貢鹽井的歷史輔助學(xué)生深入理解地下水動力學(xué)的基本概念和原理，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維和探索精神，揭示社會需求和科技進步對學(xué)科發(fā)展的影響，激發(fā)學(xué)生對課程的興趣和熱情。通過分水嶺計算和傅里葉變換的實例教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)方法在專業(yè)學(xué)科中的應(yīng)用；通過設(shè)計道具讓學(xué)生深入理解滲透過程以及滲透張量的概念。綜上，啟發(fā)式、互動式的案例教學(xué)在緩解課程難度、幫助學(xué)生加深理解和掌握“地下水運動方程”的課程內(nèi)容起到了積極作用，培養(yǎng)了學(xué)生從具體到抽象、從理論到實踐、從簡單到復(fù)雜的思辨和理解能力。

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Case-based Teaching in the Course of Equations of Subsurface Hydraulics

LI Na， HAN Peng-fei， WANG Xu-sheng

（School of Water Resources and Environment， China University of Geosciences，

Beijing 100083， China）

Abstract： The course of equations of subsurface hydraulics covers various mathematic models and the related analytical solutions for the subsurface water flow. The course exhibits significant interactions between different subjects， and the complex and abstract contents are difficult for students to catch and understand. As an inductive teaching method， case-based teaching plays effective and important role to help students during their study. Besides， props design could be powerful auxiliary tool to guide students to acquire abstract knowledge because their vivid characters. The practical experience illustrates that the use of case-based teaching and props design reflects the thoughts of combination of theory and practice， stimulates the students’ interest in learning， and can play an important role to help students improve the skill to solve the real-world problems.

Key words： equations of subsurface hydraulics; inductive teaching method; case-based teaching; props design