摘 要：以高校校園內(nèi)學(xué)生的移動(dòng)支付消費(fèi)記錄為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，利用bi-means聚類算法對(duì)其處理并進(jìn)行分析，挖掘出這些學(xué)生消費(fèi)水平背后的隱藏信息。通過改進(jìn)歐式距離、k-means和bi-kmeans，應(yīng)用于清洗過后的消費(fèi)記錄，劃分出不同層次的學(xué)生消費(fèi)群體，以散點(diǎn)圖的直觀方式呈現(xiàn)。實(shí)踐表明，改進(jìn)后的bi-means算法結(jié)果的劃分更合理，可向?qū)W校資助部門提供參考。

關(guān)鍵詞：bi-kmeans；消費(fèi)水平；聚類算法；數(shù)據(jù)挖掘；歐式距離

中圖分類號(hào)：TP 312 " " " " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

高校學(xué)生采用現(xiàn)代移動(dòng)支付的方法，在校內(nèi)的消費(fèi)行為都會(huì)留下詳細(xì)記錄。從這些詳細(xì)的記錄中分析每個(gè)學(xué)生的消費(fèi)水平。本文在傳統(tǒng)bi-kmeans聚類算法和傳統(tǒng)歐式距離的基礎(chǔ)上，提出改進(jìn)方法，應(yīng)用于學(xué)生消費(fèi)水平分析，得出結(jié)論，并與傳統(tǒng)聚類方法的結(jié)論進(jìn)行比較。

1 研究現(xiàn)狀

1.1 k-means聚類算法

1976年，MacQueen基于前人的研究提出了k-means聚類算法。其中心思想為給定數(shù)據(jù)集劃分為k個(gè)簇，每個(gè)簇的質(zhì)心由全部點(diǎn)的中心來決定。中心是簇中全部點(diǎn)的平均值，稱為k均值，k個(gè)初始值由用戶指定。k-means聚類算法的優(yōu)點(diǎn)為原理簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)并且接近線性的時(shí)間復(fù)雜度。缺點(diǎn)為對(duì)k值的設(shè)置依賴性較高，還可能限于局部最優(yōu)。

1.2 bi-kmeans聚類算法

bi-kmeans的基本思想與k-means一致，區(qū)別在于k值是從1開始迭代，逐步遞增，直到達(dá)到期望值為止。在每次遞增的過程中，選擇可以最大程度地降低平方和誤差SSE的簇，將其一分為二，不斷重復(fù)。

因?yàn)椴恍枰o定k個(gè)初始質(zhì)心，所以可以避免給定初始質(zhì)心的不合理性。k值是從1緩慢增長(zhǎng)到預(yù)期值，在每次迭代的過程中，新的質(zhì)心和新的簇都是從被分裂簇一分為二產(chǎn)生的。這樣類似細(xì)胞一分二的最簡(jiǎn)單分裂，不會(huì)存在其他分裂方案。

1.3 國(guó)內(nèi)研究

應(yīng)用范圍最廣的k-means聚類算法已經(jīng)廣泛適用于數(shù)據(jù)挖掘任務(wù)中。一卡通系統(tǒng)已經(jīng)在全國(guó)高校大范圍推廣，該系統(tǒng)專用于收集高校學(xué)生這個(gè)特定人群的詳細(xì)消費(fèi)記錄，已經(jīng)有多人嘗試用k-means結(jié)合一卡通的模式進(jìn)行數(shù)據(jù)挖掘。龔黎旰等[1]以校園一卡通消費(fèi)記錄為數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，利用大數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)對(duì)其進(jìn)行分析。柴政等[2]利用數(shù)據(jù)挖掘方法中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析校園一卡通消費(fèi)記錄，從客觀的角度評(píng)判學(xué)生的貧困程度及精準(zhǔn)地劃分貧困群體。

2 改進(jìn)算法

bi-kmeans算法來源于k-means算法，而k-means算法又基于歐式距離。傳統(tǒng)的3個(gè)算法不能簡(jiǎn)單套用，須根據(jù)實(shí)際環(huán)境進(jìn)行改進(jìn)。

2.1 改進(jìn)歐式距離

歐式距離全稱為歐幾里得距離，其中心思想為以向量為基準(zhǔn)，衡量多維空間中任意兩點(diǎn)間的絕對(duì)距離，即兩點(diǎn)之間的最短直線距離，如公式（1）所示。

（1）

式中：x 、y 為多維空間中的任意兩點(diǎn)；xi和yi分別為兩點(diǎn)各自的各向量； d（x，y）為歐式距離。

當(dāng)衡量真實(shí)的多維空間中的兩點(diǎn)距離時(shí)，歐式距離非常有效。當(dāng)應(yīng)用于抽象概念的空間中兩點(diǎn)距離時(shí)，歐式距離會(huì)暴露出一定的弊端。當(dāng)其中某些向量顯著大于其他向量甚至差距大到數(shù)量級(jí)差異時(shí)，歐式距離的結(jié)果不再是由各向量共同決定的。其決定因素只由數(shù)量級(jí)最大的向量構(gòu)成，次數(shù)量級(jí)向量和小數(shù)量級(jí)向量的影響因子大幅度縮小，幾乎不起作用。

令各向量回歸到同一個(gè)數(shù)量級(jí)別即可避免這個(gè)弊端，比較有效且簡(jiǎn)潔的解決辦法是縮小較大向量的數(shù)量級(jí)或增加較小向量的數(shù)量級(jí)。因?yàn)檫@樣可以從源頭減少整個(gè)算法過程的計(jì)算量，所以縮小較大向量的數(shù)量級(jí)更有效，在歐式距離中為各向量增加權(quán)重，稱為加權(quán)歐式距離，如公式（2）所示。

（2）

式中：wi為各向量的權(quán)重，其余標(biāo)識(shí)與公式（1）完全一致。

2.2 改進(jìn)k-means

k-means也稱為k均值，其是最簡(jiǎn)單的聚類算法，具有通俗易懂、易于實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)。其工作原理如下。

步驟一：確定k個(gè)初始點(diǎn)作為初始質(zhì)心。這k個(gè)初始質(zhì)心不必要求為數(shù)據(jù)集的真實(shí)點(diǎn)，可以是數(shù)據(jù)集范圍內(nèi)的任意點(diǎn)。確定方法可以是隨機(jī)，也可以是人工。步驟二： 根據(jù)現(xiàn)有的質(zhì)心集，將數(shù)據(jù)集中每個(gè)點(diǎn)分配到1個(gè)合適的簇里。其方法是計(jì)算每個(gè)點(diǎn)與每個(gè)質(zhì)心的距離，為每個(gè)點(diǎn)找到距離最近的質(zhì)心，即可分配到該質(zhì)心對(duì)應(yīng)的簇里。步驟三：分配完成后，重新確定每個(gè)簇里的質(zhì)心，即該簇的質(zhì)心更新為該簇里全部點(diǎn)的平均值。步驟四：重復(fù)步驟二、步驟三，直到質(zhì)心集停止更新為止。此時(shí)，數(shù)據(jù)集中的全部點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的質(zhì)心距離都為最近。上述流程可以滿足大多數(shù)普通場(chǎng)景的要求，但是當(dāng)聚類結(jié)果以圖形等方式展現(xiàn)時(shí)，質(zhì)心集會(huì)變得雜亂無章。此時(shí)，需要在運(yùn)算過程中加入排序標(biāo)準(zhǔn)，使質(zhì)心集依序排列，同時(shí)各簇也需要相應(yīng)調(diào)整順序，稱作有序k-means。具體偽代碼如下。

隨機(jī)創(chuàng)建k個(gè)數(shù)據(jù)集范圍內(nèi)的點(diǎn)并排序，作為初始質(zhì)心。

While任意數(shù)據(jù)點(diǎn)改變簇分配結(jié)果

｛ for遍歷數(shù)據(jù)集里的每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)

｛ for遍歷每個(gè)質(zhì)心

｛ 計(jì)算當(dāng)前數(shù)據(jù)點(diǎn)與當(dāng)前質(zhì)心的加權(quán)歐式距離

｝

依據(jù)最近原則，重新分配每個(gè)點(diǎn)到新簇

｝

for遍歷每個(gè)簇

依據(jù)當(dāng)前簇里的全部點(diǎn)，更新當(dāng)前質(zhì)心

｝

2.3 改進(jìn)bi-kmeans

bi-kmeans的思想建立在傳統(tǒng)k-means的基礎(chǔ)上，每次只做二分化解，直到滿足指定簇?cái)?shù)目為止。其步驟有以下2個(gè)。首先，將全部數(shù)據(jù)點(diǎn)視為一個(gè)簇，將當(dāng)前簇一分為二。其次，選擇其中一個(gè)簇再一分為二，選擇的標(biāo)準(zhǔn)是劃分該簇以最大程度地減少平方和誤差SSE的值。重復(fù)這個(gè)劃分過程，直到簇的數(shù)目達(dá)到k為止。當(dāng)傳統(tǒng)的bi-kmeans算法每次一分為二時(shí)，都是在質(zhì)心序列尾部附加新質(zhì)心。當(dāng)輸出方式有圖形要求時(shí)，也會(huì)面臨與k-means一樣的問題。改進(jìn)算法是在每次劃分的過程中根據(jù)質(zhì)心的排序標(biāo)準(zhǔn)，將新質(zhì)心插入質(zhì)心序列中，稱作有序bi-kmeans。偽代碼如下。

全部點(diǎn)視作一個(gè)簇，即原始簇

while簇的數(shù)目lt;k

｛ for遍歷每個(gè)簇

｛ 調(diào)用有序k-means，計(jì)算當(dāng)前簇二分后的總誤差

找到目標(biāo)簇，并保留二分后的結(jié)果

｝

在目標(biāo)簇對(duì)應(yīng)的目標(biāo)質(zhì)點(diǎn)后插入一個(gè)位置，將目標(biāo)質(zhì)點(diǎn)及后面一個(gè)位置更新為二分后的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)

目標(biāo)簇劃分為兩個(gè)新簇

｝

3 分析過程

3.1 數(shù)據(jù)來源

某高校采用現(xiàn)階段流行的移動(dòng)支付方式，校園內(nèi)部遍布移動(dòng)支付終端。消費(fèi)者可以靈活選擇支付方式，包括現(xiàn)金支付和移動(dòng)支付。由于移動(dòng)支付具有便利性，幾乎無人選擇傳統(tǒng)的現(xiàn)金支付。就餐環(huán)境已經(jīng)徹底拋棄現(xiàn)金支付，完全采用移動(dòng)支付。

當(dāng)每天學(xué)生在消費(fèi)時(shí)，與支付終端的交互記錄源源不斷匯總到后臺(tái)服務(wù)器上，形成詳細(xì)的交易數(shù)據(jù)庫。在這個(gè)消費(fèi)數(shù)據(jù)庫中，包括有時(shí)間、地點(diǎn)以及窗口等信息。通過對(duì)這些記錄進(jìn)行數(shù)據(jù)挖掘，可以得到預(yù)期的聚類結(jié)果，可以分析出學(xué)生的消費(fèi)習(xí)慣、消費(fèi)水平等潛在信息。消費(fèi)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

3.2 實(shí)踐設(shè)計(jì)

全體學(xué)生消費(fèi)記錄按照時(shí)間段為標(biāo)準(zhǔn)，選取該時(shí)間段內(nèi)的記錄作為樣本，每個(gè)學(xué)生是一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)p，總共有n個(gè)學(xué)生，這些樣本全體組成數(shù)據(jù)集P，有pi∈P，i∈[1，n]。傳統(tǒng)的k-means算法需要給出2個(gè)初始參數(shù)：初始質(zhì)心集Ce和聚類數(shù)目k。質(zhì)心集Ce中有k個(gè)質(zhì)心ce，即cej∈Ce，j∈[1，k]。

根據(jù)質(zhì)心集Ce劃分出來的簇Cl，有CljP，j∈[1，k]。Clj的長(zhǎng)度為nj，有nj∈[1，n]，j∈[1，k]。在迭代的過程中，Ce和Cl都處于動(dòng)態(tài)的狀態(tài)。劃分簇Cl的標(biāo)準(zhǔn)為加權(quán)歐式距離，如公式（2）所示，即簇中每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)p到相應(yīng)質(zhì)心ce的距離為最近。

3.3 數(shù)據(jù)格式

全部的消費(fèi)記錄是直接進(jìn)入數(shù)據(jù)庫，以最原始的格式存儲(chǔ)（如圖1所示）。其優(yōu)點(diǎn)是保留了數(shù)據(jù)最初始的狀態(tài)，各項(xiàng)目可以根據(jù)自身的需求提取和處理原始數(shù)據(jù)。同時(shí)，缺點(diǎn)在于數(shù)據(jù)的原始格式不能完全滿足各項(xiàng)目的特定要求。因此要經(jīng)歷數(shù)據(jù)的清洗階段，包括數(shù)據(jù)篩選、數(shù)據(jù)集成、類型轉(zhuǎn)換和數(shù)據(jù)歸約，然后才能進(jìn)行數(shù)據(jù)的聚類。數(shù)據(jù)清洗后的格式見表1。表中為有效字段，無效字段已省略。

3.4 實(shí)踐流程

根據(jù)上述的數(shù)據(jù)來源、數(shù)據(jù)格式和實(shí)踐設(shè)計(jì)，整個(gè)實(shí)踐過程分為實(shí)踐有序k-means和實(shí)踐有序bi-kmeans。

3.4.1 實(shí)踐有序k-means

步驟一：利用質(zhì)心隨機(jī)函數(shù)，在數(shù)據(jù)集P范圍內(nèi)隨機(jī)生成k個(gè)質(zhì)心ce，有公式（3）成立。生成后對(duì)全部質(zhì)心ce排序，組成質(zhì)心集Ce。

cej≤max（P） " " " " " " " " " " " " " （3）

式中：max（P）為數(shù)據(jù)集P的范圍，即數(shù)據(jù)集P各向量的最大值。

步驟二：對(duì)于每個(gè)點(diǎn)p來說，利用加權(quán)歐式距離公式（2），找到與之匹配的距離最近質(zhì)心ce，如公式（4）所示。

min（d（pi，ce））=d（pi，cej）lt;d（pi，cel） " " " " （4）

式中：d（pi，ce）為數(shù)據(jù)點(diǎn)pi與質(zhì)心ce間的距離；d（pi，cej）為數(shù)據(jù)點(diǎn)pi與質(zhì)心cej間的距離；d（pi，cel）為數(shù)據(jù)點(diǎn)pi與質(zhì)心cel間的距離，j，l∈[1，k]，并且j≠l。質(zhì)心cej是距離點(diǎn)pi最近的質(zhì)心；cel是非cej的其他任意質(zhì)心。該步驟更新了每個(gè)簇的劃分，即更新每個(gè)簇里的點(diǎn)成員。

步驟三：每個(gè)簇更新后，更新簇里的質(zhì)心，如公式（5）所示。

（5）

式中：nj為當(dāng)前簇的長(zhǎng)度，有j∈[1，k]，nj∈[1，n]。

步驟四：由于在步驟三中每個(gè)簇Clj都產(chǎn)生新的質(zhì)心cej，為驗(yàn)證當(dāng)前質(zhì)心集是否穩(wěn)定，因此重復(fù)步驟二、步驟三，直到每個(gè)簇劃分停止更新。當(dāng)前循環(huán)步驟二、步驟三的結(jié)果與上一次循環(huán)的結(jié)果一致。

3.4.2 實(shí)踐有序bi-kmeans

步驟一： 數(shù)據(jù)集P里的全部點(diǎn)p作為第一個(gè)簇的成員，此時(shí)Cl1=P，Clj=?，j∈[2，k]。質(zhì)心集的長(zhǎng)度為1，這個(gè)質(zhì)心ce1為全部點(diǎn)的平均值，如公式（4）所示。此時(shí)，j=k=1，n1=n。

步驟二：對(duì)于每個(gè)不為空的簇調(diào)用有序k-means，進(jìn)行二分計(jì)算，即調(diào)用時(shí)設(shè)定有序k-means的k=2。能參與二分計(jì)算的簇有Cli?P，Cli≠?，i∈[1，k]。找到二分后可以令數(shù)據(jù)集P總距離最小的簇Cla，a∈[1，k]，如公式（6）所示。

（6）

式中：d（P，Ce）為數(shù)據(jù)集P到各質(zhì)心的總距離；∑d（Cl，ce）為每個(gè)簇Cl到與其匹配質(zhì)心ce的距離總和；d（Cla1，cea1）和d（Cla2，cea2）為簇Cla二分后的2個(gè)簇內(nèi)距離；d（Clb1，ceb1）和d（Clb2，ceb2）為簇Clb二分后的2個(gè)簇內(nèi)距離，此時(shí)a≠b，Cla≠Clb，即Clb為非Cla的其他任意簇。

步驟三： 更新質(zhì)心集Ce，將cea替換為cea1，并在其后插入cea2。cea1和cea2的獲取方式如公式（5）所示。此時(shí)，j=a。

步驟四： 當(dāng)質(zhì)心集Ce的長(zhǎng)度小于k時(shí)，回到步驟2進(jìn)行重復(fù)迭代。當(dāng)質(zhì)心集Ce的長(zhǎng)度等于k時(shí)，劃分停止。此時(shí)，已經(jīng)達(dá)到二分后k個(gè)質(zhì)心、k個(gè)簇的要求。

4 實(shí)踐結(jié)果

每個(gè)學(xué)生每天消費(fèi)3次，則總消費(fèi)記錄數(shù)量應(yīng)該大于學(xué)生總?cè)藬?shù)的3倍。預(yù)期的情況是學(xué)生有可能每天消費(fèi)次數(shù)超過3次，同時(shí)還會(huì)有非學(xué)生的消費(fèi)記錄。但是實(shí)際情況是總消費(fèi)記錄數(shù)量遠(yuǎn)小于學(xué)生總?cè)藬?shù)的3倍。因?yàn)閷W(xué)生可選的就餐地點(diǎn)眾多，不會(huì)局限于只在校內(nèi)消費(fèi)，所以結(jié)果是很多學(xué)生在某些時(shí)間點(diǎn)的消費(fèi)記錄為空白。本次選取樣本的時(shí)間段為2021—2022年，即2021年9月1日—2022年8月31日。學(xué)生樣本人數(shù)超過6000人，每個(gè)學(xué)生整個(gè)學(xué)年的消費(fèi)次數(shù)和消費(fèi)金額進(jìn)入樣本庫，記為1個(gè)點(diǎn)。經(jīng)過初步篩選后，已經(jīng)剔除極其孤立的5個(gè)點(diǎn)。本次實(shí)踐環(huán)境為Intel Xeon CPU E7-8880 v4 @ 2.20GHz，VMware ESXi 6.0.0，CentOS7.9.2009，Django4.1.7，mysql8.0.31，Nginx1.22.1，Plotly5.13.1。

4.1 k-means結(jié)果

不論是傳統(tǒng)k-means，還是有序k-means，都需要事先提供k個(gè)初始質(zhì)心。確定k個(gè)初始質(zhì)心的方法可以是隨機(jī)方式，也可以是人工方式或者人工干預(yù)下的隨機(jī)方式。確定方法的選擇對(duì)分配結(jié)果的影響不大，當(dāng)多次計(jì)算后會(huì)發(fā)現(xiàn)結(jié)果趨近一致，而對(duì)于運(yùn)算的迭代次數(shù)影響很大。k值的大小是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)判斷的結(jié)果，可以從1～n中任意選擇，根據(jù)項(xiàng)目的基本需求來確定。學(xué)生的消費(fèi)能力是學(xué)生家庭生活水平的重要標(biāo)準(zhǔn)，通常校內(nèi)的貧困比例為1∶5，因此，本次k值確定為k=5。傳統(tǒng)k-means結(jié)合傳統(tǒng)歐式距離聚類的結(jié)果如圖2所示。有序k-means結(jié)合傳統(tǒng)歐式距離聚類的結(jié)果如圖3所示。

圖2中各質(zhì)心與原點(diǎn)的距離由近及遠(yuǎn)依次為質(zhì)心4 lt; 質(zhì)心3 lt; 質(zhì)心2 lt; 質(zhì)心1 lt; 質(zhì)心0，相應(yīng)的簇順序?yàn)榇?、簇3、簇2、簇1和簇0。質(zhì)心和簇這樣的亂序排列對(duì)圖片呈現(xiàn)結(jié)果的影響幾乎可以忽略，缺點(diǎn)是當(dāng)需要順序分析時(shí)無法滿足要求。

有序k-means在迭代過程中，對(duì)質(zhì)心成員排序。因此，在圖3中各質(zhì)心到原點(diǎn)的距離呈現(xiàn)出自然數(shù)順序，各簇也相應(yīng)為自然數(shù)順序。這樣的排序利于在后續(xù)研究中順暢使用。從圖2和圖3可以看出，各簇之間出現(xiàn)了嚴(yán)格的水平分界。其原因是各點(diǎn)的2個(gè)向量之間存在不同數(shù)量級(jí)別的差異。當(dāng)計(jì)算傳統(tǒng)歐式距離時(shí)，消費(fèi)金額比消費(fèi)次數(shù)高1個(gè)數(shù)量級(jí)，消費(fèi)金額的作用因子較大，消費(fèi)次數(shù)的作用因子較小，因此各點(diǎn)的消費(fèi)金額成為傳統(tǒng)歐式距離的主要影響因素，消費(fèi)次數(shù)則成為可有可無的因素。

4.2 bi-kmeans結(jié)果

按照一致性原則，bi-kmeans的k值也確定為k=5。由于bi-kmeans的k值在迭代過程中是從1逐步增加的，并且每個(gè)質(zhì)心都是由簇內(nèi)點(diǎn)共同決定的，因此不需要在迭代之初設(shè)定初始質(zhì)心。有序bi-kmeans結(jié)合加權(quán)歐式距離聚類結(jié)果如圖4所示。

由于消費(fèi)金額比消費(fèi)次數(shù)高1個(gè)數(shù)量級(jí)別，因此在加權(quán)歐式距離中消費(fèi)金額向量的權(quán)重設(shè)定為1/10，消費(fèi)次數(shù)的權(quán)重設(shè)定為1。從圖4可以看出，劃分簇邊界的決定因素不再由消費(fèi)金額單獨(dú)決定，而是由消費(fèi)金額和消費(fèi)次數(shù)共同決定，2個(gè)決定因素的因子比例為1∶1，簇邊界的劃分由2個(gè)向量來共同決定。

簇cluster3與簇cluster4之間的邊界從圖3到圖4變化，代表有部分學(xué)生消費(fèi)金額不高，因此在圖3中被劃為簇cluster3，采用加權(quán)歐式距離后這部分學(xué)生被劃入簇cluster4。顯然，這部分學(xué)生是高消費(fèi)次數(shù)、低消費(fèi)金額，更符合家庭貧困的要求。設(shè)定k=5的初衷在于尋找真實(shí)的貧困學(xué)生，采用有序bi-kmeans結(jié)合加權(quán)歐式距離的聚類方式是更優(yōu)算法。

5 結(jié)語

高校學(xué)生在校園內(nèi)部的消費(fèi)行為通過移動(dòng)支付，都會(huì)留下痕跡。本例采集全樣本，通過篩選、集成和轉(zhuǎn)換等系列操作后，提出有序bi-kmeans結(jié)合加權(quán)歐式距離的方式來得出聚類結(jié)果。根據(jù)聚類結(jié)果對(duì)比，得出結(jié)論為有序bi-kmeans結(jié)合加權(quán)歐式距離的算法為更優(yōu)算法，可以避免傳統(tǒng)算法的弊端，可以找到目標(biāo)學(xué)生群。優(yōu)化后的聚類算法更客觀地通過學(xué)生消費(fèi)行為反應(yīng)出學(xué)生的消費(fèi)水平，為關(guān)心學(xué)生生活的部門提供更準(zhǔn)確的分析結(jié)果，解決人為劃分目標(biāo)學(xué)生群效率低、主觀因素過重等缺點(diǎn)。本例中的樣本分布比較均勻，2個(gè)向量基本為正比關(guān)系且樣本量足夠大。當(dāng)實(shí)踐k-means算法時(shí)，并未出現(xiàn)局部最優(yōu)和空簇的情況。在實(shí)踐過程中，當(dāng)人為縮小樣本量到足夠小時(shí)，暴露了k-means算法的缺點(diǎn)。改進(jìn)后的bi-means算法當(dāng)樣本量大和小時(shí)都表現(xiàn)得比較優(yōu)秀。

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