摘要：Heston模型相較于傳統(tǒng)的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型能夠更好的反映標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率的隨機(jī)性，從而提高期權(quán)定價(jià)的準(zhǔn)確性。在Heston模型中包含六個(gè)待估參數(shù)，傳統(tǒng)的估參方法難以對(duì)其進(jìn)行估計(jì)，本文使用LM算法、SLSQP算法和模擬退火算法對(duì)Heston模型的待估參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，對(duì)2024年1月1日的上證50ETF期權(quán)進(jìn)行預(yù)測(cè)并與實(shí)際結(jié)果相比較。研究發(fā)現(xiàn)：（1）在對(duì)Heston模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)LM算法對(duì)初始值的選擇較為敏感。（2）在選擇合適的初始值的條件下LM算法的預(yù)測(cè)精度要遠(yuǎn)高于SLSQP算法和模擬退火算法，故可證明LM算法對(duì)Heston模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的可行性和準(zhǔn)確性。

關(guān)鍵詞：上證50ETF期權(quán)：Heston模型：LM算法：參數(shù)估計(jì)；期權(quán)定價(jià)

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金項(xiàng)目“基于Bernoulli噪聲的排它型隨機(jī)Schrodinger方程及相關(guān)問(wèn)題研究”（12101279）；甘肅省自然科學(xué)基金“基于Bemoulli噪聲Levy過(guò)程的隨機(jī)Schrodinger方程問(wèn)題研究”（21JR11RA133）；甘肅省教育廳高等學(xué)校創(chuàng)新基金項(xiàng)目“基于Bernoulli噪聲的隨機(jī)Schrodinger方程問(wèn)題研究”（2021A-072）

中圖分類(lèi)號(hào)：F224.0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1674-537X（2024）11. 0018-08

一、引言與文獻(xiàn)綜述

（一）引言

期權(quán)作為一種金融衍生品，在金融市場(chǎng)中扮演著至關(guān)重要的作用，在金融市場(chǎng)中可以對(duì)沖潛在的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，反映市場(chǎng)對(duì)未來(lái)資產(chǎn)價(jià)格的變化，促進(jìn)金融產(chǎn)品的創(chuàng)新。2015年2月9日上證50ETF期權(quán)在上海證券交易所上市交易，這標(biāo)志著中國(guó)內(nèi)地期權(quán)市場(chǎng)邁出了重要的一步。截至2024年5月31日我國(guó)共上市22個(gè)期權(quán)品種，其中包括了一個(gè)股指期權(quán)、三個(gè)ETF期權(quán)以及18個(gè)商品期貨期權(quán)，已經(jīng)覆蓋了金融、農(nóng)場(chǎng)品、能化、貴金屬等板塊，受眾面也越來(lái)越大，為投資者提供了更多的投資與風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的工具。故準(zhǔn)確的期權(quán)定價(jià)模型對(duì)于期權(quán)市場(chǎng)是至關(guān)重要。

（二）文獻(xiàn)綜述

自1973年Black和Scholes從標(biāo)準(zhǔn)的無(wú)套利原理出發(fā)推導(dǎo)出了B-S公式，它在金融衍生品定價(jià)領(lǐng)域中產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響，但要使模型發(fā)揮出良好的定價(jià)效果，模型中的參數(shù)效準(zhǔn)問(wèn)題必須要得到解決，而B(niǎo)-S公式中的參數(shù)可以通過(guò)觀察或估計(jì)得到，因此B-S公式在實(shí)際中得到了廣泛的應(yīng)用。在使用B-S模型前，需對(duì)模型做出如下假設(shè)：一是假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)。二是假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是已知的且恒定不變。三是假設(shè)市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)。四是假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率是已知的且恒定不變，五是假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)不支付股息或其他收益。六是假設(shè)交易是連續(xù)的。七是假設(shè)期權(quán)只能在到期日?qǐng)?zhí)行。但其中一些假設(shè)與現(xiàn)實(shí)中的實(shí)際情況不符，因此會(huì)導(dǎo)致定價(jià)結(jié)果與實(shí)際結(jié)果產(chǎn)生較大的差異。隨后Taylor于1986年提出了隨機(jī)波動(dòng)率模型解釋金融收益序列中的波動(dòng)率自回歸現(xiàn)象。Hull和White在各自的論文中假定波動(dòng)率服從一個(gè)隨機(jī)過(guò)程并對(duì)B-S模型進(jìn)行了擴(kuò)展。Melino和Turnbull采用隨機(jī)波動(dòng)率模型對(duì)外匯期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，并且證明了隨機(jī)波動(dòng)率模型要優(yōu)于B-S模型。1993年Heston提出假設(shè)波動(dòng)率服從一個(gè)均值回復(fù)過(guò)程（Cox-Ingersoll-Ross（CIR）），并且證明了波動(dòng)率服從CIR過(guò)程更加的貼切現(xiàn)實(shí)情況。Heston模型的假設(shè)條件相對(duì)于B-S模型來(lái)說(shuō)要更加的貼近于實(shí)際情況。但在使用Heston模型前，需要對(duì)Heston模型的六個(gè)待估參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，Ω={k，θ，σ，ρ，υ，λ}其中k代表均值回歸速度、θ代表長(zhǎng)期方差、σ代表波動(dòng)率方差、ρ代表相關(guān)系數(shù)、υ代表標(biāo)的資產(chǎn)的方差、λ代表波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)價(jià)格。在選擇合適的參數(shù)的情況下Heston模型的定價(jià)結(jié)果要優(yōu)于B-S模型的定價(jià)結(jié)果，故Heston模型相較于B-S模型的定價(jià)結(jié)果要更加接近于現(xiàn)實(shí)情況。

關(guān)于Heston模型如何進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，已經(jīng)有很多學(xué)者提出了很多方法。王林、張蕾、劉連峰（2011）使用模擬退火算法對(duì)Heston模型的待估參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并通過(guò)實(shí)證分析證明了該方法的可行性，但模擬退火算法存在收斂速度慢和參數(shù)設(shè)置敏感的問(wèn)題。李斌、何萬(wàn)里（2015）使用遺傳算法對(duì)Heston模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，但遺傳算法存在不同的編碼方式可能對(duì)算法的性能產(chǎn)生重大的影響，解的穩(wěn)定性比較差的問(wèn)題。李國(guó)成、王繼霞（2018）使用交叉熵蝙蝠算法對(duì)Merton跳-擴(kuò)散模型、Heston模型和Bates帶跳的隨機(jī)波動(dòng)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，并進(jìn)行了實(shí)證分析證明了該方法的可行性，但在使用交叉熵蝙蝠算法時(shí)存在陷入局部最優(yōu)的情況。劉瑩、鄭玉衡（2019）使用粒子群算法對(duì)Heston模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)并與遺傳算法和差分進(jìn)化法進(jìn)行了比較，證明了粒子群算法的準(zhǔn)確性，但在使用粒子群算法時(shí)找到合適的適度值函數(shù)較為困難。郁瑞瀾、商豪（2021）使用MCMC方法中的Gibbs算法對(duì)Heston模型的待估參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并進(jìn)行了實(shí)證分析與B-S模型相對(duì)比，證明了Heston模型的準(zhǔn)確性。周仁才（2022）在B-S模型和Heston模型的基礎(chǔ)上將參數(shù)模型和非參數(shù)模型相融并使用LM算法進(jìn)行優(yōu)化，通過(guò)實(shí)證分析證明了方法的可行性。郭精軍、馬愛(ài)琴、程志勇（2024）使用遺傳算法對(duì)Heston模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并通過(guò)實(shí)證研究表明Heston模型定價(jià)結(jié)果最為精確。章偉果、龔武勝、扈文秀（2024）將粒子群算法與長(zhǎng)短時(shí)記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和Heston模型相結(jié)合并通過(guò)實(shí)證研究證明了這種結(jié)合的可行性和準(zhǔn)確性。

在對(duì)Heston模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，學(xué)者們大都使用遺傳算法、模擬退火算法、粒子群算法、交叉蝙蝠算法?；谝陨戏治觯疚氖褂肔M算法對(duì)Heston模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)并與SLSQP算法和模擬退火算法作對(duì)比，以2023年12月29日的上證50ETF期權(quán)作為樣本進(jìn)行期權(quán)定價(jià)。

二、Heston模型及其參數(shù)校準(zhǔn)

（一）Heston模型

在Heston模型中放寬了B-S模型的假設(shè)條件，即不要求標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格路勁嚴(yán)格服從維納過(guò)程，而是服從與當(dāng)前波動(dòng)率有關(guān)的隨機(jī)過(guò)程。資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)遵循如下假設(shè)：

其中St表示股票價(jià)格；u表示股票價(jià)格的均值；Vt表示股票價(jià)格的方差，θ表示長(zhǎng)期方差；k表示均值回歸速度；σ表示波動(dòng)率的方差；W1t、W2t表示布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程。

根據(jù)無(wú)套利原理，資產(chǎn)價(jià)格滿(mǎn)足如下偏微分方程：

其中λ（S，V，t）表示波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)價(jià)格。基于以上假設(shè)和偏微分方差可以得出Heston模型t＜T時(shí)歐式看漲期權(quán)的表達(dá)式：

當(dāng)目標(biāo)值接近極值時(shí)，S（u）→0，故此時(shí)：

VE（u）≈AT（u）e（u）（21）

對(duì)于高斯-牛頓法有

V2E（u）≈AT（u）A（u）（22）

當(dāng)E（u）的Hessian矩陣無(wú)法求逆時(shí)，需對(duì)E（u）的Hessian矩陣進(jìn)行變形：

V2E（u）≈AT（u）A（u）+uI（u）（23）

其中，I為單位矩陣；u為阻尼系數(shù)并且u＞0。故有：

在進(jìn)行迭代時(shí)計(jì)算誤差函數(shù)值E（uk+1），若E（uk+1）＜E（uk），則保留本次迭代結(jié)果，通過(guò)減小阻尼系數(shù)“提高計(jì)算精度繼續(xù)進(jìn)行迭代，令u=u/β（β＞1）；反之則增大阻尼系數(shù)u后重新計(jì)算令u=uβ，直到滿(mǎn)足E（uk+1）＜E（uk）時(shí)停止增大u。

（三）LM算法流程

1．設(shè)置訓(xùn)練誤差允許值ε、系數(shù)β、阻尼因子u0、初始向量x0。

2．利用（25）式計(jì)算k+1時(shí)的uk+1，利用（15）式計(jì)算誤差指數(shù)函數(shù)E（uk）。

3．利用（20）式計(jì)算Jacobian矩陣A（uk）。

4．若E（uk）＜ε，則uk為最優(yōu)控制變量，轉(zhuǎn)置（6）;若不滿(mǎn)足E（uk）＜ε，則以u(píng)k+1為新的初始向量重新計(jì)算誤差函數(shù)E（uk+1）=uk+1E（uk）。

5．若E（uk+1）＜E（uk），則令k=k+1，u=u/β，回到第二步；若不滿(mǎn)足E（uk+1）＜ E（uk）則增大阻尼系數(shù)u后重新計(jì)算令u=uβ，直到滿(mǎn)足E（uk+1）＜E（uk）時(shí)停止增大u。

6．當(dāng)滿(mǎn)足max|Δuk+1|＜εu；|AK - AK+1|＜εA時(shí)，LM算法滿(mǎn)足收斂條件，輸出最優(yōu)的參數(shù)向量x。

四、實(shí)證分析

（一）數(shù)據(jù)樣本集

本文選用2023年12月29日的上證50ETF期權(quán)作為樣本。將上證50ETF期權(quán)的歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)使用LM算法、SLSQP算法和模擬退火算法在Python軟件中進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。使用計(jì)算得出的Heston模型參數(shù)對(duì)2024年1月2日的上證50ETF期權(quán)進(jìn)行定價(jià)（數(shù)據(jù)來(lái)源于銳思數(shù)據(jù)庫(kù)）。

2023年12月29日的上證50ETF期權(quán)樣本包含了到期日為2024年1月24日、2024年2月28日、2024年3月27日、2024年6月26日，執(zhí)行價(jià)格為2. 05、2.1、2.15、2.2、2.214、2.25、2.264、2.3、2. 313、2.35、2.362、2.4、2.411、2.45、2.5、2. 51、2.55、2.559、2.6、2.608、2.65、2. 657、2.706、2.085和2.903。2023年12月29日上證50ETF期權(quán)的標(biāo)的證券的收盤(pán)價(jià)為2.355。

（二）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r的計(jì)算

無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，使用2023年12月29日上海銀行間同業(yè)拆放利率（Shibor），使用線性差值法進(jìn)行計(jì)算。2023年12月29日上證50ETF期權(quán)的剩余到日分別為26、61、89、180，分別計(jì)算r26、r61、r89、r180。

r26=0.02949+（26 - 14） ÷ （31 - 14）×（0. 02482 -0.02949）=0.0261935294117647

r61 = 0.02482 + （61 - 31） ÷ （91 - 31）×（0. 0253 -0.02482）=0.02506

r89 = 0.02482 + （89 - 31） ÷ （91 - 31）×（0. 0253 -0.02482）=0.025284

r180 = 0.0253 + （180 - 91） ÷ （183 - 91）×（0.02555-0.0253） = 0.025541

（三）適度函數(shù)值和IVRMSE檢驗(yàn)

由于LM算法和SLsoP算法屬于迭代算法，模擬退火算法屬于啟發(fā)式全局優(yōu)化算法。迭代算法和模擬退火算法都非常依賴(lài)初始值，參數(shù)校準(zhǔn)與否在很大程度上依賴(lài)于初始值。故使用LM算法、SLSQP算法和模擬退火算法以2023年12月29日的上證50ETF期權(quán)作為樣本分別以表2中10組不同的初始值進(jìn)行10次運(yùn)算，從精度和穩(wěn)定性的角度去比較LM算法、SLSQP算法和模擬退火算法的優(yōu)劣。

使用適度函數(shù)值判斷Heston模型樣本內(nèi)定價(jià)的擬合效果，使用IVRMSE判斷Heston模型樣本外定價(jià)的擬合效果，適度函數(shù)值和IVRMSE的表達(dá)式如下：

其中：σreal表示使用當(dāng)日收盤(pán)價(jià)在B-S模型中反解出的標(biāo)的資產(chǎn)的隱含波動(dòng)率，σtheory表示Heston模型預(yù)測(cè)的期權(quán)價(jià)格從B-S模型中反解出的標(biāo)的資產(chǎn)的隱含波動(dòng)率。隱含波動(dòng)率是期權(quán)分析中的重要因素，因此IVRMSE值越小，表示真實(shí)價(jià)格和理論價(jià)格之間的偏差越小，期權(quán)的定價(jià)效果越好。Creal，表示上證50ETF期權(quán)的收盤(pán)價(jià)，Ctheory、表示使用Heston模型預(yù)測(cè)的上證50ETF的收盤(pán)價(jià)。適度函數(shù)值越小表明模型的預(yù)測(cè)結(jié)果和真實(shí)價(jià)格的偏差越小，期權(quán)的定價(jià)效果越好。

從表3中可以觀察到LM算法和模擬退火算法的適度值和IVRMSE受到參數(shù)初始值的影響較大，SLsoP算法的適度值和IVRMSE受到參數(shù)初始值的影響較小實(shí)驗(yàn)結(jié)果相對(duì)穩(wěn)定。但從第3、4、6、7、8次實(shí)驗(yàn)中可以看到在選定合適的初始值的情況下LM算法的適度值和IVRMSE要遠(yuǎn)優(yōu)于SLSQP算法和模擬退火算法。故使用LM算法對(duì)Heston模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)得到的結(jié)果更加準(zhǔn)確，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果中可以看出LM算法第八次實(shí)驗(yàn)結(jié)果IVRMSE最為精確。故以第八次的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為例展開(kāi)分析。

由表4可知，買(mǎi)人期權(quán)樣本外預(yù)測(cè)總體擬合效果較好。選取執(zhí)行價(jià)格為2.1、2.15、2.2、2.25、2.3、2. 35、2.4、2.45、2.5、2.55的10個(gè)執(zhí)行價(jià)格以到期日為0. 060274、0.156164、0.232877和0. 482192作圖1、圖2、圖3和圖4的買(mǎi)人期權(quán)預(yù)測(cè)價(jià)格與實(shí)際收盤(pán)價(jià)進(jìn)行對(duì)比。

從圖1、圖2、圖3、圖4可以看出對(duì)到期日為T(mén)=0. 060274、T=0.156164、T=0.232877、T=0. 482192四種買(mǎi)人期權(quán)的定價(jià)結(jié)果與實(shí)際成交價(jià)格定價(jià)的結(jié)果基本相符，故證明使用LM算法應(yīng)求解Heston模型參數(shù)對(duì)于買(mǎi)人期權(quán)來(lái)說(shuō)是有效的、可行的。但將到期日為T(mén)=0．482192的買(mǎi)人期權(quán)定價(jià)結(jié)果與T=0. 060274、T=0.156164、T=0.232877三種到期日的買(mǎi)入期權(quán)相比較定價(jià)結(jié)果較差。

由表5可知，賣(mài)出期權(quán)樣本外預(yù)測(cè)總體擬合效果較好。選取執(zhí)行價(jià)格為2.1、2. 15、2.2、2.25、2.3、2. 35、2.4、2.45、2.5、2.55的10個(gè)執(zhí)行價(jià)格以到期日為0. 060274、0.156164、0.232877和0．482192作圖1、圖2、圖3和圖4的賣(mài)出期權(quán)定價(jià)與實(shí)際收盤(pán)價(jià)的價(jià)格對(duì)比。

從圖5、圖6、圖7、圖8可以看出對(duì)到期日為T(mén)=0. 060274、T=0.156164、T=0.232877、T=0.482192四種賣(mài)出期權(quán)的定價(jià)結(jié)果與實(shí)際成交價(jià)格定價(jià)的結(jié)果基本相符，故證明使用LM算法應(yīng)求解Heston模型參數(shù)對(duì)于賣(mài)出期權(quán)來(lái)說(shuō)是有效的、可行的。但對(duì)于到期日為T(mén)=0.482192的賣(mài)出期權(quán)定價(jià)結(jié)果相對(duì)于T=0. 060274、T=0.156164、T=0.232877三種到期日的賣(mài)出期權(quán)相比較定價(jià)結(jié)果較差。

使用LM算法估計(jì)Heston模型參數(shù)的期權(quán)定價(jià)結(jié)果對(duì)于到期日較遠(yuǎn)的買(mǎi)人期權(quán)和賣(mài)出期權(quán)定價(jià)結(jié)果較差，造成這種現(xiàn)象的原因可能有：第一，在將看跌期權(quán)利用看漲看跌評(píng)價(jià)公式轉(zhuǎn)化為看漲期權(quán)時(shí)，未能考慮實(shí)際情況導(dǎo)致看漲看跌平價(jià)關(guān)系難以滿(mǎn)足，最終導(dǎo)致轉(zhuǎn)化結(jié)果不精確。第二，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率使用的是上海銀行間同業(yè)拆放利率與實(shí)際交易中的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率存在一定的偏差，故當(dāng)?shù)饺掌谳^長(zhǎng)時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。

使用LM算法對(duì)Heston模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)雖然對(duì)到期日較遠(yuǎn)的期權(quán)存在一定的誤差，但是對(duì)于到日期在三個(gè)月以?xún)?nèi)的期權(quán)預(yù)測(cè)精度較高。故也可以證明使用LM算法對(duì)Heston模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的可行性和準(zhǔn)確性。

五、結(jié)論與建議

本文使用LM算法對(duì)Heston模型的五個(gè)待估參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，以上證50ETF期權(quán)為例進(jìn)行實(shí)證分析并與SLSQP算法和模擬退火算法進(jìn)行比較。研究發(fā)現(xiàn)：第一，在對(duì)Heston模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)LM算法和模擬退火算法的適度值和IVRMSE受到參數(shù)初始值的影響較大，SLSQP算法的適度值和IVRMSE受到參數(shù)初始值的影響較小結(jié)果相對(duì)穩(wěn)定。故可推斷LM算法對(duì)初始值的選擇較為敏感。第二，LM算法在選擇合適初始值的條件下預(yù)測(cè)精度要遠(yuǎn)高于SLsoP算法和模擬退火算法。使用LM算法對(duì)Heston模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果對(duì)2024年1月2日上證50ETF期權(quán)進(jìn)行預(yù)測(cè)并與實(shí)際價(jià)格相比較，預(yù)測(cè)價(jià)格與實(shí)際價(jià)格的一致性較高，故證明了使用LM算法對(duì)Heston模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的可行性。

基于上述結(jié)論，本文提出以下建議：第一，當(dāng)前初始值的選擇對(duì)于LM算法的影響較大，未來(lái)將繼續(xù)優(yōu)化LM算法減少LM算法對(duì)初始值的依賴(lài)，提高LM算法的穩(wěn)定性和精確度。第二，將LM算法與其他優(yōu)化算法相結(jié)合，提高LM算法對(duì)參數(shù)估計(jì)的整體性能。其次可以在Heston模型中引入更多的市場(chǎng)因素，例如：跳躍擴(kuò)散、隨機(jī)利率等，增強(qiáng)Heston模型的準(zhǔn)確性。