【摘要】概率和統(tǒng)計(jì)是高考數(shù)學(xué)中的?？键c(diǎn)，這一領(lǐng)域的分析技巧與計(jì)數(shù)緊密相關(guān).隨機(jī)變量的分布列依賴(lài)于隨機(jī)變量的可能值及其對(duì)應(yīng)的概率.將隨機(jī)變量的取值視為隨機(jī)事件，是使用計(jì)數(shù)方法計(jì)算概率的基礎(chǔ).概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的難點(diǎn)主要在于兩個(gè)方面：一是正確識(shí)別和分析概率模型，即確定隨機(jī)變量遵循的特定概率規(guī)律；二是在構(gòu)建分布列時(shí)，將隨機(jī)變量的取值轉(zhuǎn)換為隨機(jī)事件的概率，這一步驟往往涉及復(fù)雜的計(jì)數(shù)技巧.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；概率；解題方法

1超幾何分布類(lèi)

超幾何分布的適用情形一般為當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)固定，每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果（成功或失?。?，且每次試驗(yàn)的成功概率不變.具體解題步驟為：確定超幾何分布的三個(gè)關(guān)鍵參數(shù)：總體大小（N）、總體中“成功”的項(xiàng)目數(shù)（M）、樣本大?。╪）；使用組合數(shù)公式計(jì)算從“成功”項(xiàng)目中抽取k個(gè)的組合數(shù)和從“失敗”項(xiàng)目中抽取n－k個(gè)的組合數(shù)；應(yīng)用超幾何分布的公式P（X=k）=CkMCn－kN－MCnN計(jì)算恰好抽取k個(gè)“成功”項(xiàng)目的概率；最后，如果需要計(jì)算至少抽取k個(gè)“成功”項(xiàng)目的概率，可以計(jì)算其補(bǔ)事件的概率，即至少抽取k個(gè)“成功”項(xiàng)目的概率等于1減去至多抽取k－1個(gè)“成功”項(xiàng)目的概率.需要注意的是超幾何分布的概率之和等于1，其次確保N，M，n都是正整數(shù)，且M和n的值小于N.

例1為了緩解電價(jià)壓力，確保電力穩(wěn)定供應(yīng)，推動(dòng)綠色能源發(fā)展，并促進(jìn)能源節(jié)約，某省份引入了階梯電價(jià)政策.該政策將年度用電量分為三個(gè)階段，以適應(yīng)不同用戶(hù)的用電需求和能力.具體來(lái)說(shuō)，年用電量在2160度及以下的家庭將享受第一檔電價(jià)，即每度0.5653元；年用電量在2161度至4200度的家庭，超出2160度的部分將按第二檔電價(jià)，即每度0.6153元計(jì)費(fèi)；而年用電量超過(guò)4200度的家庭，超出的部分則按第三檔電價(jià)，即每度0.8653元計(jì)費(fèi).

在某一城市，電力公司從當(dāng)?shù)赜脩?hù)中隨機(jī)選擇了10戶(hù)，并記錄了他們同一年度的用電數(shù)據(jù).

（1）計(jì)算表中編號(hào)為10的用戶(hù)該年應(yīng)交的電費(fèi)；

（2）現(xiàn)在需要從這10戶(hù)家庭中隨機(jī)選擇4戶(hù)，對(duì)其用電狀況進(jìn)行深入分析.求取在這4戶(hù)家庭中達(dá)到第二階梯用電量的戶(hù)數(shù)的分布求取列.

分析（1）按照階梯電價(jià)的規(guī)定，分段計(jì)算用戶(hù)編號(hào)10一年的用電費(fèi)用，計(jì)算結(jié)果即為所求答案；（2）統(tǒng)計(jì)達(dá)到第二階梯用電量的用戶(hù)數(shù)量，設(shè)達(dá)到第二階梯用電量的用戶(hù)數(shù)為X，確定X的可能值，應(yīng)用超幾何分布的概率計(jì)算方法，可以計(jì)算出每個(gè)可能值的概率，進(jìn)而構(gòu)建出X的分布列.

解（1）因?yàn)榈诙n的電價(jià)比第一檔的電價(jià)每度多0.05元，

第三檔的電價(jià)比第一檔的電價(jià)每度多0.3元，

編號(hào)為10的用戶(hù)一年的用電量是4600度，

所以該戶(hù)該年應(yīng)交電費(fèi)為

4600×0.5653+（4200－2160）×0.05+（4600－4200）×0.3=2822.38（元）．

（2）設(shè)取到第二階梯的戶(hù)數(shù)為X，

易知第二階梯共有4戶(hù)，故X的所有可能取值為0，1，2，3，4.

PX=0=C04C46C410=114，

PX=1=C14C36C410=821，

Px=2=C24C26C410=37，

PX=3=C34C16C410=435，

PX=4=C44C06C410=1210，

故X的分布列為：

2二項(xiàng)分布類(lèi)

二項(xiàng)分布模型反映了在特定次數(shù)的連續(xù)獨(dú)立試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果：成功或失敗，并且每次試驗(yàn)的成功概率保持恒定.具體解題步驟為：確定二項(xiàng)分布的三個(gè)關(guān)鍵參數(shù)，試驗(yàn)次數(shù)n、每次試驗(yàn)的成功概率p和規(guī)定的成功次數(shù)k；應(yīng)用二項(xiàng)分布的公式PX=k=Cknpkqn－k來(lái)計(jì)算恰好成功k次的概率；如果需要計(jì)算至少成功k次或至多成功k次的概率，可以計(jì)算其補(bǔ)事件的概率，即至少成功k次或至多成功k次的概率等于1減去至多成功k-1次或至少成功k+1次的概率.但需要注意的是當(dāng)n很大而p相對(duì)較小時(shí)，二項(xiàng)分布近似于正態(tài)分布，可以考慮使用正態(tài)分布公式進(jìn)行估算.

例2一位短視頻博主專(zhuān)注于展示鄉(xiāng)村生活，包括趕集、進(jìn)城、捕魚(yú)和養(yǎng)雞等內(nèi)容，這些充滿(mǎn)活力的農(nóng)村生活場(chǎng)景吸引了大量觀眾.該博主通過(guò)直播銷(xiāo)售家鄉(xiāng)的農(nóng)產(chǎn)品，進(jìn)行了五次試銷(xiāo)，并記錄了銷(xiāo)量y（單位：百萬(wàn)盒）和單價(jià)x（單位：元/盒）的數(shù)據(jù).

問(wèn)：從眾多顧客中隨機(jī)選取一定數(shù)量（數(shù)量較大）的客戶(hù)參與滿(mǎn)意度調(diào)查，其中一半的顧客表示“非常滿(mǎn)意”，“滿(mǎn)意”和“不滿(mǎn)意”的顧客各占四分之一.之后，從所有顧客中再次隨機(jī)抽取8位顧客作為幸運(yùn)者，贈(zèng)送禮品.這里，我們關(guān)注的是在這8位幸運(yùn)顧客中，“非常滿(mǎn)意”體驗(yàn)的顧客人數(shù)，將其定義為一個(gè)隨機(jī)變量η，求η的分布列和均值.

分析根據(jù)二項(xiàng)分布的定義可得到η～B8，12，我們可以使用二項(xiàng)分布的概率公式來(lái)計(jì)算每個(gè)可能結(jié)果的概率，從而構(gòu)建出完整的分布列；由二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望公式可求得均值.

解由題意知，從所有顧客中隨機(jī)抽取1人，則抽取的1人的問(wèn)卷結(jié)果為“非常滿(mǎn)意”的概率為12，所以η～B8，12.

則η所有可能的取值為0，1，2，3，4，5，6，7，8，

所以Pη=0=128=1256；

Pη=1=C18×12×127=8256=132；

Pη=2=C28×122×126=28256=764；

Pη=3=C38×123×125=56256=732；

Pη=4=C48×124×124=70256=35128；

Pη=5=C58×125×123=56256=732；

Pη=6=C68×126×122=28256=764；

Pη=7=C78×127×12=8256=132；

Pη=8=128=1256.

所以η的分布列為：

所以均值Eη=8×12=4.

3結(jié)語(yǔ)

掌握概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中的各種題型，對(duì)于提升解題能力、深化對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的理解具有重要意義.學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)不斷練習(xí)，熟練掌握每種分布模型的運(yùn)用，并培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣.打牢概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)，對(duì)于高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和科學(xué)研究都具有深遠(yuǎn)的影響.