【摘要】概率與數(shù)列綜合問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn).此類(lèi)問(wèn)題需要對(duì)概率有深入的理解，常需要建立遞推數(shù)列、構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和解決.本文給出概率與數(shù)列綜合問(wèn)題的解題策略，并應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】概率；數(shù)列；高中數(shù)學(xué)；解題策略

概率與數(shù)列結(jié)合的方法在數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)中是一種常見(jiàn)且重要的方法.而概率與數(shù)列的綜合問(wèn)題通常涉及對(duì)數(shù)列的特性和概率的深入理解，以及如何將這兩者有效地結(jié)合起來(lái).本文結(jié)合具體實(shí)例介紹概率與數(shù)列綜合問(wèn)題的解題策略.

1解題策略

（1）理解題意：首先，需要清楚理解題目的要求和背景，識(shí)別出與數(shù)列和概率相關(guān)的關(guān)鍵信息.

（2）識(shí)別數(shù)列模式：在理解了題目后，需要識(shí)別出與概率問(wèn)題相關(guān)的數(shù)列模式.這可能涉及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

（3）建立數(shù)列模型：根據(jù)識(shí)別出的數(shù)列模式，需要建立一個(gè)合適的數(shù)列模型.這可能涉及數(shù)列的遞推公式、通項(xiàng)公式，或者等比數(shù)列的求和等.

（4）應(yīng)用數(shù)列模型：建立好數(shù)列模型后，需要將其應(yīng)用到概率問(wèn)題的處理中.這可能涉及計(jì)算某些事件的概率，或者求解隨機(jī)變量的期望等.

（5）應(yīng)用數(shù)列的性質(zhì)和公式：利用等比數(shù)列的性質(zhì)和公式，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式或求和公式.

（6）求解概率：最后，根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式或求和公式，求出題目要求的概率.

以上步驟僅是一個(gè)大致的流程，具體的步驟可能會(huì)因題目的不同而有所變化.在解題過(guò)程中，還需要靈活運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，如排列組合、對(duì)稱(chēng)性、全概率公式等，簡(jiǎn)化問(wèn)題，提高解題效率.

2題目應(yīng)用

例1杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物為一組名為“江南憶”的三個(gè)吉祥物“宸宸”“琮琮”“蓮蓮”，聚焦共同的文化基因，蘊(yùn)含獨(dú)特的城市元素．本次亞運(yùn)會(huì)極大地鼓舞了中國(guó)人民參與運(yùn)動(dòng)的熱情．某體能訓(xùn)練營(yíng)為了激勵(lì)參訓(xùn)隊(duì)員，在訓(xùn)練之余組織了一個(gè)“玩骰子贏禮品”的活動(dòng)，他們來(lái)到一處訓(xùn)練場(chǎng)地，恰有20步臺(tái)階，現(xiàn)有一枚質(zhì)地均勻的骰子，游戲規(guī)則如下：擲一次骰子，出現(xiàn)3的倍數(shù)，則往上爬兩步臺(tái)階，否則爬一步臺(tái)階，再重復(fù)以上步驟，當(dāng)隊(duì)員到達(dá)第7或第8步臺(tái)階時(shí)，游戲結(jié)束．規(guī)定：到達(dá)第7步臺(tái)階，認(rèn)定失敗；到達(dá)第8步臺(tái)階可贏得一組吉祥物．假設(shè)平地記為第0步臺(tái)階．記隊(duì)員到達(dá)第n步臺(tái)階的概率為pn（0≤n≤8），記p0=1．

（1）投擲4次后，隊(duì)員站在的臺(tái)階數(shù)為第X階，求X的分布列；

（2）①求證：數(shù)列pn－pn－1（1≤n≤7）是等比數(shù)列；

②求隊(duì)員贏得吉祥物的概率．

解析（1）由題意得每輪游戲爬一步臺(tái)階的概率為23，爬兩步臺(tái)階的概率為13，所以隨機(jī)變量X可能取值為4、5、6、7、8，可得X的分布列如表1.

（2）①證明：n=1，即爬一步臺(tái)階，是第1次擲骰子，向上點(diǎn)數(shù)不是3的倍數(shù)概率p1=23，則p1－p0=－13.到達(dá)第n步臺(tái)階有兩種情況：

a.前一輪爬到第n－2步臺(tái)階，又?jǐn)S骰子是3的倍數(shù)得爬兩步臺(tái)階，其概率為13pn－2；

b.前一輪爬到第n－1步臺(tái)階，又?jǐn)S骰子不是3的倍數(shù)爬一步臺(tái)階，其概率為23pn－1.

所以pn=13pn－2+23pn－1（n=2，3，…，7），

則pn－pn－1=－13pn－1－pn－2，

所以數(shù)列pn－pn－1（n=1，2，…，7）是首項(xiàng)為－13，公比為－13的等比數(shù)列．

②因?yàn)閿?shù)列pn－pn－1是首項(xiàng)為－13，公比為－13的等比數(shù)列，

所以pn－pn－1=－13n，

得p1－p0=－13，p2－p1=－132，

…，

pn－pn－1=－13n.

各式相加，得pn－p0=－141－－13n，

所以pn=34+14－13n（n=1，2，…，7）.

所以活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率為

p8=13p6=13×34+14×－136=14+

14×137=5472187．

例2一只螞蟻在正四面體的表面爬行，每秒從某一個(gè)頂點(diǎn)等可能地爬往三個(gè)相鄰頂點(diǎn)之一，小螞蟻在第n秒爬回初始位置的概率為pn，其中n∈N*．

（1）解釋p1的實(shí)際意義，并求p1，p2的值；

（2）寫(xiě)出pn+1和pn滿足的關(guān)系式，并求數(shù)列pn的通項(xiàng)公式．

解析（1）p1為螞蟻第1秒爬回初始位置的概率．因?yàn)橐幻腌姾笮∥浵佉央x開(kāi)出發(fā)點(diǎn)到達(dá)正四面體另外一個(gè)頂點(diǎn)，所以p1=0.

因?yàn)閮擅雰?nèi)螞蟻爬行的路徑有9種，其中能回到初始位置的路徑有3種，所以p2=13．

（2）因?yàn)樾∥浵佋诘趎秒爬回初始位置的概率為pn，其中n∈N*，所以第n秒時(shí)位于非初始位置的三個(gè)頂點(diǎn)之一的概率為1－pn，

所以pn+1=131－pn+0×pn，且p1=0，

整理得pn+1－14=－13pn－14，且p1－14=－14≠0.

可知數(shù)列pn－14是以－14為首項(xiàng)，－13為公比的等比數(shù)列，

則pn－14=－14×－13n－1，

所以pn=34－13n+14．

3結(jié)語(yǔ)

概率與數(shù)列有著緊密的聯(lián)系.利用概率模型可描述數(shù)列問(wèn)題，比如在某些情況下，數(shù)列的生成或變化可以通過(guò)概率模型來(lái)描述.而在隨機(jī)過(guò)程中，數(shù)列的每一項(xiàng)可能是隨機(jī)變量的實(shí)現(xiàn)，而這些隨機(jī)變量的分布和特性可以通過(guò)概率來(lái)描述.同樣，也可以用概率來(lái)分析數(shù)列的性質(zhì)，例如數(shù)列的收斂性、數(shù)學(xué)期望、方差等.這種分析方法特別適用于那些與隨機(jī)性有關(guān)的數(shù)列，都需要對(duì)數(shù)列和概率有深入的理解，同時(shí)還需要一些數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí).

參考文獻(xiàn)：

[1]李鴻昌.高考題的高數(shù)探源與初等解法[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2022.