【摘要】高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，多元函數(shù)極值問(wèn)題的學(xué)習(xí)不僅強(qiáng)化理論知識(shí)，更注重培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力.通過(guò)工廠生產(chǎn)優(yōu)化案例，學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)和拉格朗日乘數(shù)法處理約束條件，以最大化利潤(rùn)或效益，從而提升數(shù)學(xué)建模與解決問(wèn)題的技能能力.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)極值；高中數(shù)學(xué)；解題方法

1引言

多元函數(shù)極值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，不僅涉及多個(gè)變量函數(shù)的極大值和極小值的求解，還在實(shí)際應(yīng)用中具有廣泛的意義.通過(guò)解決此類問(wèn)題，學(xué)生不僅能夠掌握數(shù)學(xué)理論知識(shí)，還能將其應(yīng)用于復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題中，如資源優(yōu)化和生產(chǎn)效率最大化等.為了幫助學(xué)生更好地理解和解決多元函數(shù)極值問(wèn)題，教學(xué)過(guò)程中可以引入創(chuàng)新的解題方法，例如拉格朗日乘數(shù)法、對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算以及數(shù)值方法.

2多元函數(shù)極值問(wèn)題的解題分析

多元函數(shù)極值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，涉及多個(gè)變量函數(shù)的極大值和極小值的求解.解題步驟包括計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)、求駐點(diǎn)、利用Hesse矩陣判斷極值點(diǎn).創(chuàng)新方法包括利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算、拉格朗日乘數(shù)法求解約束極值、借助數(shù)值方法和計(jì)算工具，以及通過(guò)繪制圖象進(jìn)行幾何直觀分析[1].

3多元函數(shù)極值解題教學(xué)

3.1多元函數(shù)極值的概念和意義

學(xué)生掌握了基礎(chǔ)解題技巧，引入創(chuàng)新方法如簡(jiǎn)化計(jì)算、拉格朗日乘數(shù)法和數(shù)值方法，不僅擴(kuò)展了解題思路，也培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理和創(chuàng)新能力[2].

例1考慮函數(shù)fx，y=x2+y2－4x+6y在區(qū)域D=x，y∈R2x2+y2≤9上的極值問(wèn)題.

解析計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)：

fx=2x－4，fy=2y+6.

求駐點(diǎn)：使偏導(dǎo)數(shù)等于零，得到方程組：

2x－4=0，2y+6=0，

解得x=2，y=－3.

判斷極值：構(gòu)造Hesse矩陣：

H=2002.

計(jì)算行列式D=4>0，且fxx=2>0，所以駐點(diǎn)2，－3是一個(gè)局部極小值點(diǎn).

在區(qū)域D上的極值：區(qū)域D是圓x2+y2≤9.

檢查邊界x2+y2=9上的極值：

參數(shù)化邊界x=3cosθ，y=3sinθ函數(shù)變?yōu)?/p>

gθ=9cos2θ+9sin2θ－12cosθ+18sinθ.

求解g′θ=0，得到極值點(diǎn).

比較邊界上的極值和內(nèi)部的極小值，得出整個(gè)區(qū)域D上的極值點(diǎn).

例2考慮函數(shù)fx，y=x3+y3－3xy在區(qū)域D={（x，y）∈R2|x≥0，y≥0，x+y≤4}上的極值問(wèn)題.

解析計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)：

fx=3x2－3y，fy=3y2－3x.

求駐點(diǎn)：將偏導(dǎo)數(shù)等于零，得到方程組：

3x2－3y=0，3y2－3x=0，

化簡(jiǎn)為：x2=y，y2=x，

解得x，y=1，1或x，y=0，0.

判斷極值：

對(duì)于x，y=1，1，

構(gòu)造Hesse矩陣：

H=6x－3－36y1，1=6－3－36.

計(jì)算行列式D=36－9=27>0，且fxx=6>0，所以x，y=1，1是一個(gè)局部極小值點(diǎn).

在區(qū)域D上的極值：區(qū)域D是在第一象限中的一個(gè)三角形區(qū)域.

檢查邊界x+y=4上的極值：參數(shù)化邊界y=4－x，將函數(shù)fx，4－x化簡(jiǎn)為關(guān)于x的函數(shù).

求解fx=0得到極值點(diǎn).

比較邊界上的極值和內(nèi)部的極小值，得出整個(gè)區(qū)域D上的極值點(diǎn).

3.2提供實(shí)際問(wèn)題的解題思路和方法

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，多元函數(shù)極值問(wèn)題不僅可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，還能夠培養(yǎng)他們解決實(shí)際問(wèn)題的能力.通過(guò)提供實(shí)際問(wèn)題的解題思路和方法，學(xué)生學(xué)會(huì)將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于復(fù)雜的優(yōu)化問(wèn)題，包括問(wèn)題建模、偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算、駐點(diǎn)分析、約束條件處理和創(chuàng)新解題方法的應(yīng)用.

例3企業(yè)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，其利潤(rùn)分別由PAx，y=3x+5y和PBx，y=4x+2y給出，其中x和y分別表示產(chǎn)品A和B的生產(chǎn)量.企業(yè)的生產(chǎn)條件是總成本不超過(guò)1000元，即約束條件為3x+2y≤1000.如何確定生產(chǎn)量x和y以最大化總利潤(rùn)？

解析目標(biāo)函數(shù)建立：總利潤(rùn)函數(shù)為fx，y=PAx，y+PBx，y=7x+7y.

約束條件：總成本約束為3x+2y≤1000.

求解駐點(diǎn)：計(jì)算偏導(dǎo)fx=7和fy=7，得到駐點(diǎn)x，y=0，0.

考慮約束條件下的最優(yōu)解：將總成本約束3x+2y≤1000納入考慮.通過(guò)拉格朗日乘數(shù)法，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

Lx，y，λ=7x+7y+λ1000－3x－2y.

求解方程組Lx=0，Ly=0，

1000－3x－2y=0，

得到最優(yōu)解x，y=2003，2003

確定最優(yōu)生產(chǎn)量：在給定的成本約束條件下，最大化總利潤(rùn)的最優(yōu)生產(chǎn)量分配為x=2003和y=2003，對(duì)應(yīng)的最大總利潤(rùn)約為f2003，2003≈933.3元.

3.3組織實(shí)踐活動(dòng)和討論

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，多元函數(shù)極值問(wèn)題的學(xué)習(xí)不僅限于理論知識(shí)的傳遞，更重要的是通過(guò)組織實(shí)踐活動(dòng)和討論，培養(yǎng)學(xué)生探索和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.通過(guò)引入實(shí)際問(wèn)題并建立數(shù)學(xué)模型，學(xué)生學(xué)會(huì)計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)、尋找駐點(diǎn)，并利用拉格朗日乘數(shù)法處理約束條件.這種綜合的學(xué)習(xí)方式不僅促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，還培養(yǎng)了學(xué)生的問(wèn)題解決能力和創(chuàng)新思維，為他們未來(lái)的學(xué)術(shù)和職業(yè)生涯打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[3].

例4考慮一個(gè)農(nóng)場(chǎng)主要種植小麥和玉米，目標(biāo)是在有限的土地和資源下最大化收益.已知小麥的單價(jià)為每單位100元，玉米的單價(jià)為每單位80元.假設(shè)種植小麥和玉米需要的土地分別為x、y公頃，每公頃土地種植小麥和玉米所需要的水量分別為3萬(wàn)立方米和2萬(wàn)立方米，而總土地面積為10公頃.此外，農(nóng)場(chǎng)的水資源限制要求小麥和玉米的種植所需水量不超過(guò)30萬(wàn)立方米.如何確定種植小麥和玉米的最佳分配以最大化總收益？

解析目標(biāo)函數(shù)建立：總收益函數(shù)為R（x，y）=100x+80y，表示小麥和玉米的總收益.

約束條件：土地約束條件：x+y≤10，總土地不超過(guò)10公頃.

水資源約束條件：3x+2y≤30，總水資源不超過(guò)30萬(wàn)立方米.

求解最優(yōu)解：計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)Rx=100，Ry=80.

根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)為零的條件，得到100=λ·1和80=λ·1.

通過(guò)拉格朗日乘數(shù)法和約束條件解出x=6.

4結(jié)語(yǔ)

多元函數(shù)極值問(wèn)題的學(xué)習(xí)不僅傳授理論知識(shí)，更培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力.通過(guò)應(yīng)用數(shù)學(xué)模型和優(yōu)化方法，學(xué)生學(xué)會(huì)在復(fù)雜約束下最大化利潤(rùn)或優(yōu)化資源分配，提升數(shù)學(xué)思維和解決現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)的能力.