【摘要】函數(shù)零點問題是一類常見的高中數(shù)學函數(shù)問題，既可以考查函數(shù)相關知識點，也可以了解學生解題綜合能力情況.函數(shù)零點問題按側重內(nèi)容可分為常見的三類：零點個數(shù)求解、零點大小比較和已知零點求參.本文以具體例題為例，幫助學生理解零點問題，提高解題準確度.

【關鍵詞】高中數(shù)學；函數(shù)零點；解題技巧

1零點個數(shù)問題

零點個數(shù)問題是最常見的一類函數(shù)零點相關問題.一般題目會給出具體解析式或具體性質，要求根據(jù)已知條件分析得到零點個數(shù).主要的解題思路是可以將求零點個數(shù)問題轉化為解方程或轉化為求函數(shù)導數(shù)單調性問題，也可以結合函數(shù)圖象求解，都是需要熟練掌握的內(nèi)容.

例1已知函數(shù)fx+1是R上的偶函數(shù)，且fx+2+f2－x=0，當x∈0，1時，fx=log2－2x+52，函數(shù)fx在區(qū)間－3，3的零點個數(shù)為.

分析該函數(shù)在區(qū)間－3，3的零點需要結合具體圖象求解，函數(shù)圖象需要結合相關性質畫出，結合函數(shù)具體圖象，可以得到規(guī)定區(qū)間內(nèi)零點的個數(shù).

解因為函數(shù)fx+1是R上的偶函數(shù)，

所以f－x+1=fx+1，

所以fx關于直線x=1對稱，

因為fx+2+f2－x=0，

x=2時，f4=－f0，

由fx+2+f2－x=0，

當x=0時，f2+f2=0，

故f2=0，

又因為fx關于直線x=1對稱，

所以f0=0，

f－2=f4=－f0=0，

由對稱性可得fx在－3，3上的大致圖象如圖1所示，

則fx在區(qū)間－3，3的零點個數(shù)為9.

2比較大小問題

比較大小問題主要是求解函數(shù)零點之間的大小關系.函數(shù)可能存在一個以上的零點個數(shù)時，有的題目會要求比較零點之間的大小關系.這類問題一般需要運用數(shù)形結合思路解題，分析大致圖象，可得交點大致范圍，即可解答問題.

例2已知2a+a=log2b+b=log3c+c=kk＜1，則a，b，c從小到大的關系是.

分析首先對等式和問題進行分析，可知a，b，c是不同函數(shù)解析式與函數(shù)y=－x+k的交點，需要結合具體函數(shù)圖象來判斷a，b，c的大小，故根據(jù)函數(shù)解析式畫出圖象，解答問題.

解由2a+a=log2b+b=log3c+c=k（k＜1），

可得2a=－a+k，log2b=－b+k，

log3c=－c+k，且k＜1，

分別畫出函數(shù)y=2x，y=log2x，y=log3x和y=－x+k圖象，如圖2所示，

觀察圖象可知，a＜c＜b.

3參數(shù)范圍問題

參數(shù)范圍問題通常會給出具體函數(shù)零點個數(shù)或和積范圍，要求結合問題條件求其中未知參數(shù)的取值范圍.解答這類問題，要結合零點定理或等價轉化思路求解.零點定理在已知單個零點范圍情況下使用，等價轉化思路則將函數(shù)零點看做不同函數(shù)交點，結合導數(shù)分析單調性，繼而得到相關范圍.

例3若函數(shù)fx=sin2x+π6，函數(shù)gx=2f2x－3fx－a+1在區(qū)間π4，5π6內(nèi)有零點，則實數(shù)a的取值范圍為.

分析不清楚零點個數(shù)的情況下，并不能直接運用零點定理求解，先將參數(shù)分離，求解函數(shù)hx=2f2x－3fx+1與y=a存在交點的情況，可得到具體范圍.求導分析函數(shù)的單調性，即可得到參數(shù)的取值范圍.

解由x∈π4，5π6，

則2x+π6∈2π3，11π6，

所以fx=sin2x+π6∈－1，32，

令t=fx，則t∈－1，32，

故函數(shù)gx=2f2x－3fx－a+1在區(qū)間π4，5π6內(nèi)有零點等價于2t2－3t－a+1=0在區(qū)間－1，32上有解，

由ht=2t2－3t+1=2t－342－18，

可知htmin=h34=－18，

htmax=h－1=6，

所以實數(shù)a的取值范圍為－18，6.

變式已知函數(shù)fx=x，x≤0，alnx，x＞0，gx=fx－f－x，若函數(shù)gx有5個零點，則實數(shù)a的取值范圍是.

分析已知函數(shù)解析式可求出gx解析式，分別分析在不同區(qū)間對應的零點個數(shù)，然后結合函數(shù)值域分析實數(shù)a的具體取值范圍.

解若函數(shù)gx有5個零點，則結合對稱性可得，

當x＞0時，gx需要有2個零點，即關于x的方程－x=alnx有兩個不相等的實數(shù)根，x=1顯然不是－x=alnx的根，

令hx=－xlnx，其定義域為0，1∪1，+∞，則h′x=1－lnxlnx2，

令h′x=0，可得x=e，

當0＜x＜1時，h′x＞0，hx單調遞增；

當1＜x＜e時，h′x＞0，hx單調遞增；

當x＞e時，h′x＜0，hx單調遞減.

所以hx=－xlnx在x=e處取得極大值，h（e）=－e，

當0＜x＜1時，hx=－xlnx＞0恒成立；

當x＞1時，hx≤－e.

只有滿足a∈－∞，－e，直線y=a才與曲線hx=－xlnx有2個交點，從而函數(shù)gx有5個零點，故實數(shù)a的取值范圍為－∞，－e.

4結語

上述分別對函數(shù)零點問題的常見考查題型和解題思路進行總結和分析，不同的函數(shù)零點問題有對應不同的解題思路，需要掌握對應內(nèi)容并靈活應用.零點個數(shù)問題解題思路較多，根據(jù)不同解析式采取對應思路；函數(shù)零點大小問題結合圖象解題較為常見；函數(shù)零點求參問題需要分離參數(shù)，再進一步轉化求解.

參考文獻：

[1]郭文峰.高中數(shù)學函數(shù)零點問題及解題策略探究[J].數(shù)理化解題研究，2023（10）：36-38.

[2]朱黛詩.優(yōu)化高中數(shù)學函數(shù)零點復習課的有效策略[J].試題與研究（教學論壇），2021（02）：113.