【摘要】與圓有關(guān)的最值問題是近年來高考數(shù)學(xué)（非解答題）的熱點之一.用參數(shù)方程解答相關(guān)題目往往較用別的方法更便捷，比如利用圓的參數(shù)方程x=a+rcosθy=b+rsinθ（θ為參數(shù)）可以簡化探究距離、長度、定值或取值范圍等問題的運算，大大提高解題效率.本文通過析題對比不同解法加以說明.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；圓；參數(shù)方程

1巧解數(shù)量積的取值范圍問題

1.1題目呈現(xiàn)

例1（2022年北京市高考卷第10題）在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°。P為△ABC所在平面內(nèi)的動點，且PC=1，則PA·PB的取值范圍是（）

（A）－5，3.（B）－3，5.

（C）－6，4.（D）－4，6.

1.2解法對比

1.2.1平面向量基本定理法

解如圖1，取線段AB的中點D，

因為PA=PC+CA，PB=PC+CB，

所以PA·PB=（PC+CA）·（PC+CB）=PC2+PC·（CB+CA）+CA·CB，

因為CB+CA=2CD，

所以PA·PB=1－2CP·CD，

設(shè)〈CP，CD〉=θ（θ∈［0，π］），

所以PA·PB=1－2×1×52cosθ=1－5cosθ，

因為－1≤cosθ≤1，故PA·PB的取值范圍為－4，6.

點評用平面向量基本定理及平面向量數(shù)量積的定義（或投影向量）確定取值范圍.

1.2.2圓的參數(shù)方程法

解建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系xCy，則A（3，0），B（0，4），P為△ABC所在平面內(nèi)的動點，且PC=1，可得動點P（x，y）的軌跡為以C為圓心，1為半徑的圓，設(shè)點P（cosθ，sinθ），θ∈［0，2π），則PA·PB=（3－cosθ，－sinθ）·（－cosθ，4－sinθ）=1－3cosθ－4sinθ=1－5sin（θ+φ），其中tanφ=34，因為－1≤sin（θ+φ）≤1，所以PA·PB的取值范圍為－4，6.

點評用圓的參數(shù)方程確定數(shù)量積的取值范圍.

2巧解距離的最值問題

例2（2020年北京市豐臺區(qū)高三二模第15題改編）已知集合P={（x，y）∣（x－cosθ）2+（y－sinθ）2=4，0≤θ≤π}.由集合P中所有的點組成的圖形如圖3中陰影部分所示，中間白色部分形如美麗的“水滴”. 則在集合P中任取一點M，則M到原點的距離的最大值為.

解設(shè)點M（cosθ+2cosα，sinθ+2sinα），α∈［0，2π），

則MO=|MO|

=（cosθ+2cosα）2+（sinθ+2sinα）2

=5+4cos（θ－α），

因為－1≤cos（θ－α）≤1，所以M到原點的距離的最大值為3.

例3（2019年清華大學(xué)領(lǐng)軍計劃第3題）已知P為單位圓上一動點，且A（0，2），B（0，－1），求|AP||BP|2的最大值.

解設(shè)點P（cosθ，sinθ），θ∈［0，2π），

則|AP|=|AP|=5－4sinθ，

|BP|2=BP2=2+2sinθ，

所以|AP||BP|2=5－4sinθ（2+2sinθ）=（5－4sinθ）（2+2sinθ）2，

當(dāng)θ≠3π2時，則5－4sinθ>0，2+2sinθ>0，

所以，|AP||BP|2≥

（5－4sinθ）+（2+2sinθ）+（2+2sinθ）33

=33，

當(dāng)5－4sinθ=2+2sinθ，即sinθ=12時取等號；

當(dāng)θ=3π2時，則P（0，－1），所以|AP||BP|2=0，

綜上，|AP||BP|2的最大值為33.

3巧求參數(shù)的取值范圍問題

例4過點A（m，2）作直線l與圓C：x2+y2=1交于M，N兩點，若M點恰好是線段AN的中點，則實數(shù)m的取值范圍是.

解設(shè)M（cosθ，sinθ），θ∈［0，2π），則N（2cosθ－m，2sinθ－2），代入圓方程得，4cos2θ－4mcosθ+m2+4sin2θ－8sinθ+4=1，化簡得4mcosθ+8sinθ=m2+7，在θ∈［0，2π）上有解，因為4mcosθ+8sinθ=16m2+64sin（θ+φ），其中，tanφ=m2，所以m2+7≤16m2+64，解得m∈［－5，5］.

例5已知圓的方程為x2+y2=1，點P（x，y）是圓上的任一點，則不等式x+y+xy≥t2+2t－4恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為.

解設(shè)P（cosθ，sinθ），θ∈［0，2π），則x+y+xy=cosθ+sinθ+cosθsinθ，

因為cosθsinθ=（cosθ+sinθ）2－12，

所以，x+y+xy=cosθ+sinθ+（cosθ+sinθ）2－12=12（cosθ+sinθ+1）2－1，

因為cosθ+sinθ=2sin（θ+π4）∈［－2，2］，

所以，x+y+xy∈［－1，1+222］，因為不等式x+y+xy≥t2+2t－4恒成立，

所以，－1≥t2+2t－4，即t2+2t－3≤0，所以實數(shù)t的取值范圍為［－3，1］.

4結(jié)語

例1中的兩種方法將與圓相關(guān)的最值問題，轉(zhuǎn)化為由輔助角公式得到的三角函數(shù)值域問題，通過代數(shù)運算輕松解決了復(fù)雜的幾何問題.例3中，同樣的是利用三角函數(shù)及基本不等式將兩條變化的距離問題進(jìn)行了代數(shù)坐標(biāo)化，從而實現(xiàn)了通過代數(shù)運算降低幾何抽象帶來的思維困難.例4及例5通過參數(shù)方程得到的三角函數(shù)的有界性，由此確定函數(shù)最值，解得不等式得到參數(shù)的范圍.因此，我們不難發(fā)現(xiàn)利用圓的參數(shù)方程解決最值問題，實質(zhì)上就是用三角代換表示圓上的動點坐標(biāo)，通過將幾何問題代數(shù)坐標(biāo)化，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，這種處理問題的方式明顯達(dá)到了事半功倍的效果.

參考文獻(xiàn)：

[1]張樹鵬.破解向量最值問題的三種有效途徑[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（11）：126.

[2]蔣偉.化繁為簡巧用圓的參數(shù)方程解題[J].理科考試研究，2015，22（03）：7.