【摘要】“微專題”是日常教學的重要手段，數列求和問題是高考重點考查的內容.數列常見模型有“－1n·f（n）”，本文立足“通性通法”尋求“模型化”，探索其本質，讓學生深刻體會到不同解題的方法的計算量.通過對數列通項公式的剖析和變形，不難發(fā)現最終可以轉化成數列常用的數列求和方式進行求取.本文通過具體實例，談談數列通項公式中含“－1n”形式的解決策略．

【關鍵詞】數列求和；高中數學；解題技巧

高中階段，數列求和是高考?？嫉念}型，既是重點也是難點，數列求和變化多樣，技巧性強，總歸萬變不離其宗．數列常用的求和基本方法：直接用公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、并項求和法等.在高考題中數列求和經常會遇到通項公式有“－1n·f（n）”的形式，往往通過對通項公式分析再進行變形，才能轉化成常見的求和模型，這類題目綜合性很強，難度也較大，所以在日常更加注重培養(yǎng)學生邏輯思維和數學中轉化思想的核心素養(yǎng)．本文通過微專題模式，總結出幾種處理數列“－1n.f（n）”模型求和解題策略．

1探究1“－1n×等差通項”型

例1設cn=（-1）n·（4n-3），求數列{Cn}前n項和An.

解決策略1由于“－1n”的產生造成通項公式正負相間出現，可以采用奇偶分類的思想解決，這樣分類就把正負數據區(qū)分開，可得cn=3－4n（n為奇）4n-3（n為偶），由于求前n項和，求和時尾項到底是誰？此時再次需要分奇偶討論求和，通常先討論n為偶數情況，當n為偶數時，An=（c1+c3+c5+…+cn-1）+（c2+c4+c6+…+cn）=[-1+（-9）+（-17）+…+（7-4n）]+（5+13+21+…+4n-3），由于前后兩部分和均為等差數列，可以直接用公式法進行求和，An=n2（－1+7－4n）2+n2（5+4n－3）2=2n；

當n為奇數時，可借助偶數情況求取，避免重復運算，即An=An+1-cn+1=2（n+1）-4n-1=-2n+1．

解決策略2通過觀察發(fā)現相鄰兩組數據相加，會構成一個新的等差數列，此時可以采用并項求和法解決，此時再次需要分奇偶討論求和，先討論偶數，這樣恰好兩兩結組，無剩余項．當n為偶數時，An=（c1+c2）+（c3+c4）+（c5+c6）+…+（cn-1+cn）=（4+4+4+…+4）=4.n2=2n ，當n為奇數時，可借助偶數情況求取，即An=An+1-cn+1=-2n+1；這樣就大大減少了計算量，提升解題效率．

解決策略3“－1n”是一個擺動數列，也可以看成以-1為首項，-1為公比的等比數列，此時轉化成等差數列乘等比數列模型，可以采用錯位相減法求和．

2探究2“－1n×等差通項×等差通項”型

例2已知cn=（-1）n·（3n-2）·（3n+1），求數列{Cn}的前n項和An．

解決策略對于這個題目，大多數學生會想到奇偶分類，但是奇偶分類每段都是二次函數模型，用常規(guī)方法依然無從下手，此時，依然可以列舉出若干項，若單獨項無特點，可以通過相鄰兩項或者三項結對，觀察規(guī)律變化，也不違是一種好的分析辦法．對此，通過相鄰兩項的和構成的數值，構成一個新的等差數列，c1+ c2=24，c3+c4=60，c5+ c6=96.

分類討論，當n為偶數時，cn-1 + cn=18n-12，

可利用等差數列求和公式得：

An=n2（24+18n－12）2=n2（9n+6），

當n為奇數時利用An=An+1-cn+1求取即可．

3探究3“－1n×等比通項”型

例3已知cn=（-1）n·3n+1，求數列{Cn}前n項和An.

解決策略依然可以采用奇偶分類的基本方法，寫成分段數列，采取分組求和方法直接用等比數列求和解決；另外一種思路，可以想到把“－1n”與后面指數型進行合并，將3n+1拆分成3·3n，合并結果cn=3·（-3）n，此時可以采用等比數列求和公式求取，即An=3×－3－（－3）n+11－（－3）=－34［3+（－3）n+1］.

4探究4“－1n×等差通項×等比通項”型

例4已知cn=（-1）n·3n+1·（2n-1），求數列{Cn}的前n項和An.

解決策略可以采用奇偶分類的基本方法，寫成分段數列，由于每段都是等差比數列，這時候需要采用兩次錯位相減法進行求和，計算量較大，容易犯計算錯誤．

還可以將（-1）n與后面指數型進行合并，將3n+1拆分成3·3n，合并結果cn=（6n-3）·（-3）n.可以采用一次錯位相減法，此處計算過程不再重復．

能通過兩種辦法對比，能消除“－1n”往往會減少計算過程，在數列求和問題上更應該講究解題策略，不要盲目去求解，處理求和問題一定要先觀察通項公式，變形成常見的求和模型，簡化計算過程，才能避免出現更多錯誤．

5探究5“－1n×常見分式”型

例5已知cn=－1n-1·4n+4（2n+1）（2n+3），求數列{Cn}的前n項和An.

解決策略通?？吹椒质絾栴}，常常會聯(lián)想到錯位相減法，裂項的本質就是項與項之間能出現一組相反的數才能抵消掉，所以我們可以嘗試將4n+4（2n+1）（2n+3）進行分離，分離的本質思想就是分子用分母整體表示，4n+4=（2n+1）+（2n+3），可得4n+4（2n+1）（2n+3）=1（2n+1）+1（2n+3），由于分離部分的通項公式全部是正數，無法直接裂項，那么－1n-1起到調和裂項的作用，只有引入－1n-1，才可造成通項公式出現正負變化，cn=－1n-1·4n+4（2n+1）（2n+3）=－1n-1[1（2n+1）+1（2n+3）]，所以，An=13+15－（15+17）+…+－1n-1[1（2n+1）+1（2n+3）]

=13+－1n-11（2n+3）.

利用裂項的好處就在于減少了奇偶分類討論，更加巧妙，同時減少了計算量.在解決數列求和問題時，選擇最佳求和方法，才能更準確快捷計算．

例6已知cn=－1n·（6n+5）·2n－1（2n+1）（2n+3），求數列{Cn }的前n項和An.

解決策略要想把通項公式分離開，本質就是分子用分母整體表示，而由于分母不含有指數型，通?？蓪⒎肿拥闹笖敌拖忍蕹?，拆分（6n+5）（2n+1）（2n+3）=1（2n+1）+2（2n+3），然后為了出現正負變化需要引入－1n，

即－1n[1（2n+1）+2（2n+3）]·2n－1.

此時通過觀察，可知仍然不滿足裂項相消的條件，那么2n－1起到非常重要的作用，用來調和裂項，原式可得－1n[2n-1（2n+1）+2n（2n+3）]，此時求和方式很明顯，裂項相消法求和，An=－13－25+25+47+…+－1n[2n-1（2n+1）+2n（2n+3）]=－13+－1n2n（2n+3），在裂項求和時一定要檢驗所剩項數，永遠保證剩余對稱項，不可能剩余單項，這也是檢驗裂項是否正確的一種手段．

6探究6“－1n×對數型”

例7已知cn=－1n·ln［n.（n+1）］，求數列{Cn}的前n項和An.

解決策略對數問題往往非常有迷惑色彩，可以利用對數的運算法則將ln［n·（n+1）］進行再次拆分，可得ln［n·（n+1）］=ln n+ln（n+1），觀察－1n.［ln n+ln（n+1）］，可知－1n仍然用來調和裂項，An=-ln1-ln2+ln2+ln3+…+－1n.[lnn+ln（n+1）]=－1nln（n+1），所以裂項問題不僅僅存在分式中，也可能存在對數型整式中，這就要求在日常數學學習中不斷總結，不斷探索.

通過以上幾個簡單類型的分析，不難發(fā)現，無論通項公式多么復雜，最終可以轉化成簡單的通項公式，采用直接公式法，錯位相減，裂項相消等常見的方法解決數列求和問題，通過節(jié)選2022年天津卷數學高考數列題目，感受上述的幾種求和方法解決“－1n·f（n）”模型的策略．

例8（2022天津卷17題節(jié)選部分）設an是等差數列，bn是等比數列，且 a1=b1=a2-b2= a3-b3= 1．

（1）求an與bn的通項公式；

（2）求∑2nk=1ak+1－（－1）kakbk．

解（1） an=2n-1，bn=2n-1.

（2）求和剖析.

角度1通過分奇偶消除“（-1）n”

對于數列求和，通常先求通項公式，再進行求和，可以令ck=[ak+1-（-1）kak]·bk=[（2k+1）-（-1）k（2k-1）]·2k-1.

對通項公式中“（－1）k”分奇偶討論，當n為偶數時，可知ck=2k；當n為奇數時可知ck=k·2k+1；所以，通項公式可以寫成分段形式：

ck=k·2k+1（n為奇）2k（n為偶）.

由分段數列可以分析，奇數部分為等差數列乘等比數列模型，可以借助錯位相減法，偶數部分顯然是等比數列，可以采用直接公式法求解，所以可以采用分組求和，進而得出整體和式， 簡要過程：

∑2nk=1ck=（c1+c3+c5+…+c2n-1）+（c2+c4+c6+…+c2n）.令An=c1+c3+c5+…+c2n-1;Bn=c2+c4+c6+…+c2n.

An=（83n-209）·4n+209.

Bn部分可直接采用等比數列求和公式法，可得Bn=13（4n+1-4），最后通過An+Bn得出結果即可．

角度2通過合并，將“（－1）k”消除

如何將題干中“（－1）k”與相關項合并，值得我們去思考和探究．題目中含有“（－1）k”和2k-1，這部分乘積都含有k次冪，可以把2k-1拆分成12·2k的形式，此時“（－1）k”和12·2k同次冪可以進行合并為12·-2k的形式．

所以此時轉化為ck=[ak+1-（－1）kak]·bk=[（2k+1）-（－1）k（2k-1）]·2k-1=（2k+1）·2k-1-（－2）k·（k-12）.

通過觀察，（2k+1）.2k-1和-2k.（k-12）兩部分分別采用錯位相減法分別求出和式即可.

角度3含有“－1n”可考慮并項求和法

當數列中常含有“－1n”符號，項常常體現為正負相間隔出現，也可能會出現周期性變化，此時可以嘗試將其中兩項或者三項合并成一組，觀察規(guī)律，然后進行求和．

通過觀察相鄰兩項結組，構成一個新的通項公式，即因為[a2k-（-1）2k-12k-1]b2k-1+[a2k+1--12ka2k]b2k＝（4k-1+4k-3）22k-2+[4k+1-（4k-1）]×22k-1＝2k·4k，可以采用錯位相減法求其前n項和．

策略歸納通過三個角度對比，我們不難發(fā)現，針對（-1）n的模型，最基本可以采取奇偶分類討論的思想，去觀察每段通項公式特點，進行分組求和．我們在處理（-1）n還可以考慮并項求和法，這道天津卷高考題，精妙之處在于讓考生可以采取多種途徑進行求和處理，更能培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，提升計算水平以及自主學習探究的能力．

“微專題”更具有模塊化特點，針對性強，更有助于提升學生的思維能力，增強課堂氛圍，培養(yǎng)學生獨立思考的能力，更能提升課堂效率，滿足學生的需求．數學學習的本質是學習思維方法、提高思維能力.在數學思想方法的引導下，探究拓展問題，分析對比變式拓展前后的問題對象的共同特征，思考能否將問題轉化為探究前的問題加以解決，讓學生從思維的角度找到解決問題的切人點.

7結語

《普通高中數學課程標準》明確指出：“高中數學教學以發(fā)展學生數學核心素養(yǎng)為導向，創(chuàng)設合適的情境，啟發(fā)學生思考，引導學生探索數學本質內容.”在日常教學中，教師更加注重總結，實現微專題化模式教學，不斷探索數學的本質和方法，致力于培養(yǎng)學生持續(xù)性發(fā)展的數學思想和理念，引導學生探索數學的方法，這也是提升學生數學核心素養(yǎng)的關鍵，同時也能實現立德樹人，為國育才的目的．

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.