【摘要】2024年高考全國(guó)甲卷理科第12題考查的是動(dòng)直線與圓相交所得弦的最值問(wèn)題.本文通過(guò)分析動(dòng)直線的方程特點(diǎn)、圓的方程及幾何性質(zhì)，從幾何角度和代數(shù)角度推導(dǎo)出弦長(zhǎng)的最值.文中結(jié)合實(shí)例詳細(xì)闡述求解問(wèn)題的步驟：審題、思路指引、精細(xì)化解題，并總結(jié)規(guī)律，給出教學(xué)思考，旨在幫助學(xué)生深入理解相關(guān)概念，提升解題能力，為數(shù)學(xué)教學(xué)提供有價(jià)值的參考.

【關(guān)鍵詞】動(dòng)直線；圓；弦長(zhǎng)；最值問(wèn)題

在高中數(shù)學(xué)中，圓與直線的位置關(guān)系是重要的知識(shí)點(diǎn).其中，動(dòng)直線與圓相交所得弦的最值問(wèn)題常令學(xué)生感到困惑.準(zhǔn)確求解此類問(wèn)題，不僅需要扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，更需要清晰的解題思路.本文從一道高考題出發(fā)，旨在對(duì)此類問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)研究，為教學(xué)和學(xué)習(xí)提供幫助.

1高考試題

（2024年高考全國(guó)甲卷理科第12題）已知b是a，c的等差中項(xiàng)，直線ax+by+c=0與圓x2+y2+4y－1=0交于A，B兩點(diǎn)，則AB的最小值為（）

（A）2.（B）3.（C）4.（D）25.

2審題

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于動(dòng)直線與圓相交弦的最值問(wèn)題，我們一般有兩種思路解決問(wèn)題.

從形的角度：觀察到直線方程為一般式形式，且含有三個(gè)參數(shù)，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可消參，進(jìn)而確定其過(guò)定點(diǎn)；最后根據(jù)定點(diǎn)到動(dòng)直線的距離確定圓心到直線距離最值，利用弦長(zhǎng)公式求最值即可.

從數(shù)的角度：根據(jù)弦長(zhǎng)公式得到弦長(zhǎng)的含參表示，再根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合比值換元消參，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求代數(shù)式的最值即可.

3精細(xì)化解題

3.1解法1：從形的角度

思路指引（1）觀察到直線方程含有三個(gè)參數(shù)，而b是a，c的等差中項(xiàng)，可利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)消元；

（2）整理直線方程得到ax－1+by+2=0，由式子結(jié)構(gòu)得到直線過(guò)定點(diǎn)1，－2；

（3）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，作出直線與圓的圖形，由數(shù)形結(jié)合得到圓心與定點(diǎn)連線垂直于直線時(shí)弦長(zhǎng)可取得最小值；

（4）利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算最值得出結(jié)果即可.

解因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，

所以2b=a+c，c=2b－a，

代入直線方程ax+by+c=0，

得ax+by+2b－a=0，

即ax－1+by+2=0.

令x－1=0y+2=0，得x=1y=－2，故直線恒過(guò)點(diǎn)1，－2，設(shè)P1，－2.

將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得x2+y+22=5，設(shè)圓心為C，則C0，－2，半徑r=5，

畫出直線與圓的圖形，如圖1所示，

易知PC=1，AC=r=5.

當(dāng)PC⊥AB時(shí)，AB最小，

此時(shí)AB=2AP=2AC2－PC2=25－1=4.

故選（C）.

點(diǎn)評(píng)利用等差中項(xiàng)性質(zhì)消參，這里化三元為兩元，消哪個(gè)參數(shù)都可以，如消a可得直線方程為b2x+y－cx－1=0，消b得a2x+y+cy+2=0.根據(jù)直線方程的特征確定直線過(guò)定點(diǎn)，化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，作出直線與圓的圖形.解答本題的關(guān)鍵是過(guò)圓心作直線的垂線，垂足為D，如圖2，可知CD≤CP=1，而AB=2r2－CD2，利用數(shù)形結(jié)合可判定D，P重合時(shí)，AB最小.

3.2解法2：從數(shù)的角度

思路指引（1）先將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，確定圓心及半徑；

（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式得圓心到直線的距離d，根據(jù)弦長(zhǎng)公式得：

AB=25－c－2b2a2+b2；

（3）弦長(zhǎng)表達(dá)式中含有三個(gè)參數(shù)，由條件b是a，c的等差中項(xiàng)，可利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)消c得AB=25－a2a2+b2；

（4）通過(guò)比值換元得：

AB=25－11+ba2，

利用1+ba2≥1計(jì)算最值即可.

解將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得x2+y+22=5，設(shè)圓心為C，則C0，－2，r=5.由點(diǎn)到直線的距離公式得圓心到直線的距離

d=c－2ba2+b2.

由弦長(zhǎng)公式得：

AB=2r2－d2=25－｜c(diǎn)－2b｜2a2+b2.

b是a，c的等差中項(xiàng)，

所以2b=a+c，c=2b－a，

AB=25－a2a2+b2=25－11+ba2.

易知1+ba2≥1，所以AB≥25－1=4，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)取得等號(hào).故選（C）.

點(diǎn)評(píng)將圓的一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程從而確定圓心及半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得圓心到直線的距離，利用弦長(zhǎng)公式含參表示AB.解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)消參得AB=25－a2a2+b2，但表達(dá)式仍含有兩元，注意到式子為二元分式，上下齊次，故可利用比值換元消參得AB=25－11+ba2，利用1+ba2≥1從而確定代數(shù)式的最值.

4教學(xué)思考

在動(dòng)直線與圓相交所得弦的最值問(wèn)題的教學(xué)中，首先要強(qiáng)化學(xué)生對(duì)圓的基本性質(zhì)和直線方程的理解，這是解決此類問(wèn)題的基礎(chǔ).應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的想象能力，通過(guò)多媒體等工具直觀展示圖形變化，幫助學(xué)生更好地理解弦長(zhǎng)的變化規(guī)律.同時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，將代數(shù)方程與幾何圖形緊密結(jié)合，從而更快捷地找到解題思路.此外，多設(shè)計(jì)不同類型和難度層次的練習(xí)題，讓學(xué)生在實(shí)踐中積累經(jīng)驗(yàn)，提高解題的靈活性和準(zhǔn)確性.

5結(jié)語(yǔ)

上文通過(guò)對(duì)動(dòng)直線與圓相交所得弦的最值問(wèn)題的研究，為教學(xué)提供了新的思路和方法.在今后的教學(xué)中，教師要不斷引導(dǎo)學(xué)生深入思考，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.同時(shí)，教師也要不斷更新教學(xué)理念，提高自身的專業(yè)素養(yǎng)，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)創(chuàng)造更有利的條件，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)水平的全面提升.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳姍姍.巧用幾何關(guān)系理解代數(shù)結(jié)構(gòu)——以直線與圓的方程問(wèn)題的探究為例[J].教學(xué)考試，2024（29）：57-61.

[2]石舢，趙丹丹.直線與圓易錯(cuò)點(diǎn)梳理與分析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2024（03）：32-35.

[3]張志強(qiáng).直線與圓的位置綜合問(wèn)題探究[J].數(shù)理天地（高中版），2024（11）：16-17.