【摘要】本文對(duì)高考函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題的題型及其解法進(jìn)行宏觀上長時(shí)段的梳理歸納、提煉分析、研究命題規(guī)律，從而對(duì)高考命題方向進(jìn)行預(yù)測(cè)，并舉例進(jìn)行微觀剖析、引導(dǎo)教學(xué)，開展精準(zhǔn)教學(xué)實(shí)踐，突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)、疏通堵點(diǎn)、追回漏點(diǎn)，指導(dǎo)學(xué)生精準(zhǔn)備考．

【關(guān)鍵詞】函數(shù)導(dǎo)數(shù)；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

自教材改革，函數(shù)導(dǎo)數(shù)進(jìn)入教材、進(jìn)入高考試題以來，命題落點(diǎn)大約經(jīng)歷了以下幾個(gè)類型階段．（1）多項(xiàng)式型函數(shù)的初級(jí)階段，fx=ax3+bx2+c；（2）指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)分別與二次及以下函數(shù)結(jié)合常規(guī)解法型階段，fx=alnx+（bx2+cx+d）或fx=alnx-（bx2+cx+d）或fx= ex（ax2+bx+c）或fx=ax2+bx+cex；（3）指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)同時(shí)出現(xiàn)在一個(gè)解析式中難度較大型階段，fx=alnx+bex+c，借助同構(gòu)法讓指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)之一短暫消失，避開討論，化難為易，達(dá)成妙解，如2020年和2021年全國I=1*ROMAN卷數(shù)學(xué)高考試題21和22；（4）fx=aex+bxcosx+c，借助常用不等式ex≥x+1放縮讓指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)不再同時(shí)出現(xiàn)，如2022年江蘇省南通市海安2.5模試題22和泰州市3模試題22．現(xiàn)分別予以說明，供教師讀者研究和學(xué)生讀者復(fù)習(xí)時(shí)參考．

例1（2020高考全國I=1*ROMAN卷題21）已知函數(shù)f（x）=aex－1－lnx+lna．

（1）當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍．

解析（1）解略．

（2）由f（x）≥1得aex－1－lnx+lna≥1，即elna+x－1－lnx+lna≥1．亦即elna+x－1+lna－1≥lnx，也就是elna+x－1+lna+x－1≥lnx+x=elnx+lnx．（模型同構(gòu)）

令g（t）=et+t，g′（t）=et+1>0，所以g（t）在R上單調(diào)遞增．

則有g(shù)（lna+x－1）≥g（lnx），則lna+x－1≥lnx恒成立．

即lna≥lnx－x+1恒成立，只需lna≥（lnx－x+1）max．

令h（x）=lnx－x+1，h′（x）=1x－1=1－xx．

所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以h（x）≤h（1）=0．

則lna≥0，則a≥1．故a的取值范圍是［1，+∞）．

例2（2021高考全國I=1*ROMAN卷題22）已知函數(shù)fx=x1－lnx．

（1）討論fx的單調(diào)性；

（2）設(shè)a，b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且blna－alnb=a－b，證明：2<1a+1b<e．

解（1）因?yàn)閒x=x1－lnx，x∈（0，+∞），

所以f′（x）=1－lnx－1=－lnx．

所以fx在0，1單調(diào)遞增，fx在1，+∞單調(diào)遞減．

（2）由blna－alnb=a－b，

得－1aln1a+1bln1b=1b－1a．

即1a1－ln1a=1b1－ln1b．（模型同構(gòu)）

令x1=1a，x2=1b，則x1，x2為fx=k的兩個(gè)根，其中k∈0，1．

不妨令x1∈0，1，x2∈1，e，則2－x1>1．

先證2<x1+x2，即證x2>2－x1．亦即證fx2=fx1<f2－x1．

令hx=fx－f2－x，則h′（x）=f′（x）+f′（2－x）=－lnx－ln（2－x）=－ln［x（2－x）］．

因?yàn)閤∈0，1，所以x2－x∈0，1．

所以h′（x）>0恒成立，所以hx單調(diào)遞增．

于是hx<h1=0，

所以fx1<f2－x1．

所以2<x1+x2，得證．

同理，要證x1+x2<e，只須證fx2=fx1<fe－x1．

令φx=fx－fe－x，x∈0，1，則φ′（x）=－lnxe－x．令φ′（x0）=0，則

又x>0，fx>0，且fe=0，所以x→0，φ0>0，φ1=f1－fe－1>0．

所以φx>0恒成立．所以x1+x2<e得證．故2<1a+1b<e．

例3（2022年江蘇省南通市海安2.5模題22）已知函數(shù)fx=ex+xcosx．

（1）判斷函數(shù)fx在［0，+∞）上的單調(diào)性，并說明理由；

（2）對(duì)任意x≥0，不等式ex+xsinx+cosx≥ax+2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解（1）函數(shù)fx在［0，+∞）上單調(diào)遞增．理由如下：

因?yàn)閒x=ex+xcosx，所以f'x=ex+cosx+x（-sinx） ．

記gx=ex-x-1，則g'x=ex-1，令g′x=0，得x=0．

故gxmin=g0=0，ex-x-1≥0即ex≥x+1．（下面借助這個(gè)常用不等式放縮）

于是f′x≥x+1+cosx-xsinx=x1-sinx+1+cosx≥0．

所以函數(shù)fx在［0，+∞）上是單調(diào)遞增的函數(shù)．

（2）記px=ex+xsinx+cosx-ax-2（x≥0），則p′x=ex+xcosx-a，

且p′0=1-a．由（1）知p′x=ex+xcosx-a為［0，+∞）上的增函數(shù)．

①當(dāng)1-a≥0時(shí)，p′0=1-a≥0，p′x=p′0≥0．

所以px為［0，+∞）上的增函數(shù)．px=p0=0，即ex+xsinx+cosx≥ax+2．

所以a≤1符合題意．

②當(dāng)1-a<0時(shí)，p′0=1-a<0，p′a=ea+acosa-a≥ea-2a．

記qx=ex-2x（x>1），則q′x=ex-2>e-2>0，所以qx為（1，+∞）上的增函數(shù)．所以qx>q1=e-2>0．即ex-2x>0（x>1），所以p′a≥ea-2a>0．

又px在［0，+∞）上的圖象不間斷，且px為［0，+∞）上的增函數(shù)．根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，存在唯一的零點(diǎn)x0∈（0，+∞）使得px0）=0．

所以當(dāng)0≤x≤x0時(shí)，p′x≤0，px在（0，x0）上單調(diào)遞減．

所以px<p0=0，這與對(duì)任意x≥0，不等式ex+xsinx+cosx≥ax+2恒成立矛盾，所以a>1不符合題意．

綜上可得a≤1．

例4（2022年江蘇省泰州市3模題22）已知函數(shù)fx=ex+asinx-ax2-1+ax．

（1）當(dāng)a≤0時(shí)，討論函數(shù)fx的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)fx在R單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的值．

解（1）因?yàn)閒x=ex+asinx-ax2-1+ax，

所以f′x=ex+acosx-2ax-（1+a），

f″x=ex-asinx-2a=ex-a（sinx+2） ．

因?yàn)閍≤0，f″x>0，f′x在R上單調(diào)遞增，又f′0=0．

所以當(dāng)a≤0時(shí)，fx在（-∞，0）單調(diào)遞減，在［0，+∞）上單調(diào)遞增．

（2）由（1）知a≤0時(shí)不滿足fx在R單調(diào)遞增．

①當(dāng)0<a<12時(shí)，若x∈（-∞，0），則f′（x）=ex+acosx-2ax-（1+a）（借助常用不等式的變式放縮）≤11-x+acosx-2ax-1+a≤11-x+a-2ax-1-a=2ax［x-（1-12a）］1-x．

在ex≥x+1中，以-x代替x得e-x≥-x+1，所以x<0時(shí)，ex≤11-x．

當(dāng)1-12a<x<0時(shí)，f′x<0，fx在（1-12a，0）單調(diào)遞減，不符合題意．

②當(dāng)a>12時(shí)，若x∈（0，1），

同理f′x=2ax［x-（1-12a）］1-x．

當(dāng)0<x<1-12a時(shí)，f′x<0，fx在（0，1-12a）單調(diào)遞減，不符合題意．

③當(dāng)a=12時(shí)，fx=ex+12sinx-12x2-32x，f′x=ex+12cosx-x-32．

此時(shí)f″x=ex-12sinx-1．

當(dāng)x>0時(shí)，

f″x=ex-12sinx-1≥x+1-12sinx-1≥x-12x>0，f'x在（0，+∞）單調(diào)遞增．

當(dāng)x<0時(shí)，

若x∈（-1，0），f″x=ex-12sinx-1≤11-x-12x-1<0，f'x在（-1，0）單調(diào)遞減．

若x∈（-∞，-1），f″x=ex-12sinx-1≤1e+12-1<0，f'x在（-∞，-1）單調(diào)遞減．

又f'x在（-∞，0）上的圖象不間斷，所以f'x在（-∞，0）單調(diào)遞減．

故f′x≥f′0=0，滿足fx在R單調(diào)遞增．

綜上可得a=12．

結(jié)語

數(shù)學(xué)精準(zhǔn)備考教學(xué)的關(guān)鍵就是教準(zhǔn)，教準(zhǔn)的關(guān)鍵來源就是吃透教材和準(zhǔn)確把握高考命題方向，切實(shí)讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)和掌握核心方法．做了成千上萬道數(shù)學(xué)題，學(xué)生是否感悟到了蘊(yùn)涵其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，是否領(lǐng)會(huì)了概念和結(jié)論的形成過程？數(shù)學(xué)思想方法是更高層次上的抽象和概括，復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)堅(jiān)持以知識(shí)為載體，以方法為主線，以培養(yǎng)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，化未知為已知，化不可能為可能，化不會(huì)為會(huì)，多把學(xué)情與考情結(jié)合，真正做好結(jié)合文章．制作微專題強(qiáng)化重點(diǎn)、突破難點(diǎn)、疏通堵點(diǎn)、追回漏點(diǎn)，突出對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法及思想的理解、掌握和運(yùn)用．

參考文獻(xiàn)：

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[2]楊華文.正本清源 回歸原始 破解壓軸[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（高中版），2017（1-2）：66-68．