【摘要】本文通過(guò)一節(jié)案例課的思路分析，將立體幾何中的最短距離問(wèn)題通過(guò)劃歸的方式與平面解析幾何聯(lián)系到一起.學(xué)生通過(guò)感受動(dòng)態(tài)幾何中展開(kāi)平面、證明全等、還原長(zhǎng)度關(guān)系、求解線段長(zhǎng)度的流程感受到數(shù)學(xué)中不同模塊的聯(lián)系，深化數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

【關(guān)鍵詞】立體幾何；最短距離；解題技巧

1教學(xué)內(nèi)容分析

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要章節(jié)之一，到此階段高三學(xué)生已經(jīng)完成了一輪復(fù)習(xí)，對(duì)高中整體內(nèi)容有了一定的認(rèn)知.在此節(jié)點(diǎn)，借助“最短距離”問(wèn)題使學(xué)生回顧和建構(gòu)完整的立體幾何知識(shí)體系，以具體的棱柱、棱錐、旋轉(zhuǎn)體構(gòu)建點(diǎn)、線、面間位置框架，進(jìn)行熟練的轉(zhuǎn)化和遷移.

立體幾何中的“距離”問(wèn)題是定量分析空間幾何元素（點(diǎn)、線、面）間位置關(guān)系的重要幾何量.在研究距離問(wèn)題時(shí)，常將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題處理，這是化歸思想在立體幾何中的具體應(yīng)用.在求解空間距離的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般包括三個(gè)部分：求作、論證和計(jì)算，這三部分是不可分割的整體.通過(guò)這一章節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生回顧之前與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的表面積問(wèn)題的求解思路，同時(shí)也掌握在展開(kāi)過(guò)程中分類(lèi)討論的精確性和還原截面的方法.

2學(xué)情分析

高三學(xué)生在之前的立體幾何學(xué)習(xí)中已經(jīng)學(xué)習(xí)了點(diǎn)到面、線到面、線到線、面到面這四種距離問(wèn)題，其中多以垂直為主，其實(shí)這已經(jīng)初步滲透了“最短距離”的思考模式.在后段的學(xué)習(xí)過(guò)程中，比如圓柱和圓錐的表面積求法中，學(xué)生了解了展開(kāi)的思維.

雖有所涉及，但學(xué)生在此階段剛剛完成立體幾何的第一輪學(xué)習(xí)，因此借助此節(jié)課的內(nèi)容，通過(guò)“最短距離”多種問(wèn)題的變換應(yīng)用，強(qiáng)化學(xué)生“想圖、畫(huà)圖、識(shí)圖、解圖”的能力，重視圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練.尤其重視對(duì)所畫(huà)的立體圖形、三視圖與真實(shí)圖形思維理解上的一致性.

3教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)與技能：通過(guò)求解最短距離掌握“展開(kāi)”的立體幾何距離問(wèn)題基本解法.

（2）過(guò)程與方法：在展開(kāi)過(guò)程中明確分類(lèi)討論的思想以及截面還原精確性的把控，達(dá)成實(shí)際圖形和斜二測(cè)圖象的統(tǒng)一.

（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)最短距離的不同解法培養(yǎng)學(xué)生善于分析題意，富于聯(lián)想，以提高學(xué)生的空間想象能力，強(qiáng)化主動(dòng)探索問(wèn)題的精神和科學(xué)理性的思維方法.

4教學(xué)過(guò)程

4.1借典引入，提升興趣

其實(shí)早在1903年，就已經(jīng)有相應(yīng)的數(shù)學(xué)謎題開(kāi)始流傳，也就是著名的蜘蛛抓蒼蠅的故事.杜登尼（Dudeney，1857—1930）是19世紀(jì)英國(guó)知名的謎題創(chuàng)作者．“蜘蛛和蒼蠅”問(wèn)題最早出現(xiàn)在1903年的英國(guó)報(bào)紙上，是杜登尼最有名的謎題之一．它對(duì)全世界難題愛(ài)好者的挑戰(zhàn)，長(zhǎng)達(dá)四分之三個(gè)世紀(jì)．

4.2分類(lèi)討論思想的滲透

問(wèn)題現(xiàn)在我們把剛剛的數(shù)學(xué)謎題簡(jiǎn)化，蜘蛛在點(diǎn)A處，蒼蠅在C1處.長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)分別是a，b，c（其中a＞b＞c），如圖1，求蜘蛛抓到蒼蠅，需爬行的距離的最大值.

題目分析通過(guò)此題提出展開(kāi)的一大重點(diǎn)——分類(lèi)討論.為了和之后的問(wèn)題產(chǎn)生對(duì)應(yīng)，引導(dǎo)學(xué)生從經(jīng)過(guò)棱的角度進(jìn)行分類(lèi).

通過(guò)觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)蜘蛛所經(jīng)過(guò)的棱共有6種可能，而其中兩兩具有對(duì)應(yīng)關(guān)系.因此最后歸類(lèi)為如下3種，如圖2.

立體問(wèn)題平面化，將立體幾何的距離問(wèn)題變?yōu)榍蟪鋈齻€(gè)矩形對(duì)角線長(zhǎng)短進(jìn)行比較的問(wèn)題.

4.3截面還原，手腦統(tǒng)一

問(wèn)題如圖3，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面為直角三角形∠ACB=90°，AC=4，BC=CC1=2，P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則CP+PA的最小值是.

題目分析在這道題中，學(xué)生不需要像上題一樣討論棱的分類(lèi)問(wèn)題，已經(jīng)確定為BC1，難點(diǎn)設(shè)置在了是哪兩個(gè)面的展開(kāi)上，由于圖象不如上道題完整，所以需要學(xué)生自己將截面進(jìn)行補(bǔ)全，從而回顧立體幾何中公理三的推論——直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面.

展開(kāi)后，得到兩個(gè)三角形BC1A1和三角形BC1C，為了確定截面的具體形狀，從而算出每個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，明確特殊的角度，從斜二測(cè)畫(huà)法中還原為實(shí)際圖象后，再通過(guò)平面幾何求出線段距離.

4.4二維與三維的類(lèi)比

問(wèn)題如圖4，正方體ABCD-A1B1C1D1中棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)E為AA1的中點(diǎn)，在對(duì)角面BB1D1D上取點(diǎn)M，使AM+ME最小，其最小值為.

題目分析在之前的解析幾何中，學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)二維平面中求距離最短的方法——對(duì)稱.因此在本題中，進(jìn)行二維到三維的遞進(jìn)，根據(jù)圖形的對(duì)稱性，把AM+ME轉(zhuǎn)化為CM+ME，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短求最小值.

解由對(duì)稱性可知AM=CM，

所以AM+ME=CM+ME，

觀察圖形，可知當(dāng)E，M，C三點(diǎn)共線時(shí)，CM+ME即AM+ME取得最小值，

最小值為CE=2a2+（a2）2=32a.

5結(jié)語(yǔ)

在這節(jié)課中，希望學(xué)生借助立體幾何中的最短距離問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)“轉(zhuǎn)化與化歸”的思想，把看似不相關(guān)的兩個(gè)問(wèn)題聯(lián)系在一起，便能夠“最”有應(yīng)得.