【摘要】在探究數(shù)學對象性質(zhì)的過程中體會探究數(shù)學對象的一般方法.探究數(shù)學對象的性質(zhì)，一方面可以更深入認識這個對象，另一方面能更好地解決與其相關的數(shù)學與現(xiàn)實問題.教學設計要有意識地關注邏輯連貫，思想一致，方法普適.

【關鍵詞】 高中數(shù)學;邏輯推理;課堂教學

教學中要豐富數(shù)學內(nèi)容所蘊含的數(shù)學思想和方法，使學生體會研究的內(nèi)容、過程和方法一脈相承，體悟具有普適性的數(shù)學思想和方法，逐步形成數(shù)學思維方式，落實數(shù)學學科核心素養(yǎng).本文以選擇性必修三“二項式系數(shù)的性質(zhì)”為例，談一談想法.

人腦對規(guī)律有先天的敏感性，善于發(fā)現(xiàn)并總結規(guī)律.在組合數(shù)的兩個性質(zhì)的基礎上，預感a+bn的展開式的二項式系數(shù)C0n，C1n，C2n，…，Ckn，…，Cnn有很多值得探究的性質(zhì).類比函數(shù)性質(zhì)、數(shù)列性質(zhì)的學習經(jīng)驗，從特殊到一般地對二項式系數(shù)進行研究.通過一個個數(shù)學對象的探究，讓普適性的數(shù)學方法根植于學生的潛意識中.

填寫表1，觀察表格.

問題1通過觀察圖表的結構，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？能否與已學過的知識相聯(lián)系？

學生A通過觀察結構，發(fā)現(xiàn)其中系數(shù)排列具有對稱性，增減性.通過運算也可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

設計意圖學生直觀感知代數(shù)中研究問題的基本方法，也是數(shù)學學習中經(jīng)常使用的思維方法.

教師類比函數(shù)奇偶性的學習經(jīng)驗，函數(shù)圖象能直觀地展示數(shù)量關系.自然地，用聯(lián)系的觀點將a+bn的展開式的二項式系數(shù)C0n，C1n，C2n，…，Ckn，…，Cnn，Crn可看成以r為自變量的函數(shù)fr，其定義域是0，1，2，…，n.

問題2對于確定的n，比如n=6時，你能畫出fr=Crn，r∈0，1，2，3，4，5，6的圖象嗎？

如圖2，示范用數(shù)形結合的方法直觀展示n=6時，二項式系數(shù)排列具有的規(guī)律.

探究2請你分別畫出n=7，8，9時函數(shù)fr=Crn的圖象，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

學生B當n為偶數(shù)時，有奇數(shù)n+1項，中間那一項取得最大值；當n為奇數(shù)時，有偶數(shù)n+1項，中間兩項相等，且同時取得最大值.

教師結合這些具體例子進行數(shù)學表達.

（1）對稱性.文字描述：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等.

數(shù)學符號語言理論推導：由Cmn=Cn－mn得到.

從n個不同元素中取出m個元素后，剩下（n－m）個元素，即從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)與剩下（n－m）個元素的組合數(shù)相等.

圖象：直線r=n2將函數(shù)fr=Crn的圖象分成對稱的兩部分.

（2）增減性與最大值.

文字描述：函數(shù)fr=Crn的圖象在直線r=n2的左側(cè)部分，Ckn隨k的增加而增大；結合對稱性知，在直線r=n2的右側(cè)部分，Ckn隨k的增加而減小.

問題3你能證明這一性質(zhì)嗎？

由于組合數(shù)Ckn，Ck－1n均為正整數(shù)，于是CknCk－1n=nn－1…n－k+1k！nn－1…n－k+2n－k+1k－1！=n－k+1k，當n－k+1k>1時，即k<n+12時，Ckn隨k的增加而增大；當k>n+12時，Ckn隨k的增加而減小.

當n為偶數(shù)時，最中間那一項Cn2n取得最大值；

當n為奇數(shù)時，展開式有偶數(shù)n+1項，中間兩項Cn－12n與Cn+12n相等，且同時取得最大值.

設計意圖動手動腦中學生的思維走向所學知識的本質(zhì).形成數(shù)學思考結構的系統(tǒng)性、普適性.

問題4運算是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的有效途徑，算一算圖1中每一行數(shù)的和，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

學生C第n行數(shù)的和為2n.

教師按照特殊到一般的研究思路，我們猜想C0n+C1n+C2n+…+Ckn+…+Cnn=2n.

追問由 1+xn=C0n+C1nx+C2nx2+…+Cknxk+…+Cnnxn，你能證明這一性質(zhì)嗎？

可具體化、特殊化，令x=1，得2n=C0n+C1n+C2n+…+Ckn+…+Cnn，即a+bn展開式的各二項式系數(shù)和等于2n.

問題5更進一步，算一算圖1中每一行數(shù)的奇數(shù)項的和，以及偶數(shù)項的和，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

學生D每行奇數(shù)項的和等于偶數(shù)項的和.

例題求證：在a+bn的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和.

分析奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為C0n+C2n+C4n+…，

偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和為C1n+C3n+C5n+….

由a+bn=C0nan+C1nan-1b+C2nan-2b2+…+Cnnbn，令a=1，b=－1可證明結論.

進一步追問C0n+C2n+C4n+…=C1n+C3n+C5n+…等于多少？

分析C0n+C2n+C4n+…=C1n+C3n+C5n+…=2n2=2n-1.

設計意圖體會發(fā)現(xiàn)規(guī)律的一般方法，構建研究數(shù)學對象的基本路徑.感受數(shù)學研究對象在變，但研究的思想方法不變.

結語

當學生獲得了方法，養(yǎng)成了習慣，就會自發(fā)地去探究.研究方法上，應在實際教學過程中加強通過代數(shù)運算和圖象直觀揭示性質(zhì)的引導和明示.構建從具體到抽象、從特殊到一般的過程，從而歸納概括出精確刻畫性質(zhì)的方法，從而提升素養(yǎng).讓重要的數(shù)學概念、思想、方法得到反復理解的機會.

【福建省課題《人工智能賦能中學數(shù)學課堂對話質(zhì)量優(yōu)化研究》立項批準號Fjxczx23-120】

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]章建躍.章建躍數(shù)學教育隨想錄[M].杭州：浙江教育出版社，2017.