在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常遇到抽象和缺少實物展示的概念和問題，也經(jīng)常遇到動態(tài)變化的圖形，要求研究其中的數(shù)量關(guān)系。在立體幾何教學(xué)中，課堂上學(xué)生需要實物模型，但空間幾何體內(nèi)的圖形變化在實物中通常無法展示，但可通過軟件模擬出相關(guān)圖形，展示幾何量的數(shù)量關(guān)系。如果能動手操作模型，學(xué)生在獲取知識、理解知識、形成能力、提升素養(yǎng)方面將有更大收獲。

本項目以GeoGebra軟件為工具制作數(shù)學(xué)實驗課件，在GeoGebra官方網(wǎng)站將數(shù)學(xué)實驗與實驗引導(dǎo)、問題鏈融合，生成活動、課程、繪本，形成GeoGebra在線數(shù)學(xué)實驗室（網(wǎng)址：https：//ggb123.cn/m/hrzspaas）。

設(shè)計目的與思路

可視化

GeoGebra軟件可以通過構(gòu)造幾何體、計算觀測量、設(shè)置對象的屬性，實現(xiàn)動態(tài)圖像的可視化、觀測量的數(shù)據(jù)變化可視化、數(shù)據(jù)的可視化等。將抽象概念可視化、讓幾何體內(nèi)部不可見的圖形可視化，是GeoGebra數(shù)學(xué)實驗設(shè)計的初衷和主要目的之一。

探究化

GeoGebra在線數(shù)學(xué)實驗室遵循建構(gòu)主義理論，融合現(xiàn)代教學(xué)設(shè)備，打造智慧教學(xué)，學(xué)生通過在課堂上動手做數(shù)學(xué)實驗，經(jīng)歷直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，提升數(shù)形結(jié)合、空間想象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模等關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)，實現(xiàn)個性化教學(xué)和探究性學(xué)習(xí)。

系統(tǒng)化

按照現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計數(shù)學(xué)實驗，形成一套較為完整的數(shù)學(xué)實驗系統(tǒng)，并在在線數(shù)學(xué)實驗室中呈現(xiàn)。目前在線數(shù)學(xué)實驗室實驗內(nèi)容包括函數(shù)、三角函數(shù)、立體幾何、向量與解析幾何、統(tǒng)計、分形等。

問題鏈

使用GeoGebra數(shù)學(xué)實驗需要與問題結(jié)合，封閉式問題給出了指向明確的觀察方向，而開放性問題能為學(xué)生提供廣闊的觀察視野和思維空間。在線學(xué)習(xí)中，在網(wǎng)頁上提供實驗引導(dǎo)和問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生自覺地閱讀并思考，得到初步結(jié)論，然后通過操作在線數(shù)學(xué)實驗，驗證或否定原有猜想，進(jìn)一步觀察、思考，提出新的問題。

設(shè)計原理

以空間想象能力為例進(jìn)行說明。在教學(xué)實踐中，空間想象能力的形成過程一般為：學(xué)生觀察實物模型，在大腦中形成空間幾何體的表象，能用二維圖形描述空間幾何體；能脫離實物模型，按照語言文字的描述，在大腦中構(gòu)想空間幾何體；能對大腦中建立的表象進(jìn)行加工或操作以便建構(gòu)新的表象，得到空間幾何體的變化、截面、組合體等。

在目前的教學(xué)中，學(xué)生能接觸到柱體、錐體、臺體、球體等基本模型，但是，與各種幾何體截面相關(guān)的立體實物模型較為少見，能動態(tài)變化的立體實物模型基本沒有。沒有實物模型觀察，學(xué)生對幾何體難以形成表象，更談不上對表象的操作和形象思維，因此，幾何體的截面、動態(tài)變化等與幾何體相關(guān)的空間想象成為教學(xué)難點。用幾何畫板可以作出一些幾何體的截面，但是難以作出較為復(fù)雜的、動態(tài)變化的立體幾何模型，且?guī)缀螆D形的直觀性、準(zhǔn)確性有待提升。

本項目嘗試用數(shù)學(xué)軟件GeoGebra創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實驗，讓學(xué)生可以動手操作實驗，全方位觀察空間幾何體，觀察三維動態(tài)圖形的變化情況，形成表象；再通過設(shè)置問題鏈，讓學(xué)生對表象進(jìn)行重構(gòu)，并通過GeoGebra數(shù)學(xué)實驗校正和加強(qiáng)新的表象，幫助學(xué)生突破空間想象的難點[1]。在解決較為復(fù)雜的問題時，教師應(yīng)幫助學(xué)生作出圖形，在學(xué)生有困難時，應(yīng)展示復(fù)雜問題對應(yīng)的模型，幫助學(xué)生建立新的表象，并與已有表象建立聯(lián)系。

制作過程

從2017年至今，本項目連續(xù)經(jīng)歷了2個市級課題的研究，通過一系列措施保證了實驗課件設(shè)計與制作質(zhì)量、問題鏈設(shè)計質(zhì)量，在課堂教學(xué)實踐中不斷提升課堂教學(xué)或在線學(xué)習(xí)效果。同時，本項目設(shè)計了單一課堂教學(xué)、單元教學(xué)、學(xué)年教學(xué)3組對比實驗，收集相關(guān)數(shù)據(jù)，通過數(shù)據(jù)分析，驗證了GeoGebra數(shù)學(xué)實驗對提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的促進(jìn)作用。

設(shè)計

本項目設(shè)計了GeoGebra實驗課件設(shè)計表，在課件制作前由教師填寫設(shè)計表，在設(shè)計表中體現(xiàn)動態(tài)變化的元素和關(guān)聯(lián)，能夠較為全面地思考實驗課件與教學(xué)之間的互動。設(shè)計表規(guī)范了實驗課件設(shè)計的步驟，同時通過分組交叉審核的方法審核，便于集思廣益和發(fā)揮團(tuán)隊的作用。精心設(shè)計的數(shù)學(xué)實驗操作簡便，利于師生快速掌握實驗步驟，集中注意力于實驗觀察與分析猜想。

問題鏈

在設(shè)計GeoGebra數(shù)學(xué)實驗課件的同時，根據(jù)教材和教學(xué)設(shè)計，教師需設(shè)計與實驗相關(guān)的問題鏈。問題是數(shù)學(xué)的核心，數(shù)學(xué)實驗可以為解決數(shù)學(xué)問題而設(shè)計，學(xué)生循著問題鏈能解決數(shù)學(xué)及其應(yīng)用問題。問題鏈也可以為學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律而設(shè)計，還可以為引導(dǎo)學(xué)生提出問題而設(shè)計。

制作、試用與修改

制作者可以是設(shè)計者，也可以是其他人。按照設(shè)計表，在充分思考和交流的前提下，發(fā)揮具備不同教學(xué)教研能力、不同信息技術(shù)應(yīng)用水平教師的長處，制作出相應(yīng)的數(shù)學(xué)實驗課件。在充分評估實驗課件的應(yīng)用效果后，課件被用于課堂或校本課程教學(xué)中，教師將問題鏈與課件結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生動手實驗、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、思辨論證。

在線實驗

通過課堂實踐后，修改問題鏈和實驗課件，再上傳到GeoGebra在線數(shù)學(xué)實驗室，進(jìn)行分類展示。GeoGebra數(shù)學(xué)實驗室的絕大部分課件是為學(xué)生動手實驗而設(shè)計的，通過問題鏈引導(dǎo)，學(xué)生經(jīng)歷直觀感知、操作確認(rèn)、猜想驗證，升華到思辨論證，實現(xiàn)教師的個性化教學(xué)和學(xué)生的創(chuàng)造性學(xué)習(xí)與表達(dá)，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)的深度理解，逐漸提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

教學(xué)應(yīng)用

GeoGebra在線數(shù)學(xué)實驗室的系列實驗課件可以用于課堂教學(xué)、校本選修課程、在線教學(xué)，數(shù)學(xué)實驗以數(shù)字化、可視化的方式，幫助學(xué)生提升數(shù)形結(jié)合、空間想象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模等關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)。

課堂教學(xué)

課堂上教師可以用GeoGebra在線數(shù)學(xué)實驗室的實驗作為演示實驗，引導(dǎo)學(xué)生歸納猜想，完成由具體到抽象的教學(xué)過程；也可以由學(xué)生使用平板電腦動手完成探究實驗，觀察參數(shù)變化后的模型變化，歸納變化規(guī)律，提出猜想，再驗證猜想的正確性。學(xué)生還可以繼續(xù)觀察模型或改變模型參數(shù)、度量新的觀測量，發(fā)現(xiàn)和探究新的問題。

比如，依據(jù)人教A版（2020年版）《數(shù)學(xué)》教材選擇性必修二第70頁練習(xí)4、人教A版（2004年版）《數(shù)學(xué)》選修2-2教材第2頁問題1“氣球膨脹率”，構(gòu)建1個數(shù)學(xué)實驗：勻速給氣球充氣，觀察氣球半徑關(guān)于體積V或時間t的平均膨脹率、瞬時膨脹率。該模擬實驗不僅展示了勻速充氣的實驗效果，還能通過問題鏈引導(dǎo)學(xué)生從直觀感知到圖形分析，再到定量刻畫。

新冠疫情期間，學(xué)生居家學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的立體幾何，沒有空間幾何體的模型，教師在視頻教學(xué)中使用的模型也不能按每位學(xué)生的需求變換角度觀察。但是，在線數(shù)學(xué)實驗室的3D模型和實驗，可以全方位變換角度觀察，既能觀察幾何體的內(nèi)部，也能自主觀察3D圖像動態(tài)變化。學(xué)生使用電腦、手機(jī)、平板電腦進(jìn)入GeoGebra在線數(shù)學(xué)實驗室，還可與教師同步做實驗，也可在課后繼續(xù)探究，幫助學(xué)生提升空間想象能力，實現(xiàn)個性化學(xué)習(xí)。

校本課程

在校本課程“GeoGebra數(shù)學(xué)實驗與探究”中，用項目驅(qū)動的方式組織教學(xué)，學(xué)生人數(shù)限制為20人，每人1臺電腦，每周1課時，總共36課時。在教師引導(dǎo)下，學(xué)生可體驗創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型、學(xué)習(xí)制作實驗課件，并利用自制實驗課件探究數(shù)學(xué)難題，或借助GeoGebra理解數(shù)學(xué)難點。學(xué)生對校本課程很感興趣，經(jīng)常使用GeoGebra創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型，甚至讀大學(xué)時還使用GeoGebra繪制空間曲面圖形。