初中代數(shù)共有五大主題單元，按照知識(shí)金字塔結(jié)構(gòu)從低到高依次是數(shù)、式、方程、不等式與函數(shù)。二次函數(shù)處在初中代數(shù)所有知識(shí)單元的最高點(diǎn)，全面學(xué)透本章就顯得格外重要。下面，我們從三個(gè)角度解析本單元的核心所在。

函數(shù)與方程、不等式主題單元

的縱向聯(lián)系

從表面上看，方程、不等式、函數(shù)是三個(gè)獨(dú)立的主題單元，我們很難一眼看出三者之間究竟有什么樣的內(nèi)在聯(lián)系。事實(shí)上，它們之間不僅有聯(lián)系，而且關(guān)聯(lián)度還非常高。方程與不等式是從常量的角度來看一個(gè)式子，相等時(shí)就可能成為方程，不等時(shí)就是不等式。而函數(shù)則是從變量的角度來看一個(gè)式子。比如，y=3x+2，從已知數(shù)、未知數(shù)的常量角度看，這就是一個(gè)二元一次方程；從變量的角度看，這就是一個(gè)一次函數(shù)，這是我們?cè)趯W(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)經(jīng)常忽略的聯(lián)系?？梢姡匠膛c函數(shù)只是看問題的兩個(gè)不同的視角而已。由此得到啟發(fā)，二次函數(shù)與一元二次方程、初高中銜接要學(xué)習(xí)的一元二次不等式之間也是緊密聯(lián)系的。比如，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，且a≠0，下同），從常量的角度看，這是一個(gè)二元二次函數(shù)；當(dāng)y=0時(shí)，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0；當(dāng)y＞0（y＜0）時(shí)，就變成了一元二次不等式ax2+bx+c＞0（ax2+bx+c＜0）。如果我們從二次函數(shù)圖象的視角看，當(dāng)y=0時(shí)，相當(dāng)于拋物線與x軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，其橫坐標(biāo)正好就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，這就是一元二次方程可以用圖象法求解的本質(zhì)。由此及彼，一元二次不等式也可以借助二次函數(shù)的圖象來求其解集。這就是函數(shù)、方程、不等式三個(gè)主題單元之間的縱向聯(lián)系。

二次函數(shù)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)單元

的橫向聯(lián)系

函數(shù)主題單元在初中共有三個(gè)自然單元，始于蘇科版數(shù)學(xué)教材八（上）第6章“一次函數(shù)”，其次是八（下）第11章“反比例函數(shù)”，終于九（下）第5章“二次函數(shù)”。在八（上）第6章，我們首先從生活問題出發(fā)，學(xué)習(xí)了一般函數(shù)的定義，在此基礎(chǔ)上介紹了函數(shù)的列表法、圖象法、表達(dá)式法三種表示方法，接著介紹了函數(shù)的圖象與性質(zhì)，最后介紹了函數(shù)的簡單應(yīng)用問題。實(shí)際上，這幾個(gè)課時(shí)對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)起到了統(tǒng)領(lǐng)作用，告訴我們研究函數(shù)的一般路徑，即從定義出發(fā)，用數(shù)學(xué)方式表示，再研究它的圖象，在研究圖象的同時(shí)得出函數(shù)的性質(zhì)，最后利用函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)解決問題。在一般函數(shù)研究的基礎(chǔ)上，我們分別研究了正比例函數(shù)與反比例函數(shù)，對(duì)應(yīng)著小學(xué)學(xué)習(xí)的正比例關(guān)系和反比例關(guān)系；又研究了一次函數(shù)與二次函數(shù)，這是次的擴(kuò)充，也對(duì)應(yīng)著一元一次方程和一元二次方程。

二次函數(shù)的單元主線及研究方法

跟每一個(gè)自然單元一樣，二次函數(shù)也可以看成一個(gè)獨(dú)立的整體。從本單元內(nèi)部看，我們可以從以下三個(gè)方面來學(xué)習(xí)。

一是依然遵循從生活問題出發(fā)產(chǎn)生數(shù)學(xué)問題，在數(shù)學(xué)內(nèi)部進(jìn)行研究，最后回到解決生活問題的“生活→數(shù)學(xué)→生活”之路。如二次函數(shù)的定義仍然是從生活問題抽象而來，再從數(shù)學(xué)內(nèi)部進(jìn)行研究，分別得到了二次函數(shù)的一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式等三種表示方法，通過一般畫函數(shù)圖象的三步：列表、描點(diǎn)、連線研究二次函數(shù)的圖象，在研究圖象的同時(shí)，得到二次函數(shù)的性質(zhì)，最后用二次函數(shù)解決一些實(shí)際問題。

二是依然遵循從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律。如得出二次函數(shù)y=ax2+bx+c的定義后，為了研究其圖象與性質(zhì)，分別研究了最特殊的y=ax2的圖象與性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上研究較為特殊的y=ax2+c和y=a（x-h）2，最后研究一般的y=ax2+bx+c和y=a（x-h）2+k的情形，這樣由簡單到復(fù)雜，由淺入深的研究方法，有助于同學(xué)們更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)及其本質(zhì)。

三是依然延續(xù)函數(shù)系列單元研究中最重要的思想方法，那就是數(shù)形結(jié)合和函數(shù)思想。在研究正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)的問題時(shí)，可以從數(shù)和形的兩個(gè)視角思考問題，當(dāng)然最好的是數(shù)形結(jié)合思考。在研究生活中的應(yīng)用問題時(shí)，我們通常根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系列出表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式判斷函數(shù)類型，如果構(gòu)成的是二次函數(shù)，就利用二次函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解，最后回過頭來解決實(shí)際問題。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區(qū)教師發(fā)展中心）